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Nichtstandardanalysis

Nichtstandardanalysis

Vorbemerkung: Im Folgenden gelten die Definitionen aus der Mengenlehre und es sei zumeist m, n ∈ ωℕ*. Es soll die Integration und Differentiation in beliebigen stets nicht-leeren Teilmengen A der Mengen (ω)n bzw. (ω)n mit beliebigen n untersucht werden, die wir zu den Mengen (ω)n = (ω)ℍ× ... ×(ω)ℍ zusammenfassen, wobei jedes ℍ sowohl ℂ als auch ℝ in beliebiger Reihenfolge sein kann, da Quaternionen hier nicht betrachtet werden sollen. Insbesondere geht es um herkömmlich nicht messbare, unkonkrete und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen. Jedes außerhalb der Bildmenge abgebildete Element wird durch das jeweils nächste der Zielmenge ersetzt, im Fall der Nichteindeutigkeit durch Auswahl eines von ihnen. Ansonsten ist die Abbildung nicht (vernünftig) definiert. Eine Verallgemeinerung auf andere Mengen ist leicht möglich.

Definition: Die Abbildung ||·||: V → (ω)>0 mit V Vektorraum über (ω)ℍ heißt Norm, wenn für alle x, y ∈ V und alle λ ∈ (ω)ℍ gilt: ||x|| = 0 ⇒ x = 0 (Definitheit), ||λx|| = |λ| ||x|| (Homogenität) und ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (Dreiecksungleichung). Die Dimension von V als der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren wird mit Dim V bezeichnet. Die Normen ||·||a und ||·||b heißen äquivalent, wenn nicht-infinitesimale σ, τ ∈ c>0 existieren, sodass für alle x ∈ V gilt:

σ||x||b ≤ ||x||a ≤ τ||x||b.

Satz: Sei N die Menge aller Normen in V. Diese sind genau dann äquivalent, wenn ||x||a/||x||b für alle ||·||a, ||·||b ∈ N und alle x ∈ V* endlich, aber nicht infinitesimal ist.

Beweis: Wir setzen σ := min {||x||a/||x||b: x ∈ V*} und τ := max {||x||a/||x||b: x ∈ V*}.⃞

Bemerkung: Sind in cn mit n ∈ ωℕ* alle Normen äquivalent, verzichten wir auf die Definition von unendlichen oder infinitesimalen Normenwerten. Im Folgenden ist ||·|| die euklidische Norm. Eine Verallgemeinerung auf andere Normen ist bei deren Äquivalenz leicht möglich.

Definition: Benachbarte Punkte in A beschreiben wir durch die irreflexive symmetrische Nachbarschaftsrelation B ⊆ A2. Die Menge ÑB(z0) aller Nachbarn von z0 ∈ A (bezüglich B in A) heißt Nachbarschaft von z0 (bezüglich B in A). Die Funktion γ: C → A ⊆ ℂn mit einem h-homogenen C ⊆ ℝ und infinitesimalem h heißt Weg, wenn ||γ(x) – γ(y)|| für benachbarte x, y ∈ C infinitesimal ist und (γ(x), γ(y)) ∈ B gilt. Die Nachbarschaftsrelationen in B in A werden immer als (Vorgänger, Nachfolger) in der Form (z0, ↷z0) oder (↶z0, z0) notiert, wobei ↷ "suk" und ↶ "prä" gesprochen wird. Dies gilt analog für die Nachbarschaftsrelation D ⊆ C2.

Definition: Sei z0 ∈ A ⊆ ℍn und f: A → (c)m. Im Folgenden wird auf die Beweise mit Vorgängern meist verzichtet, da sie analog zu denen mit Nachfolgern laufen. Dann heißt f αB-nachfolgerstetig in z0 in Richtung ↷B z0, wenn für infinitesimales α ∈ (ω)>0 gilt:

||f(↷B z0) - f(z0)|| < α.

Allgemein wird für ||x – y|| < α mit x, y ∈ A x ≈α y geschrieben, was "α-infinitesimal gleich" bedeuten soll. Wenn der genaue Betrag von α keine Rolle spielt, wird α auch weggelassen. Ist f für alle z0 und ↷B z0 ∈ ÑB(z0) αB-nachfolgerstetig, so handelt es sich schlicht um αB-Stetigkeit. Hierbei heißt α der Grad der Stetigkeit. Gilt die Ungleichung nur für α = 1/c, handelt es sich schlicht um (B-Nachfolger-)Stetigkeit. Die αB-Vorgängerstetigkeit ergibt sich analog.

Bemerkung: Praktisch werden wir α durch eine Abschätzung (nach Betrachtung etwaiger Sprungstellen von f) bestimmen. Ist B klar oder unwichtig, kann es weggelassen werden. Dies ist im Folgenden immer der Fall, wenn B = (ω)2n gilt.

Beispiel: Die Funktion f: ℝ → {±1} mit f(x) = (-1)x/d0 ist in ℝ nirgends nachfolgerstetig, wohl aber ihr Betrag (vgl. Transzendente Zahlen). Hierbei ist x/d0 aufgrund der d0-Homogenität von ℝ ganzzahlig. Setzen wir f(x) = 1 für rationale x und = -1 andernfalls, so ist f(x) in den nicht-rationalen x teilweise d0-nachfolgerstetig im Gegensatz zur herkömmlichen Auffassung.

Definition: Für f: A → (ω)m heißt

d↷B zf(z) := f(↷B z) - f(z)

B-Nachfolger-Differential von f in Richtung ↷B z in z ∈ A. Ist Dim A = n, so können wir d↷B zf(z) durch d((↷B)z1, ... , (↷B)zn)f(z) angeben. Ist f die Identität, also f(z) = z, können wir d↷B zBz statt d↷B zf(z) schreiben. Sind A oder ↷B z klar oder unwichtig, können wir sie weglassen. Der herkömmlich reelle Fall ergibt sich wie oben analog.

Bemerkung: Ist der Betrag des B-Nachfolger-Differentials von f in Richtung ↷B z in z ∈ A kleiner als α und infinitesimal, so ist f dort auch αB-nachfolgerstetig.

Definition: Eine (unendlich) reellwertige Funktion mit Argumenten ∈ (ω)n heißt konvex (konkav), wenn ihre sämtlichen Funktionswerte der Argumente zwischen zwei verschiedenen ihrer Argumente ggf. jeweils nicht oberhalb (nicht unterhalb) jeder Verbindungsstrecke von den Funktionswerten dieser Argumente liegen. Dies gilt streng, wenn wir nicht oberhalb (nicht unterhalb) durch unterhalb (oberhalb) ersetzen können.

Definition: Die m arithmetischen Mittel aller fk(↷B z) von f(z) bilden die m gemittelten genormten Tangentialnormalenvektoren von m (eindeutig bestimmten) Hyperebenen, die die mn stetigen partiellen Ableitungen für die Jacobi-Matrix eines nicht unbedingt stetigen f liefert. Die Hyperebenen setzen wir dabei so an, dass sie jeweils durch fk(↷B z) und das nach 0 translatierte f(z) gehen, und minimieren anschließend den Betrag ihrer Koeffizienten in einem sehr einfachen linear lösbaren linearen Programm (vgl. Lineare Optimierung).

Hieraus ergibt sich direkt der

Satz: Alle in A ⊆ (ω)n konvexen bzw. konkaven Funktionen f: A → (ω)ℝ sind αB-nachfolgerstetig und B-nachfolgerdifferenzierbar.⃞

Satz: Für die Bijektivität der Abbildung f: X → X mit beliebigen Funktionen f und Mengen X reicht Injektivität bzw. Surjektivität aus.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus der paarweisen Verschiedenheit aller (Ur-)Bilder.⃞

Bemerkung: Die Nachfolgerabbildung s in ωℕ gehört nicht dazu, da hier s: ωℕ → ωℕ* ∪ {|ωℕ|} gilt.

Beispiel einer Peanokurve (aus [739], S. 188): "Die Funktion g: ℝ → ℝ sei gerade, periodisch mit der Periode 2 und in [0, 1] gegeben durch

formula_094

Offenbar ist g durch diese Angaben vollständig definiert und stetig. Die Funktion Φ: I = [0, 1] → ℝ2 sei definiert durch

formula_095"

Die Funktion Φ ist mindestens stetig, da die Summen lokal letztlich lineare Funktionen in t sind, wenn ∞ durch ώ ersetzt wird. Es ist aber ein Irrtum zu glauben, dass auf diese Weise [0, 1] bijektiv auf [0, 1]2 abgebildet werden könne, da z. B. die Viererpotenzen in g und die von g angenommenen Werte 0 und 1 in zwei Teilintervallen für eine so starke Ausdünnung in [0, 1]2 sorgen, dass von einer Bijektion keine Rede sein kann. Die Beschränkung eines Beweises auf rationale Punkte ist schlicht unzureichend.

Definition: Ein Punkt x (↷x) einer Funktion f: A ⊆ ωℝ → ωℝ heißt Sprungstelle mit Sprung nach rechts (links) von s := |f(↷x) – f(x)| nach oben (unten) oder umgekehrt, wenn s > 1/|ωℕ*| gilt.

Satz: Eine monotone Funktion f: [a, b] → ωℝ hat maximal |ωℕ|| ωℤ*| - 1 Sprungstellen.

Beweis: Zwischen -|ωℕ*| und |ωℕ*| sind maximal |ωℕ*|| ωℤ*|, jenseits davon zusammengenommen maximal |ωℤ*| - 1 Sprungstellen mit Sprung von 1/|ωℕ*| möglich. Wenn die Funktion außer an den Sprungstellen wie eine Treppenfunktion ihre Werte hält, folgt die Behauptung, wenn die Reste an den Enden der Zahlengerade ωℝ richtig berücksichtigt werden.⃞

Bemerkung: Durch diesen Satz wird der von Froda richtiggestellt und präzisiert. Wenn wir c allen Mengen voranstellen, erhalten wir die Aussage für herkömmliche Mengen.

Definition: Die partielle Ableitung in Richtung ↷B zk von F: A → (ω)ℍ in z = (z1, ..., zn) ∈ A ⊆ (ω)n mit k ∈ [1, n]ℕ ist definiert als

formula_117

Gilt mit den Bezeichnungen von oben für eine Funktion f = (f1, ..., fn): A → (ω)n mit z ∈ A ⊆ (ω)n

formula_118

so heißt f(z) die exakte B-Nachfolger-Ableitung F′↷B z B(z) bzw. der exakte B-Nachfolger-Gradient grad↷B z F(z) in Richtung ↷B z in A der dann in Richtung ↷B z exakt B-differenzierbaren Funktion f in z, sofern alle Quotienten in (ω)ℍ existieren. Hierbei ist ∇ der Nabla-Operator. Gilt dies für alle z ∈ A, so heißt F exakt B-differenzierbare B-Stammfunktion von f. Im (herkömmlich) (unendlich) Reellen lassen sich linksseitige und rechtsseitige B-Stammfunktionen Fl(x) und Fr(x) mit x ∈ (ω)ℝ unterscheiden, je nachdem, ob es sich um die entsprechende B-Ableitung handelt.

Sind A oder ↷B z klar oder unwichtig, können sie weggelassen werden. Der herkömmlich Fall ergibt sich wie oben analog und wir sprechen im Fall n = 1 für ↷B w > w ∈ (ω)ℝ von der rechtsseitigen exakten B-Ableitung F′rB(w) und für ↷B w < w von der linksseitigen exakten B-Ableitung F′lB(w). Stimmen die Ableitungen in allen Richtungen überein, so sprechen wir entsprechend von der exakten Ableitung F′B(z) (für A = cℂ und n = 1 wird F dann herkömmlich als holomorph angesehen).

Bemerkung: Offenbar unterscheiden sich die B-Stammfunktionen von einer Funktion untereinander nur durch einen (herkömmlich) (unendlich) komplexen bzw. (unendlich) reellen Summanden. B-Stammfunktionen unstetiger Funktionen können in der Regel nur durch Aufsummieren und geschicktes Zusammenfassen gewonnen werden, solche stückweiser αB-stetiger Funktionen einfacher (z. B. durch Umkehrung der Ableitungsregeln).

Kettenregel: Für x ∈ A ⊆ (ω)ℝ, B ⊆ A2, f: A → C ⊆ (ω)ℝ, D ⊆ C2, g: C → (ω)ℝ gilt, wenn wir f(↷B x) = ↷D f(x) wählen,

g′rB(f(x)) = g′rD(f(x)) f′rB(x).

Beweis:

formula_184

Bemerkung: Die Kettenregel und folgende Regeln können wir analog in (unendlich) komplexe Mengen und in linksseitige exakte Ableitungen übertragen. Die Angabe von Mengen der Nachbarschaftsrelationen entfällt nachfolgend. Seien ferner f und g rechtsseitig exakt differenzierbare (unendlich) reelle Funktionen in x ∈ A ⊆ (ω)ℝ.

Produktregel: Es gilt

(fg)′r(x) = f′r(x) g(x) + f(↷ x) g′r(x)= f′r(x) g(↷ x) + f(x) g′r(x).

Beweis: Wir addieren und subtrahieren im Zähler f(↷ x) g(x) bzw. f(x) g(↷ x) .⃞

Quotientenregel: Seien die Nenner der folgenden Quotienten nicht 0. Dann gilt

formula_159

Beweis: Wir addieren und subtrahieren im Zähler f(x) g(x) bzw. f(↷ x) g(↷ x) .⃞

Bemerkung: Damit die Produkt- und Quotientenregel so genau wie die herkömmliche ist, müssen die Argumente und Funktionswerte einer kleineren Unendlichkeitsstufe als 1/d0 angehören sowie f und g in x ∈ A hinreichend (α-)stetig sein (d. h. α muss klein genug sein), um ↷ x durch x ersetzen zu können. Analoges gilt für infinitesimale Argumente.

Bemerkung: Die rechtsseitige exakte Ableitung der Umkehrfunktion ergibt sich zu

f-1r(y) = 1/f′r(x)

aus y = f(x) und der Identität x = f-1(f(x)) mithilfe der Kettenregel bei gleicher Genauigkeit. Die Regel von de l'Hospital ist für (α-)stetige Funktionen f und g sinnvoll und ergibt sich für f(v) = g(v) = 0 mit v ∈ A sowie g(↷ v) ≠ 0 aus

formula_271

Bemerkung: Differenzierbarkeit ist also leicht herstellbar. Wir können im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall die exakte Ableitung alternativ auch überall da

formula_272

setzen, wo der Quotient definiert ist. Dies bietet sich vor allem an, wenn ↷B v - v = v - ↶B v ist und die zusammengefassten Ableitungen gleiches Vorzeichen haben, und hat den Vorteil, dass wir F′bB(v) eher als "Tangentensteigung" im Punkt v auffassen können, insbesondere wenn F αB-stetig in v ist. Dies sorgt ferner für einfache Ableitungsregeln, zumal bei entgegengesetztem Vorzeichen der Ableitungswert 0 bestens geeignet ist (s. u.). Andernfalls bilden wir einfach das arithmetische Mittel der beiden exakten Ableitungen. Die Übertragung ins (herkömmlich) Komplexe erfolgt analog.

Definition: Es heißt mit z ∈ A ⊆ (ω)n

formula_045

das exakte B-Integral eines Vektorfeldes f = (f1, ..., fn): A → (ω)n in A und f(z) B-integrierbar. Ist hierfür mindestens ein Punkt aus A zu entfernen, so heißt das exakte B-Integral uneigentlich.
Für γ: [a, b[C → A ⊆ (ω)n, C ⊆ ℝ und f = (f1, ..., fn): A → (ω)n heißt

formula_210

mit dDt > 0, ↷D t ∈ ]a, b]C, wenn wir ↷B γ(t) = γ(↷D t) wählen, wegen ζ = γ(t) und dBζ = γ(↷D t) - γ(t) = γ′D(t) dDt (also insbesondere für C = ℝ, B maximal in ℂ2 und D maximal in ℝ2) das exakte B-Kurvenintegral eines Vektorfeldes f längs des Weges γ. Uneigentliche exakte B-Kurvenintegrale werden analog den exakten B-Integralen definiert, wobei wir dann Punkte jeweils nur von den Intervallenden von [a, b[C entfernen dürfen.

Definition: Die Funktion µh: A → ℝ≥0 für eine m-dimensionale Menge A ⊆ (ω)n mit h ∈ ℝ>0 kleiner gleich dem Minimalabstand der Punkte in A, m ∈ ω≤2n und µh(A) := |A| hm sowie µh(∅) = |∅| = 0 heißt exaktes h-Maß von A und A h-messbar, wobei Dim (ω)ℂ = 2 gilt.

Bemerkung: Offenbar ist µh(A) additiv und eindeutig bestimmt, d. h. wenn A eine Vereinigung paarweise disjunkter h-homogener Mengen Ak mit k ∈ ℕ ist, so gilt

formula_211

Es ist außerdem streng monoton, d. h. für h-homogene Mengen A1, A2(ω)n mit A1 ⊂ A2 gilt µh(A1) < µh(A2). Ist h nicht bei allen betrachteten Mengen Ak gleich, so wählen wir das Minimum von allen h und homogenisieren wie in der Mengenlehre beschrieben. Damit misst es genauer als andere Maße und ist optimal, da es aufgrund der lediglichen Berücksichtigung der Nachbarschaft eines Punktes weder kleiner noch größer ausfällt, als die einzelnen Abstände der Punkte parallel zu den Koordinatenachsen betragen. Begriffe wie σ-Algebra oder Nullmengen werden dabei nicht benötigt, da die leere Menge hier die einzige Nullmenge ist.

Beispiele: Besteht A ⊂ [0, 1[ aus den Punkten, deren kleinstwertiges Bit 1 (0) in ihrer (herkömmlich) reellen Dualdarstellung ist, so gilt µd0(A) = ½. Die reellen Zahlen verfeinern die herkömmlich reellen noch, indem die herkömmlich reellen Intervalle noch (wesentlich) feiner aufgeteilt werden. Da A eine unendliche (herkömmlich nicht abzählbare) Vereinigung einzelner Punkte ist (ohne Nachbarpunkte aus [0, 1[ in A) und diese Punktmengen Lebesgue-Nullmengen darstellen, ist A nicht Lebesgue-messbar, wohl aber exakt messbar. Analog kann in [0, 1[ × [0, 1[ die Menge S aller Punkte mit kleinstwertigem Bit 1 (0) in ihren beiden Koordinaten mit exaktem Maß µd0(S) = ¼ betrachtet werden.

Bemerkung: Auch im Hinblick auf BBP-Reihen und die Eulersche Reihentransformation bietet sich eine Zweierpotenz als Basis an (idealerweise 8, vgl. Zeitrechnung).

Standa bschätzung: Für n = 1 gilt mit M = max ||f(z)|| auf γ und der sukzessiven Anwendung der Dreiecksungleichung (s. o.)

formula_265

wobei die letzte Summe auch für n ∈ ω≥2 die euklidische Weglänge L(γ) definiert.

Definition: Das exakte Standardmaß ist µd0.

Bemerkung: In der Standardabschätzung ergibt sich der herkömmlich reelle Fall wie oben analog. Ist klar, dass es sich um das Standardmaß handelt, kann d0 entfallen. Das exakte Kurvenintegral stimmt auf (c)ℍ weitgehend mit herkömmlichen Kurvenintegralen überein; f muss jedoch nicht stetig sein und das eigentliche B-Kurvenintegral existiert immer. Offenbar ist das exakte B-Kurvenintegral linear und im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall monoton. Die Kunst des Integrierens besteht im korrekten Zusammenfassen der Summanden der definierenden Summe.

Definition: Für alle x ∈ V eines h-homogenen n-Volumens V ⊆ [a1, b1] ×...× [an, bn] ⊆ (ω)n mit B = B1×...×Bn, Bk ⊆ [ak, bk]2 und |dBkxk| = h für alle k ∈ [1, n]ℕ heißt

formula_193

das exakte B-Volumenintegral über eine dann B-volumenintegrierbare Funktion f: (ω)n(ω)ℝ mit f(x) := 0 für alle x ∈ (ω)n \ V. Uneigentliche exakte B-Volumenintegrale definieren wir analog den exakten B-Integralen.

Bemerkung: Aufgrund der Isomorphie von ℂ und ℝ2 gilt im Komplexen Entsprechendes und

formula_213

Bemerkung: Wie weiter unten beschrieben gibt es alternative Definitionen zum exakten Volumenintegral. Am einfachsten zu handhaben sind jedoch die ursprünglichen Definitionen. Ggf. bietet sich eine geeignete Landau-Notation an. Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches, so soll es durch die zu ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb des Definitionsbereiches ersetzt werden. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus allen diesen Zahlen oder wir wählen eine aus (z. B. nach einer einheitlichen Regel).

Beispiel: Sei [a, b[hωℤ eine nichtleere h-homogene Teilmenge von [a, b[ωℝ mit B = ]a, b]hωℤ. Für h = 1/c und c = -a = b - h ist [a, b[h ωℤ mit cℝ vergleichbar. Sei ferner Tr eine rechtsseitige B-Stammfunktion von einer in [a, b[hωℤ nicht notwendig konvergenten Taylorreihe t und f(x) := t(x) + ε(-1)x/h mit herkömmlich reellen x und ε ≥ 1/c. Für h = 1/c ist f nirgends stetig und damit nirgends herkömmlich differenzierbar und integrierbar in [a, b[hωℤ, aber es gilt exakt für alle h

formula_214

und

formula_215

Beispiel: Das Intervall Q := [0, 1[ℚ hat das Maß (vgl. Mengenlehre) µd0(Q) = ½. Sei die Funktion q: [0, 1[→ {0, 1} definiert durch q(x) = 1 für x ∈ Q und q(x) = 0 für x ∈ [0, 1[ \ Q. Dann gilt

formula_256

Beispiel: Die Mitteldrittel-Cantormenge C hat das Maß µd0(C) = (⅔)ώ. Sei die Funktion c: [0, 1] → {0, (⅔)} definiert durch c(x) = (⅔) für x ∈ C und c(x) = 0 für x ∈ [0, 1] \ C. Dann gilt

formula_257

Bemerkung: Die Mengen Q und C sind herkömmlich nicht messbar. Damit ist das exakte Integral allgemeiner gültig als Riemann-, Lebesgue-(Stieltjes-)Integral und weitere Integrale, da die letzteren nur in herkömmlich messbaren Mengen existieren und Funktionswerte Werte überspringen können, die dann nicht gemessen werden. Die Funktionen wurden nur wegen der Anschaulichkeit so einfach gewählt und können natürlich komplizierter sein.

Definition: Eine Folge (ak) mit Folgengliedern ak ist eine Abbildung von (ω)ℤ nach (ω)m: k ↦ ak. Eine Reihe ist eine Folge (sk) mit m ∈ (ω)ℤ und den Partialsummen

formula_166

Bemerkung: Damit ist insbesondere der Riemannsche Umordnungssatz ungültig, da wir beim Aufsummieren positiver Summanden zu einem angestrebten Wert so viele negative zu addieren gezwungen sind, bis wir wieder die ursprüngliche Reihensumme erreichen und umgekehrt. Bei einem kleineren bzw. größeren Wert als der Summe der positiven bzw. negativen Summanden gilt das Gleiche, da der Rest nahezu annulliert wird usf. Auch mit der Unendlichkeit darf nicht willkürlich umgegangen werden, wenn wir Irrwege vermeiden wollen. Wer etwas in die Unendlichkeit verlagert, darf sich nicht der Illusion hingeben, dass es dann nicht mehr existieren würde.

Bemerkung: Da Summen aufgrund des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes beliebig umsummiert werden dürfen, wenn korrekt (mit den Landau-Symbolen) gerechnet wird, ergibt sich für exakte B-Volumenintegrale der

Satz von Fubini: Für X, Y ⊆ (ω)ℍ gilt mit f: X×Y → (ω)

formula_270

Beweis: Die Behauptung ergibt sich direkt durch Umordnen der den obigen Integralen entsprechenden Summen.⃞

Beispiel: Wegen

formula_217

erhalten wir gemäß dem Spätesteinsetzungsprinzip (s. u.) das ggf. uneigentliche Integral

formula_218

und nicht

formula_219

Endlichkeitskriterium für Reihen: Die euklidische Norm der Partialsumme mit dem größten Index max k einer Reihe (sk) für natürliche k und j ist genau dann endlich, wenn sie darstellbar ist als

formula_263

mit eine monoton fallende Folge bildenden djc≥0.

Beweis: Die Summe ist nach unten durch 0 und nach oben durch d0 beschränkt. Die Behauptung folgt direkt aus der Möglichkeit beliebig umzusummieren, Summanden nach Größe und Vorzeichen zu sortieren, zusammenzufassen bzw. in Summen aufzuspalten.⃞

Beispiel: Aus der alternierenden harmonischen Reihe folgt

formula_220

Definition: Folgende Umsummierung mit aj, bk(ω)ℍ ergibt das Reihenprodukt und korrigiert das Cauchy-Produkt:

formula_264

Beispiel: Für folgendes Reihenprodukt gilt (vgl. [763], S. 61 f.):

formula_261

Beispiel: Mit der Signumfunktion sgn gilt für folgendes Reihenprodukt (vgl. [763], S. 62):

formula_262

Satz: Die Zahl s := 1 - 1/c ist eine obere Schranke, die als Argument in die geometrische Reihe eingesetzt deren Summe herkömmlich reell macht.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus c (1 - 1/c)ώ+1 ≈ 0.⃞

Bemerkung: Mit den Bezeichnungen des vorhergehenden Satzes und den aus der Literatur bekannten Beweisen folgt, dass die Summe einer Potenzreihe mit Gliedern anxn herkömmlich reell ist, wenn deren Konvergenzradius ≤ s/lim sup |an|1/n ist.

Endlichkeitskriterium (entspricht dem Hauptsatz) für Produkte: Das Produkt

formula_061

für k ∈ ℕ* und akc>0, ist endlich, wenn mit endlichem

formula_062

eS maximal endlich ist.

Beweis: Mit der Exponentialreihe folgt die Behauptung direkt aus S < P < eS.⃞

Bemerkung: Produkte mit akcℂ sind genau dann endlich, wenn es ihre Beträge sind. Faktoren mit Betrag < 1 sind gegen solche mit Betrag > 1 aufzurechnen, z. B. indem ihr Produkt der Kehrwerte betrachtet wird.

Definition: Eine Folge (ak) mit k ∈ (ω)ℕ*, ak(ω)ℂ und α ∈ ]0, 1/c] heißt α-konvergent gegen a ∈ (ω)ℂ, wenn es ein m ∈ (ω)ℕ* gibt, sodass |ak - a| < α für alle ak mit k ≥ m und nicht zu kleiner Differenz max k - m gilt. Die Menge α-A aller solchen a wird als α-Grenzwertmenge von (ak) bezeichnet, der aus ihr zweckmäßig (z. B. als letzter oder Mittelwert) bestimmte eindeutige Repräsentant als α-Grenzwert α-a. Für speziell a = 0 sprechen wir von einer Nullfolge. Gilt die Ungleichung lediglich für α = 1/c, so wird α- weggelassen.

Bemerkung: In der Regel werden wir k maximal und α minimal wählen. Die herkömmlichen Grenzwerte sind oft nicht genauer als O(1/ώ) und im Allgemeinen zu ungenau, da sie z. B. (willkürlich) algebraisch (von einem bestimmten Grad) oder transzendent sind. Die herkömmliche Formulierung, dass sich stets unendlich viele bzw. fast alle Folgenglieder mit beliebig kleinem Abstand zum Grenzwert und nur endlich viele mit größerem finden lassen, müsste in der Definition der herkömmlichen Konvergenz ergänzt werden, da sie sonst für jede Folge gilt, bei der nur der größte Index als relevant betrachtet wird (vgl. [813], S. 144), und erst dann gilt das Monotonieprinzip (vgl. a. a. O. S. 155).

Bemerkung: Die herkömmliche Differentiation und Integration verwischt durch herkömmliche Grenzwertbildung die genaue Unterscheidung von Transzendenz und Algebraizität. Dies ist z. B. für die exakte Bestimmung von Nullstellen problematisch. Deswegen gehen wir hier einen anderen (genaueren) Weg.

Bemerkung: Die Aussage, dass sich jede positive Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten unendlichen Dezimalbruch darstellen ließe, ist aufgrund des Hauptsatzes der Mengenlehre haltlos (vgl. S. 27 f.). Darüber hinaus sind alle Beweise falsch, die für ε ∈ (ω)>0 - insbesondere durch die Formulierung für alle herkömmlich reellen ε > 0 - behaupten, dass eine reelle Zahl ε/r mit reellem r ∈ (ω)>1 existiere, weil wir einfach ε := ↷0 setzen können bzw. in einen infiniten Regress geraten. Daher muss bei der εδ-Definition des Grenzwertes (fragliche Existenz von δ, S. 235 f.) und damit bei der εδ-Definition der Stetigkeit (vgl. S. 215) (betrachte etwa die reelle Funktion, die jeden reellen Wert verdoppelt und dann noch nicht einmal gleichmäßig stetig ist) ε auf ein gewisses ganzzahliges Vielfaches von ↷0 beschränkt werden.

Bemerkung: Wir brauchen gleichmäßige Stetigkeit nicht zu betrachten, da wir generell δ := ↷0 und ε entsprechend größer setzen können. Wenn die Bedingungen für zwei Funktionswerte nicht erfüllt sind, dann ist die Funktion dort auch nicht stetig. Also ist Stetigkeit mit gleichmäßiger Stetigkeit äquivalent, wenn wir von allen gültigen infinitesimalen ε das größte auswählen. Die Äquivalenz zur Hölder-Stetigkeit ist ebenso leicht zu zeigen, sofern wir ggf. eine transreelle Konstante zulassen. Das Gleiche gilt für gleichmäßige Konvergenz, da wir als den alles erfüllenden Index das Maximum der Indizes wählen können, der für jedes Argument gilt, wobei ώ in jedem Fall ausreichen sollte. Ist dies für ein Argument nicht der Fall, ist dort auch keine punktweise Konvergenz gegeben. Also ist gleichmäßige Konvergenz mit der punktweisen äquivalent, wenn wir von allen gültigen infinitesimalen ε das größte auswählen.

Bemerkung: Die Definition der reellen Zahlen durch Dedekindsche Schnitte ist daher ebenso ungeeignet wie durch die Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen (vgl. S. 29 ff.). Die beste Definition ist daher die homogene als (hyper-)ganzzahlige Vielfache (d. h. ganze Zahlen, die teilweise nicht in ℤ liegen) von ↷0. Die vorstehenden Bemerkungen verdeutlichen, dass die herkömmliche Analysis in der bestehenden Form nicht aufrecht erhalten werden kann.

Beispiele (vgl. S. 540 - 543 mit jeweils n ∈ ωℕ* und x ∈ [0, 1]):

1. Die Folge fn(x) = sin(nx)/√n strebt für n → ώ nicht gegen f(x) = 0, sondern gegen f(x) = sin(ώx)/√ώ mit der (stetigen) Ableitung f′(x) = cos(ώx) √ώ statt f′(x) = 0.

2. Die Folge fn(x) = x - xn/n strebt für n → ώ nicht gegen f(x) = x, sondern gegen f(x) = x - xώ/ώ mit der (stetigen) Ableitung f′(x) = 1 - xώ-1 statt f′(x) = 1. Herkömmlich ist fn(x) = 1 - xn-1 unstetig im Punkt x = 1.

3. Die Folge fn(x) = (n2/2 - |n3(x - 1/(2n))|)(1 - sgn(x - 1/n)) (oder mit stetig differenzierbaren Funktionen ausgedrückt

formula_104

strebt für n → ώ nicht generell gegen 0, sondern gegen verschiedene Werte in Abhängigkeit von x (ersetze n durch ώ in fn(x)). Ferner gilt

formula_105

und

formula_222

statt

formula_107

wegen angeblich f(x) = 0.

4. Die Folge fn(x) = (n/2 - |n2(x - 1/(2n))|)(1 - sgn(x - 1/n)) (oder mit stetig differenzierbaren Funktionen ausgedrückt

formula_108

strebt für n → ώ nicht generell gegen 0, sondern gegen verschiedene Werte in Abhängigkeit von x (ersetze n durch ώ in fn(x)). Ferner gilt

formula_109

statt

formula_110

wegen angeblich f(x) = 0.

5. Die Folge fn(x) = nx(1 - x)n strebt für n → ώ nicht gegen f(x) = 0, sondern gegen die stetige Funktion f(x) = ώx(1 - x)ώ und nimmt für x = 1/ώ den Wert 1/e an.

Diese fünf Beispiele zeigen hier die Überlegenheit der Nichtstandardanalysis und die Stärke der Verwendung infinitesimaler bzw. unendlicher Werte.

Satz über die α-Grenzwert-Vertauschung bei der Integration: Sei A ⊆ (ω)ℝ h-homogen und (fj) eine Folge integrierbarer Funktionen mit (unendlich) natürlichen j und fj: A → (ω)ℝ, die gegen die integrierbare Funktion f: A → (ω)ℝ α1-konvergieren. Dann gilt für

formula_267

die Abschätzung

formula_268

Beweis:

formula_269

Bemerkung: Solange wir korrekt mit Landau-Notation rechnen, dürfen wir Differentiation oder Integration und Summation (auch) in (divergenten) Reihen vertauschen. Die herkömmliche Vorgehensweise kann jedoch zu nicht unbeträchtlichen Fehlerfortpflanzungen in Folgerechnungen führen, z. B. wenn α1μd0(A) ≥ 1/ω ist. Bei allen Vertauschungen gilt das Spätesteinsetzungsprinzip (s. u.) für die Variablen, da sich sonst Unstimmigkeiten ergeben können. Daraus folgt direkt:

Großer Vertauschungssatz: Die beliebige Vertauschung der Reihenfolge der (zulässigen) gleichen Ersetzung von Variablen in Folgen, Ableitungen und Integralen führt zu dem gleichen Ergebnis.⃞

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion

formula_226

ist mit γ: [c, x[C → A ⊆ (ω)ℍ, C ⊆ ℝ, f: A → (ω)ℍ, c ∈ [a, b[C, wenn wir ↷B γ(x) = γ(↷D x) wählen, exakt B-differenzierbar und es gilt für alle x ∈ [a, b[C und z = γ(x)

F′B(z) = f(z).

Beweis:

formula_227

Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit γ: [a, b[C → (ω)

formula_228

Beweis:

formula_229

Korollar: Für einen geschlossenen Weg γ gilt mit den Voraussetzungen von oben

formula_230

wenn f eine Stammfunktion F auf γ besitzt.⃞

Bemerkung: In beiden Hauptsätzen ergibt sich der herkömmlich reelle Fall wie oben analog. Für v, w ∈ [a, b[C, v ≠ w und γ(v) = γ(w) ist ↷B γ(v) ≠ ↷B γ(w) erlaubt. Beachtenswert ist, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Eigentliches Integrieren (als Umkehrung der Ableitung) macht nur für stetige Funktionen Sinn, wenn es über bloßes Summieren hinausgehen soll. Können wir jedoch Funktionswerte zu endlich vielen stetigen Funktionen zusammenfassen, für deren jede die Stammfunktion in endlicher Zeit angegeben werden kann, lässt sich auch das Integral für unstetige Funktionen so berechnen, eventuell indem wir die Euler-Maclaurinsche Summenformel und weitere Vereinfachungstechniken verwenden.

Bemerkung: Über je mehr oder weniger Elemente integriert wird, desto stärker kann der Wert des Integrals abweichen, selbst bei gleichen Intervallgrenzen. Verwenden wir die alternative exakte Ableitung, so ändern sich die Formeln entsprechend; dies gilt umso weniger, je stetiger die vorkommenden Funktionen sind. Hier können angemessene Rundungsregeln hilfreich sein.

Definition: Das verschärfte (rechtsseitige) exakte B-Integral nach der Trapezregel ist definiert durch

formula_161

Das verschärfte (rechtsseitige) exakte B-Integral nach der Mittelpunktsregel ist - die Existenz von (z + ↷B z)/2 vorausgesetzt - definiert durch

formula_162

Bemerkung: Da diese verschärften exakten B-Integrale offenbar unabhängig von der Durchlaufungsrichtung sind, werden durch ihren (impliziten) Einsatz Sätze gerechtfertigt, in denen sich Integrationsergebnisse bei entgegengesetztem Durchlaufen gerade aufheben sollen wie z. B. der Satz von Green (s. u.). Im ersten Hauptsatz wird die Ableitung dB(F(z))/dBz verschärft zum arithmetischen Mittel (f(z) + f(↷B z))/2 bzw. zu (f(z + ↷B z)/2), im zweiten Hauptsatz F(γ(b)) - F(γ(a)) zu (F(γ(b)) + F(↶B γ(b)))/2 - (F(γ(a)) + F(↷B γ(a)))/2 bzw. zu F((γ(b) + ↶B γ(b))/2) - F((γ(a) + ↷B γ(a))/2), wobei sich im hinreichend α-stetigen Fall von f bzw. von F am Rand nahezu die ursprünglichen Resultate ergeben. Da das exakte B-Integral nach einer Rechteckregel definiert ist, ergeben sich insgesamt entsprechende Fehlerabschätzungen zur exakten Integration (s. Literatur zur Numerischen Mathematik).

Leibnizsche Differentiationsregel: Für f: (ω)n+1(ω)ℍ, a, b: (ω)n(ω)ℍ, ↷B x := (s, x2, …, xn)T, s ∈ (ω)ℍ \ {x1} gilt, wenn wir ↷D a(x) = a(↷B x) und ↷D b(x) = b(↷B x) wählen,

formula_152

Beweis:

formula_180

Anmerkung: Hierbei wird im Komplexen über einen Weg integriert, dessen Anfangs- und Endpunkt die Integralgrenzen bilden. Ist ↷D a(x) ≠ a(↷B x), so ist der letzte Summand mit (↷D a(x) - a(x))/(a(↷B x) - a(x)) und ist ↷D b(x) ≠ b(↷B x), so ist der vorletzte Summand mit (↷D b(x) - b(x))/(b(↷B x) - b(x)) zu multiplizieren.

Definition: Für einen geschlossenen Weg γ: [a, b[A → (ω)ℂ und z ∈ (ω)ℂ heißt

formula_231

dessen Umlaufzahl bzw. Index.

Integralformel: Mit f: A → (ω)ℂ und γ([a, b[) ⊆ A ⊆ (ω)ℂ ist genau dann

formula_232

wenn mit g(ζ) = (f(ζ) - f(z))/(ζ - z)

formula_233

gilt, also insbesondere wenn g auf γ([a, b[) eine Stammfunktion besitzt.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus dem Korollar zum zweiten Hauptsatz.⃞

Bemerkung: Die Umlaufzahl ist 0, wenn z nicht umlaufen wird (Stammfunktion ln(ζ - z)). Mit n ∈ ℕ ist sie n (-n) wenn sie n-mal positiv (negativ) umlaufen wird. Dies lässt sich leicht an der folgenden Abbildung mit der Parametrisierung ζ = z + r eit der Kreislinie λ mit der Länge 2πr für t ∈ [0, 2π[ und r ∈ ℝ>0 einsehen:

Integrationswege
Abb. 1

Beispiel: Die Integration auf dem Rand ∂đ der Einheitskreisscheibe đ bzw. dessen Translation um 2 mit der Parametrisierung z = eit und t ∈ [0, 2π[ ergibt über 1/z den Wert 2πi bzw. 0 (Stammfunktion ln(z + 2) auf ∂đ + 2) und über |z|2 den Wert 0 (Stammfunktion z auf ∂đ) bzw. 4πi.

Bemerkung: Das Beispiel zeigt, dass die Existenz einer Stammfunktion des Integranden eines Kurvenintegrals und dessen Wert generell nur von Integrand und Weg einschließlich dessen Orientierung abhängen, nicht von der Beschaffenheit einer zugrundegelegten Menge, dem Inneren oder Äußeren eines Weges, der Holomorphie oder der (Null-)Homologie wie in der herkömmlichen komplexen Analysis.

Mittelwertgleichung: Ist γ([0, 2π[) = ∂Br(s) mit s ∈ (ω)ℂ und r ∈ (ω)>0, so gilt, falls f: Br(s) → (ω)ℂ die Bedingung der Integralformel erfüllt,

formula_266

Beweis: Die Substitution z = s + e in der Integralformel liefert direkt die Behauptung.⃞

Bemerkung: Mit der Standardabschätzung erhalten wir daraus die

Mittelwertungleichung: |f(s)| ≤ |f|γ.

Definition: Der Koeffizient a-1 der Funktion f: A → (ω)ℂ mit A ⊆ (ω)ℂ und

formula_235

und n ∈ ℕ, ak, d, ajk, dj(ω)ℂ sowie paarweise verschiedenen dj ≠ d heißt das Residuum resd f.

Residuensatz: Hat f: A → (ω)ℂ mit γ([a, b[) ⊆ A ⊆ (ω)ℂ die Darstellung

formula_236

mit n ∈ ℕ, ajk, dj(ω)ℂ und dj paarweise verschieden, so gilt

formula_237

für einen geschlossenen Weg γ: [a, b[ → (ω)ℂ.

Beweis: Für alle j ∈ ω≤n und alle k ∈ ωℤ \ {-1} gilt

formula_238

und

formula_239

Zwischenwertsatz: Sei f: [a, b] → (ω)ℝ α-stetig in [a, b]. Dann nimmt f(x) für x ∈ [a, b] jeden Wert zwischen min f(x) und max f(x) mit einer Genauigkeit < α an. Ist f in ωℝ stetig, nimmt es jeden Wert von cℝ zwischen min f(x) und max f(x) an.

Beweis: Zwischen min f(x) und max f(x) existiert eine lückenlose Kette von sich überlappenden α-Umgebungen mit jeweils f(x) als Mittelpunkt, da sonst ein Widerspruch zur α-Stetigkeit von f entstünde. Der zweite Teil der Behauptung folgt aus der Tatsache, dass eine Abweichung |f(↷x) - f(x)| < 1/c bzw. |f(x) - f(↶x)| < 1/c in cℝ die herkömmlich maximal zugelassene Auflösung unterschreitet.⃞

Definition: Die Ableitung einer Funktion f: A → (ω)ℝ mit A ⊆ (ω)ℝ definieren wir genau dann als 0, wenn 0 im Intervall mit den Grenzen der links- und rechtsseitigen exakten Ableitung liegt.

Beispiel: Die (2d0)-stetige Funktion f: (ω)ℝ → {0, d0} mit

formula_154

besteht nur aus den lokalen Minima 0 und den lokalen Maxima d0 und hat nur die (links- bzw. rechtsseitigen) exakten Ableitungen ±1.

Definition: Es sei f: A → (ω)ℍ mit A ⊆ (ω)ℍ. Dann heißt

formula_078

die zweite Ableitung in Richtung ↷B z von f in z ∈ A.

Höhere (partielle) Ableitungen werden analog definiert. Die Anzahl j ∈ ωℕ der durchgeführten partiellen Ableitungen wird als Exponent hinter ∂ notiert, die Variablen, nach denen differenziert wird, folgen im Nenner mit jeweils vorangestelltem ∂ aufeinander. Hierbei werden gleiche Variablen mit einem Exponenten gemäß der Anzahl ihres Auftretens versehen. Taylor-Reihen sind wegen des approximativen und Konvergenzverhaltens nur für ώ-fach α-stetig differenzierbare Funktionen sinnvoll.

Vertauschungssatz: Das Ergebnis mehrfacher partieller Ableitungen einer Funktion f: A → (ω)ℍ ist unabhängig von der Reihenfolge, solange erst zum Schluss Variablen durch Werte ersetzt oder Grenzwerte gebildet werden, falls erforderlich (Spätesteinsetzungsprinzip).

Beweis: Die Ableitung ist eindeutig bestimmt: Bis zur zweiten Ordnung ist dies klar, für höhere Ordnungen folgt die Behauptung durch vollständige (transfinite) Induktion.⃞

Beispiel: Sei f: ω2ωℝ gegeben durch f(0, 0) = 0 und f(x, y) = xy3/(x2 + y2) sonst. Dann gilt:

formula_080

mit Wert ½ an der Stelle (0, 0), obwohl in

formula_081

für x = 0 links y und für y = 0 rechts 0 steht, d. h. dann ergibt links die partielle Ableitung nach y den Wert 1 ≠ 0, welches die partielle Ableitung nach x rechts ist.

Satz: Genau dann, wenn F: A → (ω)ℂ mit der Aufspaltung in Real- und Imaginärteil F(z) := U(z) + i V(z) := f(x, y) := u(x, y) + i v(x, y), infinitesimalem h = |dBx| = |dBy|, h-homogenem A ⊆ (ω)ℂ, der Nachbarschaftsrelation B ⊆ A2 für alle z = x + i y ∈ A holomorph und

formula_191

infinitesimal ist, gelten die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen

formula_131

wenn B sowohl für ↷ als auch für ↶ gilt.

Beweis: Da mit

formula_132

und dBz = dBx + i dBy alle in A definierten Ableitungen gegeben sind und da wegen

formula_133


mit den analogen Formeln für v wie auch für ↶

formula_134

gilt, dessen letzter Summand genau unter der genannten Bedingung vernachlässigt werden kann, ergibt sich die Behauptung.⃞

Bemerkung: Der letzte Summand ist insbesondere vernachlässigbar, wenn f stetig ist. Aus den Gleichungen für F′B(z) ergibt sich dann die notwendige und hinreichende Bedingung für die Holomorphie von F

formula_140

Definition: Für die gegenläufige Integration über identische Wege in positiver und negativer Umlaufrichtung wird als Gegenläufigkeitsregel für Integrale vereinbart, dass in negativer Umlaufrichtung der Funktionswert für den Nachfolger des Arguments auszuwählen ist, sodass der Wert des Integrals über beide Richtungen gerade 0 ist.

Bemerkung: Die Gegenläufigkeitsregel ist erforderlich, weil die zugehörigen Integrale da, wo wir den Wert 0 erwarten würden, sonst einen anderen (signifikanten) Wert haben können.

Gegenläufigkeitssatz: Durchläuft der Weg γ: [a, b[C → V mit C ⊆ ℝ die Kanten aller n-Würfel mit der Seitenlänge d0 im n-Volumen V ⊆ (ω)n mit n ∈ ℕ≥2 genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der n-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für D ⊆ ℝ2, B ⊆ V2, f = (f1, ..., fn): V → (ω)n, γ(t) = x, γ(↷D t) = ↷B x und V := {↷B x ∈ V: x ∈ V, ↷B x ≠ ↶B x}

formula_240

Beweis: Betrachten wir zwei beliebige Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge d0, die in einer Ebene liegen, so werden nur die Kanten von V×V nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in ∂n-1V.⃞

Bemerkung: Definition und Satz lassen sich unschwer ins Komplexe übertragen.

Satz von Green: Für die Nachbarschaftsrelationen B ⊆ A2 mit einfach zusammenhängender h-Menge A ⊆ (ω)2, infinitesimalem h = |dBx|= |dBy| = |↷B γ(t) - γ(t)| = O-m), hinreichend großem m ∈ ℕ*, (x, y) ∈ A, A := {(x, y) ∈ A : (x + h, y + h) ∈ A}, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg γ: [a, b[→ ∂A, wenn wir ↷B γ(t) = γ(↷D t) wählen, gilt mit t ∈ [a, b[, D ⊆ [a, b]2 und hinreichend α-stetigen Funktionen u, v: A → ℝ mit (nicht notwendig stetigen) partiellen Ableitungen ∂Bu/∂Bx, ∂Bu/∂By, ∂Bv/∂Bx und ∂Bv/∂By

formula_241

Beweis: O. B. d. A. werde der Beweis nur für A := {(x, y) : r ≤ x ≤ s, f(x) ≤ y ≤ g(x)}, r, s ∈ (ω)ℝ, f, g : ∂A → (ω)ℝ geführt, da er für das jeweils um 90° gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende h-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur

formula_242

gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von γ mit dBx = 0 zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))

formula_243

Bemerkung: Die Wahl von m hängt von der Anzahl der benötigten Mengen der im Beweis genannten Typen ab, deren Vereinigung die einfach zusammenhängende h-Menge ergibt.

Integrallemma von Goursat: Ist f in einem Dreieck Δ ⊆ (ω)ℂ holomorph und hat f dort keine Stammfunktion, so gilt

formula_244

Widerlegung bestimmter herkömmlicher Beweise durch Abschätzung mit einer vollständigen Triangulierung: Der Umlaufsinn von ∂Δ ist anscheinend unerheblich. Wird Δ vollständig trianguliert, dann muss für jedes minimale Teildreieck Δs ⊆ Δ o. B. d. A. entweder

formula_112

oder

formula_113

mit den Ecken z1, z2 und z3 von Δs gelten. Aufgrund der Holomorphie bzw. zyklischen Vertauschung kann dies nur für f(z1) = f(z2) = f(z3) eintreten. Beziehen wir alle angrenzenden Teildreiecke in Δ ein, muss f also im Widerspruch zur Voraussetzung konstant sein. Denn da der Term in der großen Klammer translationsinvariant ist, könnten wir sonst o. B. d. A. z3 := 0 setzen, und dieser Term wäre nur dann 0, wenn z1 = z2(1 ± i√3)/2 mit |z1| = |z2| = |z1 – z2| gilt. Da jedoch jede horizontale und vertikale Gerade in (ω)ℂ homogen ist, kann dies nicht sein, weil das zugehörige Teildreieck dann gleichseitig und nicht gleichschenklig und rechtwinklig wäre. Also ist |Is| in beiden Fällen mindestens |f′(z2) O(d02)|, wenn wir o. B. d. A. die Ecken 0, |d0| und i|d0| wählen. Gibt L den Umfang eines Dreiecks an, so gilt einerseits |I| ≤ 4m |Is| mit unendlich natürlichem m und andererseits 2m = L(∂Δ)/|O(d02)| wegen L(∂Δ) = 2m L(∂Δs) und L(∂Δs) = |O(d02)|. Also gilt |I| ≤ |f′(z2) L(∂Δ)2/O(d02)|, sodass die gewünschte Abschätzung |I| ≤ |O(dBζ)| misslingt, wenn |f′(z2) L(∂Δ)2| etwa größer als |O(d02)| ist.⃞

Cauchyscher Integralsatz: Für die Nachbarschaftsrelationen B ⊆ A2 und D ⊆ [a, b] mit einer einfach zusammenhängenden h-Menge A ⊆ ωℂ, infinitesimalem h sowie einer holomorphen Funktion f: A → ωℂ und einem geschlossenen Weg γ: [a, b[→ ∂A, wenn wir ↷B γ(t) = γ(↷D t) mit t ∈ [a, b[ wählen, gilt

formula_245

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit x := Re z, y := Im z, u := Re f, v := Im f und A := {z ∈ A : z + h + ih ∈ A}

formula_246

Fundamentalsatz der Algebra: Für jedes nicht-konstante Polynom p ∈ (ω)ℂ gibt es ein z ∈ (ω)ℂ mit p(z) = 0.

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen können wir 1/p(0) ≠ O(d0) erreichen. Wir nehmen p(z) ≠ 0 für alle z ∈ (ω)ℂ an. Für das holomorphe f(z) := 1/p(z) gilt f(1/d0) = O(d0) und aufgrund der Mittelwertungleichung |f(0)| ≤ |f|γ mit γ = ∂Br(0) und beliebigem r ∈ (ω)>0, also f(0) = O(d0) im Widerspruch zur Voraussetzung.⃞

Bemerkung: Alle herkömmlich komplexen Funktionen f: A → (ω)ℂ für A ⊆ (ω)ℂ seien implizit so definiert, dass max |f(z)| ≤ r := max (ω)ℝ und f(z) = r f(z)/|f(z)| für eigentlich |f(z)| > r und immer auch für f = id gilt (d. h. wir notieren (ω)ℂ abweichend für B≤r (0)). Die ganzen Funktionen f(z) = z/ω und g(z) = Σk ak zk mit k ∈ ℕ und ak = 1/ωk+1 widerlegen den Satz von Liouville und den kleinen Satz von Picard wegen |f(z)| ≤ 1 und |g(z)| < 1.

Die Wahl hinreichend kleiner (transzendenter) Konstanten im verallgemeinerten Satz von Liouville widerlegt auch ihn. Trotzdem können beide Sätze durch Erweiterung geheilt werden, wenn wir 1/ω mit 0 identifizieren. In diesem Sinne ist der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie richtig und kann nach Dixon (wie in [473], S. 228 f.) bewiesen werden, zumal der dort erwähnte Limes 0 sein soll bzw. 1/r gegen 0 für r gegen ω strebt.

Die Funktion f liefert die biholomorphe, bijektive Abbildung des kreisförmig definierten cℂ auf der aus der komplexen Einheitskreisscheibe đ sehr verdichteten komplexen Einheitskreisscheibe đd mit |đd| = |cℂ| ≫ |đ|. Damit gölte der Riemannsche Abbildungssatz ([474], S. 152) auch für ℂ. Das vollständige cℂ wäre auf diese Weise natürlich nicht abbildbar. Die Funktion 1/f widerlegt den großen Satz von Picard, wenn wir ℂ beliebig dicht annehmen.

Definition: Ein Punkt z0 ∈ M ⊆ (ω)n bzw. zu einer Folge (ak) mit ak(ω)n und (unendlich) natürlichen k heißt (eigentlicher) α-Häufungspunkt von M bzw. der Folge, wenn in der Kugel Bα(z0) ⊆ (ω)n um z0 mit dem infinitesimalen Radius α unendlich viele Punkte aus M bzw. unendlich viele paarweise verschiedene Folgenglieder liegen. Gilt das Behauptete für α = 1/ω, so heißt der α-Häufungspunkt schlicht Häufungspunkt.

Sei p(z) = πk (z - dk) mit k ∈ ωℕ für z ∈ ωℂ ein unendliches Produkt mit paarweise verschiedenen Nullstellen dk ∈ B1/ώ(0) ⊂ ωℂ (Kreisscheiben um 0 mit Radius 1/ώ), die so gewählt seien, dass |f(dk)| < 1/ώ für eine in einem Gebiet G ⊆ ℂ holomorphe Funktion f mit f(0) = 0 gilt. G enthalte B1/ώ(0) komplett, was durch Koordinatentransformation immer erreichbar ist, solange G "groß" genug ist.

Dann hat für die dort ebenfalls holomorphe Funktion g(z) := f(z) + p(z) die Koinzidenzmenge {ζ ∈ G : f(ζ) = g(ζ)} einen Häufungspunkt in 0 und es gilt f ≠ g im Widerspruch zur Aussage des Identitätssatzes. Beispiele für f sind alle in B1/ώ(0) beschränkten und zugleich in G holomorphen Funktionen mit Nullstelle 0. Da p(z) jeden komplexen Wert annehmen kann, ist die Abweichung von f und g nicht vernachlässigbar.

Ebenfalls zum Identitätssatz im Widerspruch steht die Tatsache, dass in einem Punkt z0 ∈ G alle Ableitungen u(n)(z0) = v(n)(z0) zweier Funktionen u und v für alle n übereinstimmen können, aber u und v über diese lokale Tatsache hinaus weiter entfernt ebenfalls deutlich verschieden sein können, ohne ihre Holomorphie zu verlieren, da nicht jede holomorphe Funktion aufgrund des Näherungscharakters (der Differentiation) bzw. des Rechnens mit Landau-Symbolen (eindeutig) in eine Taylorreihe entwickelt werden kann (vgl. Transzendente Zahlen).

Die Erweiterung auf k ∈ ℕ Faktoren in πk (z - dk), liefert ganze Funktionen mit unendlich natürlich vielen Nullstellen. Die Nullstellenmenge braucht nicht diskret zu sein. Damit braucht die Menge aller in einem Gebiet G holomorphen Funktionen nicht nullteilerfrei zu sein. Die Funktionen widerlegen wie Polynome mit n > 2 paarweise verschiedenen Nullstellen wieder den kleinen Satz von Picard, da sie mindestens n - 1 Werte in ℂ auslassen.

Bemerkung: Aus der Identität

formula_258

erhalten wir für reelles oder komplexes x durch Differentiation

formula_259

wenn der Betrag von x von anderer Größenordnung als der von dx bzw. 1/dx ist.

Diese Formel kann für hinreichend, aber nicht zu kleine x und hinreichend, aber nicht zu große (unendliche) n noch zu -1/(1+x)2 vereinfacht werden und bleibt auch für nicht zu große x ≥ 1 gültig. Durch sukzessive Multiplikation von s(j)(x) mit x für j ∈ ωℕ* und anschließende Differentiation ergeben sich weitere Formeln für s(j+1)(x) als Beispiele auch divergenter Reihen, die bisher nicht immer korrekt berechnet wurden.

Für alle komplexen z gilt s(0)(z), was für den problematischen Fall z = -1 aus der Regel von de l'Hospital folgt. Integrieren wir hingegen s(0)(-x) von 0 bis 1 und setzen n := ώ, so erhalten wir einen Integralausdruck für ln ώ + γ mit der Eulerschen Konstante γ. Substituieren wir darin y := 1 - x, so erhalten wir dafür über die binomische Reihe eine Reihe mit fast nur unendlichen Koeffizienten; stellen wir darüber hinaus ln ώ als Reihe dar, sogar für γ.

Vereinfachen wir den Zähler von s(0)(z) unzulässig zu 1, können wir falsche Ergebnisse erhalten, insbesondere wenn |z| ≥ 1 gilt. So ist s(0)(-e) bspw. 0 für ungerades n und 1 für gerades n, aber nicht ½.

Satz: Mit der Digammafunktion ψ gilt für n ∈ ω2ℕ* und kleine d ∈ ]0, 1]

formula_273

und

formula_274

Beweis: Die Behauptung folgt leicht über die geometrische Reihe aus ([474], S. 37 - 42):

formula_249

Bemerkung: Die langsam konvergente Reihe rechts können wir gut durch Eulersche Reihentransformation beschleunigen.

Korollar: Für n ∈ ω2ℕ* gilt

formula_260

Korollar: Für z ∈ B1-1/c(0), n ∈ ω2ℕ*, s ∈ ωℂ, 1/c ≤ Re s < 1 + 1/c und kleine d ∈ ]0, 1] gelten mit

formula_250

und u(s, z) := zv(s, z) die Formeln

formula_275

und

formula_276

Beweis: Da die erste Reihe konvergent ist, ergibt sich die Behauptung analog wie zuvor.⃞

Bemerkung: Die Addition von p/z + qz + r zu u(s, z) bzw. v(s, z) mit p, q, r ∈ ωℂ ändert kaum etwas.

Korollar: Mit a ∈ D ⊆ ℂ und n ∈ ω2ℕ* gelten für eine im Bereich D holomorphe Funktion

formula_253

und g(z) := zf(z + a) bzw. h(z) := f(z + a) - f(a) die Formeln

formula_277

und

formula_278

Beweis: Die Behauptung folgt mit Obigem aus dem Satz von Taylor (vgl. [473], S. 165 f.).⃞

Bemerkung: Durch sukzessives Einsetzen kann die Genauigkeit beliebig erhöht werden.

© 2010-2018 by Boris Haase


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