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Mengenlehre

Mengenlehre

Definition: Zwei Entitäten seien identisch, wenn wir sie nicht unterscheiden wollen. Die Gesamtheit nicht-identischer Entitäten wird als Menge \(S\) von Elementen mit \(|S|\) als deren Anzahl \(n\) bezeichnet, die leere Menge mit \(\emptyset\). Lässt sich \(S \ne \emptyset\) sukzessive die aufgerundete Hälfte der verbliebenen Elemente entnehmen, bis \(S\) leer ist, so ist \(n\) endlich, andernfalls unendlich. Zwischen den endlichen und unendlichen befinden sich die unkonkreten Zahlen. Es bleibe offen, ob es aktual unendliche Mengen gibt oder nur potentiell unendliche.

Bemerkung: Ein abrupter Übergang von endlichen zu unendlichen Zahlen ist schwer begründbar. Herkömmlich definieren hinlänglich bekannte Axiome die reellen Zahlen als total geordneten Körper und die komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit \(i\) als Körper. Analog lassen sich Addition, Multiplikation und deren Inversenbildung in die umfassendsten und per Definition abgeschlossenen Oberkörper \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C} := \mathbb{R} + i\mathbb{R}\) von beiden fortführen. Eine Ausdehnung auf weitere Operationen ist möglich.

Definition: Die Menge aller natürlichen Zahlen \(\mathbb{N} := \mathbb{N}^{*} \cup \{0\}\) definieren wir durch Elemente, die aus sukzessivem Addieren von 1 zu 0 entstehen, die aller Primzahlen \(\mathbb{P}\), indem wir die zusammengesetzten Zahlen von \(\mathbb{N}_{\ge 2}\) entfernen, die aller ganzzahligen Zahlen \(\mathbb{Z}\) indem wir die additiv Inversen von \(\mathbb{N}^{*}\) zu \(\mathbb{N}\) hinzunehmen, die aller rationalen \(\mathbb{Q}\), indem wir die Brüche mit Zähler aus \(\mathbb{Z}^{*}\) und Nenner aus \(\mathbb{N}^{*}\) zu \(\mathbb{Z}\) hinzunehmen. Die Menge aller komplexrationalen Zahlen sei \(\mathbb{Q} + i\mathbb{Q}\).

Satz: Für alle \(b \in \mathbb{N}_{\ge2}\) ist die \(b\)-adische Entwicklung einer reellen Zahl eindeutig bestimmt.

Beweis: Die Behauptung folgt ohne Zusatzbedingungen aus der geometrischen Reihe.\(\square\)

Satz: Für alle \(b \in \; ]1, 2[\) ist die \(b\)-adische Entwicklung aller reellen Zahlen \(\ne 0\) mehrdeutig.

Beweis: Die Behauptung folgt aus dem Ersetzen einiger Einsen in \(0,{\overline{1}}_{b} > {1}_{b}.\square\)

Definition: Die Basis 2 erfüllt die Minimalitätseigenschaft. Dualzahlen werden mit \(d\) vor den zugehörigen Mengen gekennzeichnet. Für eine Konstante oder Variable (hier: \(a \in \mathbb{C}\)) seien \(\acute{a} := a - 1\) und \(\grave{a} := a + 1\). Für einen Ausdruck (hier: \(e \in \mathbb{C}^*\)) sei \(\hat{e} := 1/e\). Seien \(c := 2^\hslash\) mit \(\hslash \in \mathbb{N}^{*}\) die größte endliche, \(\omega := 2^\ell\) mit \(\ell \in \mathbb{N}^{*}\) die größte unkonkrete und \(\varsigma := 2^\wp\) mit \(\wp \in \mathbb{N}^{*}\) die größte unendliche reelle Zahl nach dem Auffüllungsprinzip für {0, 1} bei den Dualzahlen.

Definition: Sei d0 \(:= 2^{-\wp} = \min \mathbb{R}_{>0} \) der Minimalabstand von 0. Seien \(\hslash, \ell\) und \(\wp\) für \(n \in \mathbb{N}^{*}\) von der Form \(x_{\grave{n}} := x_n^2\) mit \(x_0 := 2.\) Zwecks Klarstellung geben wir die Trägermenge hinter einem Intervall an. Es sei \({}^{\omega}\mathbb{R} := [-\omega, \omega]\mathbb{R}\) und \({}^{\omega}\mathbb{C} := {}^{\omega}\mathbb{R} + i{}^{\omega}\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). Geht \({}^{\omega}\) einer reellen bzw. komplexen Menge voran, bedeutet dies im Folgenden den Durchschnitt mit \([-\omega, \omega]\mathbb{R}\) bzw. \({}^{\omega}\mathbb{C}\). Diese Menge enthält dann nur nicht-unendliche Elemente. Analoges gilt für \({}^{c}\) mit \([-c, c]\mathbb{R}\) bzw. \({}^{c}\mathbb{C}\).

Bemerkung: Die mit \({}^{c}\) gekennzeichneten Mengen entsprechen den herkömmlichen ohne \({}^{c}\). Durch die Definition und damit Begrenzung über \(c\) bzw. \(\omega\) verlieren diese Mengen offenbar ihre Abgeschlossenheit. Zu den fast willkürlichen Definitionen einer größten endlichen bzw. (nicht-) unendlichen reellen Zahl, gibt es keine überzeugende Alternative. Unsere Konstruktion umfasst sowohl die herkömmlich hyperreellen als auch die herkömmlich surrealen Zahlen. Die existierende Menge aller Mengen ist unveränderlich.

Bemerkung: Die Anzahl der Elemente einer unkonkreten oder unendlichen Menge können wir nur bei Vorliegen ihrer Konstruktion eindeutig bestimmen. Dann lässt sich die Menge in Beziehung zu \({}^{\omega}\mathbb{N}\) setzen, die aufgrund ihrer einfachen Konstruktion als Basis dienen kann. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten nehmen bzw. geben wir die plausibelste an, um die Nicht-Endlichkeit bestmöglich im Sinne der Differenzierung wiederzugeben.

Definition: Sei \(\in\) irreflexiv und asymmetrisch, hingegen \(\subseteq\) Teilordnungsrelation. Zwei Mengen seien genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten (Extensionalität). Die Menge \(Y\) heißt Vereinigung der Menge \(X\), wenn sie genau die Elemente der Elemente von \(X\) als Elemente enthält. Sei \(\mathcal{P}(X) := \{Y : Y \subseteq X\}\) die Potenzmenge der Menge \(X\). Jede Zahl aus \(\mathbb{C}^{*}\) mit unendlichem Betrag ihres Kehrwertes heißt infinitesimal.

Definition: Die Forderung, dass es keine zyklischen Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine als Element in der vorangegangenen enthalten ist, heißt Zyklenfreiheit. Die Forderung, dass eine Menge \(X\) bei einer eindeutigen Ersetzung jedes Elementes von \(X\) durch eine beliebige Menge in eine Menge übergeht, heißt Ersetzbarkeit. Die Menge \(Y\) heißt Auswahl aus einer Menge \(X\) von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, wenn sie genau ein Element aus jedem Element von \(X\) enthält (Forderung der Auswählbarkeit).

Satz: Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge \(X \subseteq Y\) ein Element \(x_0\) enthält, sodass \(X\) und \(x_0\) disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.

Beweis: Wir setzen \(X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}\) und \(x_{\acute{n}} := \{x_n\}\) mit \(m \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}.\square\)

Bemerkung: Mit \(x_{\omega} := \{x_0\}\) statt \(x_{\omega} := \{x_1\}\) ist \(X\) eine unendliche Kette. Alle obenstehenden Definitionen legen die hier vertretene Mengenlehre fest, die ohne echte Klassen auskommt. Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist falsch, da er auf dem sophistischen und nicht-belastbaren Gödelsatz "Ich bin nicht beweisbar." beruht. Die Selbstreferenz macht das Diagonalargument für das Halteproblem unzulässig (s. Theoretische Informatik). Aus den Gesetzen und der Widerspruchsfreiheit der Logik folgt daher der

Satz: Die Konsistenz und Vollständigkeit jedes hinreichend präzise spezifizierten formalen Systems ist beweisbar.\(\square\)

Definition: Die Summe \(p(z)=\sum\limits_{k=0}^{\acute{m}}{{{a}_{k}}{{z}^{k}}}\) mit \(z \in \mathbb{C}\) und \(m \in \mathbb{N}^*\) heißt \(m\)-Polynom, falls die Anzahl der Koeffizienten mit bspw. \({a}_{k} \in {}^{c}\mathbb{Z}\) oder \({a}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{Z}\) und \(k \in \mathbb{N}_{<m}\) und \({a}_{k} \ne 0\) endlich ist, andernfalls \(m\)-Reihe. Dann heißt \(\deg(p) := \acute{m}\) für \({a}_{k} \ne 0\) der Polynom- bzw. Reihengrad von \(p\). Für das Nullpolynom \(p = 0\) sei \(\deg(p) := -1\).

Definition: Die Zahlen \(z \in \mathbb{C}\), die die Summe auf null setzen (sogenannte Nullstellen des Polynoms oder der Reihe), bezeichnen wir als \(m\)-algebraisch. Die zugehörigen Mengen heißen \({}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}\) im reellen Fall und \({}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}\) im komplexen. Im Spezialfall \({a}_{\deg(p)} = 1\) sprechen wir von \(m\)-ganzalgebraischen Zahlen. Die Zahlen \(z \in \mathbb{C}\), die kein \(m\)-Polynom bzw. keine \(m\)-Reihe auf null setzen, heißen \(m\)-transzendent. Für \(m := c\) liegt herkömmliche Transzendenz vor.

Definition: Wir notieren \(m\)-algebraische Zahlen durch \({(m, {a}_{k-1}, {a}_{k-2}, ..., {a}_{1}, {a}_{0}; r, i; \#n, \&q; v, p)}_{s}\), wobei wir mit \(r = i = {a}_{0} = 0\) die Zahl 0, mit \(r \in {}^{c}\mathbb{N}^{*} (-{}^{c}\mathbb{N}^{*})\) eine Nullstelle mit dem \(r\).-größten (\(|r|\).-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit \(r = 0, i \in {}^{c}\mathbb{N}^{*} (-{}^{c}\mathbb{N}^{*})\) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem \(i\).-größten (\(|i|\).-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen algebraischen Zahlen analog darstellen: Hier hat \(r\) Vorrang vor \(i\).

Definition: Die Bezeichnung \(\#n\) gibt die Anzahl \(n \in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) der Nullstellen an, wenn wir für mindestens ein \({a}_{j}\) eine Variable einsetzen, \(\&q\) die Anzahl \(q \in {}^{c}\mathbb{N}\) der mehrfachen Nullstellen. Bei einem \(k\)-Minimalpolynom (mit \({a}_{0} = 0\) nur für das Nullpolynom) oder einer \(k\)-Minimalreihe steht < für die Spezifikation \(s\), sonst >. Wir geben den numerischen Wert durch \(v\) mit der Genauigkeit \(p\) wieder.

Bemerkung: Unterscheiden wir mehrfache Nullstellen nicht, können wir die Nullstellen eines \(k\)-Polynoms oder einer \(k\)-Reihe mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalordnen. Die Angaben \(r, i, \#n, \&q, v, p\) und \(s\) sind ggf. entbehrlich wie z. B. für rationale Zahlen. Die \((c+2)\)-Tupel \((0, ..., 0, {a}_{k-1}, ..., {a}_{0}; r, i{)}_{<}\) mit natürlichen \({a}_{j}\) wohlordnen die algebraischen Zahlen lexikalisch streng.

Beispiele: Die endlichen Zahlen \((c; 1, 0, 0, 0, -1{)}_{>}\) sind gegeben als \(1, -1, i\) und \(-i\). Die endliche Goldene Zahl \((1 + \sqrt{5})/2\) lässt sich mit \((c; 1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, {10}^{-6}{)}_{<}\) notieren. Die Zahl \(0,\overline{1} = 0,1...1\) mit \(\omega\) Einsen hinter dem Komma ist unkonkret und verschieden von der endlichen Zahl \(\hat{9}\), da 9 \(\times \; 0,\overline{1} = 0,9...9 = 1 - {10}^{-\omega} \ne 1\) ist. Daher ist sie \(\omega\)-transzendent (vgl. Zahlentheorie) und lässt sich mit (\(\omega, 9 \times {10}^{\omega}, 1 - {10}^{\omega})\) notieren.

Satz: Zu keiner Menge gibt es eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge.

Beweis: Wir beweisen dies durch transfinite Induktion, indem wir sukzessive ein Element hinzufügen. Dabei beginnen wir mit der einelementigen Menge und schreiten über mehrelementige Mengen fort. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir aus einer Menge ein Element entfernen und eine Bijektion zu der entstandenen Menge finden wollen: Es gibt keine, weil wir das fehlende Element nicht ersetzen können. Die transfinite Induktion beweist den Rest.\(\square\)

Satz: Für die Bijektivität der Abbildung \(f: X \rightarrow X\) mit beliebigen Funktionen \(f\) und Mengen \(X\) reicht Injektivität bzw. Surjektivität aus.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus der paarweisen Verschiedenheit aller (Ur-)Bilder.\(\square\)

Bemerkung: Die Nachfolgerabbildung \(s\) in \({}^{\omega}\mathbb{N}\) gehört wegen \(s: {}^{\omega}\mathbb{N} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} \cup \{\grave{\omega}\}\) nicht dazu.

Behauptung: Das Cantor-Polynom \(P(m, n) := ({(m + n)}^{2} + 3m + n)/2\) bildet \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) bijektiv auf \({}^{\omega}\mathbb{N}\) ab.

Widerlegung: Es gilt \(P(\omega, \omega) = 2\omega\grave{\omega} >\omega = \max \; {}^{\omega}\mathbb{N}.\square\)

Bemerkung: Ebenso wird die Fueter-Pólya-Vermutung widerlegt. Wird die Menge \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) durch \(\{(m, n) \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{2} : m + n \le k \in {}^{\omega}\mathbb{N}\}\) mit \(k(k + 3) = 2\omega\) ersetzt, gilt die Behauptung. Da eine Menge isomorph zu sich selbst ist, sind es auch ihre sekundären Eigenschaften, solange wir diese eindeutig ableiten können. Stimmen letztere also nicht überein, können zwei Mengen nicht isomorph sein.

Folgerung: Damit sind insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument widerlegt, da \(\mathbb{N}\) eine echte Teilmenge von \(\mathbb{Q}\) ist. Gleiches gilt für das Banach-Tarski-Paradoxon. Eine Translation einer unendlichen Menge führt immer aus dieser Menge heraus. Dies widerlegt Hilberts Hotel. Zur Kontinuumshypothese ist festzustellen, dass es unendlich viele Mengen gibt, deren Anzahl der Elemente zwischen \(|{}^{c}\mathbb{N}|\) und \(|{}^{c}\mathbb{R}|\) liegt.

Definition: Die Kreiszahl \(\pi\) sei definiert als Flächeninhalt oder als halber Umfang des Einheitskreises. Sei \(\iota := \pi/2\). Die Eulersche Zahl \(e\) sei definiert als Lösung der Gleichung \({x}^{i\pi} = -1\). Dann sei eine Logarithmusfunktion ln definiert durch \({e}^{\ln \, z} = z\) und die zugehörige Potenzfunktion durch \({z}^{s} = {e}^{s \, \ln \, z}\) mit komplexen \(s\) und \(z\). Die Exponentiation lässt sich so (symbolisch) definieren. Rechnerisch werden wir uns in der Regel mit Näherungen begnügen müssen.

Bemerkung: Die vorstehende Definition ist \(\mathcal{O}(\hat{c})\) größer als die mögliche von \(e := {(1 + \hat{c})}^{c}\): Die exakt differenzierte Exponentialreihe mit möglichst vielen Gliedern rechtfertigt erstere. Die genannte Abweichung kann sich beim genauestmöglichen Rechnen negativ auswirken. Wir können zu den reellen Zahlen das Symbol \(\infty \gg \varsigma^2\) adjungieren, mit dem sich wie mit einer Konstanten rechnen lässt. Ersetzen wir \(\pm0\) durch \(\pm\hat{\infty}\), werden unsere Berechnungen eindeutig und widerspruchsfrei.

Bemerkung: Dies vermeidet die Division durch 0 und eine vage Grenzwertbildung, aber wir sollten uns genau überlegen, wo überall die Ersetzung sinnvoll ist, und nicht beliebig zwischen den Symbolen wechseln. Damit können Integral und Differential für jede Operation auf den reellen und komplexen Zahlen so definiert werden, dass jede Funktion überall dort zumindest als Richtungsableitung integrierbar und differenzierbar ist, wo die Funktionswerte bestimmt sind (s. Nichtstandardanalysis).

Bemerkung: Es seien \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) der maximal zugelassene Polynomgrad und \(n \in {}^{c}\mathbb{N}\) der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten \({a}_{k}\) der Polynome \({a}_{m}{x}^{m} + {a}_{\acute{m}}{x}^{\acute{m}} + ... + {a}_{1}x + {a}_{0}\) mit \(k \in {}^{c}\mathbb{N}_{\le m}\) annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die \({a}_{k}\) voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der algebraischen Zahlen entspricht der Anzahl der Nullstellen der so definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt \({a}_{m} > 0\) und \({a}_{0} \ne 0\).

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen: Für die Anzahl \(\mathbb{A}(m, n)\) der algebraischen Zahlen (vom Polynom- oder Reihengrad \(m\) und damit allgemein) gilt die asymptotische Gleichung\[\mathbb{A}(m, n) = \widehat{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}\text{(ln }n) \right),\]wobei \(\zeta\) für die Riemannsche Zetafunktion steht und \(z(m)\) die (durchschnittliche) Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis: Der Fall \(m = 1\) gilt nach [455] und es ist der Korrekturterm \(\mathcal{O}(n \, \ln \, n)\) notwendig, um die Anzahl der rationalen Zahlen über die eulersche \(\varphi\)-Funktion zu \(4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1\) berechnen. Für \(m > 1\) ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm \(\mathcal{O}(\ln \, n)\) noch den Hauptterm. Der Faktor \(1/\zeta(\grave{m})\) sorgt für die Elimination der Polynome oder Reihen mit \(\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, ... , {a}_{m}) \ne 1\). Um Vielfache der Primzahl \(p\) zu eliminieren, ist die Anzahl der Polynome oder Reihen mit \((1 - {p}^{-\grave{m}})\) zu multiplizieren. Produktbildung über alle Primzahlen und Entwicklung der Faktoren in geometrische Reihen liefert nach Ausmultiplizieren den Faktor \(1/\zeta(\grave{m})\). Ist genau ein Koeffizient 0, wäre \(\zeta(\grave{m})\) durch \(\zeta(m)\) zu ersetzen. Diese Ersetzung ist durch den Korrekturterm ebenso abgedeckt wie die Polynome oder Reihen, bei denen mehr als ein Koeffizient 0 ist. Daraus folgt die Behauptung.\(\square\)

Beispiele: Für \(m = 1\) erhalten wir \(3(\hat{\iota}n)^{2}+\mathcal{O}(n \text{ ln }n)\) rationale Lösungen. Für \(m = 2\) ergeben sich \({\frac{9}{2}n}^{3}/\zeta(3) + \mathcal{O}({n}^{2}\ln \, n)\) reelle Lösungen, da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der \(a\)-\(b\)-\(c\)-Formel zwei reelle Nullstellen mit einer Wahrscheinlichkeit von \({\frac{9}{16}}\) hat. Für \({a}_{m} = 1\) gibt es \(z(m){(2n+1)}^{\acute{m}}(2n + \mathcal{O}(\ln \, n))\) ganzalgebraische Lösungen.

Bemerkung: Im komplexen Fall gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra (s. Nichtstandardanalysis) \(z(m) = m\). Im reellen Fall ist \(z(m)\) asymptotisch gleich \(\hat{\iota} \, \ln \, m + \mathcal{O}(1)\) nach (Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation. II.; Proc. London Math. Soc. 50; 1949; 390 - 408).

Beispiele: Für \(m = n = \acute{c} =: e^{\mathrm{\nu}} =: \acute{\kappa}/2\) gilt \(|{}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}| = \frac{\mathrm{\nu}}{\mathrm{\iota}}{\mathrm{\kappa}^{\acute{c}}}\left(c+\mathcal{O}(\mathrm{\nu})\right)\) und \(|{}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{C}}| = {\frac{1}{2}} {\kappa}^c\left(c+\mathcal{O}(\mathrm{\nu})\right)\).

Lemma: Das Archimedische Axiom gilt für unendlich viele Zahlen aus \({}^{c}\mathbb{R}\) nicht.

Beweis: Für alle \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) und \(a \in {}^{c}{\mathbb{R}}_{\ge 1}\) gilt \(\hat{c} m \le 1 \le a.\square\)

Archimedischer Satz: Es gibt ein \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) mit \(d m > a\) genau dann, wenn mit \(a, d \in {\mathbb{R}}_{>0}\) für \(a > d\) zumindest \(d c > a\) gilt, da \(c = \max {}^{c}\mathbb{N}\) ist.\(\square\)

Definition: Der eventuell irreführende Begriff der Abzählbarkeit soll nicht verwendet werden. Sei \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\). Zwei verschiedene Punkte \(x\) und \(y\) einer Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) heißen benachbart, wenn mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) für alle Punkte \(z \in M\) gilt: \(||x - y|| \le \max \; \{||x - z||, ||y - z||\}\). Die Teilmengen von \(\mathbb{K}^{n}\) heißen lückenlos, wenn alle benachbarten Punkte darin den Minimalabstand d0 haben.

Definition: Eine reelle Menge \(M \ne \emptyset\) heißt \(h\)-homogen, wenn jeder Minimalabstand ihrer verschiedenen Punkte \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) ist, und wird \(h\)-\(M\) notiert. Eine \(n\)-dimensionale Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) heißt \(h\)-homogen, falls sie dies in jeder Dimension ist. Für Teilmengen von \(\mathbb{C}^{n}\) erfolgen die Definitionen analog. Eine Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) heißt dicht in \(\mathbb{K}^{n}\), falls zu jedem \(x \in \mathbb{K}^{n}\) ein Punkt \(y \in M\) existiert mit \(||x - y|| =\) d0.

Bemerkung: Wenn wir eine Menge \(h\)-homogenisieren, tragen wir \(h\) vom Ursprung ausgehend in jeder Dimension ab und runden zwischen diesen Zahlen liegende Elemente auf die \(h\)-homogenen Elemente auf oder ab. Es gilt zudem \({}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{Q}} \subset {}^{c}\mathbb{Q}\) und auch die Inhomogenität von \({}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{C}} \subset {}^{c}\mathbb{C}\). Hierbei geben \(\hslash, \ell\) oder \(\wp\) die maximale Anzahl der Vor- wie Nachkommastellen der Elemente von \(\hat{c}\)-\({}^{c}\mathbb{R}, \hat{\omega}\)-\({}^{\omega}\mathbb{R}\) und \((\hat{\varsigma}\)-) \(\mathbb{R}\) an.

Hauptsatz der Mengenlehre: Die Menge \((d\mathbb{R} = \mathbb{Q} =) \; \mathbb{R}\) ist ein maximaler, wohlgeordneter, abgeschlossener, kontinuierlicher und d0-homogener Körper mit \(|\mathbb{R}| = 2 {\varsigma}^{2} + 1\).

Beweis: Wir können beliebig genau \(h\)-homogenisierte Elemente nicht unterscheiden.\(\square\)

Bemerkung: Somit existieren irrationale Zahlen nicht und \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) sind \(h\)-homogen.

© 2002-2018 by Boris Haase


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