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Zahlentheorie

Zahlentheorie

Im Folgenden werden die Ergebnisse von Mengenlehre und Nichtstandardanalysis vorausgesetzt. Vorerst wird das Verhalten für unkonkrete \(m, n \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) betrachtet und es seien auch \(j, k \in \mathbb{N}\).

Schrankensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Jede komplexe von Null verschiedene Zahl, deren Betrag des Real- und/oder Imaginärteils \(\le \hat{\omega}\) oder \(\ge \omega\) ist, ist bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Setzen wir in einer Polynom- oder Reihengleichung \({a}_{m} = 1\) und \({a}_{k} = -\acute{\omega}\) für \(k < m\), dann folgt die Behauptung im reellen Fall aus der geometrischen Reihe, wenn wir noch den Kehrwert bilden. Die exakten Grenzwerte erhalten wir, wenn wir \(\omega\) jeweils ersetzen durch \({\omega}(m) = \omega - \acute{\omega}/{\omega(m)}^{m}\). Die komplexen Fälle löst der Ansatz \(x = (1 + ib)\omega\) mit \(b \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\).\(\square\)

Koeffizientensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Alle normierten irreduziblen Polynome und Reihen, in denen \(|{a}_{k}| \ge \omega\) für mindestens ein \({a}_{k}\) ist, haben nur \(\omega\)-transzendente Nullstellen.

Beweis: Die Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen sind paarweise verschieden und eindeutig bestimmt. Da sie nicht \(\omega\)-algebraisch sind, müssen sie \(\omega\)-transzendent sein.\(\square\)

Approximationssatz für reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen: Jede reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(k > 1\) lässt sich durch eine reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(j < k\) mit einem durchschnittlichen Fehler approximieren, der asymptotisch gleich \(\iota \zeta(j + 1)/(\ln j \; {|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{j})\) ist.

Beweis: Auf der herkömmlich reellen Achse nimmt die Anzahl der \(\omega\)-algebraischen und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen pro Grad mehr ca. um den Faktor \(|{}^{\omega }\mathbb{Z}|\) zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der \(\omega\)-algebraischen Zahlen untereinander. Die nicht-reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen liegen weniger dicht.\(\square\)

Folgerung: Zwei verschiedene reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen haben durchschnittlich mindestens den Abstand \(\pi/(\ln \omega \; {|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{\acute{\omega}})\). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert die Lösung eines unendlichen nicht-linearen nicht-konvexen Optimierungsproblems. Damit haben reelle \(c\)-algebraische Zahlen eine Approximationsordnung von \(\mathcal{O}(c)\), was den Satz von Thue-Siegel-Roth, in dem auch nicht mehr als der (triviale) Minimalabstand zweier rationaler Zahlen bewiesen wird, und damit die abc-Vermutung widerlegt, nicht jedoch das Ergebnis von Liouville.

Satz: Der Abstand zweier benachbarter reeller \(\omega\)-algebraischer Zahlen beträgt maximal \(\Omega/\acute{\omega}\) mit der \(\omega\)-transzendenten Omega-Konstante \(\Omega = e^{-\Omega} = W(1)\) (s. u. Lambertsche \(W\)-Funktion).

Beweis: Der Abstand der reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen ist um \(\pm 1\) herum am größten. Die Zahl 1 lässt sich durch ein reelles \(\omega\)-algebraisches \(x\) approximieren, das die Polynom- oder Reihengleichung \(\acute{x}x^{m-1}\acute{\omega} = 1\) für \(x > 1\) oder \(x^m = -\acute{x}\acute{\omega}\) für \(x < 1\) erfüllen muss.\(\square\)

Satz: Für jede Zahl \(z \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q}\), die weder 0 noch Einheitswurzel ist, ist die geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=0}^{\acute{\omega}}{{{z}^{k}}}=\widehat{1-z}(1-{{z}^{\omega}})\) bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Der Betrag des Zählers oder Nenners von \({z}^{\omega}\) ist \(\ge {2}^{\acute{\omega}/2}.\square \)

Satz: Die Eulersche Zahl \(e\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Akzeptieren wir die Exponentialreihe als Darstellung für \(e\), folgt \(e = (k\acute{\omega} + 1)/\acute{\omega}!\) mit \(k \ge \omega\). Damit müssen Zähler und Nenner des angegebenen Bruches \(\ge \omega\) sein, da im Zähler weder \({\acute{\omega}}\) noch ein Primteiler von \(k\) gegen \({\acute{\omega}}!\) gekürzt werden können. Akzeptieren wir hingegen \({(1 + 1/{\acute{\omega}})}^{\acute{\omega}}\) als Darstellung für \(e\), so ist die Behauptung trivial. Es gilt zu beachten, dass hier zwei unterschiedliche Darstellungen vorliegen.\(\square\)

Größte-Primzahl-Kriterium für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Hat eine reelle Zahl \(r\) bei gekürzten Brüchen die Darstellung \(a/(bp) \pm s/t\) mit natürlichen \(a, b, s\) und \(t, abst \ne 0\) und \(b + t > 2\) sowie der (zweit-)größten Primzahl \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid a\) und \(p \nmid t\), so ist sie \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Es gilt \(r = (at \pm bps)/(bpt)\) mit einem Nenner \(\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}(\ln \, \omega) > \omega\) als Konsequenz des Primzahlsatzes.\(\square \)

Satz: Die Kreiszahl \(\pi\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Dies folgt aus ihrer Darstellung als Wallis-Produkt oder der Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert \(-\hat{2}\), sofern wir sie akzeptieren. Es gilt zu beachten, dass beide Darstellungen verschiedene Zahlen angeben. Alternativ wenden wir das Größte-Primzahl-Kriterium auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin\((x)\)-Taylorreihe für \(x = 1\) an.\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Artin \(({C}_{Artin})\), Baxter \(({C}_{2})\), Chaitin \(({\Omega}_{F})\), Champernowne \(({C}_{10})\), Copeland-Erdős \(({C}_{CE})\), Erdős-Borwein \((E)\), Feller-Tornier \(({C}_{FT})\), Flajolet und Richmond \((Q)\), Glaisher-Kinkelin \((A)\), Heath-Brown-Moroz \(({C}_{HBM})\), Landau-Ramanujan \((K)\), Liouville \(({£}_{Li})\), Murata \(({C}_{M})\), Pell \(({P}_{Pell})\), Prouhet-Thue-Morse \((\tau)\), Sarnak \(({C}_{sa})\) und Stephen \(({C}_{S})\) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante \((ET\) bzw. \(LT)\), die Primzahlzwillingskonstante \(({C}_{2})\) und die Carefree-Konstanten \(({K}_{1}, {K}_{2}\) und \({K}_{3})\) sind \(\omega\)-transzendent, da sich eine vorhandene (große) Potenz einer kleinen oder sehr großen Primzahl nicht aus Zähler oder Nenner kürzen lässt.\(\square\)

Bemerkung: Die Behauptung für \({C}_{CE}\) gilt offenbar auch für jede Basis aus \({}^{c}\mathbb{N}^{*}\).

Satz: Die Konstanten von Catalan \((G)\), Gieseking \((\pi \text{ ln } \beta)\), Smarandache \(({S}_{1})\) und Taniguchi \(({C}_{T})\) sind \(\omega\)-transzendent aufgrund des Größte-Primzahl-Kriteriums.\(\square\)

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion \(\psi\), die Lambertsche \(W\)-Funktion, die Funktion \(Ein\), der (hyperbolische) Integralsinus \(S(h)i\), die Eulersche Betafunktion \(B\) und mit natürlichen positiven \(s\) und \(u\) sowie natürlichem \(t\) die generalisierte Fehlerfunktion \({E}_{t}\), die hypergeometrische Funktion \({}_{0}{F}_{t}\), die Fresnel-Integral-Funktionen \(C\) und \(S\) und die Bessel-Funktion \({I}_{t}\) bzw. die erster Gattung \({J}_{t}\), die Legendresche Funktion \({\chi}_{t}\), die Polygammafunktion \({\psi}_{t}\), die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion \({E}_{s,t}\), die Dirichletreihe \(\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{{\hat{k}^{s}f(k)}\;}\) mit maximal endlichen rationalen \(|f(k)|\), die Primzetafunktion \(P(s)\), der Polylogarithmus \({Li}_{s}\) sowie die Lerchsche Zeta-Funktion \(\Phi(q, s, r)\) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale \(|q|\) und \(|r|\), bei denen die zugehörige Taylor-Reihe konvergiert, nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Die Anwendung des Größte-Primzahl-Kriteriums liefert mit dem Dirichletschen Primzahlsatz und dem Wallis-Produkt die Behauptung, die bei der Digammafunktion aus dem Beweis der \(\omega\)-Transzendenz der Eulerschen Konstante weiter unten folgt.\(\square\)

Satz: Die Gammafunktion \(\Gamma(z) := m! \, {m}^{z}/(z(z + 1) ... (z + m))\) mit \(m = {\omega}^{{\omega}^{2}}\) und \(z \in {}^{\omega }\mathbb{C} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}\) ist für \(z \in {}^{\omega }\mathbb{Q} \; \omega\)-transzendent und für jeweils geeignete Obermengen von \({}^{\omega }\mathbb{N}\) bzw. \({}^{\omega }\mathbb{Q}\).

Beweis: Die Werte von \(\Gamma(z)\) sind Nullstellen von Minimalpolynomen oder -reihen mit unendlichen ganzzahligen Koeffizienten.\(\square\)

Satz: Sei \(s(x) := \sum\limits_{k=1}^{}{\hat{k}{{x}^{k}}}\) für \(x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) und \(\gamma := s(1) - \ln \, \acute{\omega} = \int\limits_{1}^{\acute{\omega}}{\widehat{x\left\lfloor x \right\rfloor }\left( x-\left\lfloor x \right\rfloor \right)dx} \in \; ]0, 1[\) (durch Umsummieren ersichtlich) die Eulersche Konstante. Akzeptieren wir \(s(2^{-1})\ell \, (- s(2^{-\ell}))\) als Darstellung für ln \(\acute{\omega}\), so ist \(\gamma\) bei einer Genauigkeit von \(\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\ell)\) damit \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Wir erhalten \(-\ln(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\omega}/\acute{x}) + t(x)dx\) für \(x \in [-1, 1 - \hat{c}]\) und eine reelle Funktion \(t(x)\) mit \(|t(x)| < {\omega}\) durch (exakte) Integration (s. Nichtstandardanalysis) aus der geometrischen Reihe. Wenden wir den kleinen fermatschen Satz und das Größte-Primzahl-Kriterium auf den jeweiligen Nenner des \(k\)-ten Summanden von \(s\) an, so ist das Produkt der größten und zweitgrößten Primzahl von \({}^{\omega }\mathbb{N}\) aufgrund des Primzahlsatzes größer als \(\ell\omega.\square\)

Bemerkung: Für beliebige \(\omega \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) ist der vorstehende Beweis kaum schwieriger.

Definition: Erfüllen zwei Zahlen \(x, y \in {}^{\omega }\mathbb{C}^{*}\) oder ihre Kehrwerte keine Polynom- oder Reihengleichung \(p(x, y) = 0\), so heißen sie \(\omega\)-algebraisch unabhängig.

Satz: Das Größte-Primzahl-Kriterium liefert mit \(e = {(1 + \hat{p})}^{p}\) für maximales \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(\pi\) als Wallis-Produkt paarweise \(\omega\)-algebraisch unabhängige Darstellungen von \(A, {C}_{2}, \gamma, e, K\) und \(\pi.\square\)

Satz: Die BBP-Reihen \(\sum\limits_{k=1}^{}{p(k)\widehat{q(k){{b}^{k}}}}\) für \(b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und ganzzahlige Polynome bzw. Reihen \(p\) und \(q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) mit \(q(k) \ne 0\) und deg\((p) <\) deg\((q)\) liefern nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Wir können die Summe auf einen kleinsten Nenner \(d \ge {b}^{m} > \omega\) mit \(d, m \in \mathbb{N}^{*}\) bringen.\(\square\)

Definition: Eine rationale Zahl \(\ne 0\) heißt potenzfrei, wenn sie nicht als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten \(\ne \pm 1\) darstellbar ist. Sei \(||\cdot|{{|}_{d}}\) der Abstand zur nächsten ganzen Zahl.

Satz: Für alle potenzfreien \(q \in Q := {\mathbb{Q}}_{>0}\) gilt \({q}^{x} \in Q\) für reelle \(x\) genau dann, wenn \(x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) und \(|x|\) nicht zu groß ist.

Beweis: Sei o. B. d. A. \(x > 0\). Da sich für nicht zu großes \(x \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) kein Widerspruch ergibt, nehmen wir \(x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}\) an. Weil dann \({q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q\) gilt, können wir \(x := m/n \in {}^{\omega }\mathbb{R}_{>0} \setminus Q\) annehmen mit \(m, n \in {\mathbb{N}}^{*}\) und ggT\((m, n) = 1\). Also muss \({q}^{m} = {r}^{n}\) mit einem \(r \in Q\) gelten. Dann ist aber der Zähler oder der Nenner von \(q\) bzw. \(r\) größer als \(2^{\omega}\) aufgrund des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Dieser Widerspruch liefert die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Dieser Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass \({p}^{x}\) und \({q}^{x}\) genau dann \(c\)-rational für verschiedene \(p, q \in {}^{c}\mathbb{P}\) sind, wenn \(x \in {}^{c}\mathbb{Z}\) mit nicht zu großem \(|x|\) gilt. Die obigen Überlegungen können sinngemäß auf endlich transzendente Zahlen übertragen werden, wenn \({}^{c}\mathbb{N}\) statt \({}^{\omega }\mathbb{N}\) bzw. alle weiteren daraus notwendigen Anpassungen vorgenommen werden. Unkonkrete Transzendenz zieht endliche nach sich.

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Für alle \(a,b\in {}^{c}\mathbb{R}\) und \(n\in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) gilt:\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0.\]Beweis: Seien \(r,s\in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) die Nenner der Kettenbruchentwicklung von \(a\) bzw. \(b\) mit Genauigkeit \(q \in {}^{c}{\mathbb{R}}_{>0}\) und \(n\) immer wieder ein natürliches Vielfaches von \(rs\). Dann gilt nach dem dirichletschen Approximationssatz (s. [455], S. 63): \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n||na|{{|}_{d}}||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\mathcal{O}{{(\hat{n})}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(\hat{n})=0.\square\]Widerlegung der Littlewood-Vermutung in der Nichtstandardmathematik: Sei \(a = b := {{\omega}^{-{3}/{2}}}\). Dann gilt:\[\omega \;||\omega a|{{|}_{d}}\;||\omega b|{{|}_{d}}= 1 \ne 0.\square\]Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung gilt als

Satz: Für minimales \(\varepsilon \in \left[ \hat{2},1 \right],\sigma \left( 0 \right):=\chi \left( 0 \right)=0,\sigma \left( n \right):=\rho \left( n \right)+\sigma \left( \acute{n} \right), \rho \left( n \right)=\pm \chi \left( n \right), {|\sigma\left( n \right)| = \mathcal{O}\left( {{n}^{\varepsilon }} \right)}\), einen beliebigen Dirichlet-Charakter \(\chi \left( n \right)\) mit \(n\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{N}^{*}\), die Dirichletsche \(L\)-Funktion \(L\left( s,\chi \right)\) mit \(s \in {}^{\omega }\mathbb{C}\) und\[\frac{L\left( 2s,{{\chi }^{2}} \right)}{L\left( s,\chi \right)} = \frac{\prod\limits_{p\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{P}}{{{\left( 1-{{\chi }^{2}}(p){{p}^{-2s}} \right)}^{-1}}}}{\prod\limits_{p\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{P}}{{{\left( 1-\chi (p){{p}^{-s}} \right)}^{-1}}}}=\prod\limits_{p\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{P}}{{{\left( 1+\chi (p){{p}^{-s}} \right)}^{-1}}}=\prod\limits_{p\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{P}}{\sum\limits_{k\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{N}}{{{\left( -\chi (p){{p}^{-s}} \right)}^{k}}}}=\sum\limits_{n \in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{N}^{*}}{\rho (n){{n}^{-s}}} =\sum\limits_{n \in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{N}^{*}}{\left( \sigma (n)-\sigma (\acute{n}) \right){{n}^{-s}}}=\frac{\sigma (\acute{\omega})}{{{\acute{\omega}}^{s}}}+\sum\limits_{n\in {}^{\acute{\omega}}{{\mathbb{N}}_{\ge 2}}}{\sigma (\acute{n})\left( {{\acute{n}}^{-s}}-{{n}^{-s}} \right)}=\frac{\sigma (\acute{\omega})}{{{\acute{\omega}}^{s}}}+s\int\limits_{x\in [1, \acute{\omega}[}{\frac{\sigma (\lfloor x \rfloor )}{{{x}^{s+1}}}dx}\]gilt \(\varepsilon = \hat{2}\) (s. [887], S. 56 f.).

Indirekter Beweis: Angenommen \(\varepsilon \in \left] \hat{2},1 \right]\). Ist \(s := \hat{2} + it\) mit \(t\in {}^{c}\mathbb{R}\) eine nicht-triviale Nullstelle von \(L\left( s,\chi \right)\), dann auch jedes \(\delta + it\) mit \(\delta \in \left] \hat{2},\varepsilon \right]\). Dies widerspricht dem tatsächlichen Verlauf der Funktion \(L\left( s,\chi \right).\square\)

Bemerkung: Aus \(\chi \left( n \right) = 1\) für alle \(n\in {}^{\acute{\omega}}\mathbb{N}^{*}\) folgt die Riemannsche Vermutung. Auch \({{\chi }^{2}}\left( n \right)\) ist Dirichlet-Charakter. Es gilt die Funktionalgleichung für \(\varepsilon \in \left[ 0,\hat{2} \right]\) zu beachten (s. [887], S. 108).

Korollar: Jede Zahl \(z \in {}^{\omega}\mathbb{Z} \setminus \{-1\}\), die keine Quadratzahl ist, ist eine Primitivwurzel modulo unendlich vieler Primzahlen \(p \in \mathbb{P}\) nach (Hooley, Christopher: On Artin's Conjecture. J. Reine Angew. Math. 225; 1967; 209 - 220).\(\square\)

Korollar: Alle numeri idonei sind genau die 65 Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 und 1848 nach (Kani, Ernst: Idoneal Numbers and some Generalizations; Ann. Sci. Math. 35 (2); 2011; 197 - 227).\(\square\)

Korollar: Alle ungeraden \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) mit \(n \ne {x}^{2} + {y}^{2} + 10{z}^{2}\) für \(x, y, z \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) sind genau die 18 Werte 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679 und 2719 nach (Ono, Ken; Soundararajan, Kannan: Ramanujan's Ternary Quadratic Form; Inventiones Mathematicae 130 (3); 1997; 415 - 454).\(\square\)

Korollar: Jeder Zahlkörper mit Klassenzahl 1 ist entweder euklidisch oder ein imaginär quadratischer Zahlkörper mit Diskriminante -19, -43, -67 oder -163 nach (Weinberger, Peter J.: On Euclidean Rings of Algebraic Integers. Analytic number theory (Proc. Sympos. Pure Math. 24; St. Louis Univ.; St. Louis, Mo.; 1972); 1973; 321 - 332).\(\square\)

Korollar: Der Miller-Rabin-Test ist polynomiell nach (Miller, Gary L.: Riemann's Hypothesis and Tests for Primality; Journal of Computer and System Sciences 13 (3); 1976; 300 - 317).\(\square\)

Korollar: Für alle \(x \in {}^{\omega }\mathbb{R}_{\ge 2}\) gibt es nach (Dudek, Adrian W.: On the Riemann Hypothesis and the Difference Between Primes; International Journal of Number Theory 11 (03); 2014; 771 - 778) ein \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) mit \[x-4\hat{\pi }\sqrt{x} \, \text{ln }x < p \le x.\square\]Korollar: Für alle \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 5041}\) gilt nach (Robin, Guy: Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann; Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 63 (2), Neuvième Série; 1984; 187 - 213) \[\sum\limits_{d|n}{d}<{{e}^{\gamma }}\ln \ln n.\square\]Korollar: Für alle \(x \in {}^{\omega }\mathbb{R}_{\ge 73,2}\), \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(k \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) gilt nach (Schoenfeld, Lowell: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions \(\theta(x)\) and \(\psi(x)\). II; Mathematics of Computation 30 (134); 1976; 337 - 360) \[\left| x-\sum\limits_{{{p}^{k}}\le x}{\ln \,p} \right|<\frac{\sqrt{x}\,{{\ln }^{2}}x}{8\pi }.\square\]Primzahlsatz: Für alle \(x\in {}^{\omega }{{\mathbb{R}}_{\ge 2657}}\) gilt nach derselben Quelle wie zuvor \[\left| \left| {{\mathbb{P}}_{\le x}} \right|-\int\limits_{d0}^{1-d0}{\frac{dt}{\ln t}-\int\limits_{1+d0}^{x}{\frac{dt}{\ln t}}} \right|< \frac{\sqrt{x}\ln x}{8\pi }.\square\]Ternärer Satz von Goldbach: Alle ungeraden \(n\in {}^{\omega }{{\mathbb{N}}_{\ge 7}}\) sind nach (Jean-Marc Deshouillers et al.: Electronic Research Announcements of the AMS Vol. 3 (1997), 99 - 104) Summe dreier Primzahlen.\(\square\)

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