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Mengenlehre

Mengenlehre

Definition: Sollen zwei Entitäten nicht unterschieden werden, seien sie identisch. Die Gesamtheit nicht-identischer Entitäten wird als Menge \(S\) von Elementen mit \(|S|\) als deren Anzahl \(n\) bezeichnet, die leere Menge mit \(\emptyset\). Lässt sich \(S \ne \emptyset\) sukzessive die aufgerundete Hälfte der verbliebenen Elemente entnehmen, bis \(S\) leer ist, so ist \(n\) endlich, andernfalls unendlich. Nach dem Auffüllungsprinzip für {0, 1} bei den Dualzahlen ist \(c\) die größte endliche, \(\omega\) dazwischen die größte unkonkrete und \(\varsigma\) die größte unendliche reelle Zahl.\(\triangle\)

Bemerkung: Die Existenz aktual oder nur potenziell unendlicher Mengen bleibt offen, da die Transzendenz des Unendlichen einen Beweis versagt. Herkömmlich definieren hinlänglich bekannte Axiome die reellen Zahlen als total geordneten Körper und die komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit \(i\) als Körper. Analog lassen sich Addition, Multiplikation und deren Inversenbildung in deren umfassendste und per Definition abgeschlossenen Oberkörper \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C} := \mathbb{R} + i\mathbb{R}\) (mit weiteren Operationen) fortführen.

Definition: Die aus sukzessivem Addieren von 1 zu 0 entstehenden Elemente definieren die Menge aller natürlichen Zahlen \(\mathbb{N} := \mathbb{N}^{*} \cup \{0\}\). Das Entfernen der zusammengesetzten Zahlen aus \(\mathbb{N}_{\ge 2}\) definiert die Primzahlen \(\mathbb{P}\), die Hinzunahme der additiv Inversen von \(\mathbb{N}^{*}\) zu \(\mathbb{N}\) die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\), die der Brüche mit Zähler aus \(\mathbb{Z}^{*}\) und Nenner aus \(\mathbb{N}^{*}\) zu \(\mathbb{Z}\) die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}.\) Die Menge aller komplexrationalen Zahlen ist \(\mathbb{Q} + i\mathbb{Q}\). Der Minimalabstand von 0 ist d0 \(:= \hat{\varsigma} = \min \mathbb{R}_{>0} \). Die Zahlen \(c, \omega\) und \(\varsigma\) haben für \(n \in \mathbb{N}\) die Form \(2^n.\triangle\)

Minimalitätssatz: Für die eindeutige \(b\)-adische Entwicklung jedes \(r \in \mathbb{R}\) gilt min \(\{b \in \mathbb{R}_{>1}\} = 2\).

Beweis: Mit Fokus auf die Nachkommastellen liefert die geometrische Reihe die Behauptung.\(\square\)

Definition: Dekrement und Inkrement von \(a \in \mathbb{C}\) sind durch \(\acute{a} := a - 1\) bzw. \(\grave{a} := a + 1\) gegeben und der Kehrwert von \(u \in \mathbb{C}^*\) ist \(\hat{u} := 1/u\). Es wird \({}^{\omega}\mathbb{R} := [-\omega, \omega]\) und \({}^{\omega}\mathbb{C} := {}^{\omega}\mathbb{R} + i{}^{\omega}\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) gesetzt. Geht \({}^{\omega}\) einer reellen bzw. komplexen Menge voran, bedeutet dies im Folgenden den Durchschnitt mit \([-\omega, \omega]\) bzw. \({}^{\omega}\mathbb{C}.\) Zwischen den endlichen und unendlichen befinden sich die unkonkreten reellen Zahlen \({\mathbb{U}}_{\mathbb{R}} := {}^{\omega}{\mathbb{R}} \setminus {}^{c}{\mathbb{R}}\), wobei im Komplexen \({\mathbb{U}}_{\mathbb{C}} := {\mathbb{U}}_{\mathbb{R}} + i{\mathbb{U}}_{\mathbb{R}}\) gilt. Bei reellen Mengen kann die Angabe \(\mathbb{R}\) entfallen.\(\triangle\)

Bemerkung: Minimalitätssatz und Digitalrechner erklären die Wahl von 2. Die letzteren Mengen enthalten nur nicht-unendliche Elemente. Analoges gilt für \({}^{c}\) mit \([-c, c]\) bzw. \({}^{c}\mathbb{C}\). Mit \({}^{c}\) gekennzeichnete Mengen entsprechen den herkömmlichen ohne \({}^{c}\). Durch die Definition und damit Begrenzung über \(c\) bzw. \(\omega\) verlieren diese Mengen offenbar ihre Abgeschlossenheit. Zu den fast willkürlichen Definitionen einer größten endlichen bzw. (nicht-) unendlichen reellen Zahl, gibt es keine überzeugende Alternative.

Bemerkung: Ein abrupter Übergang von endlichen zu unendlichen Zahlen ist schwer begründbar. Erst die eindeutige Konstruktion einer unkonkreten oder unendlichen Menge erlaubt die Anzahl ihrer Elemente korrekt zu bestimmen und sie zu dem relativ einfach aufgebauten \({}^{\omega}\mathbb{N}\) als Basis in Beziehung zu setzen. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten wird die plausibelste ausgewählt. Die existierende Menge \(\mathbb{W}\) aller Mengen (Welten) ist unveränderlich. \(\mathbb{R}\) umfasst hyperreelle und surreale Zahlen.

Definition: Die Relation \(\in\) ist irreflexiv und asymmetrisch, \(\subseteq\) hingegen Teilordnung. Enthalten zwei Mengen die gleichen Elemente, sind sie genau dann gleich (Extensionalität). Enthält die Menge \(Y\) genau die Elemente der Elemente von \(X\) als Elemente, heißt sie Vereinigung der Menge \(X\). Die Potenzmenge der Menge \(X\) ist \(\mathcal{P}(X) := \{Y : Y \subseteq X\}\). Jede Zahl aus \(\mathbb{C}^{*}\) mit unendlichem Betrag ihres Kehrwertes heißt infinitesimal.\(\triangle\)

Inklusionssatz: Weder enthält eine nichtleere Menge sich selbst oder ihre Potenzmenge, noch lässt sie sich bijektiv auf ihre echte Teilmenge abbilden.

Beweis: Jede Menge unterscheidet sich von ihren Elementen, da sie letztere umfasst. So ist \(\emptyset \ne \{\emptyset\}\). Ihre Differenzmenge weist die Elemente mit fehlendem Partnerelement für die Bijektion auf.\(\square\)

Folgerung: Damit sind insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument widerlegt, da \(\mathbb{N}\) eine echte Teilmenge von \(\mathbb{Q}\) ist. Gleiches gilt für das Banach-Tarski-Paradoxon. Hilberts Hotel widerlegt die Translation, die aus einer unendlichen Menge immer herausführt wie die Nachfolgerabbildung \(s: {}^{\omega}\mathbb{N} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} \cup \{\grave{\omega}\}\) aus \({}^{\omega}\mathbb{N}\). Da es unendlich viele Mengen mit Anzahl der Elemente zwischen \(|{}^{c}\mathbb{N}|\) und \(|{}^{c}\mathbb{R}|\) gibt, ist auch die Kontinuumshypothese falsch.

Behauptung: Das Cantor-Polynom \(P(m, n) := ({(m + n)}^{2} + 3m + n)/2\) bildet \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) bijektiv auf \({}^{\omega}\mathbb{N}\) ab.

Widerlegung: Es gilt \(P(\omega, \omega) = 2\omega\grave{\omega} >\omega = \max \; {}^{\omega}\mathbb{N}.\square\)

Bemerkung: Ebenso wird die Fueter-Pólya-Vermutung widerlegt. Wird die Menge \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) durch \(\{(m, n) \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{2} : m + n \le k \in {}^{\omega}\mathbb{N}\}\) mit \(k(k + 3) = 2\omega\) ersetzt, gilt die Behauptung.

Definition: Die Tatsache der Abwesenheit zyklischer Folgen von Mengen, bei denen jeweils eine als Element in der vorangegangenen enthalten ist, heißt Zyklenfreiheit. Die Tatsache, dass eine Menge \(X\) bei einer eindeutigen Ersetzung jedes Elements von \(X\) durch eine beliebige Menge in eine Menge übergeht, heißt Ersetzbarkeit. Die Menge \(Y\) heißt Auswahl aus einer Menge \(X\) von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, wenn sie genau ein Element aus jedem Element von \(X\) enthält (Forderung der Auswählbarkeit).\(\triangle\)

Fundierungssatz: Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge \(X \subseteq Y\) ein Element \(x_0\) enthält, sodass \(X\) und \(x_0\) disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.

Beweis: Es wird \(X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}\) und \(x_{\acute{n}} := \{x_n\}\) mit \(m \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}\) gesetzt.\(\square\)

Bemerkung: Mit \(x_{\omega} := \{x_0\}\) statt \(x_{\omega} := \{x_1\}\) ist \(X\) eine unendliche Kette. Alle obenstehenden Definitionen legen die hier vertretene Mengenlehre fest, die ohne echte Klassen auskommt.

Definition: Die Summe \(p(z)=\sum\limits_{k=0}^{\acute{m}}{{{a}_{k}}{{z}^{k}}}\) mit \(z \in \mathbb{C}\) und \(m \in \mathbb{N}^*\) heißt \(m\)-Polynom, falls die Anzahl der Koeffizienten mit bspw. \({a}_{k} \in {}^{c}\mathbb{Z}\) oder \({a}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{Z}\) und \(k \in \mathbb{N}_{<m}\) und \({a}_{k} \ne 0\) endlich ist, sonst \(m\)-Reihe. Es heißt \(\deg(p) := \acute{m}\) für \({a}_{k} \ne 0\) der Polynom- bzw. Reihengrad von \(p\). Für das Nullpolynom \(p = 0\) sei \(\deg(p) := -1\). Die \(p(z)\) auf null setzenden Zahlen \(z \in \mathbb{C}\) werden als Nullstellen und \(m\)-algebraisch bezeichnet. Die zugehörigen Mengen heißen \({}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}\) im reellen Fall und \({}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}\) im komplexen. Dualzahlmengen beginnen mit \(d.\triangle\)

Definition: Der Spezialfall \({a}_{\deg(p)} = 1\) liefert \(m\)-ganzalgebraische Zahlen. Die weder ein \(m\)-Polynom noch eine \(m\)-Reihe auf null setzenden Zahlen \(z \in \mathbb{C}\) heißen \(m\)-transzendent und bilden die Mengen \({}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{R}}\) im reellen Fall und \({}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{C}} := ({}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{R}} + {i}^{m}\mathbb{R}) \cup ({}^{m}\mathbb{R} + {i}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{R}})\) im komplexen. Für \(m := c\) liegt herkömmliche Transzendenz vor.\(\triangle\)

Definition: Der eventuell irreführende Begriff der Abzählbarkeit soll nicht verwendet werden. Für \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\) heißen zwei verschiedene Punkte \(x\) und \(y\) einer Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) benachbart, wenn mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) für alle Punkte \(z \in M\) gilt: \(||x - y|| \le \max \; \{||x - z||, ||y - z||\}\). Die Teilmengen von \(\mathbb{K}^{n}\) heißen lückenlos, wenn alle benachbarten Punkte darin den Minimalabstand d0 haben.\(\triangle\)

Definition: Eine reelle Menge \(M \ne \emptyset\) heißt \(h\)-homogen, wenn jeder Minimalabstand ihrer verschiedenen Punkte \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) ist, und wird \(h\)-\(M\) notiert. Eine \(n\)-dimensionale Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) heißt \(h\)-homogen, falls dies in jeder Dimension gilt. Teilmengen von \(\mathbb{C}^{n}\) werden analog definiert. Eine Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) heißt dicht in \(\mathbb{K}^{n}\), falls zu jedem \(x \in \mathbb{K}^{n}\) ein Punkt \(y \in M\) existiert mit \(||x - y|| =\) d0.\(\triangle\)

Bemerkung: Das \(h\)-Homogenisieren einer Menge erfordert \(h\) vom Ursprung ausgehend in jeder Dimension abzutragen und zwischen diesen Zahlen liegende Elemente auf die \(h\)-homogenen Elemente auf- oder abzurunden. Zudem gilt \({}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{Q}} \subset {}^{c}\mathbb{Q}\) und die Inhomogenität von \({}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{C}} \subset {}^{c}\mathbb{C}\). Hierbei geben die Logarithmen zur Basis 2 (s. Nichtstandardanalysis) \({_2}c, {_2}\omega\) oder \({_2}\varsigma\) die maximale Anzahl der Vor- wie Nachkommastellen der Elemente von \(\hat{c}\)-\({}^{c}\mathbb{R}, \hat{\omega}\)-\({}^{\omega}\mathbb{R}\) und \((\hat{\varsigma}\)-) \(\mathbb{R}\) an.

Hauptsatz der Mengenlehre: Die Menge \(d\mathbb{R} = \mathbb{Q} = \mathbb{R}\) ist ein maximaler, wohlgeordneter, abgeschlossener, kontinuierlicher und d0-homogener Körper mit \(|\mathbb{R}| = 2 {\varsigma}^{2} + 1\).

Beweis: Beliebig genau \(h\)-homogenisierte Elemente lassen sich nicht unterscheiden.\(\square\)

Bemerkung: Somit existieren irrationale Zahlen nicht und \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) sowie \(\mathbb{C}\) sind \(h\)-homogen. Da rationale Zahlen allenfalls eine periodische Bruchentwicklung haben und daher eindeutig rekonstruiert werden können, stellt die \(h\)-Homogenität keine wesentliche Einschränkung dar.

© 2002-2018 by Boris Haase


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