Homepage von Boris Haase




Euklidische Geometrie • Gerechtes Verteilen • Lineare Optimierung • Mengenlehre • Nichtstandardanalysis • Ratschläge • Topologie • Zahlentheorie • Zeitrechnung  (Vorherige | Nächste)



Zahlentheorie

Zahlentheorie

Im Folgenden werden Mengenlehre und Nichtstandardanalysis vorausgesetzt. Seien \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(k \in \mathbb{N}\).

Schrankensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Jede komplexe von Null verschiedene Zahl, deren Betrag des Real- und/oder Imaginärteils \(\le \hat{\omega}\) oder \(\ge \omega\) ist, ist bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Setzen wir in einer Polynom- oder Reihengleichung \({a}_{m} = 1\) und \({a}_{k} = -\acute{\omega}\) für \(k<m\), dann folgt die Behauptung im reellen Fall aus der geometrischen Reihe, wenn wir noch den Kehrwert bilden. Die exakten Grenzwerte erhalten wir, wenn wir \(\omega\) jeweils ersetzen durch \({\omega}(m) = \omega - \acute{\omega}/{\omega(m)}^{m}\). Die komplexen Fälle löst der Ansatz \(x = \grave{y}\omega\) mit \(y \in i{}^{\omega }{\mathbb{R}^{*}}.\square\)

Koeffizientensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Alle normierten irreduziblen Polynome und Reihen, in denen \(|{a}_{k}| \ge \omega\) für mindestens ein \({a}_{k}\) ist, haben nur \(\omega\)-transzendente Nullstellen.

Beweis: Die Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen sind paarweise verschieden und eindeutig bestimmt. Da sie nicht \(\omega\)-algebraisch sind, müssen sie \(\omega\)-transzendent sein.\(\square\)

Approximationssatz für reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen: Jede reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(n>1\) lässt sich durch eine reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(e^\nu := m<n\) mit einem durchschnittlichen Fehler approximieren, der asymptotisch gleich \(\hat{\nu}\iota \zeta(\grave{m}){|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{-m}\) ist.

Beweis: Auf der herkömmlich reellen Achse nimmt die Anzahl der \(\omega\)-algebraischen und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen pro Grad mehr ca. um den Faktor \(|{}^{\omega }\mathbb{Z}|\) zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der \(\omega\)-algebraischen Zahlen untereinander. Die nicht-reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen liegen weniger dicht.\(\square\)

Folgerung: Zwei verschiedene reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen haben durchschnittlich mindestens den Abstand \(\hat{\varphi}\pi{|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{-\acute{\omega}}\) mit \(e^\varphi := \omega\). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert die Lösung eines unendlichen nicht-linearen nicht-konvexen Optimierungsproblems. Damit haben reelle \(c\)-algebraische Zahlen eine Approximationsordnung von \(\mathcal{O}(c)\). Dies widerlegt den Satz von Thue-Siegel-Roth, der auch nicht mehr als den trivialen Minimalabstand zweier rationaler Zahlen beweist. Daher ist die abc-Vermutung falsch, nicht jedoch das Ergebnis von Liouville.

Satz: Der Abstand zweier benachbarter reeller \(\omega\)-algebraischer Zahlen beträgt maximal \(\Omega/\acute{\omega}\) mit der \(\omega\)-transzendenten Omega-Konstante \(\Omega = e^{-\Omega} = W(1)\) (s. u. Lambertsche \(W\)-Funktion).

Beweis: Der Abstand der reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen ist um \(\pm 1\) herum am größten. Die Zahl 1 lässt sich durch ein reelles \(\omega\)-algebraisches \(x\) approximieren, das die Polynom- oder Reihengleichung \(\acute{x}x^{\acute{m}}\acute{\omega} = 1\) für \(x>1\) oder \(x^m = -\acute{x}\acute{\omega}\) für \(x<1\) erfüllen muss.\(\square\)

Satz: Jede Zahl \(z \in \mathbb{Q}+i\mathbb{Q}\), die weder 0 noch Einheitswurzel ist, macht die geometrische Reihe \(\sum\limits_{n=0}^{\omega}{{{z}^{n}}}=({{z}^{\grave{\omega}}} - 1)/\acute{z}\) bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Der Betrag des Zählers oder Nenners von \({z}^{\grave{\omega}}\) ist \(> {2}^{\omega/2}.\square \)

Satz: Die Eulersche Zahl \(e\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Akzeptieren wir die Exponentialreihe als Darstellung für \(e\), folgt \(e = (k\omega + 1)/\omega!\) mit \(k>\omega\). Damit müssen Zähler und Nenner des angegebenen Bruches \(> \omega\) sein, da sich im Zähler weder \({\omega}\) noch ein Primteiler von \(k\) gegen \(\omega!\) kürzen lässt. Akzeptieren wir hingegen \({(1 + \hat{\omega})}^{\omega}\) als Darstellung für \(e\), so ist die Behauptung trivial. Es gilt zu beachten, dass hier zwei unterschiedliche Darstellungen vorliegen.\(\square\)

Größte-Primzahl-Kriterium für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung \(\widehat{ap}b \pm \hat{s}t\) mit natürlichen \(a, b, s\) und \(t, abst \ne 0\) und \(a + s>2\) sowie der (zweit-)größten Primzahl \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b\) und \(p \nmid s\), so ist sie \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Der Nenner von \(\widehat{aps} (bs \pm apt)\) ist \(\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}(\ell)>\omega\) als Konsequenz des Primzahlsatzes.\(\square \)

Satz: Die Kreiszahl \(\pi\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Dies folgt aus ihrer Darstellung als Wallis-Produkt oder der Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert \(-\hat{2}\), sofern wir sie akzeptieren. Es gilt zu beachten, dass beide Darstellungen verschiedene Zahlen angeben. Alternativ wenden wir das Größte-Primzahl-Kriterium auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin\((x)\)-Taylorreihe für \(x = 1\) an.\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Artin \(({C}_{Artin})\), Baxter \(({C}_{2})\), Chaitin \(({\Omega}_{F})\), Champernowne \(({C}_{10})\), Copeland-Erd\H{o}s \(({C}_{CE})\), Erdős-Borwein \((E)\), Feller-Tornier \(({C}_{FT})\), Flajolet und Richmond \((Q)\), Glaisher-Kinkelin \((A)\), Heath-Brown-Moroz \(({C}_{HBM})\), Landau-Ramanujan \((K)\), Liouville \(({£}_{Li})\), Murata \(({C}_{M})\), Pell \(({P}_{Pell})\), Prouhet-Thue-Morse \((\tau)\), Sarnak \(({C}_{sa})\) und Stephen \(({C}_{S})\) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante \((ET\) bzw. \(LT)\), die Primzahlzwillingskonstante \(({C}_{2})\) und die Carefree-Konstanten \(({K}_{1}, {K}_{2}\) und \({K}_{3})\) sind \(\omega\)-transzendent, da sich eine vorhandene (große) Potenz einer kleinen oder sehr großen Primzahl nicht aus Zähler oder Nenner kürzen lässt.\(\square\)

Bemerkung: Die Behauptung für \({C}_{CE}\) gilt offenbar auch für jede Basis aus \({}^{c}\mathbb{N}^{*}\).

Satz: Die Konstanten von Catalan \((G)\), Gieseking \((\pi \text{ ln } \beta)\), Smarandache \(({S}_{1})\) und Taniguchi \(({C}_{T})\) sind \(\omega\)-transzendent aufgrund des Größte-Primzahl-Kriteriums.\(\square\)

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion \(\psi\), die Lambertsche \(W\)-Funktion, die Funktion \(Ein\), der (hyperbolische) Integralsinus \(S(h)i\), die Eulersche Betafunktion \(B\) und mit natürlichen positiven \(s\) und \(u\) sowie natürlichem \(t\) die generalisierte Fehlerfunktion \({E}_{t}\), die hypergeometrische Funktion \({}_{0}{F}_{t}\), die Fresnel-Integral-Funktionen \(C\) und \(S\) und die Bessel-Funktion \({I}_{t}\) bzw. die erster Gattung \({J}_{t}\), die Legendresche Funktion \({\chi}_{t}\), die Polygammafunktion \({\psi}_{t}\), die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion \({E}_{s,t}\), die Dirichletreihe \(\sum\limits_{n=1}^{\omega}{{\hat{n}^{s}f(n)}\;}\) mit maximal endlichen rationalen \(|f(n)|\), die Primzetafunktion \(P(s)\), der Polylogarithmus \({Li}_{s}\) sowie die Lerchsche Zeta-Funktion \(\Phi(q, s, r)\) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale \(|q|\) und \(|r|\), bei denen die zugehörige Taylor-Reihe konvergiert, nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Die Anwendung des Größte-Primzahl-Kriteriums liefert mit dem Dirichletschen Primzahlsatz und dem Wallis-Produkt die Behauptung, die bei der Digammafunktion aus dem Beweis der \(\omega\)-Transzendenz der Eulerschen Konstante weiter unten folgt.\(\square\)

Satz: Die Gammafunktion \(\Gamma(z) := k! \, {k}^{z}/(z\grave{z} ... (z + k))\) mit \(k = {\omega}^{{\omega}^{2}}\) und \(z \in {}^{\omega }\mathbb{C} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}\) ist für \(z \in {}^{\omega }\mathbb{Q} \; \omega\)-transzendent und für jeweils geeignete Obermengen von \({}^{\omega }\mathbb{N}\) bzw. \({}^{\omega }\mathbb{Q}\).

Beweis: Die Werte von \(\Gamma(z)\) sind Nullstellen von Minimalpolynomen oder -reihen mit unendlichen ganzzahligen Koeffizienten.\(\square\)

Satz: Sei \(s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}\) für \(x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) und \(\gamma := s(1) - \ln \, \omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx} \in \; ]0, 1[\) (durch Umsummieren ersichtlich) die Eulersche Konstante. Akzeptieren wir \(s(\hat{2})\ell\) als Darstellung für ln \(\omega\), so ist \(\gamma\) bei einer Genauigkeit von \(\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\ell)\) damit \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Wir erhalten \(-\ln(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx\) für \(x \in [-1, 1 - \hat{c}]\) und eine reelle Funktion \(t(x)\) mit \(|t(x)|<{\omega}\) durch (exakte) Integration (s. Nichtstandardanalysis) aus der geometrischen Reihe. Wenden wir den kleinen fermatschen Satz auf den Zähler von \(\hat{p}(1 - 2^{-p}\ell)\) mit \(p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}\) an, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Wird \(\omega\) durch ein beliebiges \(k \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge\omega/2}\) ersetzt, ist der vorstehende Beweis kaum schwieriger.

Definition: Erfüllen zwei Zahlen \(x, y \in {}^{\omega }\mathbb{C}^{*}\) oder ihre Kehrwerte keine Polynom- oder Reihengleichung \(p(x, y) = 0\), so heißen sie \(\omega\)-algebraisch unabhängig.

Satz: Das Größte-Primzahl-Kriterium liefert mit \(e = {(1 + \hat{p})}^{p}\) für maximales \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(\pi\) als Wallis-Produkt paarweise \(\omega\)-algebraisch unabhängige Darstellungen von \(A, {C}_{2}, \gamma, e, K\) und \(\pi.\square\)

Satz: Die BBP-Reihen \(\sum\limits_{n=1}^{\omega}{p(n)\widehat{q(n){{b}^{n}}}}\) für \(b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und ganzzahlige Polynome bzw. Reihen \(p\) und \(q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) mit \(q(n) \ne 0\) und deg\((p) <\) deg\((q)\) liefern nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Wir können die Summe auf einen kleinsten Nenner \(d \ge {b}^{k}>\omega\) mit \(d, k \in \mathbb{N}^{*}\) bringen.\(\square\)

Definition: Eine rationale Zahl \(\ne 0\) heißt potenzfrei, wenn sie nicht als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten \(\ne \pm 1\) darstellbar ist. Sei \(||\cdot|{{|}_{d}}\) der Abstand zur nächsten ganzen Zahl.

Satz: Für alle potenzfreien \(q \in Q := {\mathbb{Q}}_{>0}\) gilt \({q}^{x} \in Q\) für reelle \(x\) genau dann, wenn \(x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) und \(|x|\) nicht zu groß ist.

Beweis: Sei o. B. d. A. \(x>0\). Da sich für nicht zu großes \(x \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) kein Widerspruch ergibt, nehmen wir \(x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}\) an. Weil dann \({q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q\) gilt, können wir \(x := k/d \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0} \setminus Q\) annehmen mit \(d, k \in {\mathbb{N}}^{*}\) und ggT\((d, k) = 1\). Also muss \({q}^{k} = {r}^{d}\) mit einem \(r \in Q\) gelten. Dann ist aber der Zähler oder der Nenner von \(q\) bzw. \(r\) größer als \(2^{\omega}\) aufgrund des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Dieser Widerspruch liefert die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Dieser Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass \({p}^{x}\) und \({q}^{x}\) genau dann \(c\)-rational für verschiedene \(p, q \in {}^{c}\mathbb{P}\) sind, wenn \(x \in {}^{c}\mathbb{Z}\) mit nicht zu großem \(|x|\) gilt. Mit \({}^{c}\mathbb{N}\) statt \({}^{\omega }\mathbb{N}\) bzw. bei allen weiteren daraus notwendigen Anpassungen können die obigen Überlegungen sinngemäß auf endlich transzendente Zahlen übertragen werden. Unkonkrete Transzendenz zieht endliche nach sich.

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Für alle \(a,b\in {}^{c}\mathbb{R}\) und \(n\in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) gilt:\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0.\]Beweis: Seien \(k, m \in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) die Nenner der Kettenbruchentwicklung von \(a\) bzw. \(b\) mit Genauigkeit \(g \in {}^{c}{\mathbb{R}}_{>0}\) und \(n\) immer wieder ein natürliches Vielfaches von \(km\). Dann gilt nach dem dirichletschen Approximationssatz (s. \cite{455}, S. 63): \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n||na|{{|}_{d}}||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\mathcal{O}{{(\hat{n})}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(\hat{n})=0.\square\]Widerlegung der Littlewood-Vermutung in der Nichtstandardmathematik: Sei \(a = b := {{\omega}^{-{3}/{2}}}\). Dann gilt:\[\omega \;||\omega a|{{|}_{d}}\;||\omega b|{{|}_{d}}= 1 \ne 0.\square\]Satz: Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung wird durch die Dirichletsche \(L\)-Funktion \(L\left(s,\chi\right)=\sum\limits_{n=1}^{\omega}{\chi\left(n\right)n^{-s}}\) widerlegt, die aufgrund der geometrischen Reihe (vgl. Mengenlehre) offenbar lediglich Nullstellen für \(s = 0\) und nichttriviale Dirichlet-Charaktere \(\chi(n)\) hat.\(\square\)

© 2009-2018 by Boris Haase


Valid XHTML 1.0 • Datenschutz • Haftungsausschluss • PDF-Version • Literatur • Schlagwörter • Definitionen • Statistik • PHP-Code • RSS-Feed • MWiki • Seitenbeginn