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#22: Änderung bzw. Ergänzung Nichtstandardanalysis vom 29.10.2011

Im Folgenden gelten die Bezeichnungen aus der Mengenlehre. Es soll zunächst die Integration und Differentiation auf beliebigen Teilmengen der Menge ℝ untersucht werden (insbesondere für herkömmlich nicht messbare und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen) und dann zu Teilmengen von ℂm und ℂn mit beliebigem m, n ∈ ℕ fortgeschritten werden. Eine Verallgemeinerung auf andere Mengen ist leicht möglich. Das Zeichen ∞ wird nicht verwendet, da es nichts gibt, was über die Maxima aller unendlichen Mengen hinausgeht, bzw. alle reellen Werte, die über alle endlichen hinausgehen, präziser angegeben werden können.

Definition: Es sei A ⊆ ℝ und f eine (eindeutig) definierte Funktion f: A → ℝ. Es sei pre x := max {y ∈ A : y < x}, falls {y ∈ A : y < x} ≠ ∅, und sonst ≤ x reell definiert. Es sei suc x := min {y ∈ A : y > x}, falls {y ∈ A : y > x} ≠ ∅, und sonst ≥ x reell definiert. Dann heißt mit d für lateinisch dextra = rechts

df(x) := f(suc x) - f(x)

rechtes Differential von f in A. Mit s für lateinisch sinistra = links heißt

sf(x) := d(f pre)(x) = f(x) – f(pre x)

linkes Differential von f in A. Ist f die Identität mit f(x) = x wird die Funktion f weggelassen. Ist A klar oder unwichtig, wird auch A weggelassen.

Definition: Es heißt mit den obigen Bezeichnungen

formula_001

das rechtsseitige exakte Integral in A über f(x). Es heißt

formula_002

analog das linksseitige exakte Integral. Hierbei seien suc max A ≥ max A und pre min A ≤ min A reell definiert. Stimmen beide Integrale überein, so spricht on entsprechend vom exakten Integral. Für reelle Intervalle [a, b[A := A ∩ ℝ bzw. ]a, b]A := A ∩ ℝ mit a = min A und b = max A schreibt on

formula_029 bzw. formula_030

Bemerkung: Offenbar ist die exakte Integration ein Spezialfall der Summation. Das exakte Integral stimmt auf dem herkömmlichen ℝ weitgehend mit herkömmlichen Integralen überein; f muss jedoch nicht stetig sein und auch sonst sind die Bedingungen wesentlich schwächer, damit das Integral existiert.

Bemerkung: Offenbar ist das exakte Integral monoton und linear. Die Kunst des Integrierens besteht im korrekten Zusammenfassen der Summanden.

Sei x0 ∈ A ⊆ ℝ und f: A → ℝ. Dann heißt f rechtsseitig α-stetig in x0, wenn für infinitesimales α ∈ ℝ+ gilt:

|f(suc x0) - f(x0)| < α.

Linksseitig soll gelten:

|f(x0) - pre f(x0)| < α.

Beidseitige α-Stetigkeit heißt schlicht α-Stetigkeit. Gelten die Ungleichungen nur für alle echt endlichen α ∈ ℝ+, spricht on schlicht von Stetigkeit.

Bemerkung: Praktisch wird on α durch eine Abschätzung (nach Betrachtung etwaiger Sprungstellen von f) bestimmen.

Definition: Mit den Bezeichnungen von oben ist die rechtsseitige exakte Ableitung von f in A an der Stelle x0 ∈ A definiert als

formula_003

sofern x0 ≠ suc x0 existiert und der Differenzenquotient in der Mitte definiert ist. Analog gilt linksseitig

formula_004

Stimmen beide Ableitungen überein, so spricht on entsprechend von der exakten Ableitung f'(x0). Ist A klar, wird A weggelassen.

Bemerkung: Differenzierbarkeit ist also leicht herstellbar. On kann die exakte Ableitung alternativ auch überall da als

formula_005

definieren, wo suc x0 ≠ pre x0 gilt und der Quotient definiert ist. Dies hat den Vorteil, dass on f'(x0) eher als "Tangentensteigung" im Punkt x0 auffassen kann, die für ein lokales Extremum eher null werden kann, insbesondere wenn f α-stetig in x0 ist. Dies bietet sich bspw. an, wenn on die genauen Werte von suc x0 und pre x0 nur als beliebig dicht an x0 charakterisieren oder die exakten Ableitungen geeignet runden will, um damit ggf. für einfache Ableitungsregeln zu sorgen.

Bemerkung: Analog lässt sich das exakte Integral alternativ definieren. Am einfachsten zu handhaben sind jedoch die ursprünglichen Definitionen. Ggf. bietet sich eine geeignete Landau-Notation an. Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches, so soll es durch die ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb des Definitionsbereiches ersetzt werden. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus allen diesen Zahlen oder on wähle eine aus (z. B. nach einer einheitlichen Regel).

Definition: Die Funktion Fr: [a, b[A → ℝ mit [a, b[A ⊆ A ⊆ ℝ und Fr'(x) = f(x) für x ∈ [a, b[A und f: [a, b[A → ℝ heißt rechtsseitige Stammfunktion von f in [a, b[A. Die Funktion Fl: ]a, b]A → ℝ mit ]a, b]A ⊆ A ⊆ ℝ und Fl'(x) = f(x) für x ∈ ]a, b]A und f: ]a, b]A → ℝ heißt linksseitige Stammfunktion von f in ]a, b]A. Ist F = Fr = Fl in [a, b]A, so heißt F schlicht Stammfunktion von f in [a, b]A.

Bemerkung: Offenbar unterscheiden sich die Stammfunktionen von einer Funktion untereinander nur durch einen reellen Summanden. Stammfunktionen unstetiger Funktionen können in der Regel nur durch Aufsummieren und geschicktes Zusammenfassen gewonnen werden, solche stückweiser α-stetiger Funktionen einfacher (z. B. durch Umkehrung der Ableitungsregeln).

Beispiel: Sei [a, b[dx die nichtleere homogene Teilmenge von [a, b[ ⊆ ℝ mit dx = suc x - x für alle x ∈ [a, b[dx und ganzzahligem a/dx. Für infinitesimales dx und b = -a = |ℕ| ist [a, b[dx mit dem herkömmlichen ℝ vergleichbar. Sei ferner Tr eine rechtsseitige Stammfunktion von einer in [a, b[dx nicht notwendig konvergenten Taylorreihe t und f(x) := t(x) + ε (-1)x/dx mit einem echt endlichen ε ∈ ℝ+. Für infinitesimales dx ist f nirgends stetig und damit nirgends herkömmlich differenzierbar und integrierbar in [a, b[dx, aber es gilt exakt für alle dx:

formula_031

und

formula_032

Definition: Die Funktion µ: A → ℝ mit einer nicht-leeren Menge A ⊆ ℂn, n ∈ ℕ, k ∈ {1, ..., n} und z = x + iy sowie

formula_006

mit µ(∅) = |∅| = 0 heißt Maß von A mit suc A = {(z, (z1, ..., suc zk, ..., zn)) ∈ ℂn × ℂn : z ∈ A, k ∈ {1, ..., n}, suc zk = suc xk + i suc yk}. Für A ⊆ ℝn vereinfacht sich die Formel zu

formula_007

Bemerkung: ℝ ist jedoch nicht homogen, solange aus x ∈ ℝ stets 1/x ∈ ℝ folgen soll: Wird es homogen für x im Intervall ]0, 1[ angenommen, so gilt 1/x - 1/(x + dx) = dx/(x (x + dx)) > dx. Ähnliches gilt, wenn ℝ für Werte > 1 homogen angenommen wird und deren Kehrwerte betrachtet werden. Es ist also genau anzugeben, mit welcher Definition und Konstruktion von ℝ gearbeitet wird, z. B. mit einem homogenisierten ℝh. Analog gibt es auch die homogene Menge ℚh rationaler Zahlen mit max ℚh = -min ℚh = |ℕ| und dw = min |w| = 1/max kgV(1, 2, ..., m) mit |ℚh| = kgV(1, 2, ..., m) (|ℤ| - 1) + 1 ≤ |ℚ| für w ∈ ℚ und m ∈ ℕ. Offensichtlich entspricht dem Rechnen im herkömmlichen ℝ das Rechnen in ℚh. Wird die Menge der reellen herkömmlich algebraischen Zahlen A homogenisiert, ist sie mindestens genauso dicht wie das herkömmliche ℝ wie on sich leicht an der Homogenisierung der Menge ℕ ∪ {√2} klarmachen kann.

Bemerkung: Viel wichtiger, interessanter und für Computer bedeutsamer sind die homogenen Mengen Bj mit natürlichem j, die durch fortgesetzte Halbierung der Einheitsstrecke entstehen. Einigt on sich auf eine Darstellungsgenauigkeit 2-j, so kann bequem mit dieser maximalen Rechengenauigkeit gerechnet werden. Das homogenisierte ℝh soll ebenfalls zu einer solchen unendlichen Menge isomorph sein, bei der dx = 2-j für x ∈ Bj und jetzt transnatürliches j minimal möglich angenommen werden soll. Zu jeder zusätzlichen Zahl x zu einer homogenen Grundmenge kann die neu entstandene Menge dann homogenisiert werden, wenn on sich auf eine Darstellungsgenauigkeit für x geeinigt hat.

Beispiel: Die Mitteldrittel-Cantormenge C hat das Maß µ(C) = (⅔)|ℕ|. Sei die Funktion c: [0, 1] → {0, (⅔)-|ℕ|} definiert durch c(x) = (⅔)-|ℕ| für x ∈ C und c(x) = 0 für x ∈ [0, 1] \ C. Dann gilt:

formula_008

Beispiel: Zu den Klassen a + ℚ mit a ∈ ℝ der Äquivalenzrelation x ~ y ⇔ x - y ∈ ℚ mit x und y ∈ ℝ lassen sich ihre Repräsentanten durch die Menge R = [0, 1/|ℕ|[ mit dem Maß µ(R) = 1/|ℕ| angeben. Sei die Funktion r: ℝ → {0, 1} definiert durch r(x) = 1 für x ∈ ℤ + R und r(x) = 0 für x ∈ ℝ \ (ℤ + R). Dann gilt:

formula_009

Beispiel (vgl. Mengenlehre): Sei A1 = [0, 1[ ∩ A und die Funktion q: A1 → {0, 1} definiert durch q(x) = 1 für x ∈ A1 und q(x) = 0 für x ∈ A1 ∩ ℚ. Das exakte Integral über q(x)dx hat dann in A1 den transzendenten Wert

formula_010

Bemerkung: Die Mengen C, R und ℚ sind herkömmlich nicht messbar. Damit ist das exakte Integral allgemeiner gültig als Riemann-, Lebesgue-(Stieltjes-)Integral und weitere Integrale, da die letzteren nur in herkömmlich messbaren Mengen existieren. Die Funktionen wurden nur wegen der Anschaulichkeit so einfach gewählt und können natürlich komplizierter sein.

Definition: Für n ∈ ℕ ist das exakte Integral in A ⊆ ℝn über eine Funktion f: A → ℝ definiert durch

formula_011

wobei die suc xi für i ∈ {1, ..., n} in der Menge suc A (vgl. oben) ≥ xi reell definiert seien.

Definition: Eine Folge (ai) mit Folgengliedern ai ist eine Abbildung einer (un-)endlichen Indexmenge I mit lückenlos aufeinanderfolgenden (trans-) natürlichen Elementen i nach ℂ: i ↦ ai. Ist das Folgenglied mit dem größten Index infinitesimal, heißt die Folge Infinitesimalfolge. Eine Reihe ist eine Folge (sn) mit den Partialsummen

formula_033

für n ∈ I. Der kleinste Index in sn für i kann abweichend definiert sein (z. B. 0 oder -n).

Bemerkung: Da Summen aufgrund des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes beliebig umsummiert werden dürfen, wenn korrekt bzw. mit den Landau-Symbolen gerechnet wird, ergibt sich für exakte Integrale der Satz von Fubini, der die beliebige Änderung der Integrationsreihenfolge erlaubt. Eine Verallgemeinerung für Funktionen f: ℂn → ℂm mit m und n ∈ ℕ ist leicht möglich. Denn für z = x + iy ∈ A ⊆ ℂ mit x, y ∈ ℝ und f: A → ℂ gilt:

formula_012

wobei suc max Re z ≥ max Re z und suc max Im z ≥ max Im z reell definiert seien.

Bemerkung: Damit ist insbesondere der Riemannsche Umordnungssatz ungültig, da on beim Aufsummieren positiver Summanden zu einem angestrebten Wert so viele negative zu addieren gezwungen ist, bis on wieder die ursprüngliche Reihensumme erreicht und umgekehrt. Bei einem kleineren bzw. größeren Wert als der Summe der positiven bzw. negativen Summanden gilt das Gleiche, da der Rest nahezu annulliert wird usf. Auch mit der Unendlichkeit darf nicht willkürlich umgegangen werden, wenn on Irrwege vermeiden will. Wer etwas in die Unendlichkeit verlagert, darf sich nicht der Illusion hingeben, dass es dann nicht mehr existieren würde.

Endlichkeitskriterium für Reihen: Die Partialsumme mit dem größten Index einer reellen Reihe (sk) für unendliche (trans-) natürliche k und n ist genau dann endlich, wenn sie darstellbar ist als

formula_034

mit endlichem reellem a und endlichen, eine monoton fallende Infinitesimalfolge bildenden |an - bn| für reelle an und bn. Im Komplexen muss dies für Real- und Imaginärteil erfüllt sein.

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus dem Leibniz-Kriterium und der Möglichkeit beliebig umzusummieren, Summanden nach Größe und Vorzeichen zu sortieren, zusammenzufassen bzw. in Summen aufzuspalten.

Beispiel: Aus der alternierenden harmonischen Reihe folgt

formula_035

Bemerkung: Interessanter sind Beispiele, bei denen die fallende Monotonie von |aj - bj| nicht so leicht nachzuweisen sind wie z. B. bei der divergenten Reihe

formula_060

bei der cj monoton wächst, aber cj+1 – cj monoton fällt.

Endlichkeitskriterium für Produkte: Das Produkt

formula_037

für unendliches (trans-) natürliches n und endliches komplexes an, das o. B. d. A., wenn es reell ist, nicht ≤ -1 sei, ist genau dann endlich, wenn es

formula_038

ist, wobei m so groß gewählt werden können muss, dass

formula_039

ebenfalls endlich und |ak| < 1 ist., wobei alle seine Faktoren mit |1 + an| > 1 so umgeordnet bzw. mit anderen Faktoren so zusammengefasst werden können müssen, dass o. B. d. A. |an| für n ≥ n0 mit einem (trans-) natürlichen n0 eine monoton fallende Infinitesimalfolge bildet, nachdem die Anzahl der Faktoren mit |1 + an| < 1 ebenso minimiert und deren Index n bei an ≤ m gewählt wurde.

Beweis: Die Behauptung folgt aus der Logarithmusreihe.

Definition: Seien i, j, k und l natürlich. Eine Folge (ai) mit ai ∈ ℂ und infinitesimalem α ∈ ℝ+ heißt α-konvergent, wenn es ein k gibt, sodass für alle i und j mit max i ≥ i > j ≥ k gilt:

|aj - ai| < α.

Gilt die Ungleichung für alle echt endlichen α ∈ ℝ+, so heißt die Folge schlicht konvergent. Der (eindeutig bestimmte) letzte Wert der Folge ist amax i und wird auch als 0-Grenzwert oder schlicht Grenzwert bezeichnet, während die β-Grenzwerte a ll(β) durch die Elemente von

{z ∈ ℂ : |z - amax i| ≤ β}

mit infinitesimalem β ∈ ℝ+ gegeben seien.

Bemerkung: Die herkömmlichen Grenzwerte sind oft nur nach (allgemeinen) Präferenzen ausgewählte β-Grenzwerte (mit β oft nicht genauer als O(1/|ℕ|)) und im Allgemeinen zu ungenau, da sie z. B. (willkürlich) algebraisch (von einem bestimmten Grad) oder transzendent sind.

Satz über die β-Grenzwert-Vertauschung bei der Integration: Sei A ⊆ ℝ und (fn) eine Folge integrierbarer Funktionen mit (trans-) natürlichem n und fn: A → ℝ, die gegen die integrierbare Funktion f: A → ℝ α-konvergieren. Dann gilt für

formula_013

formula_014

Beweis:

formula_015

Bemerkung: Solange man korrekt mit Landau-Notation rechnet, dürfen Differentiation oder Integration und Summation (auch) in (divergenten) Reihen vertauscht werden. Die herkömmliche Vorgehensweise kann jedoch zu nicht unbeträchtlichen Fehlerfortpflanzungen in Folgerechnungen führen, z. B. wenn β1μ(A) ein echt endlicher Wert ist.

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung: Sei wie oben f rechtsseitig bzw. linksseitig exakt integrierbar für x ∈ [a, b[A bzw. x ∈ ]a, b]A. Dann ist die Funktion

formula_016 bzw. formula_017

mit c ∈ [a, b]A rechtsseitig bzw. linksseitig exakt differenzierbar und es gilt

Fr'(x) = f(x) bzw. Fl'(x) = f(x)

für x ∈ [a, b]A.

Beweis:

formula_018

Dies gilt analog für sF(x), pre x und sx.

Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung: Ist F statt f wie oben für x ∈ [a, b[A rechtsseitig exakt differenzierbar und ihre rechtsseitige exakte Ableitung Fr' () dort rechtsseitig exakt integrierbar, so gilt für c ∈ [a, b]A:

formula_019

Linksseitig gilt analog für x ∈ ]a, b]A und Fl':

formula_020

Beweis:

formula_021

Dies gilt analog für t ∈ ]c, x]A, pre t und Fl'(t).

Bemerkung: On beachte, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Durch Betrachtung des Real- und Imaginärteils von komplexen Funktionen F und f: ℂ → ℂ lassen sich die beiden Hauptsätze leicht ins Komplexe übertragen. Eigentliches Integrieren (als Umkehrung der Ableitung) macht nur für stetige Funktionen Sinn, wenn es über bloßes Summieren hinausgehen soll. Kann on jedoch Funktionswerte zu endlich vielen stetigen Funktionen zusammenfassen, für deren jede die Stammfunktion in endlicher Zeit angegeben werden kann, lässt sich auch das Integral für unstetige Funktionen so berechnen, evtl. unter geeigneter Zuhilfenahme der Euler-Maclaurinschen Summenformel und weiteren Vereinfachungstechniken.

Bemerkung: Über je mehr oder weniger Elemente integriert wird, desto stärker kann der Wert des Integrals abweichen, selbst bei gleichen Intervallgrenzen. Verwendet on die alternative exakte Ableitung, so ändern sich die Formeln entsprechend; dies gilt umso weniger, je stetiger die vorkommenden Funktionen sind. Hier und generell können angemessene Rundungsregeln hilfreich sein.

Zwischenwertsatz: Sei f: [a, b] → ℝ α-stetig. Dann nimmt f(x) für x ∈ [a, b] jeden Wert zwischen min f(x) und max f(x) mit einer Genauigkeit < α an. Ist f in ℝ stetig, nimmt es jeden Wert des herkömmlichen ℝ zwischen min f(x) und max f(x) an.

Beweis: Zwischen min f(x) und max f(x) existiert eine lückenlose Kette von sich überlappenden α-Umgebungen mit jeweils f(x) als Mittelpunkt, da sonst ein Widerspruch zur α-Stetigkeit von f entstünde. Der zweite Teil der Behauptung folgt aus der Tatsache, dass eine Abweichung |f(suc x0) - f(x0)| < α bzw. |f(x0) - f(pre x0)| < α für alle echt endlichen α ∈ ℝ+ im herkömmlichen ℝ die maximale Auflösung unterschreitet.

Extremumskriterium: Genau wenn f wie oben im Punkt x0 eine linksseitige exakte Ableitung > 0 und eine rechtsseitige exakte Ableitung < 0 hat, hat f dort ein lokales Maximum. Genau wenn f wie oben im Punkt x0 eine linksseitige exakte Ableitung < 0 und eine rechtsseitige exakte Ableitung > 0 hat, hat f dort ein lokales Minimum. Eine Ableitung kann dann dort als 0 definiert werden.

Beweis: Klar aus den Definitionen.

Produkt-, Quotienten- und Kettenregel: Seien f und g rechtsseitig (linksseitig) exakt differenzierbare Funktionen sowie alle Quotienten wohldefiniert, d. h. ihr Nenner ist nicht 0. Dann gilt

(fg)r'(x0) = fr'(x0)g(x0) + f(suc(x0))gr'(x0),

formula_022

und

f(g(x0))r' = γr(x0) fr'(g(x0)) gr'(x0)

mit

formula_023

Linksseitig gilt analog:

(fg)l'(x0) = fl'(x0)g(pre(x0)) + f(x0)gl'(x0),

formula_024

und

f(g(x0))l' = γl(x0) fl'(g(x0)) gl'(x0).

mit

formula_025

Genau dann ist γr(x0) = γl(x0) = 1, wenn f(g(x0)), f(g(suc x0)) und f(suc g(x0)) bzw. f(g(x0)), f(g(pre x0)) und f(pre g(x0)) auf einer Geraden liegen.

Beweis: Produkt- und Quotientenregel sind einfach nachzurechnen. Es gilt

formula_026

Also

formula_027

Der letzte Satz gilt, weil die Differenzen der f-Werte ohnehin auf einer Geraden liegen und geteilt durch die Differenzen der zugehörigen g-Werte einen Quotienten von Steigungen zweier Geraden bilden, die einen Punkt gemeinsam haben. Genau wenn die Steigungen gleich sind, wird der Quotient 1, gilt somit die herkömmliche Kettenregel und es folgt die Behauptung.

Bemerkung: Damit die Produkt- und Quotientenregel mit der herkömmlichen genau genug übereinstimmt, muss in x0 entweder f oder g (α-)stetig genug sein (d. h. α klein genug angesetzt werden können). Dass γ fast jeden Wert in ℝ annehmen kann, mache on sich an den Funktionen f(y) = y±2 und y = g(x) = x2 mit x0 = d0 und y ∈ ℝ klar. Damit ist die herkömmliche Kettenregel nur näherungsweise bei nicht infinitesimalen Argumenten zu gebrauchen. Wenn f nicht linear ist oder g nicht die Identität oder eine Translation, ist es ziemlich unwahrscheinlich, dass die drei f-Werte auf einer Geraden liegen. Wenn f und g stetig sind, gilt die Kettenregel zumindest näherungsweise.

Bemerkung: Die rechtsseitige bzw. linksseitige exakte Ableitung der Umkehrfunktion ergibt sich zu

f-1r'(y0) = 1/fr'(x0) bzw. f-1l'(y0) = 1/fl'(x0)

aus y0 = f(x0) und der Identität x = f-1(f(x)) mithilfe der Kettenregel bei gleicher Genauigkeit. Die Regel von de l'Hospital ist für (α-)stetige Funktionen f und g sinnvoll und ergibt sich für f(x0) = g(x0) = 0 sowie f(suc x0) und g(suc x0) nicht beide zugleich 0 und analog linksseitig aus

formula_028

Ausblick in die Funktionentheorie: Die ganzen Funktionen f(z) = z/ℜ und g(z) = Σ ak zk mit k ∈ ℕ und ak = 1/ℜk+1 widerlegen den Satz von Liouville.

Nachweis: Da |f(z)| ≤ 1 ist und |g(z)| zusätzlich konvergiert, folgt direkt die Behauptung.

Die Wahl hinreichend kleiner (transzendenter) Konstanten im verallgemeinerten Satz von Liouville widerlegt auch ihn. Beide Sätze können durch Einschränkung nicht geheilt werden, da die Holomorphie einer Funktion h auf (dem herkömmlichen) ℂ erzwingt, dass das Laurent-Polynom (die Laurent-Reihe) von h Koeffizienten ak mit |ak| < O(ℜ-|k|) (O(ℜ-|k|-1)) und (trans-) ganzem k haben muss (um zu konvergieren), wenn es (sie) nicht ohnehin schon konstant ist. Somit bringt eine Einschränkung auf nach unten endlich beschränkte Koeffizienten nichts ein.

Die Funktion f liefert die biholomorphe, bijektive Abbildung des herkömmlichen und kreisförmig definierten ℂ auf den aus dem komplexen Einheitskreis ℰ sehr verdichteten komplexen Einheitskreis ℰd mit |ℰd| = |ℂ| ≫ |ℰ|. Damit gilt der Riemannsche Abbildungssatz auch für ℂ. Das vollständige ℂ ist auf diese Weise natürlich nicht abbildbar.

Definition: Ein Punkt p ∈ M ⊆ ℂn mit n ∈ ℕ bzw. zu einer Folge (ak) mit ak ∈ ℂn und (trans-) natürlichen k heißt (eigentlicher) α-Häufungspunkt von M bzw. der Folge, wenn in der offenen Kugel Bα(p) ⊆ ℂn um p mit dem infinitesimalen Radius α unendlich viele Punkte aus M bzw. unendlich viele paarweise verschiedene Folgenglieder liegen. Gilt das Behauptete für alle echt endlichen α, so heißt der α-Häufungspunkt schlicht Häufungspunkt..

Sei p(z) = π(z - ck) mit k ∈ ℕ für z ∈ ℂ ein unendliches Produkt mit paarweise verschiedenen Nullstellen ck ∈ B1/|ℕ|(0) ⊂ ℂ (offene Kreisscheiben um 0 mit Radius 1/|ℕ|), die so gewählt seien, dass |f(ck)| < 1/|ℕ| für eine in einem Gebiet G ⊆ ℂ holomorphe Funktion f mit f(0) = 0 gilt. G enthalte B1/|ℕ|(0) komplett, was durch Koordinatentransformation immer erreichbar ist, solange G "groß" genug ist.

Dann hat für die dort ebenfalls holomorphe Funktion g(z) := f(z) + p(z) die Koinzidenzmenge {w ∈ G : f(w) = g(w)} einen Häufungspunkt in 0 und es gilt f ≠ g im Widerspruch zur Aussage des Identitätssatzes. Beispiele für f sind alle in B1/|ℕ|(0) beschränkten und zugleich in G holomorphen Funktionen mit Nullstelle 0. Da p(z) jeden komplexen Wert annehmen kann, ist die Abweichung von f und g nicht vernachlässigbar.

Ebenfalls zum Identitätssatz im Widerspruch steht die Tatsache, dass in einem Punkt c ∈ G alle Ableitungen d(k)(c) = h(k)(c) zweier Funktionen d und h für alle k ∈ ℕ übereinstimmen können, aber d und h über diese lokale Tatsache hinaus weiter entfernt ebenfalls deutlich verschieden sein können, ohne ihre Holomorphie zu verlieren, da nicht jede holomorphe Funktion aufgrund des Näherungscharakters (der Differentiation) bzw. des Rechnens mit Landau-Symbolen (eindeutig) in eine Taylorreihe entwickelt werden kann (vgl. Transzendente Zahlen).

Vergrößern wir die Indexmenge von π(z - ck), erhalten wir ganze Funktionen mit transnatürlich vielen Nullstellen. Die Nullstellenmenge kann offen und braucht nicht diskret zu sein. Damit braucht die Menge aller in einem Gebiet G holomorphen Funktionen nicht nullteilerfrei zu sein. Die Funktionen widerlegen wie Polynome mit n > 2 paarweise verschiedenen Nullstellen auch die Sätze von Picard, da sie mindestens n - 1 Werte in ℂ auslassen.

© 29.10.2011 by Boris Haase


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