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Topologie

Topologie

Im Folgenden wird die Mengenlehre vorausgesetzt.

Definition: Jede irreflexive Relation \(N \subseteq {A}^{2}\) definiert eine Nachbarschaftsrelation in \(A \subseteq X\) mit der Grundmenge \(X\). Gilt \((a, b) \in N\), heißt \(a\) Nachbar von oder benachbart zu \(b\). Speziell heißt ein Element \(x \in A \subseteq X\) Nachbar von einem Element \(y \in A\) mit \(x \ne y\), wenn für alle \(z \in X\) und eine Abbildung \(d: {X}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt: (1) \(d(x, y) \le \text{max }\{\text{min }\{d(x, z), d(z, x)\}, \text{min }\{d(y, z), d(z, y)\}\}\) und (2) \(d(z, z) = 0\). Hierbei heißt \(d\) Nachbarschaftsmetrik. Die Menge aller Punkte \(P = R \cup V\) sei eine Zerlegung in die realen Punkte \(R\) und die virtuellen Punkte \(V\) mit \(R, V \ne \emptyset = R \cap V\).

Definition: Die Menge \(A' := R \setminus A\) für eine Menge \(A \subseteq R\) heißt Komplement von \(A\) in \(R\). Wenn \(R\) klar ist, wird es weggelassen und \(A'\) heißt auch das Äußere von \(A\). Die Menge \(\partial V \; (\partial A)\) besteht aus allen Punkten von \(V \; (A)\), die einen Nachbarn aus \(R \; (A' \cup V)\) haben, und heißt (innerer) Rand von \(V \; (A)\). Hierbei hat \('\) Vorrang vor \(\partial\). Wenden wir \(\partial\) sukzessiv weiter an, sehen wir das Argument jeweils als ohne Komplement an. Die Menge \(A ° := A \setminus \partial A\) heißt das Innere von \(A\).

Definition: Eine Menge \(S \subseteq R \; (V)\) heißt zusammenhängend, wenn für jede Zerlegung von \(S\) in \(Y \cup Z\) mit \(Y, Z \ne \emptyset = Y \cap Z\) gilt: \(\partial Y' \cap \partial Z \ne \emptyset \ne \partial Z' \cap \partial Y\). \(S \subseteq R\) heißt darüber hinaus einfach zusammenhängend, wenn gilt: Sowohl \(\partial Y' \cap \partial Z \cup \partial Z' \cap \partial Y\) für jede Zerlegung in zusammenhängende \(Y\) und \(Z\) als auch \(S' \cup (\partial)V\) mit \(S'\) als Komplement von \(S\) in \(R\) ist mit zusammenhängendem (\(\partial)V\) zusammenhängend. \(P\) und \(R\) seien einfach zusammenhängend.

Definition: Sei \(\mathcal{P}(X) := \{A : A \subseteq X\}\) die Potenzmenge der Menge \(X\). Ein Mengensystem \(\mathbb{Y} \subseteq \mathcal{P}(X)\) heißt Topologie auf \(X \subseteq R\), wenn zu \( \mathbb{Y}\) neben \(\emptyset\) und \(X\) jeder Durchschnitt und jede Vereinigung von Mengen aus \(\mathbb{Y}\) gehört. Das Paar \((X, \mathbb{Y})\) heißt topologischer Raum. Gilt \(\mathbb{Y} = \mathcal{P}(X)\), heißt die Topologie diskret. Eine Menge \(B \subseteq \mathbb{Y}\) heißt eine Basis von \(\mathbb{Y}\), wenn sich jede Menge aus \(\mathbb{Y}\) als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus \(B\) schreiben lässt.

Beispiele: Für \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{A}_\mathbb{R}, \mathbb{A}_\mathbb{C}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) ist genau die jeweilige diskrete Topologie die Basis.

Definition: Jedes \(U \subseteq R\) heißt Umgebung von \(x \in R\), wenn \(x \in U°\) gilt. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig, wenn für jeden Punkt bei Abbildbarkeit gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.

Definition: Eine \(h\)-homogene Teilmenge von \(R := \mathbb{R}^{m}\) mit \(m \in \mathbb{N}^{*}\) heißt genau dann \(n\)-dimensional mit \(m \ge n \in \mathbb{N}^{*}\), wenn sie mindestens einen \(n\)-Würfel mit Kantenlänge \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) und maximalem \(n\) enthält. Die Definition für \(R := \mathbb{C}^{m}\) erfolgt analog. Es sei Dim \({}^{(\omega)}\mathbb{C} = 2\). Die Menge \({\mathbb{B}}_{r}(a) := \{z \in K := {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} : ||z - a|| \le r\}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{R} \; (\mathbb{C})\) heißt reelle (komplexe) (2)n-Kugel oder kurz Kugel mit dem Radius \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) um den Mittelpunkt \(a \in K\), deren Rand reelle (komplexe) (2)n-Sphäre \({\mathbb{S}}_{r}(a)\) oder kurz Sphäre heißt. Ist \(a = 0\) und \(r = 1\), erhalten wir die Einheitskugel mit dem Spezialfall Einheitskreisscheibe \(\mathbb{D}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) und \(n = 1\).

Beispiele: Jede Kugel ist einfach zusammenhängend und für \(r > d0\) ist jede reelle \(n\)-Sphäre mit \(n \ge 2\) nur zusammenhängend und jede reelle 1-Sphäre unzusammenhängend.

Definition: Die Abbildung \(||\cdot||: \mathbb{V} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{\ge 0}\) mit \(\mathbb{V}\) Vektorraum über \({}^{(\omega)}\mathbb{K}\) heißt Norm, wenn für alle \(x, y \in \mathbb{V}\) und alle \(\lambda \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt: \(||x|| = 0 \Rightarrow x = 0\) (Definitheit), \(||\lambda x|| = |\lambda| \; ||x||\) (Homogenität) und \(||x + y|| \le ||x|| + ||y||\) (Dreiecksungleichung). Die Dimension von \(\mathbb{V}\) als der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren wird mit Dim \(\mathbb{V}\) bezeichnet. Die Normen \({||\cdot||}_{a}\) und \({||\cdot||}_{b}\) heißen äquivalent, wenn nicht-infinitesimale \(\sigma, \tau \in {}^{c}\mathbb{R}_{>0}\) existieren, sodass für alle \(x \in \mathbb{V}\) gilt:\[\sigma||x||{}_{b} \le ||x||{}_{a} \le \tau||x||{}_{b}.\]Satz: Sei \(N\) die Menge aller Normen in \(\mathbb{V}\). Diese sind genau dann äquivalent, wenn \({||x||}_{a}/{||x||}_{b}\) für alle \({||\cdot||}_{a}, {||\cdot||}_{b} \in N\) und alle \(x \in \mathbb{V}^{*}\) endlich, aber nicht infinitesimal ist.

Beweis: Wir setzen \(\sigma := \text{min }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}\) und \(\tau := \text{max }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}.\square\)

Definition: Die Funktion \({\mu}_{h}: A \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) für eine \(m\)-dimensionale Menge \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) mit \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) kleiner gleich dem Minimalabstand der Punkte in \(A, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\le 2n}\) und \({\mu}_{h}(A) := |A| {h}^{m}\) sowie \({\mu}_{h}(\emptyset) = |\emptyset| = 0\) heißt exaktes h-Maß von \(A\) und \(A\) h-messbar. Das exakte Standardmaß sei \({\mu}_{d0}\). Ist klar, dass es sich um das Standardmaß handelt, kann \(d0\) entfallen.

Bemerkung: Damit wird das Maßproblem neu positiv beantwortet: Offenbar ist \({\mu}_{h}(A)\) additiv und eindeutig bestimmt, d. h. wenn \(A\) eine Vereinigung paarweise disjunkter \(h\)-homogener Mengen \({A}_{j}\) mit \(j \in J \subseteq \mathbb{N}\) ist, so gilt\[{{\mu }_{h}}(A)=\sum\limits_{j \in J}{{{\mu }_{h}}\left( {{A}_{j}} \right)}.\]Es ist außerdem streng monoton, d. h. für \(h\)-homogene Mengen \({A}_{1}, {A}_{2} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \({A}_{1} \subset {A}_{2}\) gilt \({\mu}_{h}({A}_{1}) < {\mu}_{h}({A}_{2})\). Ist \(h\) nicht bei allen betrachteten Mengen \({A}_{j}\) gleich, so wählen wir das Minimum von allen \(h\) und homogenisieren wie in der Mengenlehre beschrieben.

Bemerkung: Das exakte \(h\)-Maß misst genauer als andere Maße und ist optimal, da es wegen der lediglichen Berücksichtigung der Nachbarschaftsrelationen eines Punktes weder kleiner noch größer ausfällt, als die einzelnen Abstände der Punkte parallel zu den Koordinatenachsen betragen. Begriffe wie \(\sigma\)-Algebra oder Nullmengen sind dabei entbehrlich, da die leere Menge \(\emptyset\) hier die einzige Nullmenge ist. Die Nichtstandardmathematik benötigt auch den Begriff der Kompaktheit in keiner Form.

Beispiele: Besteht \(A \subset [0, 1[\) aus den Punkten, deren kleinstwertiges Bit 1 (0) in ihrer (herkömmlich) reellen Dualdarstellung ist, so gilt \({\mu}_{d0}(A) = \frac{1}{2}\). Die reellen Zahlen verfeinern die herkömmlich reellen noch, indem die herkömmlich reellen Intervalle noch (wesentlich) feiner aufgeteilt werden. Da \(A\) eine unendliche (herkömmlich nicht abzählbare) Vereinigung einzelner Punkte ist (ohne Nachbarpunkte aus [0, 1[ in \(A\)) und diese Punktmengen Lebesgue-Nullmengen darstellen, ist \(A\) nicht Lebesgue-messbar, wohl aber exakt messbar. Analog können wir in [0, 1[ \(\times\) [0, 1[ die Menge \(Q\) aller Punkte mit kleinstwertigem Bit 1 (0) in ihren beiden Koordinaten mit \({\mu}_{d0}(Q) = \frac{1}{4}\) betrachten.

Bemerkung: Der eventuell irreführende Begriff der Abzählbarkeit soll nicht verwendet werden. Die benachbarten Randpunkte des herkömmlich abgeschlossenen [0, 1] und des herkömmlich offenen ]0, 1[ besitzen insbesondere nicht die Hausdorffeigenschaft. Damit kann nicht jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum oder normal sein und auch die (prä-)regulären Räume sind eingeschränkt. Die Räume \(\mathbb{C}^{n}\) und \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) besitzen also nur die Fréchet-Topologie. In der (unpräzisen) herkömmlichen Mathematik ergibt sich dagegen ein anderes Bild.

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