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Euklidische Geometrie

Euklidische Geometrie

Definition: Zwei verschiedene Punkte \(x\) und \(z\) als Elemente eines euklidischen Raumes (im Folgenden kurz: Raum) als Unterraum des \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) (s. Mengenlehre) heißen (Punkte-)Paar. Eine Strecke ist ein Paar \((x, z)\), das um alle von dem Anfangspunkt \(x\) und dem Endpunkt \(z\) verschiedenen inneren Punkte \(y\) des Raumes ergänzt ist, die also zwischen \(x\) und \(z\) liegen, weil sie \(||x - y|| + ||y - z|| = ||x - z||\) mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) erfüllen.

Definition: Zwei Strecken schneiden sich, wenn sie genau einen inneren Punkt gemeinsam haben. Dies gilt auch dann, wenn letzterer erst nach der Ergänzung der Strecken um alle weiteren inneren Streckenpunkte des \(\mathbb{R}^{n}\) entsteht. Eine eventuell eindimensionale Punktmenge im Raum, bei der jeder Punkt lückenlos mindestens einen und höchstens zwei benachbarte Punkte hat, heißt Linie. Ein zweidimensional maximaler Unterraum des Raumes wird als Ebene bezeichnet.

Definition: Strecken heißen Geraden, wenn sowohl ihre Anfangs- als auch ihre Endpunkte auf dem Rand des Raumes liegen, vorerst nicht aber ihre inneren Punkte. Zwei Strecken heißen parallel, wenn sie durch Translation auseinander hervorgegangen sind bzw. jeder Punkt der einen Strecke den gleichen kürzesten Abstand zu der anderen Strecke hat. Alle zu den oben definierten Geraden parallelen Strecken des Raumes werden ebenfalls als Geraden bezeichnet.

Ergebnis: Bei kürzer definierten Geraden lassen sich für das Axiom von Pasch, das der Vollständigkeit und diverse andere Axiome sowie ihre Äquivalente mit Obigem leicht beliebig viele Gegenbeispiele angeben. Bestimmt eine Gerade eine parallele Gerade durch einen weiteren Punkt mit dem kürzesten Abstand eindeutig, ist das Parallelenaxiom in der euklidischen Geometrie überflüssig.

Sind zwei Geraden lediglich dann parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden, ist das Parallelenaxiom falsch: Der Kehrwert des Abstands des weiteren Punktes zu der ursprünglichen Geraden kann mindestens unendlich oder kleiner als \(|{}^{\omega }\mathbb{N}|\) sein und dann lassen sich unendlich viele verschiedene Geraden durch den weiteren Punkt legen, ohne die ursprüngliche Gerade zu schneiden.

Das Archimedische Axiom ist auf eine unendliche natürliche Anzahl von Abtragungen einer Strecke auszudehnen, die nicht über den Anfangs- oder Endpunkt einer Geraden hinaus geschehen können. Es ist im endlichen Fall durch den Archimedischen Satz zu ersetzen. Das Axiom von Pasch ist ebenfalls entbehrlich, da eine Gerade aufgrund ihrer maximalen Länge das Innere eines Dreiecks vollständig passieren muss, also auch ihren Rand.

Toeplitz-Vermutung: Jede geschlossene Jordan-Kurve besitzt ein einbeschriebenes Quadrat.

Gegenbeispiele: Das rechtwinklige Dreieck mit Katheten der Länge \(d0\) und das stumpfwinklige Dreieck, bei dem wir einen Eckpunkt des höchstens einen einbeschriebenen Quadrates geeignet infinitesimal verschieben.\(\square\)

Satz: Es gibt einen Jordanbereich mit mehr als einem äquichordalen Punkt (vgl. [931], S. 9 f.).

Beweis: Wir legen äquichordale Punkte geeignet infinitesimal nebeneinander.\(\square\)

Satz von Fickett: Für jede Lage zweier überlappender kongruenter \(n\)-Quader \(Q\) und \(R\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und dem exakten Standardmaß \(\mu\) gilt (s. Nichtstandardanalysis und [931], S. 25), wobei \(\mu\) für \(n = 2\) durch die euklidische Weglänge \(L\) zu ersetzen ist:\[1/(2n - 1) < r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) < 2n - 1.\]Beweis: Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen \(s\) und \(s + 2d0\) hat, gilt min \(r = s/(3s - 2d0) \le r \le\) max \(r = (3s - 2d0)/s\). Der Beweis für \(n > 2\) erfolgt analog.\(\square\)

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