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Topologie

Topologie

Im Folgenden werden die Begriffe der Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen widerlegt.

Eine Kreisscheibe ohne ihren Rand stellt herkömmlich eine offene Menge dar, weil dann jeder Punkt von ihr eine Umgebung hat, die ganz in dieser Menge liegt. Hierbei liegt die Vorstellung zugrunde, dass, wenn die Punkte auf einer Halbgeraden beginnend bei dem Kreisscheibenmittelpunkt betrachtet werden, es auf dieser Halbgeraden zum Rand hin immer eine echte Umgebung für jeden betrachteten Punkt geben muss.

Tatsächlich muss jedoch irgendwann "das Ende der Fahnenstange" erreicht sein. Es muss also einen Punkt im Inneren der Kreisscheibe geben, der keine Umgebung in diesem Inneren hat. Daher ist der Offenheitsbegriff bei Mengen zu kritisieren. Wird die Einheitskreisscheibe um den Koordinatenursprung betrachtet, so ist der letzte Punkt der Halbgeraden [0, 1[ dual dargestellt der Punkt 0,12 und der nächste Punkt ist der Randpunkt 1.

Zwischen diesen beiden Punkten liegt kein weiterer Punkt. Ersterer hat keine Umgebung, die im Kreisscheibeninneren liegt, obwohl er ein innerer Punkt ist. Aus diesem Grund ist die Kreisscheibe ohne Rand ebenfalls abgeschlossen, da die letzten Punkte der Halbgeraden vom Kreisscheibenmittelpunkt aus gerade den Abschluss als Rand bilden. Da auf ihrem Rand keine Umgebung existiert, ist auch eine abgeschlossene Menge im euklidischen Raum sinnlos.

Somit gilt, dass zumindest im euklidischen Raum jede offene Menge zugleich abgeschlossen ist, was diese Begriffe ad absurdum führt. Dies hat bisher nicht weiter gestört, da die infinitesimalen Größen bisher nicht ausdifferenziert betrachtet, also insbesondere die Zahlen 1 und 0,12 gleichgesetzt wurden. Dies ist jedoch nicht korrekt wie in der Mengenlehre erläutert wird, da hier sonst Algebraizität (1) und Transzendenz (0,12) gleichgesetzt werden.

Das Absurde lässt sich auch daran verdeutlichen, dass ein unendlicher Durchschnitt offener Mengen wie etwa der aller offenen konzentrischen Kreisscheiben eine abgeschlossene Menge bilden kann (den gemeinsamen Kreisscheibenmittelpunkt) und eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen wieder eine offene Menge wie eine offene Kreisscheibe als Vereinigung aller deren Punkte als abgeschlossenen Mengen bilden kann.

Eine 0-dimensionale Menge (Punkt) ist deswegen offen, weil jede Umgebung ebenfalls aus einem Punkt besteht. Deshalb ist auch die leere Menge abgeschlossen und als Folge der gesamte euklidische Raum. Mithilfe von Kugeln lässt sich das Gesagte leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Begriffe innerer bzw. äußerer Punkt bleiben jedoch sinnvoll, wenn wir beliebige infinitesimale Radien zulassen.

Da ein absurder bzw. sinnloser Spezialfall auch den allgemeinen Fall hier absurd bzw. sinnlos macht, sollte auch bei metrischen und topologischen Räumen Offenheit bzw. Abgeschlossenheit von Mengen nicht betrachtet werden, zumal insbesondere die Definition des topologischen Raumes seltsam inhaltsleer und willkürlich anmutet, während die Begriffe innerer und äußerer Punkt sowie Randpunkt nach wie vor sinnvoll und angemessen sind.

Die benachbarten Randpunkte von [0, 1] und ]0, 1[ (s. Nichtstandardanalysis) besitzen insbesondere nicht die Hausdorffeigenschaft. Damit kann nicht jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum sein und auch die symmetrischen und (prä-)regulären Räume sind eingeschränkt. Bei ℂn bzw. ℝn mit n ∈ cℕ* handelt es sich also lediglich um Kolmogoroff-Räume. Lediglich in der (unpräzisen) herkömmlichen Mathematik verhält es sich anders.

© 2013 by Boris Haase


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