Homepage von Boris Haase




Euklidische Geometrie • Gerechtes Verteilen • Lineare Optimierung • Mengenlehre • Nichtstandardanalysis • Ratschläge • Topologie • Transzendente Zahlen • Zahlentheorie • Zeitrechnung  (Vorherige | Nächste)



Mengenlehre

Mengenlehre

Vorbemerkung: Grundlegende (im Folgenden nicht definierte) Begriffe wie Axiom, Körper usw. setzen wir wie in der einschlägigen Literatur beschrieben als bekannt voraus und geben daher im Folgenden nur abweichende Definitionen oder solche zur Klarstellung (von mehreren möglichen). Aussagen ohne Zitat finden sich auch bei Wikipedia. Eingeklammerte Satzteile können abweichend vom herkömmlichen Gebrauch der näheren Erläuterung entweder stehen oder nicht: beide Bedeutungen sind gültig. Beweise werden mit ⃞ abgeschlossen.

Definition: Zwei Entitäten sind identisch, wenn wir sie nicht unterscheiden können oder wollen. Die Gesamtheit nicht-identischer Entitäten wird als Menge von Elementen bezeichnet. Können einer Menge alle Elemente in jeweils gleicher bestimmter (physikalisch) messbarer Zeit sukzessive entnommen werden und ist die Gesamtzeit der Entnahme (physikalisch) messbar, so ist die Anzahl der Elemente dieser Menge endlich, andernfalls unkonkret oder unendlich bei unbestimmter bzw. nicht gegebener (physikalischer) Messbarkeit.

Bemerkung: Unkonkrete Zahlen bilden eine Zwischenstufe zwischen den endlichen und unendlichen Zahlen. Ein abrupter Übergang von endlichen zu unendlichen Zahlen lässt sich dagegen nur schwer begründen. Hinlänglich bekannte Axiome definieren die herkömmlich reellen Zahlen als total geordneten Körper und die herkömmlich komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit i als Körper. Wir können Addition, Multiplikation und deren Inversenbildung analog in die umfassendsten und per Definition abgeschlossenen Oberkörper ℝ und ℂ := ℝ + iℝ von beiden fortführen. Eine Ausdehnung auf weitere Operationen ist möglich.

Definition: Eine komplexe Zahl ≠ 0 mit unendlichem Betrag des Kehrwertes ihres Real- oder Imaginärteils heißt infinitesimal. Die Menge aller natürlichen Zahlen ℕ* definieren wir aus den Elementen, die durch sukzessive Additionen von 1 zu 0 (mit 0 als ℕ) entstehen, die aller Primzahlen ℙ durch Ausschluss der zusammengesetzten Zahlen und {0, 1} von ℕ, die aller ganzzahligen Zahlen ℤ indem wir die additiv Inversen von ℕ* zu ℕ hinzunehmen, die aller rationalen ℚ durch Brüche mit ganzzahligem Zähler und natürlichem Nenner ≠ 0. Die Menge der komplexrationalen Zahlen ist ℚ + iℚ.

Definition: Die Anzahl aller Elemente einer Menge M wird mit |M| und die größte endliche natürliche Zahl mit ć := ⌊c⌋ bezeichnet, wobei c rekursiv definiert ist als c := ć + 1 - ć/cć. Sei ώ := ⌊ω⌋ := 2 - 1 mit ℓ ∈ ℕ* nach dem Auffüllungsprinzip für {0, 1} bei den Dualzahlen die größte nicht-unendliche natürliche und damit unkonkrete Zahl. Die zugehörige größte nicht-unendliche reelle Zahl ist rekursiv definiert als ω := ώ + 1 - ώ/ωώ (vgl. Transzendente Zahlen).

Definition: Zwecks Klarstellung geben wir die Trägermenge hinter einem Intervall an. Es sei ωℝ := [-ω, ω]ℝ und ωℂ := ωℝ + iωℝ ⊂ ℂ. Die Voranstellung von ω vor eine Menge bedeutet im Folgenden im Übrigen den Durchschnitt mit [-ω, ω]ℝ und, dass diese Menge nur nicht-unendliche Elemente enthält. Analog ist die Bedeutung von c definiert. Die mit c gekennzeichneten Mengen entsprechen den herkömmlichen ohne c.

Bemerkung: Durch die Definition (und damit Begrenzung) über c bzw. ω verlieren diese Mengen offenbar ihre Abgeschlossenheit. Obwohl den Definitionen einer größten endlichen und nicht-unendlichen reellen Zahl etwas Willkürliches anhaftet, halten wir mangels überzeugender Alternativen an den beiden algebraischen Zahlen c und ω fest. Die maximale Anzahl der Stellen einer unkonkreten natürlichen dualen Zahl ist gerade durch ℓ gegeben.

Definition: Die Summe

formula_009

mit z ∈ ℂ und ά := ⌊α⌋ heißt (α-)Polynom, falls die Anzahl der Koeffizienten mit bspw. akcℤ oder akωℤ und k ∈ ℕ≤ά und ak ≠ 0 endlich ist, andernfalls α-Reihe. Dann heißt deg(p) := max k für ak ≠ 0 der Polynom- bzw. Reihengrad von p. Für das Nullpolynom p = 0 sei deg(p) := -1. Die komplexen Zahlen z ∈ ℂ, die die Summe auf null setzen (sogenannte Nullstellen des Polynoms oder der Reihe), bezeichnen wir als α-algebraisch. Die zugehörigen Mengen heißen αA im reellen Fall und αA im komplexen. Im Spezialfall adeg(p) = 1 sprechen wir von α-ganzalgebraischen Zahlen. Komplexe Zahlen z ∈ ℂ, die kein α-Polynom bzw. keine α-Reihe auf null setzen, heißen α-transzendent. Für α := c liegt herkömmliche Transzendenz vor.

Definition: Wir notieren α-algebraische Zahlen durch (α, am, am-1, ..., a1, a0; g, h; #l, Mv; w, p)s, wobei wir mit g = h = a0 = 0 die Zahl 0, mit g ∈ cℕ* (-cℕ*) eine Nullstelle mit dem g.-größten (|g|.-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit g = 0, h ∈ cℕ* (-cℕ*) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem h.-größten (|h|.-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen algebraischen Zahlen entsprechend darstellen, wobei g Vorrang vor h hat. Die Bezeichnung #l gibt die Anzahl l ∈ cℕ* der Nullstellen an, wenn für mindestens ein ak eine Variable eingesetzt wird, Mv die Anzahl v ∈ cℕ der mehrfachen Nullstellen. Bei einem α-Minimalpolynom (mit a0 = 0 nur für das Nullpolynom) oder einer α-Minimalreihe bezeichnet der Buchstabe m die Spezifikation s, sonst der Buchstabe n. Wir geben den numerischen Wert durch w mit der Genauigkeit p wieder.

Bemerkung: Auf diese Weise können wir die Nullstellen eines α-Polynoms oder einer α-Reihe mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalordnen, wenn wir mehrfache Nullstellen nicht unterscheiden. Die Angaben g, h, #l, Mv, s, w und p können wir ggf. weglassen (z. B. bei rationalen Zahlen). Die (|cℕ|+2)-Tupel (0, ..., 0, am, ..., a0; g, h)m mit natürlichen ak bilden eine lexikalische strenge Wohlordnung für die algebraischen Zahlen.

Beispiele: Die endlichen Zahlen (c, 1, 0, 0, 0, -1)n sind gegeben als 1, -1, i, -i. Die endliche Goldene Zahl (1 + √5)/2 kann als (c, 1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, 10-6)m notiert werden. Die Zahl 0,1 = 0,1...1 mit ώ Einsen hinter dem Komma ist unkonkret und verschieden von der endlichen Zahl 1/9, da 9 × 0,1 = 0,9...9 = 1 - 10 ≠ 1 ist. Daher ist sie ω-transzendent (vgl. Transzendente Zahlen) und müsste etwa als (ω, 9 × 10ώ, 1 - 10ώ) notiert werden. Damit folgen die nächsten beiden Sätze ohne Zusatzbedingungen aus der geometrischen Reihe:

Satz: Für alle g ∈ ℕ≥2 ist die g-adische Entwicklung einer reellen Zahl eindeutig bestimmt.⃞

Satz: Für alle g ∈ ]1, 2[ ist die g-adische Entwicklung aller reellen Zahlen ≠ 0 mehrdeutig.

Beweis: Die Behauptung folgt aus dem Ersetzen einiger Einsen in 0,1g > 1g.⃞

Definition: Die Basis 2 erfüllt die Minimalitätseigenschaft. Dualzahlen werden mit d vor den zugehörigen Mengen gekennzeichnet.

Satz: Zu keiner Menge gibt es eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge.

Beweis: Wir beweisen dies durch transfinite Induktion, indem wir, beginnend bei der einelementigen Menge und fortschreitend über mehrelementige Mengen, sukzessive ein Element hinzufügen. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir aus einer Menge ein Element entfernen und eine Bijektion zu der entstandenen Menge finden wollen: Es gibt keine, weil wir das fehlende Element nicht ersetzen können. Die transfinite Induktion beweist den Rest.⃞

Behauptung: Das Cantor-Polynom P(m, n) := ((m + n)2 + 3m + n)/2 bildet ω2 bijektiv auf ωℕ ab.

Widerlegung: Es gilt P(ώ, ώ) = 2ώ(ώ + 1) > ώ = max ωℕ.⃞

Bemerkung: Ebenso wird die Fueter-Pólya-Vermutung widerlegt. Wird die Menge ω2 durch {(m, n) ∈ ω2 : m + n ≤ k ∈ ωℕ} mit k(k + 3)/2 = ώ ersetzt, gilt die Behauptung. Da eine Menge isomorph zu sich selbst ist, sind es auch ihre sekundären Eigenschaften, solange wir diese eindeutig ableiten können. Stimmen letztere also nicht überein, können zwei Mengen nicht isomorph sein. Damit muss die Poincaré-Vermutung lauten:

Satz: Jede einfach zusammenhängende n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit n ∈ ℕ ist homöomorph zu einem Gebiet auf der n-Sphäre Sr mit Radius r ∈ ℝ.

Beweis: Wir ziehen ein die Mannigfaltigkeit darstellendes Netz mit dehnbaren Maschen auf der n-Sphäre zusammen.⃞

Beispiel: Die Abbildung 1/x bildet ω≥1 für x ∈ ω≥1 bijektiv auf das beidseitig endlich beschränkte Intervall [1/ω, 1] ⊂ [0, 1] ab. Also können wir analog alle unendlichen Teilintervalle von ℝ* bijektiv auf ein beidseitig endlich beschränktes Intervall abbilden. Endlichkeit und Unendlichkeit sind also zwei Sichtweisen des zueinander Isomorphen.

Folgerung: Damit sind insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument widerlegt, da ℕ eine echte Teilmenge von ℚ ist. Gleiches gilt für das Banach-Tarski-Paradoxon. Eine Translation einer unendlichen Menge führt immer aus dieser Menge heraus. Damit wird Hilberts Hotel widerlegt. Zur Kontinuumshypothese ist festzustellen, dass es unendlich viele Mengen gibt, deren Anzahl der Elemente zwischen |cℕ| und |cℝ| liegt.

Bemerkung: Wir können zu den reellen Zahlen das Symbol ∞ > max ℝ adjungieren, mit dem sich wie mit einer Variablen rechnen lässt. Da die Division durch 0 in Berechnungen nicht definiert ist, ersetzen wir überall dort, wo es zweckmäßig ist, ±0 durch ±1/∞, je nachdem welche Richtung uns interessiert, und rechnen mit ∞ eindeutig und widerspruchsfrei. Dies vermeidet eine vage Grenzwertbildung, aber wir sollten uns genau überlegen, wo überall die Ersetzung sinnvoll ist, und nicht beliebig zwischen den Symbolen wechseln. Damit können Integral und Differential für jede Operation auf den reellen und komplexen Zahlen so definiert werden, dass jede Funktion überall dort integrierbar und differenzierbar ist (zumindest als Richtungsableitung), wo die Funktionswerte bestimmt sind (s. Nichtstandardanalysis).

Definition: Die Kreiszahl π sei definiert als Flächeninhalt oder als halber Umfang des Einheitskreises. Die Eulersche Zahl e sei definiert als Lösung der Gleichung x = -1. Dann sei eine Logarithmusfunktion ln (symbolisch) definiert durch eln z = z und die zugehörige Potenzfunktion durch zs = es ln z mit komplexen s und z Die Exponentiation lässt sich so (symbolisch) definieren. Rechnerisch werden wir uns in der Regel mit Näherungen begnügen müssen.

Bemerkung: Die mögliche Definition von e := (1 + 1/ć)ć ist O(1/c) kleiner als die vorstehende, die durch die Exponentialreihe mit möglichst vielen Gliedern (per exakter Differentiation) gerechtfertigt ist. Diese Abweichung kann sich beim genauestmöglichen Rechnen negativ auswirken.

Lemma: Das Archimedische Axiom gilt für unendlich viele Zahlen aus cℝ nicht.

Beweis: Sei a ∈ c>1 und b = 1/c. Dann gilt b n ≤ 1 < a für alle n ∈ cℕ.⃞

Archimedischer Satz: Es gibt ein n ∈ cℕ mit b n > a genau dann, wenn für a > b mit a, b ∈ ℝ>0 a/b < ć ist.

Beweis: Gilt a/b ≥ ć, so ist auch a/b ≥ n für alle n ∈ cℕ.⃞

Bemerkung: Es seien m ∈ cℕ der maximal zugelassene Polynomgrad und n ∈ cℕ der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten ak der Polynome amxm + am-1xm-1 + ... + a1x + a0 mit k ∈ c≤m annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die ak voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der algebraischen Zahlen entspricht der Anzahl der Nullstellen der so definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt am > 0 und a0 ≠ 0.

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen: Für die Anzahl A(m, n) der algebraischen Zahlen (vom Polynom- oder Reihengrad m und damit allgemein) gilt die asymptotische Gleichung

formula_016

wobei ζ für die Riemannsche Zetafunktion steht und z(m) die (durchschnittliche) Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis: Der Fall m = 1 gilt nach [455] und es ist der Korrekturterm O(n ln n) notwendig, wenn wir die Anzahl der rationalen Zahlen über die eulersche φ-Funktion zu formula_010 berechnen. Für m > 1 ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm O(ln n) noch den Hauptterm. Der Faktor 1/ζ(m + 1) sorgt für die Elimination der Polynome oder Reihen mit ggT(a0, a1, ... , am) ≠ 1. Um Vielfache der Primzahl p zu eliminieren, müssen wir die Anzahl der Polynome oder Reihen mit (1 - p-m-1) multiplizieren. Produktbildung über alle Primzahlen und Entwicklung der Faktoren in geometrische Reihen liefert nach Ausmultiplizieren den Faktor 1/ζ(m + 1). Ist genau ein Koeffizient 0, wäre ζ(m + 1) durch ζ(m) zu ersetzen. Diese Ersetzung ist durch den Korrekturterm ebenso abgedeckt wie die Polynome oder Reihen, bei denen mehr als ein Koeffizient 0 ist, sodass die Behauptung zu Recht folgt.⃞

Beispiele: Für m = 1 erhalten wir 12n22 + O(n ln n) rationale Lösungen. Für m = 2 erhalten wir 4,5n3/ζ(3) + O(n2ln n) reelle Lösungen, da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der a-b-c-Formel zwei reelle Nullstellen mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/16 hat. Für am = 1 erhalten wir z(m)(2n+1)m-1(2n + O(ln n)) ganzalgebraische Lösungen.

Bemerkung: m komplexen Fall gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra (s. Nichtstandardanalysis) z(m) = m. Im reellen Fall ist z(m) asymptotisch gleich 2/π ln m + O(1) nach (Mark Kac: On the average number of real roots of a random algebraic equation. II.; Proc. London Math. Soc. 50 (1949), 390 - 408. MR 11:40e).

Beispiele: Für m = n = ć erhalten wir bei Fortlassen von c vor den Mengen im reellen Fall

formula_014

und im komplexen Fall

formula_015

Bemerkung: Die Bestimmung der Anzahl der Elemente jeder konstruierten (un-)endlichen Menge muss genau deren Konstruktion berücksichtigen, bevor wir sie in Beziehung zur Menge cℕ oder ωℕ setzen können. Diese sollten wir aufgrund ihrer einfachen Konstruktion als Basis nehmen. Ohne die Konstruktion einer Menge zu kennen, kann deren Anzahl nicht (eindeutig) bestimmt werden. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten ziehen wir die plausibelste heran, um die (Un-)Endlichkeit bestmöglich im Sinne der Differenzierung wiederzugeben. Da dies ein Werturteil erfordert, muss sie nicht eindeutig bestimmt oder bestimmbar sein. Können wir uns trotz rationaler Argumentation nicht auf eine einzige Konstruktionsmöglichkeit einigen, so geben wir die ermittelte Elementanzahl der Menge stets mit deren Konstruktion an.

Definition: Es steht ℍ entweder für ℝ oder ℂ. Zwei verschiedene Punkte x und y einer Teilmenge M ⊆ ℍn mit n ∈ ℕ* heißen benachbart, wenn mit der euklidischen Norm ||·|| für alle Punkte z ∈ M gilt: ||x - y|| ≤ max (||x - z||, ||y - z||). Die Teilmengen von ℍn, bei denen alle benachbarten Elemente den symbolischen Minimalabstand d0 haben, der der kleinsten positiven Zahl in ℝ entspricht, heißen lückenlos.

Definition: Eine nicht-leere Teilmenge M ⊆ ℝ heißt h-homogen, wenn jeder Minimalabstand ihrer verschiedenen Elemente h ∈ ℝ>0 ist, und wird h-M notiert. Eine n-dimensionale Teilmenge M ⊆ ℝn mit n ∈ ℕ* heißt h-homogen, wenn sie dies in jeder Dimension ist. Für Teilmengen von ℂn erfolgen die Definitionen analog. Eine Teilmenge M ⊆ ℍn heißt dicht in ℍn, falls zu jedem x ∈ ℍn ein Punkt y ∈ M existiert mit ||x - y|| = d0. Es sei ⌈max ℝ⌉ := 2ƶ mit ƶ ∈ ℕ*.

Bemerkung: Wenn wir eine Menge h-homogenisieren, tragen wir h von ihren minimalen Elementen ausgehend in jeder Dimension ab und runden zwischen diesen Zahlen liegende Elemente auf die h-homogenen Elemente auf oder ab. Es gilt zudem cAcℚ und auch die Inhomogenität von cAcℂ. Die maximale Anzahl der Vor- wie Nachkommastellen einer reellen dualen Zahl ist gerade durch ƶ gegeben.

Hauptsatz der Mengenlehre: Die Menge (dℝ = ℚ =) ℝ ist ein maximaler, total geordneter, abgeschlossener, kontinuierlicher und d0-homogener Körper mit |ℝ| = 2 4ƶ - 1.

Beweis: Wir können beliebig genau h-homogenisierte Elemente nicht unterscheiden.⃞

Bemerkung: Somit existieren irrationale Zahlen nicht und ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ sind h-homogen. Die Menge ℝ aller reellen Zahlen hat sowohl ein festes minimales als auch ein festes maximales Element, da wir von einer ganzheitlichen und vollständigen Betrachtung von ℝ ausgehen, woraus zusammen mit den Körperaxiomen ihre Abgeschlossenheit folgt. Andernfalls hätten wir eventuell unsere Theorie immer wieder an die Gegebenheiten anzupassen. Zugegeben folgt damit aus dem herkömmlichen Irrationalitätsbeweis von √2 eine gewisse Dialektik und die multiplikativ Inversen sind meist nur näherungsweise in ℝ enthalten.

Definition: Eine Folge aneinandergrenzender h-Würfel, die mindestens eine nicht zu ihnen gehörende h-Quadratfläche einfach umschließt, heißt geschlossene Kette von h-Würfeln. Eine h-homogene Menge A ⊆ (ω)n heißt einfach zusammenhängend, wenn sie keine geschlossene Kette von h-Würfeln enthält. Sie heißt zusammenhängend, wenn jeder ihrer h-Würfel angrenzend an ihre anderen mit jedem ihrer anderen verbunden ist.

Definition: Eine einfach zusammenhängende h-homogene Menge A ⊆ (ω)n heißt h-konvex, wenn die Punkte, die auf der Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Eckpunkten zweier verschiedener h-Würfel liegen, ebenfalls Ecken von zu dort zu erwartenden h-Würfeln aus A sind. Sie heißt h-Sterngebiet, wenn die Punkte, die auf der Verbindungsstrecke von einer (zentralen) Ecke eines h-Würfels aus A und einer beliebigen Ecke eines beliebigen weiteren h-Würfels aus A liegen, ebenfalls Ecken von zu dort zu erwartenden h-Würfeln aus A sind. Ein einzelner h-Würfel sei sowohl h-konvex als auch h-Sterngebiet.

Definition: Eine (einfach zusammenhängende) h-homogene Teilmenge von ℝm mit m ∈ ℕ und h ∈ ℝ>0 heißt genau dann n-dimensional mit m ≥ n ∈ ℕ, wenn sie mindestens einen n-Würfel mit Kantenlänge h enthält und dieses n maximal ist. Einelementige Mengen sind 0-dimensional, größere mindestens eindimensional. Die Definition für ℂm erfolgt analog.

Definition: Die Menge ∁A := X \ A für A ⊆ X mit X als beliebiger Menge heißt Komplement von A in X. Wenn X klar ist, wird es weggelassen und ∁A auch als das Äußere von A bezeichnet. Die Menge ∂A besteht aus allen Punkten von A, die einen Nachbarn aus ∁A haben, und heißt (innerer) Rand von A. Bei Mengen ohne Komplement besteht der Rand aus ihren extremen Elementen, falls vorhanden. Bei weiterer sukzessiver Anwendung von ∂ wird das Argument jeweils als ohne Komplement angesehen.

Definition: Die Menge ℰA := ∂∁A heißt äußerer Rand von A. Die Menge A° := A \ ∂A heißt das Innere von A. Die Menge B(≤)r(a) := {z ∈ H := (ω)n : ||z - a|| ≤ r} heißt Kugel mit dem Radius r ∈ (ω)ℝ um den Mittelpunkt a ∈ H, deren Rand Sphäre heißt. Für a = 0 und r = 1 erhalten wir die Einheitskugel mit dem Spezialfall Einheitskreisscheibe đ für n = 2. Die Menge B<r(a) := {z ∈ H : ||z - a|| < r} = Br(a)° heißt entsprechend innere Kugel.

Bemerkung: Viele der hier getroffenen Aussagen lassen sich auf Mengen mit anderen Ober- und Untergrenzen übertragen. Wo dies geschehen kann, wird hier nicht detailliert ausgewiesen, da die dafür erforderlichen Überlegungen einfach sind.

© 2002-2018 by Boris Haase


Valid XHTML 1.0 • Haftungsausschluss • mail@boris-haase.de • PDF-Version • Literatur • Schlagwörter • Definitionen • Statistik • PHP-Code • RSS-Feed • Seitenbeginn