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Euklidische Geometrie • Gerechtes Verteilen • Lineare Optimierung • Mengenlehre • Nichtstandardanalysis • Ratschläge • Topologie • Zahlentheorie • Zeitrechnung  (Vorherige | Nächste)



Mathematik

Mathematik

Die im Folgenden erzielten Ergebnisse im Bereich euklidische Geometrie, Mengenlehre, lineare Optimierung, Nichtstandardanalysis und Zahlentheorie sind als sensationell zu bezeichnen! Aufgrund der Endlichkeit unserer Welt bereitet die Behandlung des Unendlichen gewisse Schwierigkeiten. Eine Schwierigkeit ist die Frage, ob die Anzahl der Elemente der Menge der algebraischen Zahlen endlich oder unendlich definiert werden soll.

Die endliche Definition bietet deutliche Handhabungsvorteile und ist traditionell. Es wird gezeigt, dass die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, algebraischen, reellen oder komplexen Zahlen nicht abgeschlossen sind. Damit ist die Differenz algebraischer Zahlen nicht mehr notwendig algebraisch, was die Theorie der transzendenten Zahlen erschwert. Eine unendliche rationale und transzendente Zahl kann aus einem endlichen Kettenbruch bestehen.

Hier kann der letzte Teilnenner unendlich groß sein. Würden wir sie einer herkömmlich rationalen Zahl gleichsetzen, indem wir den letzten Teilbruch gleich Null setzen, so wäre sie gleichzeitig Lösung einer linearen Gleichung mit (unendlichen) ganzen Koeffizienten. Diese Gleichsetzung führt zu Widersprüchen, wenn die erste Gleichung von der zweiten mehrmals abgezogen und die Lösung jeder neu entstandenen Gleichung bestimmt wird.

Korrekt ist dagegen das Arbeiten mit Näherungsbrüchen. Wir können durch (herkömmlich natürliche und unendliche natürliche) Induktion zeigen, dass, mit der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen beginnend, nach Cantor bis in jede beliebige Potenz diagonalisiert werden kann, sodass alle(!) unendlichen Mengen gleichmächtig zur Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen sind, wenn wir Hilberts Translationen ins Unendliche zu Hilfe nehmen.

Dieser Widersprüchlichkeit begegnet der Satz, dass zu keiner Menge eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge existiert. Damit werden u. a. Dedekind-Unendlichkeit und Hilberts Hotel widerlegt, da die Bildmengen von Translationen jeder Menge aus dieser herausführen. Jede Anzahl der Elemente einer Menge können wir durch Bezug auf die Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen angeben. Dies leistet nur die genaue Konstruktionsvorschrift.

Es ist etwas ganz anderes, ob wir alle Vielfachen von fünf betrachten und dabei die zugehörige Menge so konstruieren, dass jede herkömmlich natürliche Zahl mit fünf multipliziert, oder ob wir aus der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen alle Zahlen bis auf jede fünfte herausstreichen. Cantor hat solche Mengen als gleichmächtig angesehen. Betrachten wir jedoch Bijektionen richtig, ergibt sich ein anderes Bild.

Cantors Unterscheidung zwischen lediglich abzählbaren und überabzählbaren Mengen ist zu undifferenziert. Die korrekte Behandlung von Bijektionen ergibt, dass anzahlmäßig zwischen der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen und der der herkömmlich reellen Zahlen unendlich viele Mengen liegen. Damit erhält die Kontinuumshypothese eine neue Antwort. Ferner wird die asymptotische Funktion der Anzahl der algebraischen Zahlen bestimmt.

Da jeder natürlichen Zahl n individuelle n-heit zukommt, die nicht aus ihren Vorgängern oder Nachfolgern abgeleitet werden kann, gibt es kein vollständiges Axiomesystem der Mathematik, da mit jeder neuen Zahl etwas irreduzibel Neues entsteht. Jedoch bei Beschränkung auf ausgewählte Aspekte können wir ein endliches Axiomesystem für endlich viele Entitäten angeben. Jede Unendlichkeitsstufe verwehrt Vollständigkeit erst recht.

Mathematik ist nicht wertfrei. Theorien basieren auf Voraussetzungen. In der Mathematik werden sie gerne in (falsch oder wahr zu erweisende) Axiome gefasst, Damit sind alle Theorien unvollständig und eventuell darüber hinaus widersprüchlich. Statt expliziter Axiome eignen sich (implizite) Definitionen besser, in denen die Existenz des Angegebenen bei allen daraus entstehenden Schwierigkeiten stillschweigend bis zur Widerlegung vorausgesetzt wird.

Die euklidische Geometrie gibt drei Definitionen, die einige Axiome infrage stellen und dabei Ergebnisse der Mengenlehre verwenden. Bei der Frage der gerechten Verteilung von Personen geht es weniger um den theoretischen Gehalt als um die praktische Anwendung. Hier wird eine Tabellenkalkulation eingesetzt. Die Mengenlehre definiert einige neue Mengen und gibt generell deren Anzahl an, insbesondere die der algebraischen Zahlen.

In der Nichtstandardanalysis werden Integration, Differentiation, Stetigkeit, Konvergenz und Grenzwert für endliche und unendliche (herkömmlich nicht messbare) Mengen (ggf. unter Berücksichtigung von deren Homogenität) sowie für unstetige Funktionen neu definiert und Beispiele angegeben, um bessere, genauere, elegantere oder schlichtweg korrekte mathematische Aussagen (auch für bekannte Sätze der Analysis) zu erhalten.

Die Ratschläge sind Ergebnisse meiner mathematischen Erfahrung und behandeln geeignete Wege und Vorgehensweisen zur Lösung von mathematischen Problemstellungen. In der Topologie werden die Begriffe der Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen ad absurdum geführt sowie die reellen und komplexen Zahlen lediglich als Kolmogoroff-Räume erwiesen bzw. deren Hausdorffeigenschaft abgesprochen.

Die lineare Optimierung beweist zuerst den Durchmessersatz für Polytope. Es wird dem bekannten exponentiellen Simplexverfahren mit einer neuen Perturbationsmethode das polynomielle Intexverfahren gegenübergestellt, das auch lineare Gleichungssysteme löst. Im Internet kann in einem Bereich ein lineares Programm als Tabelle eingegeben werden, das in einem zweiten Bereich gelöst wird. Eine zweite Lösung wird ausgegeben, falls sie existiert.

In der Zahlentheorie werden notwendige und hinreichende Kriterien für transzendente Zahlen mit Beispielen angegeben. Es werden elementar der Satz von Gelfond-Schneider und die Vermutung von Alaoglu und Erdős bewiesen. Dann wird die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung auch elementar bewiesen, aus der sich ein scharfer Primzahlsatz und die ternäre Goldbachsche Vermutung sowie zahlreiche weitere hier nicht aufgeführte Sätze ergeben.

In der Zeitrechnung wird gezeigt, wie das Oktalsystem praktisch weltweit angewendet werden kann und welche Vorteile sich daraus ergeben. Neben Einführung eines neuen Kalenders und einer neuen Uhrzeitberechnung wird das Oktalsystem auch auf die SI-Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) angewandt. Es wird mit praktischen Beispielen begründet, warum das Oktalsystem das Dezimalsystem vorteilhaft komplett ablösen kann.

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