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Zahlentheorie

Zahlentheorie

Das Folgende setzt Mengenlehre und Nichtstandardanalysis voraus. Seien \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(k \in \mathbb{N}\).

Primzahlsatz: Für \(\pi(x) := |\{p \in {}^{\omega}{\mathbb{P}} : p \le x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|\) gilt \(\pi(\omega) = \widehat{{_e}\omega}\omega + \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega})\).

Beweis: Im Sieb des Eratosthenes nehmen die Primzahlanzahlen nahezu regelmäßig ab. Aus Intervallen fester Länge \(y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{>0}}\) lassen sich \(\hat{2}y\) Mengen-2-Tupel von Primzahlen so bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw.

Ist mit Induktionsanfang \(n\) = 2 bzw. 3 die Induktionsannahme, dass mit \(n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}\) und beliebigem \(x_4 \in [2, 4[\) das erste Intervall \(x_n/{_e}x_n\) Primzahlen enthält, so beweist die Betrachtung der Primzahllücken von primen \(p\# /q + 1\) mit \(p, q \in {}^{\omega}\mathbb{P}\) im Induktionsschritt von \(x_n\) nach \(x_n^2\), dass sich dann \(\pi(x_n^2) = \pi(x_n) x_n/2\) Primzahlen nur aus \(\pi(x_n) = x_n/{_e}x_n\) ergeben. Der durchschnittliche Primzahlabstand beträgt \({_e}x_n\) und die maximale Entsprechung von \(x_n^2\) zu \(x_n\) ist \(\omega\) zu \(\sqrt{\omega}.\square\)

Bemerkung: Ersetzt \(m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{>2}}\) die Zahl 2 bei \(\hat{m}{y}^{\acute{m}}\) Mengen-\(m\)-Tupeln, bleibt das Ergebnis gleich. Der scharf geltende Korrekturterm \(\mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega})\) widerlegt die Legendresche Vermutung. Der scharf geltende Korrekturterm \(\mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega})\) widerlegt die Legendresche Vermutung. Der Anfang max \(\{p\# + 1 \in \mathbb{P} : p \in \mathbb{P}\}\) liefert liefert den indirekten Beweis der Collatz-Vermutung. Das Sieb des Eratosthenes und vollständige Induktion weisen mit dem dirichletschen Primzahlsatz je unendlich viele prime und zusammengesetzte Mersenne-Zahlen \(M_n := 2^n - 1\) für \(n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}^{*}}\) (s. [455], S. 174 f. und 354 – 365) nach.

Großer Fermatscher Satz: Für alle \(p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}_{\ge 3}}\) und \(x, y, z \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}\) gilt stets \(x^p + y^p \ne z^p\) und damit für alle \(m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 3}}\) statt \(p\).

Beweis: Aufgrund des kleinen fermatschen Satzes ist umformuliert \(f_{akp}(n) := (2n + a - kp)^p - n^p - (n + a)^p \ne 0\) für \(a, k, n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}\) mit \(kp < n\) zu zeigen. Die Behauptung folgt nun durch Induktion nach \(n\) wegen des Falles \(m = 4\) und \(y > x > p\) ([996], S. 35 - 38 und 226). Induktionsanfang \((n \le p): f_{akp}(n) \ne 0\) für alle \(a, k\) und \(p\). Sei \(r \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{<p}}\). Induktionsschritt \((n = q + r \rightarrow n^{*} = n + p)\): Sei \(f_{akp}(n^{*}) \ge 0\), aber \(f_{akp}(n) < 0\), da das streng monotone Steigen von \(f_{akp}(n)\) sonst keinen Beweis erfordert. Polynomdivision zeigt \(((n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1}) \nmid ((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)^2\). Wird der positive Faktor entfernt, folgt \(f_{akp}(n^{*}) = (\int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv)' \ne 0.\square\)

Schrankensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Jedes \(z \in \mathbb{C}^{*}\) mit \(|z| \notin [\hat{\omega}, \omega]\) ist bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Den reellen Fall lösen in einer Polynom- oder Reihengleichung der Ansatz \({a}_{m} = 1\) und \({a}_{k} = -\acute{\omega}\) für \(k < m\) mit Bilden des Kehrwerts und die geometrische Reihe. Das Ersetzen von \(\omega\) jeweils durch \({\omega}(m) = \omega - \acute{\omega}/{\omega(m)}^{m}\) liefert die exakten Grenzwerte. Den komplexen Fall löst u. a. \(x = \grave{y}\omega\) mit \(y \in i{}^{\omega }{\mathbb{R}^{*}}.\square\)

Koeffizientensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Alle normierten irreduziblen Polynome und Reihen mit mindestens einem \({a}_{k} \notin {}^{\omega }\mathbb{Z}\) haben nur \(\omega\)-transzendente Nullstellen.

Beweis: Die Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen sind paarweise verschieden und eindeutig bestimmt. Da sie nicht \(\omega\)-algebraisch sind, müssen sie \(\omega\)-transzendent sein.\(\square\)

Definition: Die Notation für \(m\)-algebraische Zahlen ist \({(m, {a}_{k-1}, {a}_{k-2}, ..., {a}_{1}, {a}_{0}; r, i; \#n, \&q; v, p)}_{s}\). Hierbei hat \(r\) Vorrang vor \(i\) und stellt sich mit \(r = i = {a}_{0} = 0\) die Zahl 0 dar. Der numerische Wert \(v\) hat die Genauigkeit \(p\). Mit \(r \in {}^{c}\mathbb{N}^{*} (-{}^{c}\mathbb{N}^{*})\) existieren eine Nullstelle mit dem \(r\).-größten (\(|r|\).-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit \(r = 0, i \in {}^{c}\mathbb{N}^{*} (-{}^{c}\mathbb{N}^{*})\) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem \(i\).-größten (\(|i|\).-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen algebraischen Zahlen analog. Wird für mindestens ein \({a}_{j}\) eine Variable eingesetzt, gibt \(\#n\) die Anzahl \(n \in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) der Nullstellen an und \(\&q\) die Anzahl \(q \in {}^{c}\mathbb{N}\) der mehrfachen Nullstellen. Alle \(k\)-Minimalpolynome haben < als Spezifikation \(s\), alle \(k\)-Minimalreihen >.\(\triangle\)

Bemerkung: Der Verzicht auf Unterscheidung mehrfacher Nullstellen erlaubt diejenigen eines \(k\)-Polynoms oder einer \(k\)-Reihe mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalzuordnen. Die Angaben \(r, i, \#n, \&q, v, p\) und \(s\) sind ggf. entbehrlich wie z. B. für rationale Zahlen. Die \((c+2)\)-Tupel \((0, ..., 0, {a}_{k-1}, ..., {a}_{0}; r, i{)}_{<}\) mit natürlichen \({a}_{j}\) wohlordnen die algebraischen Zahlen lexikalisch streng.

Beispiele: Die Zahlen \((c; 1, 0, 0, 0, -1{)}_{>}\) sind gegeben als \(1, -1, i\) und \(-i\). Die Goldene Zahl \(\Phi := (1 + \sqrt{5})/2\) lässt sich mit \((c; 1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, {10}^{-6}{)}_{<}\) notieren. Die Zahl \(0,\overline{1} = 0,1...1\) mit \(\omega\) Einsen hinter dem Komma ist unkonkret und verschieden von der Zahl \(\hat{9}\), da 9 \(\times \; 0,\overline{1} = 0,9...9 = 1 - {10}^{-\omega} \ne 1\) ist. Daher ist sie \(\omega\)-transzendent und lässt sich mit (\(\omega, 9 \times {10}^{\omega}, 1 - {10}^{\omega})\) notieren.

Bemerkung: Es seien \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) der maximal zugelassene Polynomgrad und \(n \in {}^{c}\mathbb{N}\) der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten \({a}_{k}\) der Polynome \({a}_{m}{x}^{m} + {a}_{\acute{m}}{x}^{\acute{m}} + ... + {a}_{1}x + {a}_{0}\) mit \(k \in {}^{c}\mathbb{N}_{\le m}\) annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die \({a}_{k}\) voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der algebraischen Zahlen entspricht der Anzahl der Nullstellen der so definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt \({a}_{m} > 0\) und \({a}_{0} \ne 0\).

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen: Mit der Riemannschen Zetafunktion \(\zeta\) haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad \(m\) und damit allgemein asymptotisch die Anzahl\[\mathbb{A}(m, n) = \widehat{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right),\]wobei \(z(m)\) die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis: Der Fall \(m = 1\) erfordert nach [455] den Korrekturterm \(\mathcal{O}({_e}n n)\) und gibt die Anzahl \(4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1\) der rationalen Zahlen über die eulersche \(\varphi\)-Funktion wieder. Für \(m > 1\) ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm \(\mathcal{O}({_e}n n)\) noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit \(\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1\) werden durch \(1/\zeta(\grave{m})\) ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen \(p\) aller \((1 - {p}^{-\grave{m}})\), die hier Vielfache der \(p\) entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.\(\square\)

Beispiele: Für \(m = 1\) gibt es \(3(\hat{\iota}n)^{2}+\mathcal{O}({_e}n n)\) rationale und für \(m = 2\), da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der \(a\)-\(b\)-\(c\)-Formel zwei reelle Nullstellen mit Wahrscheinlichkeit \({\frac{9}{16}}\) hat, \(\frac{9}{2}{n}^{3}/\zeta(3) + \mathcal{O}({_e}n{n}^{2})\) reelle Lösungen. Für \({a}_{m} = 1\) existieren \(z(m){(2n+1)}^{\acute{m}}(2n + \mathcal{O}({_e}n))\) ganzalgebraische Lösungen.

Bemerkung: Im komplexen Fall gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra (s. Nichtstandardanalysis) \(z(m) = m\). Im reellen Fall ist \(z(m)\) asymptotisch gleich \(\hat{\iota}\;{_e}m + \mathcal{O}(1)\) nach (Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation; Bull. Amer. Math. Soc. 49 (4); 1943; 314 - 320).

Beispiele: Für \(m = n = \acute{c} =: e^{\mathrm{\nu}} =: \acute{\kappa}/2\) gilt \(|{}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}| = \frac{\mathrm{\nu}}{\mathrm{\iota}}{\mathrm{\kappa}^{\acute{c}}}\left(c+\mathcal{O}(\mathrm{\nu})\right)\) und \(|{}^{c}\mathbb{A}_{\mathbb{C}}| = {\frac{1}{2}} {\kappa}^c\left(c+\mathcal{O}(\mathrm{\nu})\right)\).

Approximationssatz für reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen: Der durchschnittliche Fehler, um jede reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(n > 1\) durch eine reelle \(\omega\)-algebraische Zahl vom Grad \(m < n\) zu approximieren, ist asymptotisch gleich \({|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{-m} \widehat{{_e}\omega} \zeta(\grave{m}) \iota\).

Beweis: Die Anzahl der \(\omega\)-algebraischen und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen nimmt in \({}^{\omega}\mathbb{R}\) pro Grad mehr ca. um den Faktor \(|{}^{\omega }\mathbb{Z}|\) zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der \(\omega\)-algebraischen Zahlen untereinander. In \({}^{\omega}\mathbb{C}\) liegen \(\omega\)-algebraische Zahlen weniger dicht.\(\square\)

Folgerung: Zwei verschiedene reelle \(\omega\)-algebraische Zahlen haben durchschnittlich mindestens den Abstand \({|{}^{\omega}\mathbb{Z}|}^{-\acute{\omega}} \widehat{{_e}\omega} \pi\). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert die Lösung eines unendlichen nicht-linearen nicht-konvexen Optimierungsproblems. Damit haben reelle \(c\)-algebraische Zahlen eine Approximationsordnung von \(\mathcal{O}(c)\). Dies widerlegt den Satz von Thue-Siegel-Roth, der auch nicht mehr als den trivialen Minimalabstand zweier rationaler Zahlen beweist. Daher ist die abc-Vermutung falsch.

Satz: Der Abstand zweier benachbarter reeller \(\omega\)-algebraischer Zahlen beträgt maximal \(\Omega/\acute{\omega}\) mit der \(\omega\)-transzendenten Omega-Konstante \(\Omega = e^{-\Omega} = W(1)\) (s. u. Lambertsche \(W\)-Funktion).

Beweis: Der Abstand der reellen \(\omega\)-algebraischen Zahlen ist um \(\pm 1\) herum am größten. Die Zahl 1 lässt sich durch ein reelles \(\omega\)-algebraisches \(x\) approximieren, das die Polynom- oder Reihengleichung \(\acute{x}x^{\acute{m}}\acute{\omega} = 1\) für \(x > 1\) oder \(x^m = -\acute{x}\acute{\omega}\) für \(x < 1\) erfüllt.\(\square\)

Satz: Für jedes \(z \in \mathbb{Q}+ i\mathbb{Q}\) mit \(|z| \notin \{0, 1\}\) ist die geometrische Reihe \(\sum\limits_{n=0}^{\omega}{{{z}^{n}}}=({{z}^{\grave{\omega}}} - 1)/\acute{z} \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{C}}\).

Beweis: Der Betrag des Zählers oder Nenners von \({z}^{\grave{\omega}}\) ist \(> {2}^{\omega/2}.\square \)

Satz: Die Eulersche Zahl \(e\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Wird die Exponentialreihe als Darstellung für \(e\) akzeptiert, folgt \(e = (k\omega + 1)\omega!\) mit \(k > \omega\). Damit müssen Zähler und Nenner des angegebenen Bruches \(> \omega\) sein, da sich im Zähler weder \({\omega}\) noch ein Primteiler von \(k\) gegen \(\omega!\) kürzen lässt. Wird hingegen \({(1 + \hat{\omega})}^{\omega}\) als Darstellung für \(e\) akzeptiert, so ist die Behauptung trivial. Es gilt zu beachten, dass hier zwei unterschiedliche Darstellungen vorliegen.\(\square\)

Größte-Primzahl-Kriterium (GPK) für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung \(\widehat{ap}b \pm \hat{s}t\) mit natürlichen \(a, b, s\) und \(t, abst \ne 0\) und \(a + s > 2\) sowie der (zweit-) größten Primzahl \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b\) und \(p \nmid s\), so ist sie \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Der Nenner von \(\widehat{aps} (bs \pm apt)\) ist \(\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) > \omega\) aufgrund des Primzahlsatzes.\(\square \)

Satz: Die Kreiszahl \(\pi\) ist \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Die unterschiedlichen Darstellungen als Wallis-Produkt oder Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert \(-\hat{2}\) liefern die Behauptung, sofern sie akzeptiert werden. Alternativ wird das GPK auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin\((x)\)-Taylorreihe für \(x = 1\) angewandt.\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Artin \(({C}_{Artin})\), Baxter \(({C}_{2})\), Chaitin \(({\Omega}_{F})\), Champernowne \(({C}_{10})\), Copeland-Erdős \(({C}_{CE})\), Erdős-Borwein \((E)\), Feller-Tornier \(({C}_{FT})\), Flajolet und Richmond \((Q)\), Glaisher-Kinkelin \((A)\), Heath-Brown-Moroz \(({C}_{HBM})\), Landau-Ramanujan \((K)\), Liouville \(({£}_{Li})\), Murata \(({C}_{M})\), Pell \(({P}_{Pell})\), Prouhet-Thue-Morse \((\tau)\), Sarnak \(({C}_{sa})\) und Stephen \(({C}_{S})\) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante \((ET\) bzw. \(LT)\), die Primzahlzwillingskonstante \(({C}_{2})\) und die Carefree-Konstanten \(({K}_{1}, {K}_{2}\) und \({K}_{3})\) sind \(\omega\)-transzendent, da sich je eine gewisse Primzahlpotenz nicht aus Zähler oder Nenner kürzen lässt.\(\square\)

Bemerkung: Die Behauptung für \({C}_{CE}\) gilt offenbar auch für jede Basis aus \({}^{c}\mathbb{N}^{*}\).

Satz: Die Konstanten von Catalan \((G)\), Gieseking \((\pi \, {_e}\beta)\), Smarandache \(({S}_{1})\) und Taniguchi \(({C}_{T})\) sind \(\omega\)-transzendent aufgrund des GPKs.\(\square\)

Satz: Mit \(s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}\) für \(x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) sei die Eulersche Konstante \(\gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx}\), wobei Umsummieren \(\gamma \in \; ]0, 1[\) zeigt. Wird \({_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega\) akzeptiert, so gilt \(\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) auf \(\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega)\) genau.

Beweis: Die exakte Integration (s. Nichtstandardanalysis) macht \(-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx\) für \(x \in [-1, 1 - \hat{c}]\) und \(t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) aus der geometrischen Reihe. Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von \(\hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega)\) für \(p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}\) angewandt, liefert das GPK die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Wird \(\omega\) durch ein beliebiges \(k \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge\omega/2}\) ersetzt, ist der vorstehende Beweis kaum schwieriger.

Satz: Wird die Gammafunktion \(\Gamma(z)\) durch \(k! \, {k}^{z}/(z\grave{z} ... (z + k))\) mit \(k = {\omega}^2!\) definiert, gilt \(\Gamma(z) \in \mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) für alle \(z \in R := {}^{\omega}\mathbb{Q} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}\) und nicht zu umfangreiche rationale Obermengen von \(R\).

Beweis: Für mindestens ein \(n\) gilt mit \(x := \Gamma(z), a_n \in \mathbb{Z}\) und \(\sum\limits_{n=0}^{\omega}{a_n{{x}^{n}}} = 0\) zwingend \(|a_n| > \omega.\square\)

Bemerkung: Da \(\Gamma(n + 1) = n!\) für \(n \in {}^{c}\mathbb{N}\) gelten sollte, ist vorstehende Definition überdenkenswert.

Satz: Die BBP-Reihen \(\sum\limits_{n=1}^{\omega}{p(n)\widehat{q(n){{b}^{n}}}}\) für \(b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und ganzzahlige Polynome bzw. Reihen \(p\) und \(q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) mit \(q(n) \ne 0\) und deg\((p) <\) deg\((q)\) liefern nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: Die Summe lässt sich auf einen kleinsten Nenner \(d \ge {b}^{k} > \omega\) mit \(d, k \in \mathbb{N}^{*}\) bringen.\(\square\)

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion \(\psi\), die Lambertsche \(W\)-Funktion, die Funktion \(Ein\), der (hyperbolische) Integralsinus \(S(h)i\), die Eulersche Betafunktion \(B\) und mit natürlichen positiven \(s\) und \(u\) sowie natürlichem \(t\) die generalisierte Fehlerfunktion \({E}_{t}\), die hypergeometrische Funktion \({}_{0}{F}_{t}\), die Fresnel-Integral-Funktionen \(C\) und \(S\) und die Bessel-Funktion \({I}_{t}\) bzw. die erster Gattung \({J}_{t}\), die Legendresche Funktion \({\chi}_{t}\), die Polygammafunktion \({\psi}_{t}\), die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion \({E}_{s,t}\), die Dirichletreihe \(\sum\limits_{n=1}^{\omega}{{\hat{n}^{s}f(n)}\;}\) mit maximal endlichen rationalen \(|f(n)|\), die Primzetafunktion \(P(s)\), der Polylogarithmus \({Li}_{s}\) sowie die Lerchsche Zeta-Funktion \(\Phi(q, s, r)\) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale \(|q|\) und \(|r|\), bei denen die zugehörige Taylor-Reihe konvergiert, nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: GPK, Dirichletscher Primzahlsatz und Wallis-Produkt liefern die Behauptung. Sie folgt bei der Digammafunktion aus dem Beweis der \(\omega\)-Transzendenz der Eulerschen Konstante (s. o.).\(\square\)

Lemma: Das Archimedische Axiom gilt für unendlich viele Zahlen aus \({}^{c}\mathbb{R}\) nicht.

Beweis: Für alle \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) und \(a \in {}^{c}{\mathbb{R}}_{\ge 1}\) gilt \(\hat{c} m \le 1 \le a.\square\)

Archimedischer Satz: Es gibt ein \(m \in {}^{c}\mathbb{N}\) mit \(d m > a\) genau dann, wenn mit \(a, d \in {\mathbb{R}}_{>0}\) für \(a > d\) zumindest \(d c > a\) gilt, da \(c = \max {}^{c}\mathbb{N}\) ist.\(\square\)

Definition: Erfüllen zwei Zahlen \(x, y \in {}^{\omega}\mathbb{C}^{*}\) oder ihre Kehrwerte keine Polynom- oder Reihengleichung \(p(x, y) = 0\), so heißen sie \(\omega\)-algebraisch unabhängig. Eine rationale Zahl \(\ne 0\) heißt potenzfrei, wenn ihr Betrag nur als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten \(= \pm 1\) darstellbar ist. Sei \(||\cdot|{{|}_{d}}\) der Abstand zur nächsten ganzen Zahl.\(\triangle\)

Satz: Das GPK liefert mit \(e = {(1 + \hat{p})}^{p}\) für maximales \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(\pi\) als Wallis-Produkt paarweise \(\omega\)-algebraisch unabhängige Darstellungen von \(A, {C}_{2}, \gamma, e, K\) und \(\pi.\square\)

Satz: Sind alle \(q \in Q := {\mathbb{Q}}_{>0}\) potenzfrei, \({q}^{x} \in Q\) und \({_2}\omega \gg |x| \in {}^{\omega}\mathbb{R}\), muss \(x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) gelten.

Beweis: Sei o. B. d. A. \(x > 0\). Da sich für nicht zu großes \(x \in {}^{\omega }\mathbb{N}\) kein Widerspruch ergibt, wird \(x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}\) angenommen. Wegen \({q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q\) lässt sich \(x := k/d \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0} \setminus Q\) annehmen mit \(d, k \in {\mathbb{N}}^{*}\) und ggT\((d, k) = 1\). Also muss \({q}^{k} = {r}^{d}\) mit einem \(r \in Q\) gelten. Dann weist aber der Fundamentalsatz der Arithmetik den Zähler oder Nenner von \(q\) bzw. \(r\) größer als \(2^{\omega}\) aus. Dieser Widerspruch liefert die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Dieser Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass \({p}^{x}\) und \({q}^{x}\) genau dann \(c\)-rational für verschiedene \(p, q \in {}^{c}\mathbb{P}\) sind, wenn \(x \in {}^{c}\mathbb{Z}\) mit nicht zu großem \(|x|\) gilt.

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Für alle \(a,b\in {}^{c}\mathbb{R}\) und \(n\in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) gilt:\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0.\]Beweis: Für \(k, m \in {}^{c}\mathbb{N}^{*}\) als Nenner der Kettenbruchentwicklung von \(a\) bzw. \(b\) mit Genauigkeit \(g \in {}^{c}{\mathbb{R}}_{>0}\) und \(n/km\) immer wieder ganz liefert der dirichletsche Approximationssatz (s. [455], S. 63): \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n||na|{{|}_{d}}||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\mathcal{O}{{(\hat{n})}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(\hat{n})=0.\square\]Widerlegung der Littlewood-Vermutung in der Nichtstandardmathematik: Sei \(a = b := {{\omega}^{-{3}/{2}}}\). Dann gilt:\[\omega \;||\omega a|{{|}_{d}}\;||\omega b|{{|}_{d}}= 1 \ne 0.\square\]Satz von Goldbach: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.

Beweis: Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen.\(\square\)

Folgerung von Hardy-Littlewood: Für jedes \(n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge2}}\) gibt es unendlich viele prime \(n\)-Tupel.\(\square\)

Satz: Da die Dirichletsche \(L\)-Funktion \(L\left(s,\chi\right)=\sum\limits_{n=1}^{\omega}{\chi\left(n\right)n^{-s}}\) offenbar nur Nullstellen für \(s = 0\) und nichttriviale Dirichlet-Charaktere \(\chi(n)\) aufgrund der geometrischen Reihe hat, widerlegt sie die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.\(\square\)

© 2009-2018 by Boris Haase


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