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Topologie

Topologie

Im Folgenden werden die Begriffe der Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen ad absurdum geführt. Es wird die Mengenlehre vorausgesetzt.

Definition: Jede irreflexive Relation \(N \subseteq {A}^{2}\) definiert eine Nachbarschaftsrelation in \(A \subseteq X\) mit der Grundmenge \(X\). Gilt \((a, b) \in N\), heißt \(a\) Nachbar von oder benachbart zu \(b\). Speziell heißt ein Element \(x \in A \subseteq X\) Nachbar von einem Element \(y \in A\) mit \(x \ne y\), wenn für alle \(z \in X\) und eine Abbildung \(d: {X}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt: (1) \(d(x, y) \le \text{max}(\text{min}(d(x, z), d(z, x)), \text{min}(d(y, z), d(z, y)))\) und (2) \(d(z, z) = 0\). Hierbei heißt \(d\) Nachbarschaftsmetrik. Die Menge aller Punkte \(P = R \cup V\) sei eine Zerlegung in die realen Punkte \(R\) und die virtuellen Punkte \(V\) mit \(R, V \ne \emptyset = R \cap V\).

Definition: Die Menge \(A' := R \setminus A\) für eine Menge \(A \subseteq R\) heißt Komplement von \(A\) in \(R\). Wenn \(R\) klar ist, wird es weggelassen und \(A'\) heißt auch das Äußere von \(A\). Die Menge \(\partial V \; (\partial A)\) besteht aus allen Punkten von \(V \; (A)\), die einen Nachbarn aus \(R \; (A' \cup V)\) haben, und heißt (innerer) Rand von \(V \; (A)\). Hierbei hat \('\) Vorrang vor \(\partial\). Wenden wir \(\partial\) sukzessiv weiter an, sehen wir das Argument jeweils als ohne Komplement an. Die Menge \(A ° := A \setminus \partial A\) heißt das Innere von \(A\).

Definition: Eine Menge \(S \subseteq R \; (V)\) heißt zusammenhängend, wenn für jede Zerlegung von \(S\) in \(Y \cup Z\) mit \(Y, Z \ne \emptyset = Y \cap Z\) gilt: \(\partial Y' \cap \partial Z \ne \emptyset \ne \partial Z' \cap \partial Y\). \(S \subseteq R\) heißt darüber hinaus einfach zusammenhängend, wenn gilt: Sowohl \(\partial Y' \cap \partial Z \cup \partial Z' \cap \partial Y\) für jede Zerlegung in zusammenhängende \(Y\) und \(Z\) als auch \(S' \cup (\partial)V\) mit \(S'\) als Komplement von \(S\) in \(R\) ist mit zusammenhängendem (\(\partial)V\) zusammenhängend. \(P\) und \(R\) seien einfach zusammenhängend.

Definition: Sei \(\mathcal{P}(X) := \{A : A \subseteq X\}\) die Potenzmenge der Menge \(X\). Ein Mengensystem \(\mathbb{Y} \subseteq \mathcal{P}(X)\) heißt Topologie auf \(X \subseteq R\), wenn zu \( \mathbb{Y}\) neben \(\emptyset\) und \(X\) jeder Durchschnitt und jede Vereinigung von Mengen aus \(\mathbb{Y}\) gehört. Das Paar \((X, \mathbb{Y})\) heißt topologischer Raum. Gilt \(\mathbb{Y} = \mathcal{P}(X)\), heißt die Topologie diskret. Eine Menge \(B \subseteq \mathbb{Y}\) heißt eine Basis von \(\mathbb{Y}\), wenn sich jede Menge aus \(\mathbb{Y}\) als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus \(B\) schreiben lässt.

Beispiele: Für \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{A}_\mathbb{R}, \mathbb{A}_\mathbb{C}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) ist genau die jeweilige diskrete Topologie die Basis.

Definition: Jedes \(U \subseteq R\) heißt Umgebung von \(x \in R\), wenn \(x \in U°\) gilt. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig, wenn für jeden Punkt gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.

Definition: Eine \(h\)-homogene Teilmenge von \(R := \mathbb{R}^{m}\) mit \(m \in \mathbb{N}^{*}\) heißt genau dann \(n\)-dimensional mit \(m \ge n \in \mathbb{N}^{*}\), wenn sie mindestens einen \(n\)-Würfel mit Kantenlänge \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) und maximalem \(n\) enthält. Die Definition für \(R := \mathbb{C}^{m}\) erfolgt analog. Es sei Dim \({}^{(\omega)}\mathbb{C} = 2\). Die Menge \({\mathbb{B}}_{r}(a) := \{z \in K := {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} : ||z - a|| \le r\}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{R} \; (\mathbb{C})\) heißt reelle (komplexe) (2)n-Kugel oder kurz Kugel mit dem Radius \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) um den Mittelpunkt \(a \in K\), deren Rand reelle (komplexe) (2)n-Sphäre \({\mathbb{S}}_{r}(a)\) oder kurz Sphäre heißt. Ist \(a = 0\) und \(r = 1\), erhalten wir die Einheitskugel mit dem Spezialfall Einheitskreisscheibe \(\mathbb{D}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) und \(n = 1\).

Beispiele: Jede Kugel ist einfach zusammenhängend und für \(r > d0\) ist jede reelle \(n\)-Sphäre mit \(n \ge 2\) nur zusammenhängend und jede reelle 1-Sphäre unzusammenhängend.

Definition: Die Abbildung \(||\cdot||: \mathbb{V} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{\ge 0}\) mit \(\mathbb{V}\) Vektorraum über \({}^{(\omega)}\mathbb{K}\) heißt Norm, wenn für alle \(x, y \in \mathbb{V}\) und alle \(\lambda \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt: \(||x|| = 0 \Rightarrow x = 0\) (Definitheit), \(||\lambda x|| = |\lambda| \; ||x||\) (Homogenität) und \(||x + y|| \le ||x|| + ||y||\) (Dreiecksungleichung). Die Dimension von \(\mathbb{V}\) als der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren wird mit Dim \(\mathbb{V}\) bezeichnet. Die Normen \({||\cdot||}_{a}\) und \({||\cdot||}_{b}\) heißen äquivalent, wenn nicht-infinitesimale \(\sigma, \tau \in {}^{c}\mathbb{R}_{>0}\) existieren, sodass für alle \(x \in \mathbb{V}\) gilt:\[\sigma||x||{}_{b} \le ||x||{}_{a} \le \tau||x||{}_{b}.\]Satz: Sei \(N\) die Menge aller Normen in \(\mathbb{V}\). Diese sind genau dann äquivalent, wenn \({||x||}_{a}/{||x||}_{b}\) für alle \({||\cdot||}_{a}, {||\cdot||}_{b} \in N\) und alle \(x \in \mathbb{V}^{*}\) endlich, aber nicht infinitesimal ist.

Beweis: Wir setzen \(\sigma := \text{min }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}\) und \(\tau := \text{max }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}.\square\)

Definition: Die Funktion \({\mu}_{h}: A \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) für eine \(m\)-dimensionale Menge \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) mit \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) kleiner gleich dem Minimalabstand der Punkte in \(A, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\le 2n}\) und \({\mu}_{h}(A) := |A| {h}^{m}\) sowie \({\mu}_{h}(\emptyset) = |\emptyset| = 0\) heißt exaktes h-Maß von \(A\) und \(A\) h-messbar. Das exakte Standardmaß sei \({\mu}_{d0}\). Ist klar, dass es sich um das Standardmaß handelt, kann \(d0\) entfallen.

Bemerkung: Damit wird das Maßproblem neu positiv beantwortet: Offenbar ist \({\mu}_{h}(A)\) additiv und eindeutig bestimmt, d. h. wenn \(A\) eine Vereinigung paarweise disjunkter \(h\)-homogener Mengen \({A}_{j}\) mit \(j \in J \subseteq \mathbb{N}\) ist, so gilt\[{{\mu }_{h}}(A)=\sum\limits_{j \in J}{{{\mu }_{h}}\left( {{A}_{j}} \right)}.\]Es ist außerdem streng monoton, d. h. für \(h\)-homogene Mengen \({A}_{1}, {A}_{2} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \({A}_{1} \subset {A}_{2}\) gilt \({\mu}_{h}({A}_{1}) < {\mu}_{h}({A}_{2})\). Ist \(h\) nicht bei allen betrachteten Mengen \({A}_{j}\) gleich, so wählen wir das Minimum von allen \(h\) und homogenisieren wie in der Mengenlehre beschrieben. Damit misst es genauer als andere Maße und ist optimal, da es aufgrund der lediglichen Berücksichtigung der Nachbarschaftsrelationen eines Punktes weder kleiner noch größer ausfällt, als die einzelnen Abstände der Punkte parallel zu den Koordinatenachsen betragen. Begriffe wie \(\sigma\)-Algebra oder Nullmengen werden dabei nicht benötigt, da die leere Menge \(\emptyset\) hier die einzige Nullmenge ist.

Beispiele: Besteht \(A \subset [0, 1[\) aus den Punkten, deren kleinstwertiges Bit 1 (0) in ihrer (herkömmlich) reellen Dualdarstellung ist, so gilt \({\mu}_{d0}(A) = \frac{1}{2}\). Die reellen Zahlen verfeinern die herkömmlich reellen noch, indem die herkömmlich reellen Intervalle noch (wesentlich) feiner aufgeteilt werden. Da \(A\) eine unendliche (herkömmlich nicht abzählbare) Vereinigung einzelner Punkte ist (ohne Nachbarpunkte aus [0, 1[ in \(A\)) und diese Punktmengen Lebesgue-Nullmengen darstellen, ist \(A\) nicht Lebesgue-messbar, wohl aber exakt messbar. Analog können wir in [0, 1[ \(\times\) [0, 1[ die Menge \(Q\) aller Punkte mit kleinstwertigem Bit 1 (0) in ihren beiden Koordinaten mit exaktem Maß \({\mu}_{d0}(Q) = \frac{1}{4}\) betrachten.

Bemerkung: Eine Kreisscheibe ohne ihren Rand stellt herkömmlich eine offene Menge dar, weil dann jeder Punkt von ihr eine herkömmliche Umgebung hat, die ganz in dieser Menge liegt. Hierbei liegt die Vorstellung zugrunde, dass, wenn die Punkte auf einer Halbgeraden beginnend bei dem Kreisscheibenmittelpunkt betrachtet werden, es auf dieser Halbgeraden zum Rand hin immer eine (echte) Umgebung für jeden betrachteten Punkt geben muss.

Tatsächlich muss jedoch irgendwann "das Ende der Fahnenstange" erreicht sein. Es muss also einen Punkt im Inneren der Kreisscheibe geben, der keine herkömmliche Umgebung in diesem Inneren hat. Daher ist der Offenheitsbegriff bei Mengen untauglich. Wird die Einheitskreisscheibe um den Koordinatenursprung betrachtet, so ist der letzte Punkt der Halbgeraden \([0, 1[\) dual dargestellt der Punkt \(0,\overline{1}_{2}\) und der nächste Punkt ist der Randpunkt 1.

Zwischen diesen beiden Punkten liegt kein weiterer Punkt. Ersterer hat keine Umgebung, die im Kreisscheibeninneren liegt, obwohl er ein innerer Punkt ist. Aus diesem Grund ist die Kreisscheibe ohne Rand ebenfalls abgeschlossen, da die letzten Punkte der Halbgeraden vom Kreisscheibenmittelpunkt aus gerade den Abschluss als Rand bilden. Da auf ihrem Rand keine Umgebung existiert, ist auch eine abgeschlossene Menge im euklidischen Raum sinnlos.

Somit gilt, dass zumindest im euklidischen Raum jede offene Menge zugleich abgeschlossen ist, was diese Begriffe ad absurdum führt. Dies hat bisher nicht weiter gestört, da die infinitesimalen Größen bisher nicht ausdifferenziert betrachtet, also insbesondere die Zahlen 1 und \(0,\overline{1}_{2}\) gleichgesetzt wurden. Dies ist jedoch nicht korrekt wie in der Mengenlehre erläutert wird, da hier sonst Algebraizität (1) und Transzendenz \((0,\overline{1}_{2})\) gleichgesetzt werden.

Das Absurde lässt sich auch daran verdeutlichen, dass ein unendlicher Durchschnitt offener Mengen wie etwa der aller offenen konzentrischen Kreisscheiben eine abgeschlossene Menge bilden kann (den gemeinsamen Kreisscheibenmittelpunkt). Eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen kann dagegen wieder eine offene Menge wie eine offene Kreisscheibe als Vereinigung aller deren Punkte als abgeschlossenen Mengen bilden.

Eine 0-dimensionale Menge (Punkt) ist deswegen offen, weil jede Umgebung ebenfalls aus einem Punkt besteht. Deshalb ist auch die leere Menge \(\emptyset\) abgeschlossen und als Folge der gesamte euklidische Raum. Mithilfe von Kugeln lässt sich das Gesagte leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Die Begriffe innerer bzw. äußerer Punkt bleiben jedoch sinnvoll, wenn wir beliebige infinitesimale Radien zulassen.

Da ein absurder bzw. sinnloser Spezialfall auch den allgemeinen Fall hier absurd bzw. sinnlos macht, sollte auch bei metrischen und topologischen Räumen Offenheit bzw. Abgeschlossenheit von Mengen nicht betrachtet werden, zumal insbesondere die herkömmliche Definition des topologischen Raumes seltsam inhaltsleer und willkürlich anmutet, während die Begriffe innerer und äußerer Punkt sowie Randpunkt nach wie vor sinnvoll und angemessen sind.

Die benachbarten Randpunkte des herkömmlich abgeschlossenen [0, 1] und des herkömmlich offenen ]0, 1[ besitzen insbesondere nicht die Hausdorffeigenschaft. Damit kann nicht jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum oder normal sein und auch die (prä-)regulären Räume sind eingeschränkt. Die Räume \(\mathbb{C}^{n}\) und \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) besitzen also nur die Fréchet-Topologie. In der (unpräzisen) herkömmlichen Mathematik ergibt sich dagegen ein anderes Bild.

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