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Mathematik

Mathematik

Die im Folgenden erzielten Ergebnisse in den Teilgebieten Mengenlehre, Topologie, euklidische Geometrie, Nichtstandardanalysis, lineare Optimierung, Zahlentheorie und theoretische Informatik sind als sensationell zu bezeichnen! Bekannte Aussagen und grundlegende im Folgenden nicht definierte Begriffe wie Axiom, Körper usw. werden wie in der einschlägigen Literatur oder bei Wikipedia beschrieben vorausgesetzt. Daher werden hier nur abweichende oder klarstellende Definitionen gegeben.

Eingeklammerte Satzteile können abweichend vom herkömmlichen Gebrauch der näheren Erläuterung entweder stehen oder nicht: beide Bedeutungen sind gültig. Beweise werden mit \(\square\) abgeschlossen und Definitionen mit \(\triangle\). Aufgrund der Endlichkeit unserer Welt bereitet die Behandlung des Unendlichen gewisse Schwierigkeiten. Sind Zahlen Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, dessen größter Exponent seines Arguments sein Grad ist, heißen sie algebraisch, andernfalls transzendent.

Es ist zu überlegen, ob die Anzahl der Elemente der Menge der algebraischen Zahlen endlich oder unendlich zu definieren ist. Die Algebra lehrt, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier algebraischer Zahlen von natürlichem Grad \(m\) bzw. \(n\) algebraisch maximal vom Grad \(mn\) sind und die \(1/m\)-te Potenz einer algebraischen Zahl vom Grad \(n\) ebenfalls algebraisch maximal vom Grad \(mn\) ist. Transzendente Zahlen sind die Summe eines algebraischen Hauptteils und eines transzendenten Rests.

Ist die Transzendenz einer Zahl zu untersuchen und ist der Rest durch den Grenzwert einer Nullfolge \(\left({a}_{n}\right)\) gegeben, dürfen die Folgenwerte für große \(n\) nicht einfach weglassen werden: Sie sind entscheidend. Transzendente Zahlen sind alle Zahlen, die zwischen den algebraischen liegen oder jenseits von diesen. Die Zahlentheorie zeigt, dass zwischen zwei dicht genug beieinander liegenden verschiedenen transzendenten Zahlen (algebraischen vom Grad \(m\)) keine algebraische Zahl (vom Grad \(< m\)) liegt.

Endliche rationale Zahlen bilden mit den unendlichen (komplex)rationalen Zahlen numerisch bereits alle reellen (komplexen) Zahlen. Daher sind algebraische und transzendente Zahlen (numerisch) kaum zu unterscheiden und Approximationen von geringer Aussagekraft über die Algebraizität (von einem bestimmten Grad). Nicht als rationale Zahl abbrechende reelle Kettenbrüche sind transzendent, da sie unendlich rational sind. Sie können algebraische Zahlen nur annähern.

Da alle reellen Zahlen näherungsweise (unendliche) rationale Zahlen sind, lassen sie sich in Echtzeit berechnen. Die transzendenten Zahlen erlauben es sich im Gegensatz zu algebraischen Zahlen, wo mit den zugehörigen Minimalpolynomen oder -reihen argumentiert werden sollte, mit einer beliebig genauen unendlich kleinen Genauigkeit zufriedenzugeben. Erstere lassen sich daher als rationale Brüche mit unendlichem Zähler und Nenner ansetzen. Definitionen eignen sich besser als Axiome.

Die endliche Definition bietet deutliche Handhabungsvorteile und ist traditionell. Es wird gezeigt, dass die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, algebraischen, reellen oder komplexen Zahlen nicht abgeschlossen sind. Damit ist die Differenz algebraischer Zahlen nicht mehr notwendig algebraisch, was die Theorie der transzendenten Zahlen erschwert. Eine unendliche rationale und transzendente Zahl kann aus einem endlichen Kettenbruch bestehen.

Hier kann der letzte Teilnenner unendlich groß sein. Würde sie einer herkömmlich rationalen Zahl gleichgesetzt, indem der letzte Teilbruch entfernt würde, so wäre sie gleichzeitig Lösung einer linearen Gleichung mit (unendlichen) ganzen Koeffizienten. Diese Gleichsetzung führt zu Widersprüchen, wenn die erste Gleichung von der zweiten mehrmals abgezogen und die Lösung jeder neu entstandenen Gleichung bestimmt wird.

Korrekt ist dagegen das Arbeiten mit Näherungsbrüchen. Ein Beginn mit der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen ermöglicht durch (herkömmlich natürliche und unendliche natürliche) Induktion zu zeigen, dass nach Cantor bis in jede beliebige Potenz diagonalisiert werden kann. Somit sind alle (!) unendlichen Mengen gleichmächtig zur Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen, wenn Hilberts Translationen ins Unendliche zu Hilfe genommen werden.

Dieser Widersprüchlichkeit begegnet der Satz, dass zu keiner Menge eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge existiert. Damit werden u. a. Dedekind-Unendlichkeit und Hilberts Hotel widerlegt, da die Bildmengen von Translationen jeder Menge aus dieser herausführen. Jede Anzahl der Elemente einer Menge lässt sich durch Bezug auf die Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen angeben. Dies leistet nur die genaue Konstruktionsvorschrift.

Die Betrachtung aller Vielfachen von fünf und die Konstruktion dieser Menge durch Multiplikation jeder herkömmlich natürlichen Zahl mit fünf ist etwas ganz anderes als das Entfernen aller Zahlen bis auf jede fünfte aus der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen. Cantor hat solche Mengen als gleichmächtig angesehen. Die richtige Betrachtung der Bijektionen ergibt jedoch ein anderes Bild. Das bisher um Ordinal- und Kardinalzahlen gemachte Aufheben entfällt.

Cantors Unterscheidung zwischen lediglich abzählbaren und überabzählbaren Mengen ist zu undifferenziert. Die korrekte Behandlung von Bijektionen ergibt, dass anzahlmäßig zwischen der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen und der der herkömmlich reellen Zahlen unendlich viele Mengen liegen. Damit erhält die Kontinuumshypothese eine neue Antwort. Ferner wird die asymptotische Funktion der Anzahl der algebraischen Zahlen bestimmt.

Die Menge \(\mathbb{R}\) aller reellen Zahlen ist isomorph zu einer Menge (hyper-)natürlicher bzw. ganzer Zahlen. Sie hat sowohl ein festes minimales als auch ein festes maximales Element, da von einer ganzheitlichen und vollständigen Betrachtung von \(\mathbb{R}\) ausgegangen wird. Hieraus folgt zusammen mit den Körperaxiomen ihre Abgeschlossenheit. Andernfalls wäre eventuell die bisherige Theorie immer wieder an die Gegebenheiten anzupassen. Als Folgen notierte Zahlen sind schlichtweg unhandlich.

Zugegeben folgt aus dem herkömmlichen Irrationalitätsbeweis von \(\sqrt{2}\) eine gewisse Dialektik und die multiplikativ Inversen sind meist nur näherungsweise in \(\mathbb{R}\) enthalten. Viele der im Folgenden getroffenen Aussagen lassen sich auf Mengen mit anderen Ober- und Untergrenzen und allgemeiner auf metrische Räume übertragen. Wo dies geschehen kann, wird hier nicht detailliert ausgewiesen, da die anzustellenden Überlegungen einfach sind.

Eine Kreisscheibe ohne ihren Rand stellt herkömmlich eine offene Menge dar, weil dann jeder Punkt von ihr eine herkömmliche Umgebung hat, die ganz in dieser Menge liegt. Werden die Punkte auf einer Halbgeraden beginnend bei dem Kreisscheibenmittelpunkt betrachtet, muss es auf dieser Halbgeraden zum Rand hin immer eine echte Umgebung für jeden Punkt geben. So war die bisherige Vorstellung.

Tatsächlich muss jedoch irgendwann "das Ende der Fahnenstange" erreicht sein. Es muss also einen Punkt im Inneren der Kreisscheibe geben, der keine herkömmliche Umgebung in diesem Inneren hat. Daher ist der Offenheitsbegriff bei Mengen untauglich. Wird die Einheitskreisscheibe um den Koordinatenursprung betrachtet, so ist der letzte Punkt der Halbgeraden \([0, 1[\) dual dargestellt der Punkt \(0,\overline{1}_{2}\) und der nächste Punkt ist der Randpunkt 1.

Zwischen diesen beiden Punkten liegt kein weiterer Punkt. Ersterer hat keine Umgebung, die im Kreisscheibeninneren liegt, obwohl er ein innerer Punkt ist. Aus diesem Grund ist die Kreisscheibe ohne Rand ebenfalls abgeschlossen, da die letzten Punkte der Halbgeraden vom Kreisscheibenmittelpunkt aus gerade den Abschluss als Rand bilden. Da auf ihrem Rand keine Umgebung existiert, ist auch eine abgeschlossene Menge im euklidischen Raum sinnlos.

Somit gilt, dass zumindest im euklidischen Raum jede offene Menge zugleich abgeschlossen ist, was diese Begriffe ad absurdum führt. Dies hat bisher nicht weiter gestört, da die infinitesimalen Größen bisher nicht ausdifferenziert betrachtet, also insbesondere die Zahlen 1 und \(0,\overline{1}_{2}\) gleichgesetzt wurden. Dies ist jedoch nicht korrekt wie in der Zahlentheorie erläutert wird, da hier sonst Algebraizität (1) und Transzendenz \((0,\overline{1}_{2})\) gleichgesetzt werden.

Das Absurde zeigt sich auch am unendlichen Durchschnitt offener Mengen wie der aller offenen konzentrischen Kreisscheiben, der eine abgeschlossene Menge bilden kann (den gemeinsamen Kreisscheibenmittelpunkt). Eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen kann eine offene Menge wie eine offene Kreisscheibe als Vereinigung aller deren Punkte als abgeschlossenen Mengen bilden.

Eine 0-dimensionale Menge (Punkt) ist deswegen offen, weil hier jede Umgebung ebenfalls aus einem Punkt besteht. Deshalb ist sogar die leere Menge \(\emptyset\) abgeschlossen und als Folge der gesamte euklidische Raum. Mithilfe von Kugeln lässt sich das Gesagte leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Begriffe innerer bzw. äußerer Punkt erweisen sich jedoch als sinnvoll, wenn beliebige infinitesimale Radien zugelassen werden, deren reziproker Wert also unendlich ist.

Da sich ein absurder bzw. sinnloser Spezialfall auf den allgemeinen Fall übertragen lässt, sollte auch bei metrischen und topologischen Räumen Offenheit bzw. Abgeschlossenheit von Mengen nicht betrachtet werden: insbesondere die herkömmliche Definition des topologischen Raumes mutet seltsam inhaltsleer und willkürlich an, während die Begriffe innerer und äußerer Punkt sowie Randpunkt nach wie vor sinnvoll und angemessen sind.

Der Riemannsche Umordnungssatz ist ungültig, da das Aufsummieren positiver Summanden zu einem angestrebten Wert so viele negative zu addieren erzwingt, bis wieder die ursprüngliche Reihensumme erreicht wird und umgekehrt. Bei einem kleineren bzw. größeren Wert als der Summe der positiven bzw. negativen Summanden gilt das Gleiche, da der Rest nahezu annulliert wird usf. Das Vermeiden von Irrwegen verbietet den willkürlichen Umgang mit der Unendlichkeit.

Die Existenz des dorthin Verlagerten darf nicht vernachlässigt werden. Die Definition des exakten Integrals in der Nichtstandardanalysis nach einer Rechteckregel erfordert eventuell Fehlerabschätzungen (s. Literatur zur Numerischen Mathematik). Beachtenswert ist, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Es gibt alternative Definitionen zum exakten Volumenintegral. Am einfachsten zu handhaben sind jedoch die ursprünglichen Definitionen.

Ggf. bietet sich eine geeignete Landau-Notation an. Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches \(D\), so werde es durch die zu ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb von \(D\) ersetzt. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus mehreren Zahlen oder einer davon (z. B. nach einer einheitlichen Regel). Soll eigentliches Integrieren als Umkehren der Ableitung über bloßes Summieren hinausgehen, macht es nur für stetige Funktionen Sinn.

Zu letzteren lässt sich eine Stammfunktion in endlicher Zeit angeben. Das Zusammenfassen von Funktionswerten zu endlich vielen davon erlaubt auch das Integral für unstetige Funktionen zu berechnen. Hierbei bieten sich evtl. die Euler-Maclaurinsche Summenformel und weitere Vereinfachungstechniken an. Das exakte Integral ist allgemeiner gültig als z. B. Riemann- oder Lebesgue-(Stieltjes-)Integral.

Letztere existieren nur in herkömmlich messbaren Mengen. Funktionswerte können Werte überspringen, die dann nicht gemessen werden. Die dort gegebenen fünf Beispiele verdeutlichen die Überlegenheit der Nichtstandardanalysis und die Stärke der Verwendung infinitesimaler bzw. unendlicher Werte. Die Beispielfunktionen sind nur wegen der Anschaulichkeit so einfach. Insbesondere geht es um herkömmlich nicht messbare, unkonkrete und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen.

Weder Dedekindsche Schnitte noch Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen eignen sich zur Definition der reellen Zahlen. Die herkömmliche Differentiation und Integration verwischen durch herkömmliche Grenzwertbildung die genaue Unterscheidung von Transzendenz und Algebraizität. Dies ist z. B. für die exakte Bestimmung von Nullstellen problematisch. Daher lässt sich die herkömmliche Analysis in der bestehenden Form nicht aufrechterhalten und benötigt gangbare Alternativen.

Da jeder natürlichen Zahl \(n\) individuelle \(n\)-heit zukommt, die nicht aus ihren Vorgängern oder Nachfolgern abgeleitet werden kann, gibt es kein vollständiges Axiomesystem der Mathematik: Mit jeder neuen Zahl entsteht etwas irreduzibel Neues. Jedoch lässt sich ein endliches Axiomesystem für endlich viele Entitäten bei Beschränkung auf ausgewählte Aspekte angeben. Jede Unendlichkeitsstufe verwehrt Vollständigkeit erst recht.

Mathematik ist nicht wertfrei. Theorien basieren auf Voraussetzungen. In der Mathematik werden sie gerne in falsch oder wahr zu erweisende Axiome gefasst. Damit sind alle Theorien unvollständig und eventuell darüber hinaus widersprüchlich. Statt expliziter Axiome eignen sich eventuell implizite Definitionen besser, in denen die Existenz des Angegebenen trotz etwaiger Bedenken und Schwierigkeiten bis zur Widerlegung vorausgesetzt wird.

Die euklidische Geometrie gibt drei Definitionen, die einige Axiome infrage stellen und dabei Ergebnisse der Mengenlehre verwenden. Bei der Frage der gerechten Verteilung von Personen geht es weniger um den theoretischen Gehalt als um die praktische Anwendung. Hier wird eine Tabellenkalkulation eingesetzt. Die Mengenlehre definiert einige neue Mengen und gibt generell deren Anzahl an, insbesondere die der algebraischen Zahlen.

Die Nichtstandardanalysis definiert Integration, Differentiation, Stetigkeit, Konvergenz und Grenzwert für endliche und unendliche und eventuell herkömmlich nicht messbare Mengen ggf. unter Berücksichtigung von deren Homogenität sowie für unstetige Funktionen neu. Sie gibt Beispiele an, um bessere, genauere, elegantere oder schlichtweg korrekte mathematische Aussagen auch für bekannte Sätze der Analysis zu erhalten. Sie löst das Maßproblem.

Die Ratschläge sind Ergebnisse meiner mathematischen Erfahrung und behandeln geeignete Wege und Vorgehensweisen zur Lösung von mathematischen Problemstellungen. Die Topologie definiert den (einfachen) Zusammenhang von Mengen neu und erweist die reellen und komplexen Zahlen lediglich als Räume mit Fréchet-Topologie bzw. spricht deren Hausdorffeigenschaft ab.

Die lineare Optimierung beweist zuerst den Durchmessersatz für Polytope. Dem bekannten exponentiellen Simplexverfahren mit einer neuen Perturbationsmethode wird das polynomielle Intexverfahren gegenübergestellt, welches auch lineare Gleichungssysteme löst. Seine Implementierungsdetails werden erst veröffentlicht, wenn kein Missbrauch für intransparente oder schlechte Entscheidungen zu befürchten ist, obwohl es sich für ethisch Hochgestellte als äußerst nützlich erweisen kann.

In der Zahlentheorie werden notwendige und hinreichende Kriterien für transzendente Zahlen mit Beispielen angegeben. Bewiesen werden der Schranken-, Koeffizienten- und Approximationssatz sowie das Größte-Primzahl-Kriterium. Widerlegt werden der Satz von Thue-Siegel-Roth und die abc-Vermutung. Die Vermutung von Littlewood wird widerlegt und herkömmlich bewiesen. Die Vermutung von Alaoglu und Erdős wird bewiesen und die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung widerlegt.

In der Zeitrechnung wird gezeigt, wie das Oktalsystem praktisch weltweit angewendet werden kann und welche Vorteile sich daraus ergeben. Neben Einführung eines neuen Kalenders und einer neuen Uhrzeitberechnung wird das Oktalsystem auch auf die SI-Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) angewandt. Es wird mit praktischen Beispielen begründet, warum das Oktalsystem das Dezimalsystem vorteilhaft komplett ablösen kann.

Das Verwenden von \(1/\infty\) statt 0 vermeidet die Division durch 0 und eine vage Grenzwertbildung, aber erfordert genau zu überlegen, wo überall das Ersetzen sinnvoll ist, damit kein Widerspruch bei einem Symbolwechsel entsteht. Es gestattet auch Integral und Differential für jede Operation auf den reellen und komplexen Zahlen so zu definieren, dass jede Funktion überall dort zumindest als Richtungsableitung integrierbar und differenzierbar ist, wo die Funktionswerte bestimmt sind.

Für Schönheit und Eleganz in der Mathematik lässt sich sorgen, indem das Darzustellende hinreichend durchdacht und ohne zu geizen auf die klare Essenz reduziert wird, die beide begründet und Kennzeichen des Wahren ist. Leider gibt es viel hässliches Langes in der mathematischen Welt. Es bleibt zu hoffen, dass diese Homepage viel Vergnügen mit der Mathematik und Einblick in das wahre Gute und Schöne verschaffen kann. Wer daran Gefallen findet, verwirkliche beide selbst!

© 2002-2020 by Boris Haase


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