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Mathematik

Mathematik

Die im Folgenden erzielten Ergebnisse in den Teilgebieten euklidische Geometrie, Mengenlehre, lineare Optimierung, Nichtstandardanalysis, Topologie und Zahlentheorie sind als sensationell zu bezeichnen! Bekannte Aussagen und grundlegende (im Folgenden nicht definierte) Begriffe wie Axiom, Körper usw. setzen wir wie in der einschlägigen Literatur oder bei Wikipedia beschrieben voraus und geben daher im Folgenden nur abweichende Definitionen oder solche zur Klarstellung (von mehreren möglichen).

Eingeklammerte Satzteile können abweichend vom herkömmlichen Gebrauch der näheren Erläuterung entweder stehen oder nicht: beide Bedeutungen sind gültig. Beweise werden mit \(\square\) abgeschlossen. Aufgrund der Endlichkeit unserer Welt bereitet die Behandlung des Unendlichen gewisse Schwierigkeiten. Sind Zahlen Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, dessen größter Exponent seines Arguments sein Grad ist, heißen sie algebraisch, andernfalls transzendent.

Wir können uns fragen, ob wir die Anzahl der Elemente der Menge der algebraischen Zahlen endlich oder unendlich definieren. Die Algebra lehrt, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier algebraischer Zahlen von natürlichem Grad \(m\) bzw. \(n\) algebraisch maximal vom Grad \(mn\) sind und die \(1/m\)-te Potenz einer algebraischen Zahl vom Grad \(n\) ebenfalls algebraisch maximal vom Grad \(mn\) ist. Transzendente Zahlen sind die Summe eines algebraischen Hauptteils und eines transzendenten Rests.

Untersuchen wir die Transzendenz einer Zahl und ist der Rest durch den Grenzwert einer Nullfolge \(\left({a}_{n}\right)\) gegeben, dürfen wir die Folgenwerte für große \(n\) nicht einfach weglassen: Sie sind entscheidend. Transzendente Zahlen sind alle Zahlen, die zwischen den algebraischen liegen oder jenseits von diesen. Die Mengenlehre zeigt, dass zwischen zwei dicht genug beieinander liegenden verschiedenen transzendenten Zahlen (algebraischen vom Grad \(m\)) keine algebraische Zahl (vom Grad \(< m\)) liegt.

Endliche rationale Zahlen bilden mit den unendlichen (komplex)rationalen Zahlen numerisch bereits alle reellen (komplexen) Zahlen. Daher sind algebraische und transzendente Zahlen (numerisch) kaum zu unterscheiden und Approximationen von geringer Aussagekraft über die Algebraizität (von einem bestimmten Grad). Nicht als rationale Zahl abbrechende reelle Kettenbrüche sind transzendent, da sie unendlich rational sind. Sie können algebraische Zahlen nur annähern.

Da alle reellen Zahlen (näherungsweise) (unendliche) rationale Zahlen sind, können wir sie in Echtzeit berechnen. Bei transzendenten Zahlen geben wir uns im Gegensatz zu algebraischen Zahlen, wo wir mit den zugehörigen Minimalpolynomen oder -reihen argumentieren sollten, mit einer beliebig genauen unendlich kleinen Genauigkeit zufrieden und können sie daher als rationalen Bruch mit unendlichem Zähler und Nenner ansetzen.

Die endliche Definition bietet deutliche Handhabungsvorteile und ist traditionell. Es wird gezeigt, dass die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, algebraischen, reellen oder komplexen Zahlen nicht abgeschlossen sind. Damit ist die Differenz algebraischer Zahlen nicht mehr notwendig algebraisch, was die Theorie der transzendenten Zahlen erschwert. Eine unendliche rationale und transzendente Zahl kann aus einem endlichen Kettenbruch bestehen.

Hier kann der letzte Teilnenner unendlich groß sein. Würden wir sie einer herkömmlich rationalen Zahl gleichsetzen, indem wir den letzten Teilbruch gleich Null setzen, so wäre sie gleichzeitig Lösung einer linearen Gleichung mit (unendlichen) ganzen Koeffizienten. Diese Gleichsetzung führt zu Widersprüchen, wenn die erste Gleichung von der zweiten mehrmals abgezogen und die Lösung jeder neu entstandenen Gleichung bestimmt wird.

Korrekt ist dagegen das Arbeiten mit Näherungsbrüchen. Wir können durch (herkömmlich natürliche und unendliche natürliche) Induktion zeigen, dass, mit der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen beginnend, nach Cantor bis in jede beliebige Potenz diagonalisiert werden kann, sodass alle(!) unendlichen Mengen gleichmächtig zur Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen sind, wenn wir Hilberts Translationen ins Unendliche zu Hilfe nehmen.

Dieser Widersprüchlichkeit begegnet der Satz, dass zu keiner Menge eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge existiert. Damit werden u. a. Dedekind-Unendlichkeit und Hilberts Hotel widerlegt, da die Bildmengen von Translationen jeder Menge aus dieser herausführen. Jede Anzahl der Elemente einer Menge können wir durch Bezug auf die Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen angeben. Dies leistet nur die genaue Konstruktionsvorschrift.

Es ist etwas ganz anderes, ob wir alle Vielfachen von fünf betrachten und diese Menge so konstruieren, dass jede herkömmlich natürliche Zahl mit fünf multipliziert wird, oder ob wir aus der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen alle Zahlen bis auf jede fünfte entfernen. Cantor hat solche Mengen als gleichmächtig angesehen. Betrachten wir jedoch Bijektionen richtig, ergibt sich ein anderes Bild. Das bisher um Ordinal- und Kardinalzahlen gemachte Aufheben entfällt.

Cantors Unterscheidung zwischen lediglich abzählbaren und überabzählbaren Mengen ist zu undifferenziert. Die korrekte Behandlung von Bijektionen ergibt, dass anzahlmäßig zwischen der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen und der der herkömmlich reellen Zahlen unendlich viele Mengen liegen. Damit erhält die Kontinuumshypothese eine neue Antwort. Ferner wird die asymptotische Funktion der Anzahl der algebraischen Zahlen bestimmt.

Die Menge \(\mathbb{R}\) aller reellen Zahlen ist isomorph zu einer Menge (hyper-)natürlicher bzw. ganzer Zahlen. Sie hat sowohl ein festes minimales als auch ein festes maximales Element, da wir von einer ganzheitlichen und vollständigen Betrachtung von \(\mathbb{R}\) ausgehen, woraus zusammen mit den Körperaxiomen ihre Abgeschlossenheit folgt. Andernfalls hätten wir eventuell unsere Theorie immer wieder an die Gegebenheiten anzupassen.

Zugegeben folgt aus dem herkömmlichen Irrationalitätsbeweis von \(\sqrt{2}\) eine gewisse Dialektik und die multiplikativ Inversen sind meist nur näherungsweise in \(\mathbb{R}\) enthalten. Viele der in Folgenden getroffenen Aussagen lassen sich auf Mengen mit anderen Ober- und Untergrenzen und allgemeiner auf metrische Räume übertragen. Wo dies geschehen kann, wird hier nicht detailliert ausgewiesen, da die anzustellenden Überlegungen einfach sind.

Eine Kreisscheibe ohne ihren Rand stellt herkömmlich eine offene Menge dar, weil dann jeder Punkt von ihr eine herkömmliche Umgebung hat, die ganz in dieser Menge liegt. Hierbei liegt die Vorstellung zugrunde, dass, wenn die Punkte auf einer Halbgeraden beginnend bei dem Kreisscheibenmittelpunkt betrachtet werden, es auf dieser Halbgeraden zum Rand hin immer eine (echte) Umgebung für jeden betrachteten Punkt geben muss.

Tatsächlich muss jedoch irgendwann "das Ende der Fahnenstange" erreicht sein. Es muss also einen Punkt im Inneren der Kreisscheibe geben, der keine herkömmliche Umgebung in diesem Inneren hat. Daher ist der Offenheitsbegriff bei Mengen untauglich. Wird die Einheitskreisscheibe um den Koordinatenursprung betrachtet, so ist der letzte Punkt der Halbgeraden \([0, 1[\) dual dargestellt der Punkt \(0,\overline{1}_{2}\) und der nächste Punkt ist der Randpunkt 1.

Zwischen diesen beiden Punkten liegt kein weiterer Punkt. Ersterer hat keine Umgebung, die im Kreisscheibeninneren liegt, obwohl er ein innerer Punkt ist. Aus diesem Grund ist die Kreisscheibe ohne Rand ebenfalls abgeschlossen, da die letzten Punkte der Halbgeraden vom Kreisscheibenmittelpunkt aus gerade den Abschluss als Rand bilden. Da auf ihrem Rand keine Umgebung existiert, ist auch eine abgeschlossene Menge im euklidischen Raum sinnlos.

Somit gilt, dass zumindest im euklidischen Raum jede offene Menge zugleich abgeschlossen ist, was diese Begriffe ad absurdum führt. Dies hat bisher nicht weiter gestört, da die infinitesimalen Größen bisher nicht ausdifferenziert betrachtet, also insbesondere die Zahlen 1 und \(0,\overline{1}_{2}\) gleichgesetzt wurden. Dies ist jedoch nicht korrekt wie in der Mengenlehre erläutert wird, da hier sonst Algebraizität (1) und Transzendenz \((0,\overline{1}_{2})\) gleichgesetzt werden.

Das Absurde wird auch daran deutlich, dass ein unendlicher Durchschnitt offener Mengen wie der aller offenen konzentrischen Kreisscheiben eine abgeschlossene Menge bilden kann (den gemeinsamen Kreisscheibenmittelpunkt). Eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen kann eine offene Menge wie eine offene Kreisscheibe als Vereinigung aller deren Punkte als abgeschlossenen Mengen bilden.

Eine 0-dimensionale Menge (Punkt) ist deswegen offen, weil hier jede Umgebung ebenfalls aus einem Punkt besteht. Deshalb ist sogar die leere Menge \(\emptyset\) abgeschlossen und als Folge der gesamte euklidische Raum. Mithilfe von Kugeln lässt sich das Gesagte leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Begriffe innerer bzw. äußerer Punkt erweisen sich jedoch als sinnvoll, wenn wir beliebige infinitesimale Radien zulassen, deren reziproker Wert also unendlich ist.

Da ein absurder bzw. sinnloser Spezialfall auch den allgemeinen Fall hier absurd bzw. sinnlos macht, sollte auch bei metrischen und topologischen Räumen Offenheit bzw. Abgeschlossenheit von Mengen nicht betrachtet werden, zumal insbesondere die herkömmliche Definition des topologischen Raumes seltsam inhaltsleer und willkürlich anmutet, während die Begriffe innerer und äußerer Punkt sowie Randpunkt nach wie vor sinnvoll und angemessen sind.

Der Riemannsche Umordnungssatz ist ungültig, da wir beim Aufsummieren positiver Summanden zu einem angestrebten Wert so viele negative zu addieren gezwungen sind, bis wir wieder die ursprüngliche Reihensumme erreichen und umgekehrt. Bei einem kleineren bzw. größeren Wert als der Summe der positiven bzw. negativen Summanden gilt das Gleiche, da der Rest nahezu annulliert wird usf. Wollen wir Irrwege vermeiden, darf mit der Unendlichkeit nicht willkürlich umgegangen werden.

Wer etwas in die Unendlichkeit verlagert, darf dessen Existenz nicht vernachlässigen. Die Definition des exakten Integrals in der Nichtstandardanalysis nach einer Rechteckregel erfordert eventuell Fehlerabschätzungen (s. Literatur zur Numerischen Mathematik). Beachtenswert ist, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Es gibt alternative Definitionen zum exakten Volumenintegral. Am einfachsten zu handhaben sind jedoch die ursprünglichen Definitionen.

Ggf. bietet sich eine geeignete Landau-Notation an. Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches, so werde es durch die zu ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb des Definitionsbereiches ersetzt. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus allen diesen Zahlen oder wir wählen eine aus (z. B. nach einer einheitlichen Regel). Eigentliches Integrieren (als Umkehrung der Ableitung) macht nur für stetige Funktionen Sinn, wenn es über bloßes Summieren hinausgehen soll.

Können wir jedoch Funktionswerte zu endlich vielen stetigen Funktionen zusammenfassen, für deren jede die Stammfunktion in endlicher Zeit angegeben werden kann, lässt sich auch das Integral für unstetige Funktionen so berechnen, ggf. unter Verwendung der Euler-Maclaurinschen Summenformel und weiterer Vereinfachungstechniken. Das exakte Integral ist allgemeiner gültig als Riemann-, Lebesgue-(Stieltjes-)Integral und weitere Integrale.

Die letzteren existieren nur in herkömmlich messbaren Mengen und Funktionswerte können Werte überspringen, die dann nicht gemessen werden. Die Überlegenheit der Nichtstandardanalysis und die Stärke der Verwendung infinitesimaler bzw. unendlicher Werte verdeutlichen die dort gegebenen fünf Beispiele. Die Beispielfunktionen sind nur wegen der Anschaulichkeit so einfach. Insbesondere geht es um herkömmlich nicht messbare, unkonkrete und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen.

Die Definition der reellen Zahlen durch Dedekindsche Schnitte ist ebenso ungeeignet wie durch die Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Die herkömmliche Differentiation und Integration verwischen durch herkömmliche Grenzwertbildung die genaue Unterscheidung von Transzendenz und Algebraizität. Dies ist z. B. für die exakte Bestimmung von Nullstellen problematisch. Daher können wir die herkömmliche Analysis in der bestehenden Form nicht aufrecht erhalten und verfahren anders.

Da jeder natürlichen Zahl n individuelle n-heit zukommt, die nicht aus ihren Vorgängern oder Nachfolgern abgeleitet werden kann, gibt es kein vollständiges Axiomesystem der Mathematik, da mit jeder neuen Zahl etwas irreduzibel Neues entsteht. Jedoch bei Beschränkung auf ausgewählte Aspekte können wir ein endliches Axiomesystem für endlich viele Entitäten angeben. Jede Unendlichkeitsstufe verwehrt Vollständigkeit erst recht.

Mathematik ist nicht wertfrei. Theorien basieren auf Voraussetzungen. In der Mathematik werden sie gerne in (falsch oder wahr zu erweisende) Axiome gefasst. Damit sind alle Theorien unvollständig und eventuell darüber hinaus widersprüchlich. Statt expliziter Axiome eignen sich (implizite) Definitionen besser, in denen die Existenz des Angegebenen bei allen daraus entstehenden Schwierigkeiten stillschweigend bis zur Widerlegung vorausgesetzt wird.

Die euklidische Geometrie gibt drei Definitionen, die einige Axiome infrage stellen und dabei Ergebnisse der Mengenlehre verwenden. Bei der Frage der gerechten Verteilung von Personen geht es weniger um den theoretischen Gehalt als um die praktische Anwendung. Hier wird eine Tabellenkalkulation eingesetzt. Die Mengenlehre definiert einige neue Mengen und gibt generell deren Anzahl an, insbesondere die der algebraischen Zahlen.

Die Nichtstandardanalysis definiert Integration, Differentiation, Stetigkeit, Konvergenz und Grenzwert für endliche und unendliche (herkömmlich nicht messbare) Mengen (ggf. unter Berücksichtigung von deren Homogenität) sowie für unstetige Funktionen neu und gibt Beispiele an, um bessere, genauere, elegantere oder schlichtweg korrekte mathematische Aussagen (auch für bekannte Sätze der Analysis) zu erhalten. Sie löst das Maßproblem.

Die Ratschläge sind Ergebnisse meiner mathematischen Erfahrung und behandeln geeignete Wege und Vorgehensweisen zur Lösung von mathematischen Problemstellungen. Die Topologie definiert den (einfachen) Zusammenhang von Mengen neu und erweist die reellen und komplexen Zahlen lediglich als Räume mit Fréchet-Topologie bzw. spricht deren Hausdorffeigenschaft ab.

Die lineare Optimierung beweist zuerst den Durchmessersatz für Polytope. Es wird dem bekannten exponentiellen Simplexverfahren mit einer neuen Perturbationsmethode das polynomielle Intexverfahren gegenübergestellt, das auch lineare Gleichungssysteme löst. Im Internet kann in einem Bereich ein lineares Programm als Tabelle eingegeben werden, das in einem zweiten Bereich gelöst wird. Eine zweite Lösung wird ausgegeben, falls sie existiert.

In der Zahlentheorie werden notwendige und hinreichende Kriterien für transzendente Zahlen mit Beispielen angegeben. Bewiesen werden der Schranken-, Koeffizienten- und Approximationssatz sowie das Größte-Primzahl-Kriterium. Widerlegt werden der Satz von Thue-Siegel-Roth und die abc-Vermutung. Die Vermutung von Littlewood wird widerlegt und herkömmlich bewiesen. Die Vermutung von Alaoglu und Erdős wird bewiesen und die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung wird widerlegt.

In der Zeitrechnung wird gezeigt, wie das Oktalsystem praktisch weltweit angewendet werden kann und welche Vorteile sich daraus ergeben. Neben Einführung eines neuen Kalenders und einer neuen Uhrzeitberechnung wird das Oktalsystem auch auf die SI-Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) angewandt. Es wird mit praktischen Beispielen begründet, warum das Oktalsystem das Dezimalsystem vorteilhaft komplett ablösen kann.

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