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Zahlentheorie

Zahlentheorie

Im Folgenden werden die Ergebnisse von Mengenlehre und Nichtstandardanalysis vorausgesetzt. Vorerst wird das Verhalten für unkonkrete \(m, n \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) betrachtet und es seien auch \(j, k \in \mathbb{N}\).

Bemerkung: Aus der Algebra ist bekannt, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von zwei algebraischen Zahlen vom Grad \(j\) bzw. \(k\) algebraisch maximal vom Grad \(jk\) sind und die \(1/j\)-te Potenz einer algebraischen Zahl vom Grad \(k\) algebraisch maximal vom Grad \(jk\) ist.

Bemerkung: Transzendente Zahlen sind die Summe eines algebraischen Hauptteils und eines transzendenten Rests. Untersuchen wir die Transzendenz einer Zahl und ist letzterer durch den Grenzwert einer Nullfolge \(\left({a}_{k}\right)\) (s. Nichtstandardanalysis) gegeben, dürfen wir also die Folgenwerte für große \(k\) nicht einfach weglassen: Sie sind entscheidend. Transzendente Zahlen sind alle Zahlen, die zwischen den algebraischen liegen oder jenseits von diesen. Nach dem Anzahlsatz der algebraischen Zahlen liegt zwischen zwei dicht genug beieinander liegenden verschiedenen transzendenten Zahlen (algebraischen vom Grad \(j\)) keine algebraische Zahl (vom Grad \(< j\)).

Schrankensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Jede komplexe von Null verschiedene Zahl, deren Betrag des Real- und/oder Imaginärteils \(\le 1/({\acute{\omega}} + 1)\) oder \(\ge {\acute{\omega}} + 1\) ist, ist bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Setzen wir in einer Polynom- oder Reihengleichung \({a}_{m} = 1\) und \({a}_{k} = -{\acute{\omega}}\) für \(k < m\), dann folgt die Behauptung aus der geometrischen Reihe, wenn wir noch den Kehrwert bilden. Die exakten Grenzwerte erhalten wir, wenn wir \({\acute{\omega}} + 1\) jeweils ersetzen durch \({\omega}(m) = {\acute{\omega}} + 1 - {\acute{\omega}}/{\omega(m)}^{m}\) mit \(\omega := {\acute{\omega}} + 1 - {\acute{\omega}}/{\omega}^{\acute{\omega}}\). Im komplexen Fall liefern Ansätze der Form \(x = (1 + ib)({\acute{\omega}} + 1)\) mit \(b \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) das Gewünschte.\(\square\)

Koeffizientensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Alle normierten irreduziblen Polynome und Reihen, in denen \(|{a}_{k}| \ge {\acute{\omega}} + 1\) für mindestens ein \({a}_{k}\) ist, haben nur \(\omega\)-transzendente Nullstellen.

Beweis: Die Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen sind paarweise verschieden und eindeutig bestimmt. Da sie nicht \(\omega\)-algebraisch sind, müssen sie \(\omega\)-transzendent sein.\(\square\)

Approximationssatz für reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen: Jede reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(k > 1\) lässt sich durch eine reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(j < k\) mit einem durchschnittlichen Fehler approximieren, der asymptotisch gleich \(\pi \zeta(j + 1)/(2 ln \, j {|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{j})\) ist.

Beweis: Auf der herkömmlich reellen Achse nimmt die Anzahl der \(\omega\)-algebraischen und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen pro Grad mehr ca. um den Faktor \(|{}^{\omega }\mathbb{Z}|\) zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der \(\omega\)-algebraischen Zahlen untereinander. Die nicht-reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen liegen weniger dicht.\(\square\)

Folgerung: Zwei verschiedene reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen haben durchschnittlich mindestens den Abstand \(\pi/\left(ln({\acute{\omega}} + 1) {|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{\acute{\omega}}\right)\). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert die Lösung eines unendlichen nicht-linearen nicht-konvexen Optimierungsproblems. Damit haben reelle \(c\)-algebraische Zahlen eine Approximationsordnung von \(\mathcal{O}(c)\), was den Satz von Thue-Siegel-Roth, in dem auch nicht mehr als der (triviale) Minimalabstand zweier rationaler Zahlen bewiesen wird, und damit die abc-Vermutung widerlegt, nicht jedoch das Ergebnis von Liouville.

Satz: Der Maximalabstand zweier reeller \(\omega\)-algebraischer Zahlen \(\ne 0\) beträgt \(1/{\acute{\omega}}^{2} - \mathcal{O}\left(1/{\acute{\omega}}^{3}\right)\).

Beweis: Der Abstand der reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen \(\ne 0\) ist um \(\pm 1\) herum am größten. Eine \(\omega\)-rationale Zahl \(r > 1 (0 < r < 1)\) lässt sich besser durch ein reelles \(\omega\)-algebraisches \(x\) approximieren, das die Polynom- oder Reihengleichung \({x}^{m} - r{x}^{m-1} = r/{\acute{\omega}} \; ({x}^{m} - {\acute{\omega}}x = -{\acute{\omega}}r)\) erfüllt. Für negative \(r\) gilt Entsprechendes. Wollen wir 1 durch ein größeres reelles \(\omega\)-algebraisches \(x\) approximieren, muss es zwingend eine Polynom- oder Reihengleichung mit \({a}_{m} = {\acute{\omega}} - 1\) und \({a}_{0} = -{\acute{\omega}}\) erfüllen. Setzen wir noch \({a}_{1} = -{\acute{\omega}}\) und \({a}_{2} = {\acute{\omega}}\), folgt die Behauptung, da sich der Maximalabstand nicht weiter verringern lässt.\(\square\)

Bemerkung: Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden die unendlichen (komplex)rationalen Zahlen numerisch bereits ganz \(\mathbb{R} \; (\mathbb{C})\). Daher sind algebraische und transzendente Zahlen (numerisch) kaum zu unterscheiden und Approximationen von geringer Aussagekraft über die Algebraizität (von einem bestimmten Grad). Dies macht ihre Unterscheidung daher fragwürdig. Nicht als rationale Zahl abbrechende reelle Kettenbrüche sind \(\omega\)-transzendent, da sie unendlich rational sind. Sie können \(\omega\)-algebraische Zahlen nur annähern.

Bemerkung: Da alle reellen Zahlen (näherungsweise) (unendliche) rationale Zahlen sind, können wir sie in Echtzeit berechnen. Bei \(\omega\)-transzendenten Zahlen geben wir uns im Gegensatz zu \(\omega\)-algebraischen Zahlen, wo wir mit den zugehörigen Minimalpolynomen oder -reihen argumentieren sollten, mit einer beliebig genauen unendlich kleinen Genauigkeit zufrieden und können sie daher als rationalen Bruch mit unendlichem Zähler und Nenner ansetzen.

Bemerkung: Wer die Transzendenz einer Zahl mit dem Approximationssatz von Liouville untersuchen will, sollte darauf achten, dass die approximierenden rationalen Zahlen auch tatsächlich noch rational sind und nicht unendlich rational wie z. B. die Zahl \({10}^{{\acute{\omega}}+1}\). Auch wer Primzahlen \(\ge {\acute{\omega}} + 1\) in Transzendenzbeweisen betrachtet, sollte sich sicher im unendlich Natürlichen bewegen. Die folgenden Beweise liefern ebenfalls \(\omega\)-transzendente Ergebnisse, wenn die Menge \({}^{\omega }\mathbb{N}\) durch \([{\acute{\omega}} + 1, n]\mathbb{N}\) mit nicht zu großem \(n\) ersetzt wird.

Satz: Für jede Zahl \(z \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q}\), die weder 0 noch Einheitswurzel ist, ist die geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=0}^{\acute{\omega}}{{{z}^{k}}}=\frac{1-{{z}^{\acute{\omega}+1}}}{1-z}\) bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Der Betrag des Zählers oder Nenners von \({z}^{{\acute{\omega}}+1}\) ist \(\ge {2}^{{\acute{\omega}}/2}.\square\)

Satz: Die Eulersche Zahl \(e\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Akzeptieren wir die Exponentialreihe als Darstellung für \(e\), folgt \(e = (k{\acute{\omega}} + 1)/{\acute{\omega}}!\) mit \(k \ge {\acute{\omega}} + 1\). Damit müssen Zähler und Nenner des angegebenen Bruches \(\ge {\acute{\omega}} + 1\) sein, da im Zähler weder \({\acute{\omega}}\) noch ein Primteiler von \(k\) gegen \({\acute{\omega}}!\) gekürzt werden können. Akzeptieren wir hingegen \({(1 + 1/{\acute{\omega}})}^{\acute{\omega}}\) als Darstellung für \(e\), so ist die Behauptung trivial. Es gilt zu beachten, dass hier zwei unterschiedliche Darstellungen vorliegen.\(\square\)

Größte-Primzahl-Kriterium für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Hat eine reelle Zahl \(r\) bei gekürzten Brüchen die Darstellung \(a/(bp) \pm s/t\) mit natürlichen \(a, b, s\) und \(t, abst \ne 0\) und \(b + t > 2\) sowie der (zweit-)größten Primzahl \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid a\) und \(p \nmid t\), so ist sie \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Es gilt \(r = (at \pm bps)/(bpt)\) mit einem Nenner \(\ge 2p \ge 2{\acute{\omega}} - \mathcal{O}(ln \, {\acute{\omega}}) > {\acute{\omega}} + 1\) als Konsequenz des Primzahlsatzes.\(\square\)

Satz: Die Kreiszahl \(\pi\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Dies folgt aus ihrer Darstellung als Wallis-Produkt oder der Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert \(-\tfrac{1}{2}\), sofern wir sie akzeptieren. Es gilt zu beachten, dass beide Darstellungen verschiedene Zahlen angeben. Alternativ wenden wir das Größte-Primzahl-Kriterium auf die Leibnizsche Reihe oder die \(arcsin(x)\)-Taylorreihe für \(x = 1\) an.\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Artin \(({C}_{Artin})\), Baxter \(({C}_{2})\), Chaitin \(({\Omega}_{F})\), Champernowne \(({C}_{10})\), Copeland-Erdős \(({C}_{CE})\), Erdős-Borwein \((E)\), Feller-Tornier \(({C}_{FT})\), Flajolet und Richmond \((Q)\), Glaisher-Kinkelin \((A)\), Heath-Brown-Moroz \(({C}_{HBM})\), Landau-Ramanujan \((K)\), Liouville \(({£}_{Li})\), Murata \(({C}_{M})\), Pell \(({P}_{Pell})\), Prouhet-Thue-Morse \((\tau)\), Sarnak \(({C}_{sa})\) und Stephen \(({C}_{S})\) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante \((ET\) bzw. \(LT)\), die Primzahlzwillingskonstante \(({C}_{2})\) und die Carefree-Konstanten \(({K}_{1}, {K}_{2}\) und \({K}_{3})\) sind \(\omega\)-transzendent, da sich eine vorhandene (große) Potenz einer kleinen oder sehr großen Primzahl nicht aus Zähler oder Nenner kürzen lässt.\(\square\)

Bemerkung: Die Behauptung für \({C}_{CE}\) gilt offenbar auch für jede Basis aus \({}^{c}\mathbb{N}^{*}\).

Satz: Die Konstanten von Catalan \((G)\), Gieseking \((\pi \, ln \, \beta)\), Smarandache \(({S}_{1})\) und Taniguchi \(({C}_{T})\) sind \(\omega\)-transzendent aufgrund des Größte-Primzahl-Kriteriums.\(\square\)

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion \(\psi\), die Lambertsche \(W\)-Funktion, die Funktion \(Ein\), der (hyperbolische) Integralsinus \(S(h)i\), die Eulersche Betafunktion \(B\) und mit natürlichen positiven \(s\) und \(u\) sowie natürlichem \(t\) die generalisierte Fehlerfunktion \({E}_{t}\), die hypergeometrische Funktion \({}_{0}{F}_{t}\), die Fresnel-Integral-Funktionen \(C\) und \(S\) und die Bessel-Funktion \({I}_{t}\) bzw. die erster Gattung \({J}_{t}\), die Legendresche Funktion \({\chi}_{t}\), die Polygammafunktion \({\psi}_{t}\), die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion \({E}_{s,t}\), die Dirichletreihe \(\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{{f(k)}/{{{k}^{s}}}\;}\) mit maximal endlichen rationalen \(|f(k)|\), die Primzetafunktion \(P(s)\), der Polylogarithmus \({Li}_{s}\) sowie die Lerchsche Zeta-Funktion \(\Phi(q, s, r)\) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale \(|q|\) und \(|r|\), bei denen die zugehörige Taylor-Reihe konvergiert, nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Die Anwendung des Größte-Primzahl-Kriteriums liefert mit dem Dirichletschen Primzahlsatz und dem Wallis-Produkt die Behauptung, die bei der Digammafunktion aus dem Beweis der \(\omega\)-Transzendenz der Eulerschen Konstante weiter unten folgt.\(\square\)

Satz: Die Gammafunktion \(\Gamma(z) := m!{m}^{z}/(z(z + 1) ... (z + m))\) mit \(m = {\acute{\omega}}^{{\acute{\omega}}^{2}}\) und \(z \in {}^{\omega }\mathbb{C} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}\) ist für \(z \in {}^{\omega }\mathbb{Q} \; \omega\)-transzendent und für jeweils geeignete Obermengen von \({}^{\omega }\mathbb{N}\) bzw. \({}^{\omega }\mathbb{Q}\).

Beweis: Die Werte von \(\Gamma(z)\) sind Nullstellen von Minimalpolynomen oder -reihen mit unendlichen ganzzahligen Koeffizienten.\(\square\)

Satz: Sei \(s(x) := \sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{{{{x}^{k}}}/{k}\;}\) für \(x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\). Definieren wir die Eulersche Konstante als \(\gamma = s(1) - ln \, {\acute{\omega}} \in ]0, 1[\) (wegen \(dx/\lfloor x\rfloor - dx/x \ge 0\) sowie \(dx/\lfloor x + 1\rfloor - dx/x \le 0\) für \(x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}_{\ge 1}\) in der Integraldarstellung von \(\gamma\) und akzeptieren \(m s(\tfrac{1}{2}) - s(j/{2}^{m})\) als Darstellung für \(ln \, {\acute{\omega}}\) mit \({\acute{\omega}} = {2}^{m} - j, m \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) und \(j \in [0, {2}^{m-1}[\) bei einer Genauigkeit von \(\mathcal{O}(m/{2}^{\acute{\omega}})\), so ist sie unendlich rational und damit \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Wir erhalten \(-ln(1 - x) = s(x) + \mathcal{O}({x}^{\acute{\omega}}/(1 - x)) + t(x)dx\) für \(x \in [-1, 1 - 1/c]\) und einer reellen Funktion \(t(x)\) mit \(|t(x)| < {\acute{\omega}} + 1\) durch (exakte) Integration (s. Nichtstandardanalysis) aus der geometrischen Reihe. Die Behauptung folgt unter Anwendung des kleinen fermatschen Satzes aus dem Größte-Primzahl-Kriterium im jeweiligen Nenner des \(k\)-ten Summanden von \(s\) für die größte oder zweitgrößte Primzahl von \({}^{\omega }\mathbb{N}\), deren Produkt aufgrund des Primzahlsatzes größer als \(m {2}^{m-1} + {2}^{m} - j\) ist.\(\square\)

Bemerkung: Da alle (höheren) Genauigkeiten im Nenner ihrer Summanden nach eventuellem Kürzen gegen dessen zugehörigen Zähler höhere Zweierpotenzen enthalten, gilt der Satz auch hier, also insbesondere bei fast beliebiger Genauigkeit \(t(x)dx\), wenn wir \(\gamma\) sukzessive zu einem Bruch zusammenfassen. Setzen wir \(dx\) als Kehrwert einer in dieser Konstellation maximal möglichen Zweierpotenz mit unendlich natürlichem Exponenten \(n\) bei unendlich rationalem \(t(x)\) an, gilt die Behauptung sogar exakt. Fest steht, dass der Satz für unendlich viele Unendlichkeitsstufen von \(n\) gültig ist und insbesondere nach herkömmlicher Auffassung.

Definition: Erfüllen zwei Zahlen \(x, y \in {}^{\omega }\mathbb{C}^{*}\) oder ihre Kehrwerte keine Polynom- oder Reihengleichung \(p(x, y) = 0\), so heißen sie \(\omega\)-algebraisch unabhängig.

Satz: Das Größte-Primzahl-Kriterium liefert mit \(e = {(1 + 1/p)}^{p}\) für maximales \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(\pi\) als Wallis-Produkt paarweise \(\omega\)-algebraisch unabhängige Darstellungen von \(A, {C}_{2}, \gamma, e, K\) und \(\pi.\square\)

Satz: Die BBP-Reihen \(\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{{p(k)}/{\left( q(k){{b}^{k}} \right)}\;}\) für \(b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und ganzzahlige Polynome bzw. Reihen \(p\) und \(q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) mit \(q(k) \ne 0\) und \(deg(p) < deg(q)\) liefern nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Wir können die Summe auf einen kleinsten Nenner \(d \ge {b}^{m} > \omega\) mit \(d, m \in \mathbb{N}^{*}\) bringen.\(\square\)

Definition: Eine rationale Zahl \(\ne 0\) heißt potenzfrei, wenn sie nicht als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten \(\ne \pm 1\) darstellbar ist.

Satz: Für alle potenzfreien \(q \in Q := {\mathbb{Q}}_{>0}\) gilt \({q}^{x} \in Q\) für reelle \(x\) genau dann, wenn \(x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) und \(|x|\) nicht zu groß ist.

Beweis: Sei o. B. d. A. \(x > 0\). Da sich für nicht zu großes \(x \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) kein Widerspruch ergibt, nehmen wir \(x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}\) an. Weil dann \({q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q\) gilt, können wir \(x := m/n \in {}^{\omega }\mathbb{R}_{>0} \setminus Q\) annehmen mit \(m, n \in {\mathbb{N}}^{*}\) und ggT\((m, n) = 1\). Also muss \({q}^{m} = {r}^{n}\) mit einem \(r \in Q\) gelten. Dann ist aber der Zähler oder der Nenner von \(q\) bzw. \(r\) größer als \(2^{\acute{\omega}}\) aufgrund des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Dieser Widerspruch liefert die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Dieser Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass \({p}^{x}\) und \({q}^{x}\) genau dann \(c\)-rational für verschiedene \(p, q \in {}^{c}\mathbb{P}\) sind, wenn \(x \in {}^{c}\mathbb{Z}\) mit nicht zu großem \(|x|\) gilt.

Bemerkung: Die obigen Überlegungen können sinngemäß auf endlich transzendente Zahlen übertragen werden, wenn \({}^{c}\mathbb{N}\) statt \({}^{\omega }\mathbb{N}\) bzw. alle weiteren daraus notwendigen Anpassungen vorgenommen werden. Unkonkrete Transzendenz zieht endliche nach sich.

Definition: Sei \(||\cdot|{{|}_{d}}\) der Abstand zur nächsten ganzen Zahl.

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Für alle \(a,b\in {}^{c}\mathbb{R}\) und \(n\in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) gilt:\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0.\]Beweis: Seien \(r,s\in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) die Nenner der Kettenbruchentwicklung von \(a\) bzw. \(b\) mit Genauigkeit \(q\in {}^{c}\mathbb{R}_{> 0}\) und \(n\) immer wieder ein natürliches Vielfaches von \(rs\). Dann gilt nach dem dirichletschen Approximationssatz (s. [455], S. 63):\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;\mathcal{O}{{(1/n)}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(1/n)=0.\square\]Widerlegung der Littlewood-Vermutung in der Nichtstandardmathematik: Sei \(a = b := {{\acute{\omega}}^{-{3}/{2}}}\). Dann gilt:\[\acute{\omega} \;||\acute{\omega}a|{{|}_{d}}\;||\acute{\omega}b|{{|}_{d}}= 1 \ne 0.\square\]Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung gilt als

Satz: Für minimales \(\varepsilon \in \left[ \tfrac{1}{2},1 \right],\sigma \left( 0 \right):=\chi \left( 0 \right)=0,\sigma \left( n \right):=\rho \left( n \right)+\sigma \left( n-1 \right),\nu \left( s \right):={{{\sigma \left( {\acute{\omega}} \right)}/{\left(\acute{\omega}+1 \right)}}^{s}},\sigma \left( x \right)=\mathcal{O}\left( {{x}^{\varepsilon }} \right),\rho \left( n \right)=\pm \chi \left( n \right)\), einen beliebigen Dirichlet-Charakter \(\chi \left( n \right)\) mit \(\left\lfloor x \right\rfloor =n\) und \(n\in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\), die Dirichletsche \(L\)-Funktion \(L\left( s,\chi \right)\) mit \(s\in {}^{\omega }\mathbb{C},x\in {}^{\omega }{{\mathbb{R}}_{\ge 1}}\) und \[\frac{L\left( 2s,{{\chi }^{2}} \right)}{L\left( s,\chi \right)}=\frac{\prod\limits_{p\in {}^{\omega }\mathbb{P}}{{{\left( 1-{{\chi }^{2}}\left( p \right){{p}^{-2s}} \right)}^{-1}}}}{\prod\limits_{p\in {}^{\omega }\mathbb{P}}{{{\left( 1-\chi \left( p \right){{p}^{-s}} \right)}^{-1}}}}=\prod\limits_{p\in {}^{\omega }\mathbb{P}}{{{\left( 1+\chi \left( p \right){{p}^{-s}} \right)}^{-1}}}=\prod\limits_{p\in {}^{\omega }\mathbb{P}}{\sum\limits_{k\in {}^{\omega }\mathbb{N}}{\frac{{{\left( -\chi (p) \right)}^{k}}}{{{p}^{ks}}}}}=\sum\limits_{n\in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}}{\frac{\rho (n)}{{{n}^{s}}}}=\sum\limits_{n\in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}}{\frac{\sigma (n)-\sigma (n-1)}{{{n}^{s}}}}=\nu (s)+\sum\limits_{n\in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}}{\sigma (n)\left( \frac{1}{{{n}^{s}}}-\frac{1}{{{(n+1)}^{s}}} \right)}=\nu (s)+s\,\int\limits_{1}^{\acute{\omega}}{\frac{\sigma (x)}{{{x}^{s+1}}}dx}\]gilt \(\varepsilon = \tfrac{1}{2}\) (s. [887], S. 56 f.).

Indirekter Beweis: Angenommen \(\varepsilon \in \left] \tfrac{1}{2},1 \right]\). Ist \(s := \tfrac{1}{2} + it\) mit \(t\in {}^{c}\mathbb{R}\) eine nicht-triviale Nullstelle von \(L\left( s,\chi \right)\), dann auch jedes \(\delta + it\) mit \(\delta \in \left] \tfrac{1}{2},\varepsilon \right]\). Dies ergibt einen Widerspruch zum tatsächlichen Funktionsverlauf von \(L\left( s,\chi \right).\square\)

Bemerkung: Aus \(\chi \left( n \right) = 1\) für alle \(n\in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) folgt die Riemannsche Vermutung. Auch \({{\chi }^{2}}\left( n \right)\) ist Dirichlet-Charakter. Es gilt die Funktionalgleichung für \(\varepsilon \in \left[ 0,\tfrac{1}{2} \right]\) zu beachten (s. [887], S. 108).

Korollar: Jede Zahl \(z \in {}^{\omega }\mathbb{Z} \setminus \{-1\}\), die keine Quadratzahl ist, ist eine Primitivwurzel modulo unendlich vieler Primzahlen \(p \in \mathbb{P}\) nach (Hooley, Christopher: On Artin's Conjecture. J. Reine Angew. Math. 225; 1967; 209 - 220).\(\square\)

Korollar: Alle numeri idonei sind genau die 65 Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 und 1848 nach (Kani, Ernst: Idoneal Numbers and some Generalizations; Ann. Sci. Math. 35 (2); 2011; 197 - 227).\(\square\)

Korollar: Alle ungeraden \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) mit \(n \ne {x}^{2} + {y}^{2} + 10{z}^{2}\) für \(x, y, z \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) sind genau die 18 Werte 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679 und 2719 nach (Ono, Ken; Soundararajan, Kannan: Ramanujan's Ternary Quadratic Form; Inventiones Mathematicae 130 (3); 1997; 415 - 454).\(\square\)

Korollar: Jeder Zahlkörper mit Klassenzahl 1 ist entweder euklidisch oder ein imaginär quadratischer Zahlkörper mit Diskriminante -19, -43, -67 oder -163 nach (Weinberger, Peter J.: On Euclidean Rings of Algebraic Integers. Analytic number theory (Proc. Sympos. Pure Math. 24; St. Louis Univ.; St. Louis, Mo.; 1972); 1973; 321 - 332).\(\square\)

Korollar: Der Miller-Rabin-Test ist polynomiell nach (Miller, Gary L.: Riemann's Hypothesis and Tests for Primality; Journal of Computer and System Sciences 13 (3); 1976; 300 - 317).\(\square\)

Korollar: Für alle \(x \in {}^{\omega }\mathbb{R}_{\ge 2}\) gibt es nach (Dudek, Adrian W.: On the Riemann Hypothesis and the Difference Between Primes; International Journal of Number Theory 11 (03); 2014; 771 - 778) ein \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) mit \[x - 4/\pi \sqrt{x} \, ln \, x < p \le x.\square\]Korollar: Für alle \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 5041}\) gilt nach (Robin, Guy: Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann; Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 63 (2), Neuvième Série; 1984; 187 - 213) \[\sum\limits_{d|n}{d}<{{e}^{\gamma }}\ln \ln n.\square\]Korollar: Für alle \(x \in {}^{\omega }\mathbb{R}_{\ge 73,2}\), \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(k \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) gilt nach (Schoenfeld, Lowell: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions \(\theta(x)\) and \(\psi(x)\). II; Mathematics of Computation 30 (134); 1976; 337 - 360) \[\left| x-\sum\limits_{{{p}^{k}}\le x}{\ln \,p} \right|<\frac{\sqrt{x}\,{{\ln }^{2}}x}{8\pi }.\square\]Primzahlsatz: Für \(x\in {}^{\omega }{{\mathbb{R}}_{\ge 2657}}\) gilt nach derselben Quelle wie zuvor \[\left| \left| {{\mathbb{P}}_{\le \text{x}}} \right|-\int\limits_{d0}^{1-d0}{\frac{dt}{\ln t}-\int\limits_{1+d0}^{x}{\frac{dt}{\ln t}}} \right|< \frac{\sqrt{x}\ln x}{8\pi }.\square\]Ternärer Satz von Goldbach: Alle ungeraden \(n\in {}^{\omega }{{\mathbb{N}}_{\ge 7}}\) sind nach (Jean-Marc Deshouillers et al.: Electronic Research Announcements of the AMS Vol. 3 (1997), 99 - 104) Summe dreier Primzahlen.\(\square\)

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