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#23: Verbesserung Mengenlehre vom 05.04.2012

Vorbemerkung: Hinlänglich bekannte Axiome definieren die herkömmlich reellen Zahlen ℝ (als total geordneten Körper) und die herkömmlich komplexen ℂ (mit zusätzlicher imaginärer Einheit i), alle Zahlen ≠ 0 mit Betrag ≤ ω bzw. ≥ 1/ω und ω := ⌊1 + max ℝ⌋ - ⌊max ℝ⌋/ω ⌊max ℝ⌋ (vgl. Transzendente Zahlen und unten), was in alle Unendlichkeit mit denselben Operatoren fortgeführt werden kann und im Folgenden so realisiert wird. Hierbei kann auf das Vollständigkeitsaxiom verzichtet werden (s. u.). Die herkömmlich natürlichen Zahlen ℕ* werden darin über alle entstehenden Summen durch Addition von 1 zu 0 definiert (mit 0 als ℕ), die herkömmlich ganzzahligen Zahlen ℤ durch Hinzunehmen der additiv Inversen von ℕ, die herkömmlich rationalen ℚ durch Brüche mit herkömmlich ganzem Zähler und herkömmlich natürlichem Nenner ≠ 0.

Definition: Eine komplexe Zahl, deren Betrag größer als ω ist, heißt unendlich. Eine von null verschiedene komplexe Zahl, deren Betrag ihres Kehrwertes unendlich ist, heißt infinitesimal. Herkömmlich reelle Zahlen, die nicht herkömmlich rational sind, heißen irrational.

Definition: Die Summe p(x) = amxm + am-1xm-1 + ... + a1x + a0 heißt Polynom. Hierbei ist m ∈ ℕ* der Polynomgrad, falls am ≠ 0, und die ak ∈ ℤ mit k ∈ ℕ≤m heißen Koeffizienten (des Polynoms). Die komplexen Zahlen x, die die Summe Null werden lassen (sogenannte Nullstellen des Polynoms), werden als algebraisch bezeichnet. Die zugehörigen Mengen heißen A im reellen Fall und A im komplexen. Im Spezialfall am = 1 spricht on von ganzalgebraischen Zahlen. Herkömmlich komplexe Zahlen x, die kein Polynom zu Null werden lassen, heißen transzendent.

Definition: Algebraische Zahlen können durch (am, am-1, ..., a1, a0; g, h; #l, Mv; w, p)s notiert werden, wobei mit g = h = a0 = 0 die Zahl 0, mit g ∈ ℕ* (ℤ<0) eine Nullstelle mit dem g.-größten (|g|.-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit g = 0, h ∈ ℕ* (ℤ<0) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem h.-größten (|h|.-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen algebraischen Zahlen entsprechend dargestellt werden. #l gibt die Anzahl l ∈ ℕ* der Nullstellen an, wenn für mindestens ein ak eine Variable eingesetzt wird, Mv die Anzahl v ∈ ℕ der mehrfachen Nullstellen. Bei einem Minimalpolynom (mit a0 = 0 nur für das Polynom x = 0) wird für die Spezifikation s der Buchstabe m notiert, ansonsten der Buchstabe n. Der numerische Wert wird durch w mit der Genauigkeit p wiedergegeben.

Bemerkung: Auf diese Weise lassen sich die Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalordnen, wenn mehrfache Nullstellen nicht unterschieden werden. Die Angaben g, h, #l, Mv, s, w und p können ggf. weggelassen werden (z. B. bei rationalen Zahlen). Die (|ℕ|+2)-Tupel (0, ..., 0, am, ..., a0; g, h) m mit natürlichen ak bilden eine lexikalische strenge Wohlordnung für die algebraischen Zahlen.

Definition: Algebraische Zahlen, die gemäß der vorigen Definition durch endlich viele konkrete Ziffern notiert sind, heißen konkret gegeben, die so notiert werden können, konkret angebbar. Beide bilden zusammen die Teilmenge der konkreten Zahlen, die wie auch für die Teilmengen der algebraischen Zahlen durch ein vorangestelltes c symbolisiert wird. Infinitesimale Zahlen und solche, deren Betrag maximal eine konkret angebbare Zahl ist, heißen endlich. Die restlichen algebraischen Zahlen heißen unkonkret und das vorangestellte Symbol ist u. Sie bilden eine Zwischenstufe zwischen den (in jedem Fall endlichen) konkreten und den unendlichen Zahlen. Die Zeichenfolge ⧼S hinter einer Intervallangabe mit ausgeschlossener nächster konkret angebbarer Unter- bzw. Obergrenze bedeutet die Vereinigung mit der Obermenge S des Intervalls, wobei die neue Unter- bzw. Obergrenze die nächstkleinere bzw. nächstgrößere konkret angebbare Zahl der Obermenge ist. Eingeschlossene Unter- bzw. Obergrenzen bleiben hierbei unverändert.

Bemerkung: Den ins Unendliche fortgeführten Mengen wird ~ vorangestellt, den im Unendlichen liegenden Zahlen trans- und ihren zugehörigen Mengen T. Die herkömmliche Bezeichnung wird für die herkömmlichen und transherkömmlichen Zahlen verwendet. Sind die herkömmlichen Zahlen gemeint, wird dies durch die Voranstellung des Wortes herkömmlich angezeigt. Die Anzahl aller Elemente einer Menge M wird mit |M| bezeichnet. Wenn die Trägermenge eines Intervalls unklar ist, wird sie unten hinter es gestellt.

Beispiele: Die konkret angebbaren Zahlen (1, 0, 0, 0, -1)n sind gegeben als 1, -1, i, -i. Die konkret gegebene Goldene Zahl (1 + √5)/2 wird notiert als (1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, 10-6)m. Die Zahl 0,1 = 0,11...11 mit |ℕ*| Einsen hinter dem Komma ist unkonkret und verschieden von der konkret gegebenen Zahl 1/9, da 9 × 0,1 = 0,99...99 = 1 - 10-|ℕ*| ≠ 1 ist. Daher ist sie transzendent (vgl. Transzendente Zahlen) und müsste etwa als (9 × 10|ℕ*|, 1 - 10|ℕ*|) notiert werden. Daher gilt der

Satz: Für alle g ∈ ℕ>1 ist die g-adische Entwicklung einer (trans-) reellen Zahl ohne Zusatzbedingungen eindeutig bestimmt.

Definition: Eine Zahl a + bi mit a, b ∈ ℚ heißt herkömmlich komplexrational. Eine Zahl ±b1/b2 ± ib3/b4 heißt trans-komplexrational, wenn für k ∈ {1, 2, 3, 4} mit b2b4 ≠ 0 für mindestens ein bk |bk| ∈ ~≥|ℕ| gilt (mit herkömmlich ganzzahligen bk sonst). Die komplexen Zahlen, die Polynomgleichungen p(x) = 0 vom Grad oder mit ganzzahligen Koeffizienten vom Betrag ≥ |ℕ| erfüllen, bilden mit den algebraischen den Körper der (hyper-)algebraischen Zahlen mit unendlich vielen Unterkörpern. Die Beweise und Ergebnisse erhält on wie bei den algebraischen Zahlen. Analog gibt es auch hyper-transzendente Zahlen.

Bemerkung: Die Behauptung, dass |ℝ| gleich 2|ℕ| sein soll, besagt, dass alle herkömmlich reellen Zahlen in Dualzahlen entwickelt werden können. Dagegen spricht zum einen, dass viele herkömmlich rationale Zahlen nur näherungsweise als Dualzahlen dargestellt werden können, und vielmehr, dass herkömmlich reelle Zahlen auch Summen mit kleineren Exponenten von 2 sein können als das minimal angesetzte 2-n. So ist z. B. die Zahl ⅓ nur näherungsweise als 0,01010101... enthalten und muss von dieser unterschieden werden.

Satz: Zu keiner Menge gibt es eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge.

Beweis: On beweist dies durch (herkömmlich natürliche und transnatürliche) vollständige Induktion, beginnend bei der einelementigen Menge und fortschreitend über mehrelementige Mengen, indem on sukzessive ein Element hinzufügt. Dasselbe Ergebnis erhält on, wenn on aus einer Menge ein Element entfernt und eine Bijektion zu der entstandenen Menge finden will: Es gibt keine, weil das fehlende Element nicht ersetzt werden kann. Die natürliche vollständige Induktion liefert wieder die Behauptung.

Folgerung: Damit sind insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument widerlegt, da ℕ eine echte Teilmenge von ℚ ist. Eine Translation einer unendlichen Menge führt immer aus dieser Menge heraus. Damit wird Hilberts Hotel destruiert. Zur Kontinuumshypothese ist zu sagen, dass es unendlich viele Mengen gibt, deren Anzahl der Elemente zwischen der von ℕ und der von ℝ liegt.

Abgeschlossenheits-Lemma: Die Menge der (herkömmlich) natürlichen Zahlen ist nicht abgeschlossen bezüglich Addition.

Beweis: Bildet on durch Bijektion zu ℕ die Menge 2ℕ, so enthält diese Elemente, die in ℕ nicht enthalten sein können, da die ungeraden Zahlen in 2ℕ fehlen. Andererseits soll für alle k ∈ ℕ auch k + k in ℕ enthalten sein. Aus diesem Widerspruch folgt die Behauptung.

Folgerung: Die herkömmlich rationalen, algebraischen, reellen und komplexen Zahlen sowie deren Obermengen sind ebenfalls nicht abgeschlossen bezüglich Addition, da sie auf der Addition der herkömmlich natürlichen Zahlen aufbauen, bzw. dann ist die Addition für einige Elemente nicht mehr angemessen definierbar, weil sie nicht über |~ℕ| hinausführen kann. Die mangelnde Abgeschlossenheit überträgt sich auch auf Multiplikation und Inversion, da diese auf der Addition aufbauen. Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier konkret gegebener Zahlen sind stets konkret angebbar. All dies ergibt sich insbesondere aus folgendem

Minimax-Satz: In jeder nichtleeren halbgeordneten Menge enthält jede Kette genau ein minimales und ein maximales Element und damit die Menge selbst mindestens je eins.

Beweis: Für endliche Mengen ist die Behauptung klar. Unendliche Ketten und solche mit unkonkret natürlich vielen Elementen sind isomorph zu Mengen, die nur aus aufeinanderfolgenden Ordinalzahlen - beginnend mit 0 - bestehen. Betrachte nun die Menge [0, 2|ℕ|]~ℕ. Diese ist isomorph zu der homogenen und durch sukzessive Halbierung der Elementabstände entstandenen Menge ([0, 2|ℕ|]~ℕ)/2|ℕ|, die aus den Zahlen {0, 1, ½, ¼, ¾, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...} besteht, vermöge der Abbildung k ↦ k / 2|ℕ| für k ∈ [0, 2|ℕ|]~ℕ. Sie hat genau das minimale Element 0 und das maximale Element 1. Durch Verdünnung gilt die Behauptung auch für die Menge ℕ vermöge der Abbildung 2k ↦ k, womit die Schreibweise |ℕ| mit dem maximalen Element |ℕ*| gerechtfertigt wird. Die Behauptung folgt nun durch natürliche Induktion für alle kleineren Ordinalzahlmengen, indem on aus ([0, 2|ℕ|]~ℕ)/2|ℕ| mit 1/2|ℕ|-Schritten Elemente entfernt, und für alle größeren Ordinalzahlmengen, indem on noch den Exponenten |ℕ| sukzessive erhöht.

Unbestimmtheits-Lemma: Über die minimalen und maximalen Elemente einer unkonkreten oder unendlichen Menge lässt sich erst eine genauere Aussage machen, wenn dafür Entscheidungskriterien vorliegen. Insbesondere gilt dies für das betragskleinste und -größte Element der reellen und komplexen Zahlen.

Beweis: Klar.

Definition: Das größte konkrete bzw. endliche Element max cA wird als κ notiert, das kleinste unkonkrete größer als κ als κ+ und das kleinste unendliche größer als ω als ω+ sowie das größte Element max ~ℝ schlechthin als ω.

Beispiel: Es ist unentscheidbar, ob |ℕ| gerade ist oder nicht, da wer die Mitte von ℕ als homogenes isomorphes Intervall [0, 1]ℕ/|ℕ| = ℕ/|ℕ| untersucht, nur etwas (Ausgedehntes) finden kann und nicht nichts, was mit Widerspruch teilbar wäre, womit das Argument zirkulär wird. On kann also nicht sagen, ob der Mitte Sein oder Nicht-Sein zukommt, ob sie Element ist oder nicht. Für |cℕ| bräuchte on ebenfalls genauere Angaben.

Bemerkung: ℕ ist eindeutig bestimmt, aber nicht in jeder Hinsicht. Aus ℕ = {0} ∪ {n + 1 : n ∈ ℕ} und 1 + max ℕ ∉ ℕ lässt sich kein Widerspruch konstruieren, da aus der Annahme ∃ n ∈ ℕ (n + 1 ∉ ℕ) nur widerspruchsfrei n = max ℕ folgt. In allen Teilmengen von ~ℂ können die in allen Teilmengen von ℂ zugelassenen Operatoren in gleicher Weise verwendet werden (Transferprinzip), was im Einzelfall zu beweisen ist, aber hier aufgrund ihrer Anzahl unterbleiben soll.

Bemerkung: Zu den komplexen und reellen Zahlen kann das Symbol ∞ adjungiert werden, mit dem sich wie mit einer Variablen rechnen lässt und dessen Wert größer als ω sein soll. Da die Division durch 0 wegen der fehlenden Eindeutigkeit in Berechnungen nicht definiert ist, kann on sich behelfen, indem on überall dort, wo es opportun ist, bspw. ±0 durch ±1/∞ ersetzt, je nachdem welche Richtung einon interessiert, und mit ∞ wie oben beschrieben rechnet. Dann ist das Rechnen wieder eindeutig und widerspruchsfrei. Eine vage Grenzwertbildung kann vermieden werden, aber on sollte sich genau überlegen, wo überall die Ersetzung sinnvoll ist, und nicht beliebig zwischen den Symbolen wechseln. Auf diese Weise können Integral und Differential für jede Operation auf den komplexen und reellen Zahlen so definiert werden, dass jede Funktion überall integrierbar und differenzierbar ist - zumindest als Richtungsableitung (s. Nichtstandardanalysis).

Definition: Die Kreiszahl π sei definiert als Flächeninhalt oder als halber Umfang des Einheitskreises. Die Eulersche Zahl e (symbolisch) sei definiert als Lösung der Gleichung x = -1. Dann sei eine Logarithmusfunktion ln (symbolisch) definiert durch eln z = z und die zugehörige Potenzfunktion durch zs = es ln z mit komplexen s und z Die Exponentiation lässt sich so (symbolisch) definieren. Rechnerisch wird on sich in der Regel mit Näherungen begnügen müssen.

Lemma: Das Archimedische Axiom gilt für unendlich viele herkömmlich reelle Zahlen nicht.

Beweis: Sei a ∈ ℝ>1 und b = 1/|ℕ*|. Dann gilt b n ≤ 1 < a für alle n ∈ ℕ.

Archimedischer Satz: Es gibt ein n ∈ (c)ℕ mit b n > a genau dann, wenn für a > b mit a, b ∈ ℝ>0 a/b < |(c)ℕ*| ist.

Beweis: Gilt a/b ≥ |(c)ℕ|, so ist auch a/b ≥ n für alle n ∈ (c)ℕ.

Im Folgenden wird das Verhalten für unkonkrete n ∈ ℕ betrachtet.

Bemerkung: Es seien m ∈ ℕ der maximal zugelassene Polynomgrad und n der maximale Betrag, den die herkömmlich ganzzahligen Koeffizienten ak der Polynome amxm + am-1xm-1 + ... + a1x + a0 mit k ∈≤m annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die ak voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der algebraischen Zahlen entspricht der Anzahl der Nullstellen der so definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt am > 0 und a0 ≠ 0.

Satz: Für die Anzahl Am der algebraischen Zahlen (vom Polynomgrad m und damit allgemein) gilt die asymptotische Gleichung

formula_005

wobei ζ für die Riemannsche Zetafunktion steht und z(m) die (durchschnittliche) Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ist.

Beweis: Um die Anzahl der reduziblen Polynome zu bestimmen, multipliziere on einen linken Polynomfaktor mit Koeffizienten, deren Betrag maximal eins ist, sukzessive mit zwei und überprüfe wie groß die Koeffizienten eines rechten Polynomfaktors bei der Produktbildung maximal werden dürfen. Dafür sind O(ln n) Schritte nötig und die Multiplikationen mit zwei heben sich in jedem Schritt gegen die Divisionen durch zwei auf. Der Faktor 1/ζ(m+1) sorgt für die Elimination der Polynome mit ggT(a0, a1, ... , am) ≠ 1. Um Vielfache der Primzahl p zu eliminieren, ist die Multiplikation der Anzahl der Polynome mit (1-p-m-1) erforderlich. Produktbildung über alle Primzahlen und Entwicklung der Faktoren in geometrische Reihen liefert nach Ausmultiplizieren den Faktor 1/ζ(m+1). Ist genau ein Koeffizient 0, wäre ζ(m+1) durch ζ(m) zu ersetzen. Diese Ersetzung ist allerdings durch den Korrekturterm ebenso abgedeckt wie die Polynome, bei denen mehr als ein Koeffizient 0 ist. Im Fall m = 1 ist der Korrekturterm O(n ln n) notwendig, wenn on die Anzahl der herkömmlich rationalen Zahlen über die eulersche φ-Funktion zu formula_002 berechnet. Für m > 1 wird der Korrekturterm O(z(m)(2n+1)mln n) aufgrund der Teilbarkeitsverhältnisse nicht übertroffen, sodass er gerechtfertigt ist und die Behauptung folgt.

Bemerkung: Im komplexen Fall gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra z(m) = m. Im reellen Fall ist z(m) asymptotisch gleich 2/π ln m + O(1) nach (Mark Kac, "On the average number of real roots of a random algebraic equation. II.", Proc. London Math. Soc. 50 (1949), 390-408. MR 11:40e).

Beispiele: Für m = 1 erhält on 12n22 + O(n ln n) herkömmlich rationale Lösungen. Für m = 2 erhält on 4n3/ζ(3) + O(n2ln n) herkömmlich reelle Lösungen, da ein herkömmlich reelles Polynom vom Grad 2 zwei herkömmlich reelle Nullstellen mit einer Wahrscheinlichkeit von ½ hat. Für am = 1 erhält on z(m)(2n+1)m + O(z(m)(2n+1)m-1ln n) ganzalgebraische Lösungen. Das oben über z(m) Gesagte gilt auch hier.

Beispiele: Für m = n = |ℕ*| erhält on im reellen Fall

formula_006

und im komplexen Fall

formula_007

Bemerkung: Die Menge der algebraischen Zahlen enthält keine Zahlen, deren Betrag kleiner als 1/(|ℤ||ℕ*||ℕ|2) bzw. größer als |ℤ||ℕ*||ℕ|2 ist. Die Anzahl der Menge der komplexen (reellen) Zahlen umfasst so viele Elemente wie on zulässt. Diese können u. a. durch fortgesetzte Potenzierung erzeugt werden.

Bemerkung: Die Bestimmung der Anzahl der Elemente jeder konstruierten (un-) endlichen Menge muss genau deren Konstruktion berücksichtigen, bevor sie in Beziehung zur Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen gesetzt werden kann. Diese sollte aufgrund ihrer einfachen Konstruktion als Basis genommen werden. Ohne die Konstruktion einer Menge zu kennen, kann deren Anzahl nicht (eindeutig) bestimmt werden. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten sollte die plausibelste herangezogen werden, d. h. sie sollte die (Un-) Endlichkeit bestmöglich im Sinne der Differenzierung wiedergeben. Da dies ein Werturteil erfordert, muss sie nicht eindeutig bestimmt sein. Einigt on sich nicht auf eine einzige Konstruktionsmöglichkeit trotz rationaler Argumentation, so ist die ermittelte Elementanzahl der Menge stets mit deren Konstruktion anzugeben.

Definition: Mengen wie (~)ℚ, A, A, (~)ℝ und (~)ℂ definieren wir homogen, indem wir lediglich die Vielfachen des Kehrwerts des betragsgrößten Elementes (im Komplexen pro Real- bzw. Imaginärteil) zwischen diesem selbst und seinem negativen Wert als Elemente einschließlich beider akzeptieren. Zwischen diesen jeweils nächsten Näherungen und den eigentlichen Elementen unterscheiden wir nur dann, wenn dies explizit erwähnt wird. Bei Abbildungen von einer Definitionsmenge in ihre Zielmenge betrachten wir ebenso nur die Bilder, die in der beschriebenen Weise in der Zielmenge liegen.

© 05.04.2012 by Boris Haase


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