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Mengenlehre

Mengenlehre

Vorbemerkung: Bekannte Aussagen und grundlegende (im Folgenden nicht definierte) Begriffe wie Axiom, Körper usw. setzen wir wie in der einschlägigen Literatur oder bei Wikipedia beschrieben voraus und geben daher im Folgenden nur abweichende Definitionen oder solche zur Klarstellung (von mehreren möglichen). Eingeklammerte Satzteile können abweichend vom herkömmlichen Gebrauch der näheren Erläuterung entweder stehen oder nicht: beide Bedeutungen sind gültig. Beweise werden mit \(\square\) abgeschlossen.

Definition: Zwei Entitäten sind identisch, wenn wir sie nicht unterscheiden können oder wollen. Die Gesamtheit nicht-identischer Entitäten wird als Menge von Elementen bezeichnet. Können einer Menge alle Elemente in jeweils gleicher bestimmter (physikalisch) messbarer Zeit sukzessive entnommen werden und ist die Gesamtzeit der Entnahme (physikalisch) messbar, so ist die Anzahl der Elemente dieser Menge endlich, andernfalls unkonkret oder unendlich bei unbestimmter bzw. nicht gegebener (physikalischer) Messbarkeit.

Bemerkung: Unkonkrete Zahlen bilden eine Zwischenstufe zwischen den endlichen und unendlichen Zahlen. Ein abrupter Übergang von endlichen zu unendlichen Zahlen lässt sich dagegen nur schwer begründen. Hinlänglich bekannte Axiome definieren die herkömmlich reellen Zahlen als total geordneten Körper und die herkömmlich komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit \(i\) als Körper. Wir können Addition, Multiplikation und deren Inversenbildung analog in die umfassendsten und per Definition abgeschlossenen Oberkörper \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{C} := \mathbb{R} + i\mathbb{R}\) von beiden fortführen. Eine Ausdehnung auf weitere Operationen ist möglich.

Definition: Eine komplexe Zahl \(\ne 0\) mit unendlichem Betrag des Kehrwertes ihres Real- oder Imaginärteils heißt infinitesimal. Die Menge aller natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}^{*}\) definieren wir aus den Elementen, die durch sukzessive Additionen von 1 zu 0 (mit 0 als \(\mathbb{N}\)) entstehen, die aller Primzahlen \(\mathbb{P}\) durch Ausschluss der zusammengesetzten Zahlen und {0, 1} von \(\mathbb{N}\), die aller ganzzahligen Zahlen \(\mathbb{Z}\) indem wir die additiv Inversen von \(\mathbb{N}^{*}\) zu \(\mathbb{N}\) hinzunehmen, die aller rationalen \(\mathbb{Q}\) durch Brüche mit ganzzahligem Zähler und natürlichem Nenner \(\ne 0\). Die Menge der komplexrationalen Zahlen ist \(\mathbb{Q} + i\mathbb{Q}\).

Definition: Die Anzahl aller Elemente einer Menge \(M\) wird mit \(|M|\) und die größte endliche natürliche Zahl mit \(\acute{c} := \lfloor c\rfloor\) bezeichnet, wobei \(c\) rekursiv definiert ist als \(c := \acute{c} + 1 - \acute{c}/{c}^{\acute{c}}\). Sei \(\acute{\omega} := \lfloor\omega\rfloor := {2}^{\ell} - 1\) mit \(\ell \in \mathbb{N}^{*}\) nach dem Auffüllungsprinzip für {0, 1} bei den Dualzahlen die größte nicht-unendliche natürliche und damit unkonkrete Zahl. Die zugehörige größte nicht-unendliche reelle Zahl ist rekursiv definiert als \(\omega := \acute{\omega} + 1 - \acute{\omega}/{\omega}^{\acute{\omega}}\) (vgl. Zahlentheorie).

Definition: Zwecks Klarstellung geben wir die Trägermenge hinter einem Intervall an. Es sei \({}^{\omega}\mathbb{R} := [-\omega, \omega]\mathbb{R}\) und \({}^{\omega}\mathbb{C} := {}^{\omega}\mathbb{R} + i{}^{\omega}\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). Die Voranstellung von \({}^{\omega}\) vor eine reelle bzw. komplexe Menge bedeutet im Folgenden im Übrigen den Durchschnitt mit \([-\omega, \omega]\mathbb{R}\) bzw. \({}^{\omega}\mathbb{C}\) und, dass diese Menge nur nicht-unendliche Elemente enthält. Analog ist die Bedeutung von \({}^{c}\) definiert. Die mit \({}^{c}\) gekennzeichneten Mengen entsprechen den herkömmlichen ohne \({}^{c}\).

Bemerkung: Durch die Definition (und damit Begrenzung) über \(c\) bzw. \(\omega\) verlieren diese Mengen offenbar ihre Abgeschlossenheit. Obwohl den Definitionen einer größten endlichen und nicht-unendlichen reellen Zahl etwas Willkürliches anhaftet, halten wir mangels überzeugender Alternativen an den beiden algebraischen Zahlen \(c\) und \(\omega\) fest. Die maximale Anzahl der Stellen einer unkonkreten natürlichen dualen Zahl ist gerade durch \(\ell\) gegeben.

Definition: Die Summe \[p(z)=\sum\limits_{k=0}^{}{{{a}_{k}}{{z}^{k}}}\] mit \(z \in \mathbb{C}\) und \(\acute{\alpha} := \lfloor\alpha\rfloor\) heißt \(\alpha\)-Polynom, falls die Anzahl der Koeffizienten mit bspw. \({a}_{k} \in {}^{c}\mathbb{Z}\) oder \({a}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{Z}\) und \(k \in \mathbb{N}_{\le\acute{\alpha}}\) und \({a}_{k} \ne 0\) endlich ist, andernfalls \(\alpha\)-Reihe. Dann heißt \(\deg(p) := max \; k\) für \({a}_{k} \ne 0\) der Polynom- bzw. Reihengrad von \(p\). Für das Nullpolynom \(p = 0\) sei \(\deg(p) := -1\). Die Zahlen \(z \in \mathbb{C}\), die die Summe auf null setzen (sogenannte Nullstellen des Polynoms oder der Reihe), bezeichnen wir als \(\alpha\)-algebraisch. Die zugehörigen Mengen heißen \({}^{\alpha}{\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}\) im reellen Fall und \({}^{\alpha}{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}\) im komplexen. Im Spezialfall \({a}_{\deg(p)} = 1\) sprechen wir von \(\alpha\)-ganzalgebraischen Zahlen. Die Zahlen \(z \in \mathbb{C}\), die kein \(\alpha\)-Polynom bzw. keine \(\alpha\)-Reihe auf null setzen, heißen \(\alpha\)-transzendent. Für \(\alpha := c\) liegt herkömmliche Transzendenz vor.

Definition: Wir notieren \(\alpha\)-algebraische Zahlen durch \({(\alpha, {a}_{k}, {a}_{k-1}, ..., {a}_{1}, {a}_{0}; r, i; \#n, Mm; v, p)}_{s}\), wobei wir mit \(r = i = {a}_{0} = 0\) die Zahl 0, mit \(r \in {}^{c}\mathbb{N}^{*} (-{}^{c}\mathbb{N}^{*})\) eine Nullstelle mit dem \(r\).-größten (\(|r|\).-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit \(r = 0, i \in {}^{c}\mathbb{N}^{*} (-{}^{c}\mathbb{N}^{*})\) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem \(i\).-größten (\(|i|\).-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen algebraischen Zahlen entsprechend darstellen, wobei \(r\) Vorrang vor \(i\) hat. Die Bezeichnung \(\#n\) gibt die Anzahl \(n \in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) der Nullstellen an, wenn für mindestens ein \({a}_{j}\) eine Variable eingesetzt wird, \(Mm\) die Anzahl \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) der mehrfachen Nullstellen. Bei einem \(\alpha\)-Minimalpolynom (mit \({a}_{0} = 0\) nur für das Nullpolynom) oder einer \(\alpha\)-Minimalreihe bezeichnet das Zeichen < die Spezifikation \(s\), sonst das Zeichen >. Wir geben den numerischen Wert durch \(v\) mit der Genauigkeit \(p\) wieder.

Bemerkung: Auf diese Weise können wir die Nullstellen eines \(\alpha\)-Polynoms oder einer \(\alpha\)-Reihe mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalordnen, wenn wir mehrfache Nullstellen nicht unterscheiden. Die Angaben \(r, i, \#n, Mm, v, p\) und \(s\) können wir ggf. weglassen (z. B. bei rationalen Zahlen). Die \((|{}^{c}\mathbb{N}|+2)\)-Tupel \((0, ..., 0, {a}_{k}, ..., {a}_{0}; r, i{)}_{<}\) mit natürlichen \({a}_{j}\) bilden eine lexikalische strenge Wohlordnung für die algebraischen Zahlen.

Beispiele: Die endlichen Zahlen \((c, 1, 0, 0, 0, -1{)}_{>}\) sind gegeben als 1, -1, \(i\) und \(-i\). Die endliche Goldene Zahl \((1 + \sqrt{5})/2\) kann als \((c, 1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, {10}^{-6}{)}_{<}\) notiert werden. Die Zahl \(0,\overline{1} = 0,1...1\) mit \(\acute{\omega}\) Einsen hinter dem Komma ist unkonkret und verschieden von der endlichen Zahl 1/9, da 9 \(\times \; 0,\overline{1} = 0,9...9 = 1 - {10}^{-\acute{\omega}} \ne 1\) ist. Daher ist sie \(\omega\)-transzendent (vgl. Zahlentheorie) und müsste etwa als (\(\omega, 9 \times {10}^{\acute{\omega}}, 1 - {10}^{\acute{\omega}})\) notiert werden. Damit folgen die nächsten beiden Sätze ohne Zusatzbedingungen aus der geometrischen Reihe:

Satz: Für alle \(q \in \mathbb{N}_{\ge2}\) ist die \(q\)-adische Entwicklung einer reellen Zahl eindeutig bestimmt.\(\square\)

Satz: Für alle \(q \in ]1, 2[\) ist die \(q\)-adische Entwicklung aller reellen Zahlen \(\ne 0\) mehrdeutig.

Beweis: Die Behauptung folgt aus dem Ersetzen einiger Einsen in \(0,{\overline{1}}_{q} > {1}_{q}.\square\)

Definition: Die Basis 2 erfüllt die Minimalitätseigenschaft. Dualzahlen werden mit \(d\) vor den zugehörigen Mengen gekennzeichnet.

Satz: Zu keiner Menge gibt es eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge.

Beweis: Wir beweisen dies durch transfinite Induktion, indem wir, beginnend bei der einelementigen Menge und fortschreitend über mehrelementige Mengen, sukzessive ein Element hinzufügen. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir aus einer Menge ein Element entfernen und eine Bijektion zu der entstandenen Menge finden wollen: Es gibt keine, weil wir das fehlende Element nicht ersetzen können. Die transfinite Induktion beweist den Rest.\(\square\)

Satz: Für die Bijektivität der Abbildung \(f: X \rightarrow X\) mit beliebigen Funktionen \(f\) und Mengen \(X\) reicht Injektivität bzw. Surjektivität aus.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus der paarweisen Verschiedenheit aller (Ur-)Bilder.\(\square\)

Bemerkung: Die Nachfolgerabbildung \(s\) in \({}^{\omega}\mathbb{N}\) gehört nicht dazu, da hier \(s: {}^{\omega}\mathbb{N} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} \cup \{|{}^{\omega}\mathbb{N}|\}\) gilt.

Behauptung: Das Cantor-Polynom \(P(m, n) := ({(m + n)}^{2} + 3m + n)/2\) bildet \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) bijektiv auf \({}^{\omega}\mathbb{N}\) ab.

Widerlegung: Es gilt \(P(\acute{\omega}, \acute{\omega}) = 2\acute{\omega}(\acute{\omega} + 1) > \acute{\omega} = \max \; {}^{\omega}\mathbb{N}.\square\)

Bemerkung: Ebenso wird die Fueter-Pólya-Vermutung widerlegt. Wird die Menge \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) durch \((m, n) \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{2} : m + n \le k \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) mit \(k(k + 3)/2 = \acute{\omega}\) ersetzt, gilt die Behauptung. Da eine Menge isomorph zu sich selbst ist, sind es auch ihre sekundären Eigenschaften, solange wir diese eindeutig ableiten können. Stimmen letztere also nicht überein, können zwei Mengen nicht isomorph sein.

Beispiel: Die Abbildung \(1/x\) bildet \({}^{\omega}{\mathbb{R}}_{\ge 1}\) für \(x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}_{\ge 1}\) bijektiv auf das beidseitig endlich beschränkte Intervall \([1/\omega, 1] \subset [0, 1]\) ab. Also können wir analog alle unendlichen Teilintervalle von \(\mathbb{R}^{*}\) bijektiv auf ein beidseitig endlich beschränktes Intervall abbilden. Endlichkeit und Unendlichkeit sind also zwei Sichtweisen des zueinander Isomorphen.

Folgerung: Damit sind insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument widerlegt, da \(\mathbb{N}\) eine echte Teilmenge von \(\mathbb{Q}\) ist. Gleiches gilt für das Banach-Tarski-Paradoxon. Eine Translation einer unendlichen Menge führt immer aus dieser Menge heraus. Damit wird Hilberts Hotel widerlegt. Zur Kontinuumshypothese ist festzustellen, dass es unendlich viele Mengen gibt, deren Anzahl der Elemente zwischen \(|{}^{c}\mathbb{N}|\) und \(|{}^{c}\mathbb{R}|\) liegt.

Bemerkung: Wir können zu den reellen Zahlen das Symbol \(\infty > \max \; \mathbb{R}\) adjungieren, mit dem sich wie mit einer Konstanten rechnen lässt. Da die Division durch 0 in Berechnungen nicht definiert ist, ersetzen wir überall dort, wo es zweckmäßig ist, \(\pm0\) durch \(\pm1/\infty\), je nachdem welche Richtung uns interessiert, und rechnen mit \(\infty\) eindeutig und widerspruchsfrei. Dies vermeidet eine vage Grenzwertbildung, aber wir sollten uns genau überlegen, wo überall die Ersetzung sinnvoll ist, und nicht beliebig zwischen den Symbolen wechseln. Damit können Integral und Differential für jede Operation auf den reellen und komplexen Zahlen so definiert werden, dass jede Funktion überall dort integrierbar und differenzierbar ist (zumindest als Richtungsableitung), wo die Funktionswerte bestimmt sind (s. Nichtstandardanalysis).

Definition: Die Kreiszahl \(\pi\) sei definiert als Flächeninhalt oder als halber Umfang des Einheitskreises. Die Eulersche Zahl \(e\) sei definiert als Lösung der Gleichung \({x}^{i\pi} = -1\). Dann sei eine Logarithmusfunktion ln (symbolisch) definiert durch \({e}^{\ln \, z} = z\) und die zugehörige Potenzfunktion durch \({z}^{s} = {e}^{s \, \ln \, z}\) mit komplexen \(s\) und \(z\). Die Exponentiation lässt sich so (symbolisch) definieren. Rechnerisch werden wir uns in der Regel mit Näherungen begnügen müssen.

Bemerkung: Die mögliche Definition von \(e := {(1 + 1/\acute{c})}^{\acute{c}}\) ist \(\mathcal{O}(1/c)\) kleiner als die vorstehende, die durch die Exponentialreihe mit möglichst vielen Gliedern (per exakter Differentiation) gerechtfertigt ist. Diese Abweichung kann sich beim genauestmöglichen Rechnen negativ auswirken.

Bemerkung: Es seien \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) der maximal zugelassene Polynomgrad und \(n \in {}^{c}\mathbb{N}\) der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten \({a}_{k}\) der Polynome \({a}_{m}{x}^{m} + {a}_{m-1}{x}^{m-1} + ... + {a}_{1}x + {a}_{0}\) mit \(k \in {}^{c}\mathbb{N}_{\le m}\) annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die \({a}_{k}\) voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der algebraischen Zahlen entspricht der Anzahl der Nullstellen der so definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt \({a}_{m} > 0\) und \({a}_{0} \ne 0\).

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen: Für die Anzahl \(\mathbb{A}(m, n)\) der algebraischen Zahlen (vom Polynom- oder Reihengrad \(m\) und damit allgemein) gilt die asymptotische Gleichung \[\mathbb{A}\text{(m}\text{,}\,\text{n)}=\text{z(m)}{{(2n+1)}^{\text{m}}}\left( \frac{n}{\zeta (m+1)}+\mathcal{O}\text{(ln n)} \right),\]wobei \(\zeta\) für die Riemannsche Zetafunktion steht und \(z(m)\) die (durchschnittliche) Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis: Der Fall \(m = 1\) gilt nach [455] und es ist der Korrekturterm \(\mathcal{O}(n \, \ln \, n)\) notwendig, wenn wir die Anzahl der rationalen Zahlen über die eulersche \(\varphi\)-Funktion zu \(4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1\) berechnen. Für \(m > 1\) ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm \(\mathcal{O}(\ln \, n)\) noch den Hauptterm. Der Faktor \(1/\zeta(m + 1)\) sorgt für die Elimination der Polynome oder Reihen mit ggT\(({a}_{0}, {a}_{1}, ... , {a}_{m}) \ne 1\). Um Vielfache der Primzahl \(p\) zu eliminieren, müssen wir die Anzahl der Polynome oder Reihen mit \((1 - {p}^{-m-1})\) multiplizieren. Produktbildung über alle Primzahlen und Entwicklung der Faktoren in geometrische Reihen liefert nach Ausmultiplizieren den Faktor \(1/\zeta(m + 1)\). Ist genau ein Koeffizient 0, wäre \(\zeta(m + 1)\) durch \(\zeta(m)\) zu ersetzen. Diese Ersetzung ist durch den Korrekturterm ebenso abgedeckt wie die Polynome oder Reihen, bei denen mehr als ein Koeffizient 0 ist. Daraus folgt die Behauptung.\(\square\)

Beispiele: Für \(m = 1\) erhalten wir \({12n}^{2}/{\pi}^{2} + \mathcal{O}(n \, ln \, n)\) rationale Lösungen. Für \(m = 2\) erhalten wir \({4,5n}^{3}/\zeta(3) + \mathcal{O}({n}^{2}\ln \, n)\) reelle Lösungen, da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der \(a\)-\(b\)-\(c\)-Formel zwei reelle Nullstellen mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/16 hat. Für \({a}_{m} = 1\) erhalten wir \(z(m){(2n+1)}^{m-1}(2n + \mathcal{O}(\ln \, n))\) ganzalgebraische Lösungen.

Bemerkung: Im komplexen Fall gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra (s. Nichtstandardanalysis) \(z(m) = m\). Im reellen Fall ist \(z(m)\) asymptotisch gleich \(2/\pi \ln \, m + \mathcal{O}(1)\) nach (Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation. II.; Proc. London Math. Soc. 50; 1949; 390 - 408).

Beispiele: Für \(m = n = \acute{c}\) erhalten wir bei Fortlassen von \({}^{c}\) vor den Mengen im reellen Fall \[\left| {{\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}} \right|={{\left| \mathbb{Z} \right|}^{\left| \mathbb{N}^{*} \right|}}\text{ln}\left| \mathbb{N} \right|\left( \frac{\left| \mathbb{Z} \right|}{\pi }+\mathcal{O}\left( \text{ln}\left| \mathbb{N} \right| \right) \right)\] und im komplexen Fall\[\left| {{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}} \right|={{\left| \mathbb{Z} \right|}^{\left| \mathbb{N} \right|}}\left( \frac{\left| \mathbb{N} \right|}{2}+\mathcal{O}\left( \text{ln}\left| \mathbb{N} \right| \right) \right).\]Bemerkung: Die Anzahl der Elemente einer unkonkreten oder unendlichen Menge können wir nur bei Vorliegen ihrer Konstruktion (eindeutig) bestimmen. Dann lässt sich die Menge in Beziehung zu \({}^{(\omega)}\mathbb{N}\) setzen, die aufgrund ihrer einfachen Konstruktion als Basis dienen kann. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten nehmen bzw. geben wir die plausibelste an, um die Nicht-Endlichkeit bestmöglich im Sinne der Differenzierung wiederzugeben.

Lemma: Das Archimedische Axiom gilt für unendlich viele Zahlen aus \({}^{c}\mathbb{R}\) nicht.

Beweis: Sei \(a \in {}^{c}{\mathbb{R}}_{>1}\) und \(b = 1/c\). Dann gilt \(b n \le 1 < a\) für alle \(n \in {}^{c}\mathbb{N}.\square\)

Archimedischer Satz: Es gibt ein \(n \in {}^{c}\mathbb{N}\) mit \(b n > a\) genau dann, wenn für \(a > b\) mit \(a, b \in {\mathbb{R}}_{>0} \; a/b < \acute{c}\) ist.

Beweis: Gilt \(a/b \ge \acute{c}\), so ist auch \(a/b \ge n\) für alle \(n \in {}^{c}\mathbb{N}.\square\)

Definition: Es steht \(\mathbb{K}\) entweder für \(\mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\). Zwei verschiedene Punkte \(x\) und \(y\) einer Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) heißen benachbart, wenn mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) für alle Punkte \(z \in M\) gilt: \(||x - y|| \le \max \, \{||x - z||, ||y - z||\}\). Die Teilmengen von \(\mathbb{K}^{n}\), bei denen alle benachbarten Punkte den symbolischen Minimalabstand \(d0\) haben, der der kleinsten positiven Zahl in \(\mathbb{R}\) entspricht, heißen lückenlos.

Definition: Eine nicht-leere Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{R}\) heißt \(h\)-homogen, wenn jeder Minimalabstand ihrer verschiedenen Punkte \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) ist, und wird \(h\)-\(M\) notiert. Eine \(n\)-dimensionale Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) heißt \(h\)-homogen, wenn sie dies in jeder Dimension ist. Für Teilmengen von \(\mathbb{C}^{n}\) erfolgen die Definitionen analog. Eine Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) heißt dicht in \(\mathbb{K}^{n}\), falls zu jedem \(x \in \mathbb{K}^{n}\) ein Punkt \(y \in M\) existiert mit \(||x - y|| = d0\). Es sei \(\lceil \max \, \mathbb{R}\rceil := {2}^{\wp}\) mit \(\wp \in \mathbb{N}^{*}\).

Bemerkung: Wenn wir eine Menge \(h\)-homogenisieren, tragen wir \(h\) von ihren minimalen Elementen ausgehend in jeder Dimension ab und runden zwischen diesen Zahlen liegende Elemente auf die \(h\)-homogenen Elemente auf oder ab. Es gilt zudem \({}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{Q}} \subset {}^{c}\mathbb{Q}\) und auch die Inhomogenität von \({}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{C}} \subset {}^{c}\mathbb{C}\). Die maximale Anzahl der Vor- wie Nachkommastellen einer reellen dualen Zahl ist gerade durch \(\wp\) gegeben.

Hauptsatz der Mengenlehre: Die Menge \((d\mathbb{R} = \mathbb{Q} =) \; \mathbb{R}\) ist ein maximaler, total geordneter, abgeschlossener, kontinuierlicher und \(d0\)-homogener Körper mit \(|\mathbb{R}| = 2 \; {4}^{\wp} - 1\).

Beweis: Wir können beliebig genau \(h\)-homogenisierte Elemente nicht unterscheiden.\(\square\)

Bemerkung: Somit existieren irrationale Zahlen nicht und \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) sind \(h\)-homogen. Die Menge \(\mathbb{R}\) aller reellen Zahlen ist isomorph zu einer Menge (hyper-)natürlicher bzw. ganzer Zahlen. Sie hat sowohl ein festes minimales als auch ein festes maximales Element, da wir von einer ganzheitlichen und vollständigen Betrachtung von \(\mathbb{R}\) ausgehen, woraus zusammen mit den Körperaxiomen ihre Abgeschlossenheit folgt. Andernfalls hätten wir eventuell unsere Theorie immer wieder an die Gegebenheiten anzupassen.

Bemerkung: Zugegeben folgt damit aus dem herkömmlichen Irrationalitätsbeweis von \(\sqrt{2}\) eine gewisse Dialektik und die multiplikativ Inversen sind meist nur näherungsweise in \(\mathbb{R}\) enthalten. Viele der hier getroffenen Aussagen lassen sich auf Mengen mit anderen Ober- und Untergrenzen und allgemeiner auf metrische Räume übertragen. Wo dies geschehen kann, wird hier nicht detailliert ausgewiesen, da die anzustellenden Überlegungen einfach sind.

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