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Transzendente Zahlen

Transzendente Zahlen

Im Folgenden gelten die Bezeichnungen aus der Mengenlehre. Vorerst wird das Verhalten für unkonkrete m, n ∈ ωℕ betrachtet und es seien auch j, k ∈ ℕ.

Bemerkung: Aus der Algebra ist bekannt, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von zwei algebraischen Zahlen vom Grad j bzw. k algebraisch maximal vom Grad jk sind und die 1/j-te Potenz einer algebraischen Zahl vom Grad k algebraisch maximal vom Grad jk ist.

Bemerkung: Transzendente Zahlen sind die Summe eines algebraischen Hauptteils und eines transzendenten Rests. Untersuchen wir die Transzendenz einer Zahl und ist letzterer durch den Grenzwert einer Nullfolge (ak) (s. Nichtstandardanalysis) gegeben, können wir also die Folgenwerte für große k nicht einfach weglassen: Sie sind entscheidend. Transzendente Zahlen sind alle Zahlen, die zwischen den algebraischen liegen oder jenseits von diesen. Nach dem Anzahlsatz der algebraischen Zahlen liegt zwischen zwei dicht genug beieinander liegenden verschiedenen transzendenten Zahlen (algebraischen vom Grad j) keine algebraische Zahl (vom Grad < j).

Schrankensatz für ω-transzendente Zahlen: Jede komplexe von Null verschiedene Zahl, deren Betrag des Real- und/oder Imaginärteils ≤ 1/(ώ + 1) oder ≥ ώ + 1 ist, ist bereits ω-transzendent.

Beweis: Setzen wir in einer Polynom- oder Reihengleichung am = 1 und ak = -ώ für k < m, dann folgt die Behauptung aus der geometrischen Reihe, wenn wir noch den Kehrwert bilden. Die exakten Grenzwerte erhalten wir, wenn wir ώ + 1 jeweils ersetzen durch ω(m) = ώ + 1 - ώ/ω(m)m mit ω := ώ + 1 - ώ/ωώ. Im komplexen Fall liefern Ansätze der Form x = (1 + ib)(ώ + 1) mit b ∈ ωℝ das Gewünschte.⃞

Koeffizientensatz für ω-transzendente Zahlen: Alle normierten irreduziblen Polynome und Reihen, in denen |ak| ≥ ώ + 1 für mindestens ein ak ist, haben nur ω-transzendente Nullstellen.

Beweis: Die Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen sind paarweise verschieden und eindeutig bestimmt. Da sie nicht ω-algebraisch sind, müssen sie ω-transzendent sein.⃞

Approximationssatz für reelle ω-algebraische Zahlen: Jede reelle algebraische Zahl vom Grad k > 1 lässt sich durch eine reelle algebraische Zahl vom Grad j < k mit einem durchschnittlichen Fehler approximieren, der asymptotisch gleich π ζ(j + 1)/(2 ln j |ωℤ|j) ist.

Beweis: Auf der herkömmlich reellen Achse nimmt die Anzahl der ω-algebraischen und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen pro Grad mehr ca. um den Faktor |ωℤ| zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der ω-algebraischen Zahlen untereinander. Die nicht-reellen ω-algebraischen Zahlen liegen weniger dicht.⃞

Folgerung: Zwei verschiedene reelle ω-algebraische Zahlen haben durchschnittlich mindestens den Abstand π/(ln(ώ + 1) |ωℤ|ώ). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert die Lösung eines unendlichen nicht-linearen nicht-konvexen Optimierungsproblems. Damit haben reelle c-algebraische Zahlen eine Approximationsordnung von O(c), was den Satz von Thue-Siegel-Roth, in dem auch nicht mehr als der (triviale) Minimalabstand zweier rationaler Zahlen bewiesen wird, und damit die abc-Vermutung widerlegt, nicht jedoch das Ergebnis von Liouville.

Satz: Der Maximalabstand zweier reeller ω-algebraischer Zahlen ≠ 0 beträgt 1/ώ2 - O(1/ώ3).

Beweis: Der Abstand der reellen ω-algebraischen Zahlen ≠ 0 ist um ±1 herum am größten. Eine ω-rationale Zahl r > 1 (0 < r < 1) lässt sich besser durch ein reelles ω-algebraisches x approximieren, das die Polynom- oder Reihengleichung xm - rxm-1 = r/ώ (xm - ώx = -ώr) erfüllt. Für negative r gilt Entsprechendes. Wollen wir 1 durch ein größeres reelles ω-algebraisches x approximieren, muss es zwingend eine Polynom- oder Reihengleichung mit am = ώ - 1 und a0 = -ώ erfüllen. Setzen wir noch a1 = -ώ und a2 = ώ, folgt die Behauptung, da sich der Maximalabstand nicht weiter verringern lässt.⃞

Bemerkung: Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden die unendlichen (komplex)rationalen Zahlen numerisch bereits ganz ℝ (ℂ). Daher sind algebraische und transzendente Zahlen (numerisch) kaum zu unterscheiden und Approximationen von geringer Aussagekraft über die Algebraizität (von einem bestimmten Grad). Dies macht ihre Unterscheidung daher fragwürdig. Nicht als rationale Zahl abbrechende reelle Kettenbrüche sind ω-transzendent, da sie unendlich rational sind. Sie können ω-algebraische Zahlen nur annähern.

Bemerkung: Da alle reellen Zahlen (näherungsweise) (unendliche) rationale Zahlen sind, können wir sie in Echtzeit berechnen. Bei ω-transzendenten Zahlen geben wir uns im Gegensatz zu ω-algebraischen Zahlen, wo wir mit den zugehörigen Minimalpolynomen oder -reihen argumentieren sollten, mit einer beliebig genauen unendlich kleinen Genauigkeit zufrieden und können sie daher als rationalen Bruch mit unendlichem Zähler und Nenner ansetzen.

Bemerkung: Wer die Transzendenz einer Zahl mit dem Approximationssatz von Liouville untersuchen will, sollte darauf achten, dass die approximierenden rationalen Zahlen auch tatsächlich noch rational sind und nicht unendlich rational wie z. B. die Zahl 10ώ+1. Auch wer Primzahlen ≥ ώ + 1 in Transzendenzbeweisen betrachtet, sollte sich sicher im unendlich Natürlichen bewegen. Die folgenden Beweise liefern ebenfalls ω-transzendente Ergebnisse, wenn die Menge ωℕ durch [ώ + 1, n]ℕ mit nicht zu großem n ersetzt wird.

Satz: Die Summe aller mindestens ω-natürlichen Potenzen einer komplexrationalen Zahl x ≠ 0, die keine Einheitswurzel ist, (geometrische Reihe) ist bereits ω-transzendent.

Beweis: Der Betrag des Zählers oder Nenners von xώ+1 ist ≥ 2ώ/2. Die Subtraktion von 1 und das Teilen durch 1 - x ändern an der ω-Transzendenz nichts.⃞

Satz: Die Eulersche Zahl e ist ω-transzendent.

Beweis: Akzeptieren wir die Exponentialreihe als Darstellung für e, folgt e = (kώ + 1)/ώ! mit k ≥ ώ + 1. Damit müssen Zähler und Nenner des angegebenen Bruches ≥ ώ + 1 sein, da im Zähler weder ώ noch ein Primteiler von k gegen ώ! gekürzt werden können. Akzeptieren wir hingegen (1 + 1/ώ)ώ als Darstellung für e, so ist die Behauptung trivial. Es gilt zu beachten, dass hier zwei unterschiedliche Darstellungen vorliegen.⃞

Größte-Primzahl-Kriterium für ω-transzendente Zahlen: Hat eine reelle Zahl r bei gekürzten Brüchen die Darstellung a/(bp) ± s/t mit natürlichen a, b, s und t, abst ≠ 0 und b + t > 2 sowie der (zweit-)größten Primzahl p ∈ ωℙ, p ∤ a und p ∤ t, so ist sie ω-transzendent.

Beweis: Es gilt r = (at ± bps)/(bpt) mit einem Nenner ≥ 2p ≥ 2ώ - O(ln ώ) > ώ + 1 als Konsequenz des Primzahlsatzes.⃞

Satz: Die Kreiszahl π ist ω-transzendent.

Beweis: Dies folgt aus ihrer Darstellung als Wallis-Produkt oder der Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert -½, sofern wir sie akzeptieren. Es gilt zu beachten, dass beide Darstellungen verschiedene Zahlen angeben. Alternativ wenden wir das Größte-Primzahl-Kriterium auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin(x)-Taylorreihe für x = 1 an.⃞

Satz: Die Konstanten von Artin (CArtin), Baxter (C2), Chaitin (ΩF), Champernowne (C10), Copeland-Erdős (CCE), Erdős-Borwein (E), Feller-Tornier (CFT), Flajolet und Richmond (Q), Glaisher-Kinkelin (A), Heath-Brown-Moroz (CHBM), Landau-Ramanujan (K), Liouville (£Li), Murata (CM), Pell (PPell), Prouhet-Thue-Morse (τ), Sarnak (Csa) und Stephen (CS) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante (ET bzw. LT), die Primzahlzwillingskonstante (C2) und die Carefree-Konstanten (K1, K2 und K3) sind ω-transzendent, da sich eine vorhandene (große) Potenz einer kleinen oder sehr großen Primzahl nicht aus Zähler oder Nenner kürzen lässt.⃞

Bemerkung: Die Behauptung für CCE gilt offenbar auch für jede Basis aus ωℕ*.

Satz: Die Konstanten von Catalan (G), Gieseking (π ln β), Smarandache (S1) und Taniguchi (CT) sind ω-transzendent aufgrund des Größte-Primzahl-Kriteriums.⃞

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion ψ, die Lambertsche W-Funktion, die Funktion Ein, der (hyperbolische) Integralsinus S(h)i, die Eulersche Betafunktion B und mit natürlichen positiven s und u sowie natürlichem t die generalisierte Fehlerfunktion Et, die hypergeometrische Funktion 0Ft, die Fresnel-Integral-Funktionen C und S und die Bessel-Funktion It bzw. die erster Gattung Jt, die Legendresche Funktion χs, die Polygammafunktion ψs, die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion Es,t, die Dirichletreihe Σu f(u)/us für u ∈ ωℕ* mit maximal endliche rationalen |f(u)|, die Primzetafunktion P(s), der Polylogarithmus Lis sowie die Lerchsche Zeta-Funktion Φ(q, s, r) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale |q| und |r|, bei denen die zugehörige Taylor-Reihe konvergiert, nur ω-transzendente Werte.

Beweis: Die Anwendung des Größte-Primzahl-Kriteriums liefert mit dem Dirichletschen Primzahlsatz und dem Wallis-Produkt die Behauptung, die bei der Digammafunktion aus dem Beweis der ω-Transzendenz der Eulerschen Konstante weiter unten folgt.⃞

Satz: Die Gammafunktion Γ(z) := m!mz/(z(z + 1) … (z + m)) mit m = ώώ² und z ∈ ωℂ \ -ωℕ ist für z ∈ ωℚ ω-transzendent und für jeweils geeignete Obermengen von ωℕ bzw. ωℚ.

Beweis: Die Werte von Γ(z) sind Nullstellen von Minimalpolynomen oder -reihen mit unendlichen ganzzahligen Koeffizienten.⃞

Satz: Sei s(x) := Σk xk/k für x ∈ ωℝ und k ∈ ωℕ*. Definieren wir die Eulersche Konstante als γ = s(1) - ln ώ ∈ ]0, 1[ (wegen dx/⌊x⌋ - dx/x ≥ 0 sowie dx/⌊x + 1⌋ - dx/x ≤ 0 für x ∈ ω≥1 in der Integraldarstellung von γ) und akzeptieren m s(½) - s(j/2m) als Darstellung für ln ώ mit ώ = 2m - j, m ∈ ωℕ und 2m-1 > j ∈ ℕ bei einer Genauigkeit von O(m/2ώ), so ist sie unendlich rational und damit ω-transzendent.

Beweis: Wir erhalten -ln(1 - x) = s(x) + O(xώ/(1 - x)) + t(x)dx für x ∈ [-1, 1 - 1/c] und einer reellen Funktion t(x) mit |t(x)| < ώ + 1 durch (exakte) Integration (s. Nichtstandardanalysis) aus der geometrischen Reihe. Die Behauptung folgt unter Anwendung des kleinen fermatschen Satzes aus dem Größte-Primzahl-Kriterium im jeweiligen Nenner des k-ten Summanden von s für die größte oder zweitgrößte Primzahl von ωℕ, deren Produkt aufgrund des Primzahlsatzes größer als m 2m-1 + 2m - j ist.⃞

Bemerkung: Da alle (höheren) Genauigkeiten im Nenner ihrer Summanden nach eventuellem Kürzen gegen dessen zugehörigen Zähler höhere Zweierpotenzen enthalten, gilt der Satz auch hier, also insbesondere bei fast beliebiger Genauigkeit t(x)dx, wenn wir γ sukzessive zu einem Bruch zusammenfassen. Setzen wir dx als Kehrwert einer in dieser Konstellation maximal möglichen Zweierpotenz mit unendlich natürlichem Exponenten n bei unendlich rationalem t(x) an, gilt die Behauptung sogar exakt. Fest steht, dass der Satz für unendlich viele Unendlichkeitsstufen von n gültig ist und insbesondere nach herkömmlicher Auffassung.

Definition: Erfüllen zwei Zahlen x, y ∈ ωℂ* oder ihre Kehrwerte keine Polynom- oder Reihengleichung p(x, y) = 0, so heißen sie ω-algebraisch unabhängig.

Satz: Das Größte-Primzahl-Kriterium liefert mit e = (1 + 1/p)p für maximales p ∈ ωℙ und π als Wallis-Produkt paarweise ω-algebraisch unabhängige Darstellungen von A, C2, γ, e, K und π.⃞

Satz: Die BBP-Reihen Σk p(k)/(q(k)bk) für b, k ∈ ωℕ und Polynome bzw. Reihen p und q ∈ ωℤ mit q(k) ≠ 0 und deg(p) < deg(q) liefern nur ω-transzendente Werte.

Beweis: Wir können die Summe auf einen kleinsten Nenner d ≥ bm > ω mit d, m ∈ ℕ* bringen.

Satz von Gelfond-Schneider: Für alle α ∈ ωA\{0, 1} und β ∈ ωA\ωℚ ist αβ ω-transzendent.

Beweis: Damit αβ Nullstelle eines Minimalpolynoms oder einer -reihe ist, wäre, da B := ωA ein Körper ist, genau die unzulässige Substitution α := ξηq/β mit ξ, η ∈ B* und q ∈ ωℚ* erforderlich.⃞

Aus dem vorstehenden Satz und der Körpereigenschaft von B ergibt sich direkt die

Folgerung: Wie zuvor existiert zu α kein β mit e = αβ, was der Vergleich der Minimalpolynome oder -reihen von e (s. o.) und αβ ergibt. Wenn es je genau ein γ ∈ B* zu jedem beliebigen ω-transzendenten τ ∈ ωℂ mit ω-algebraischem τγ gibt, sind alle τδ mit δ ∈ B\γωℚ ω-transzendent.⃞

Definition: Eine rationale Zahl ≠ 0 heißt potenzfrei, wenn sie nicht als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten ≠ ±1 darstellbar ist.

Satz: Für alle potenzfreien q ∈ Q := ℚ>0 gilt qx ∈ Q genau dann, wenn x ∈ ωℤ und |x| nicht zu groß ist.

Beweis: Da sich für nicht zu großes ±x ∈ ωℕ kein Widerspruch ergibt, nehmen wir o. B. d. A. gleichermaßen x ∈ Q\ωℕ* an. Weil dann qxωAR\Q mit R := ℝ>0 gölte, können wir gleichermaßen x ∈ ωAR\Q annehmen. Dann wäre nach dem Satz von Gelfond-Schneider qx ω-transzendent. Also können wir gleichermaßen x := a/b ∈ ωℝ\ωAR mit a, b ∈ ℤ als ω-transzendent annehmen. Daher gölte qa/b ∈ Q\ωℕ* und damit a = db mit d ∈ ℤ, da q potenzfrei ist. Dies führt auf den Widerspruch qd = qx und damit die Behauptung, da x nur reell sein kann.⃞

Bemerkung: Der vorstehende Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, nach der für verschiedene p, q ∈ cℙ px und qx genau dann c-rational sind, wenn x c-ganzzahlig ist.

Bemerkung: Die obigen Überlegungen können sinngemäß auf endlich transzendente Zahlen übertragen werden, wenn cℕ statt ωℕ bzw. alle weiteren daraus notwendigen Anpassungen vorgenommen werden. Unkonkrete Transzendenz zieht endliche nach sich.

© 2009-2018 by Boris Haase


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