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#72: Erweiterung Nichtstandardanalysis vom 07.03.2018

Vorbemerkung: Im Folgenden gelten die Definitionen aus der Mengenlehre sowie Topologie und es sei zumeist \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\). Es soll die Integration und Differentiation in beliebigen stets nicht-leeren Teilmengen \(A\) der Mengen \({}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) bzw. \({}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit beliebigen \(n\) untersucht werden, die wir zu den Mengen \({}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} = {}^{(\omega)}\mathbb{K}\times ... \times{}^{(\omega)}\mathbb{K}\) zusammenfassen, wobei jedes \(\mathbb{K}\) entweder für \(\mathbb{C}\) oder \(\mathbb{R}\) in beliebiger Reihenfolge stehen kann. Insbesondere geht es um herkömmlich nicht messbare, unkonkrete und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen. Jedes außerhalb der Bildmenge abgebildete Element wird durch das jeweils nächste der Zielmenge ersetzt, im Fall der Nichteindeutigkeit durch Auswahl eines von ihnen. Ansonsten ist die Abbildung nicht (vernünftig) definiert. Im Folgenden ist \(||\cdot||\) die euklidische Norm. Eine Verallgemeinerung auf andere Mengen und Normen ist bei deren Äquivalenz leicht möglich.

Definition: Benachbarte Punkte in \(A\) beschreiben wir durch die irreflexive symmetrische Nachbarschaftsrelation \(B \subseteq {A}^{2}\). Die Funktion \(\gamma: C \rightarrow A \subseteq \mathbb{C}{}^{n}\) mit einem \(h\)-homogenen \(C \subseteq \mathbb{R}\) und infinitesimalem \(h\) heißt Weg, wenn \(||\gamma(x) - \gamma(y)||\) für benachbarte \(x, y \in C\) infinitesimal ist und (\(\gamma(x), \gamma(y)) \in B\) gilt. Die Nachbarschaftsrelationen in \(B\) in \(A\) werden immer als (Vorgänger, Nachfolger) in der Form \(({z}_{0}, \curvearrowright {z}_{0})\) oder \((\curvearrowleft {z}_{0}, {z}_{0})\) notiert, wobei \(\curvearrowright\) "post" und \(\curvearrowleft\) "prä" gesprochen wird. Dies gilt analog für die Nachbarschaftsrelation \(D \subseteq C{}^{2}\).

Definition: Sei \({z}_{0} \in A \subseteq \mathbb{K}^{n}\) und \(f: A \rightarrow {}^{(c)}\mathbb{K}^{m}\). Im Folgenden wird auf die Beweise mit Vorgängern meist verzichtet, da sie analog zu denen mit Nachfolgern verlaufen. Dann heißt \(f\) \(\alpha B\)-nachfolgerstetig in \({z}_{0}\) in Richtung \(\curvearrowright B {z}_{0}\), wenn für infinitesimales \(\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}{}_{>0}\) gilt:\[||f(\curvearrowright B {z}_{0}) - f({z}_{0})|| < \alpha\]Spielt der genaue Betrag von \(\alpha\) keine Rolle, können wir \(\alpha\) weglassen. Ist \(f\) für alle \({z}_{0}\) und \(\curvearrowright B {z}_{0} \; \alpha B\)-nachfolgerstetig, so handelt es sich schlicht um \(\alpha B\)-Stetigkeit. Hierbei heißt \(\alpha\) der Grad der Stetigkeit. Gilt die Ungleichung nur für \(\alpha = 1/c\), handelt es sich schlicht um (\(B\)-Nachfolger-)Stetigkeit. Die \(\alpha B\)-Vorgängerstetigkeit ergibt sich analog.

Bemerkung: Praktisch sollten wir \(\alpha\) durch eine Abschätzung (nach Betrachtung etwaiger Sprungstellen von \(f\)) bestimmen. Ist \(B\) klar oder unwichtig, können wir es weglassen. Dies ist im Folgenden immer der Fall, wenn \(B = {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{2n}\) gilt.

Beispiel: Die Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \{\pm 1\}\) mit \(f(x) = {(-1)}^{x/d0}\) ist in \(\mathbb{R}\) nirgends nachfolgerstetig, wohl aber ihr Betrag (vgl. Zahlentheorie). Hierbei ist \(x/d0\) aufgrund der \(d0\)-Homogenität von \(\mathbb{R}\) ganzzahlig. Setzen wir \(f(x) = 1\) für rationale \(x\) und = -1 andernfalls, so ist \(f(x)\) in den nicht-rationalen \(x\) teilweise \(d0\)-nachfolgerstetig im Gegensatz zur herkömmlichen Auffassung.

Definition: Für \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{m}\) heißt\[{d}_{\curvearrowright B z}f(z) := f(\curvearrowright B z) - f(z)\]\(B\)-Nachfolger-Differential von \(f\) in Richtung \(\curvearrowright B z\) in \(z \in A\). Ist Dim \(A = n\), so können wir \({d}_{\curvearrowright B z}f(z)\) durch \(d((\curvearrowright B){z}_{1}, ... , (\curvearrowright B){z}_{n})f(z\)) angeben. Ist \(f\) die Identität, also \(f(z) = z\), können wir \({d}_{\curvearrowright B z}Bz\) statt \({d}_{\curvearrowright B z}f(z)\) schreiben. Sind \(A\) oder \(\curvearrowright B z\) klar oder unwichtig, können wir sie weglassen. Der herkömmlich reelle Fall ergibt sich wie oben analog.

Bemerkung: Ist der Betrag des \(B\)-Nachfolger-Differentials von \(f\) in Richtung \(\curvearrowright B z\) in \(z \in A\) kleiner als \(\alpha\) und infinitesimal, so ist \(f\) dort auch \(\alpha B\)-nachfolgerstetig.

Definition: Eine (unendlich) reellwertige Funktion mit Argumenten \(\in {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{n}\) heißt konvex (konkav), wenn ihr Graph unterhalb (oberhalb) oder auf jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies gilt streng, wenn "oder auf" weggelassen werden kann.

Definition: Die \(m\) arithmetischen Mittel aller \({f}_{k}(\curvearrowright B z)\) von \(f(z)\) bilden die \(m\) gemittelten genormten Tangentialnormalenvektoren von \(m\) (eindeutig bestimmten) Hyperebenen, die die \(mn\) stetigen partiellen Ableitungen für die Jacobi-Matrix eines nicht unbedingt stetigen \(f\) liefern. Die Hyperebenen setzen wir dabei so an, dass sie jeweils durch \({f}_{k}(\curvearrowright B z)\) und das nach 0 translatierte \(f(z)\) gehen, und minimieren anschließend den Betrag ihrer Koeffizienten in einem sehr einfachen linear lösbaren linearen Programm (vgl. Lineare Optimierung).

Hieraus ergibt sich direkt der

Satz: Alle in \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{n}\) konvexen bzw. konkaven Funktionen \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) sind \(\alpha B\)-nachfolgerstetig und \(B\)-nachfolgerdifferenzierbar.\(\square\)

Beispiel einer Peanokurve (aus [739], S. 188): "Die Funktion \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) sei gerade, periodisch mit der Periode 2 und in [0, 1] gegeben durch \[{g}(t)=\left\{ \begin{matrix} 0 \\ 3t-1 \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} f\ddot{u}r\,0\le t<\tfrac{1}{3} \\ f\ddot{u}r\,\tfrac{1}{3}\le t<\tfrac{2}{3} \\ f\ddot{u}r\,\tfrac{2}{3}\le t\le 1. \\ \end{matrix} \right.\,\]Offenbar ist \(g\) durch diese Angaben vollständig definiert und stetig. Die Funktion \(\Phi: I = [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) sei definiert durch \[\phi(t) = \left( {\sum\limits_{k = 0}^{\infty} {\frac{{g({4^{2k}}t)}}{{{2^{k + 1}}}},} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} {\frac{{g({4^{2k + 1}}t)}}{{{2^{k + 1}}}}} } \right)."\]Die Funktion \(\Phi\) ist mindestens stetig, da die Summen lokal letztlich lineare Funktionen in \(t\) sind, wenn \(\infty\) durch \(\acute{\omega}\) ersetzt wird. Es ist aber ein Irrtum zu glauben, dass auf diese Weise [0, 1] bijektiv auf \({[0, 1]}^{2}\) abgebildet werden könne, da z. B. die Viererpotenzen in \(g\) und die von \(g\) angenommenen Werte 0 und 1 in zwei Teilintervallen für eine so starke Ausdünnung in \({[0, 1]}^{2}\) sorgen, dass von einer Bijektion keine Rede sein kann. Die Beschränkung eines Beweises auf rationale Punkte ist schlicht unzureichend.

Definition: Ein Punkt \(x (\curvearrowright x)\) einer Funktion \(f: A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) heißt Sprungstelle mit Sprung nach rechts (links) von \(s := |f(\curvearrowright x) - f(x)|\) nach oben (unten) oder umgekehrt, wenn \(s > 1/|{}^{\omega}\mathbb{N}^{*}|\) gilt.

Satz: Eine monotone Funktion \(f: [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) hat maximal \(|{}^{\omega}\mathbb{N}|| {}^{\omega}\mathbb{Z}^{*}| - 1\) Sprungstellen.

Beweis: Zwischen \(-|{}^{\omega}\mathbb{N}^{*}|\) und \(|{}^{\omega}\mathbb{N}^{*}|\) sind maximal \(|{}^{\omega}\mathbb{N}^{*}|| {}^{\omega}\mathbb{Z}^{*}|\), jenseits davon zusammengenommen maximal \(|{}^{\omega}\mathbb{Z}^{*}| - 1\) Sprungstellen mit Sprung von \(1/|{}^{\omega}\mathbb{N}^{*}|\) möglich. Wenn die Funktion außer an den Sprungstellen wie eine Treppenfunktion ihre Werte hält, folgt die Behauptung, wenn die Reste an den Enden der Zahlengerade \({}^{\omega}\mathbb{R}\) richtig berücksichtigt werden.\(\square\)

Bemerkung: Durch diesen Satz wird der von Froda richtiggestellt und präzisiert. Wenn wir \({}^{c}\) allen Mengen voranstellen, erhalten wir die Aussage für herkömmliche Mengen.

Definition: Die partielle Ableitung in Richtung \(\curvearrowright B {z}_{k}\) von \(F: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) in \(z = ({z}_{1}, ..., {z}_{n}) \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \(k \in [1, n]\mathbb{N}\) ist definiert als \[\frac{\partial B\,F(z)}{\partial B\,{{z}_{k}}}:=\frac{F({{z}_{1}},\,...,\,\curvearrowright B\,{{z}_{k}},\,...,\,{{z}_{n}})-F(z)}{\curvearrowright B\,{{z}_{k}}-{{z}_{k}}}.\]Gilt mit den Bezeichnungen von oben für eine Funktion \(f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\)\[f(z)=\left( \frac{F(\curvearrowright B{{z}_{1}},{{z}_{2}},...,{{z}_{n}})-F({{z}_{1}},...,{{z}_{n}})}{(\curvearrowright B{{z}_{1}}-{{z}_{1}})},...,\frac{F({{z}_{1}},...,{{z}_{n-1}},\curvearrowright B{{z}_{n}})-F({{z}_{1}},...,{{z}_{n}})}{(\curvearrowright B{{z}_{n}}-{{z}_{n}})} \right)=\left( \frac{\partial B{{F}_{1}}(z)}{\partial B{{z}_{1}}},\,\,...\,\,,\,\,\frac{\partial B{{F}_{n}}(z)}{\partial B{{z}_{n}}} \right)=grad{{B}_{\curvearrowright Bz}}\,F(z)\,=\,\nabla {{B}_{\curvearrowright Bz}}\,F(z),\]so heißt \(f(z)\) die exakte \(B\)-Nachfolger-Ableitung \({F'}_{\curvearrowright B z} B(z)\) bzw. der exakte \(B\)-Nachfolger-Gradient \({grad}_{\curvearrowright B z} F(z)\) in Richtung \(\curvearrowright B z\) in \(A\) der dann in Richtung \(\curvearrowright B z\) exakt \(B\)-differenzierbaren Funktion \(f\) in \(z\), sofern alle Quotienten in \({}^{(\omega)}\mathbb{K}\) existieren. Hierbei ist \(\nabla\) der Nabla-Operator. Gilt dies für alle \(z \in A\), so heißt \(F\) exakt \(B\)-differenzierbare \(B\)-Stammfunktion von \(f\). Im (herkömmlich) (unendlich) Reellen lassen sich linksseitige und rechtsseitige \(B\)-Stammfunktionen \({F}_{l}(x)\) und \({F}_{r}(x)\) mit \(x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) unterscheiden, je nachdem, ob es sich um die entsprechende \(B\)-Ableitung handelt.

Sind \(A\) oder \(\curvearrowright B z\) klar oder unwichtig, können sie weggelassen werden. Der herkömmlich Fall ergibt sich wie oben analog und wir sprechen im Fall \(n = 1\) für \(\curvearrowright B x > x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) von der rechtsseitigen exakten \(B\)-Ableitung \({F'}_{r}B(x)\) und für \(\curvearrowright B x < x\) von der linksseitigen exakten \(B\)-Ableitung \({F'}_{l}B(x)\). Stimmen die Ableitungen in allen Richtungen überein, so sprechen wir entsprechend von der exakten Ableitung \(F'B(z)\) (für \(A ={}^{c}\mathbb{C}\) und \(n = 1\) wird \(F\) herkömmlich als holomorph angesehen).

Bemerkung: Offenbar unterscheiden sich die B-Stammfunktionen einer Funktion untereinander nur durch einen (herkömmlich) (unendlich) komplexen bzw. (unendlich) reellen Summanden. \(B\)-Stammfunktionen unstetiger Funktionen können in der Regel nur durch Aufsummieren und geschicktes Zusammenfassen gewonnen werden, solche stückweiser \(\alpha B\)-stetiger Funktionen einfacher (z. B. durch Umkehrung der Ableitungsregeln).

Kettenregel: Für \(x \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}, B \subseteq {A}^{2}, f: A \rightarrow C \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}, D \subseteq {C}^{2}, g: C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) gilt, wenn wir \(f(\curvearrowright B x) = \curvearrowright D f(x)\) wählen,\[{g'}_{r}B(f(x)) = {g'}_{r}D(f(x)) {f'}_{r}B(x).\]Beweis:\[{{{g}'}_{r}}B(f(x))=\frac{g(f(\curvearrowright Bx))-g(f(x))}{f(\curvearrowright Bx)-f(x)}\frac{f(\curvearrowright Bx)-f(x)}{\curvearrowright Bx-x}=\frac{g(\curvearrowright Df(x))-g(f(x))}{\curvearrowright Df(x)-f(x)}{{{f}'}_{r}}B(x)={{{g}'}_{r}}D(f(x)){{{f}'}_{r}}B(x).\square\]Bemerkung: Die Kettenregel und folgende Regeln können wir analog in (unendlich) komplexe Mengen und in linksseitige exakte Ableitungen übertragen. Die Angabe von Mengen der Nachbarschaftsrelationen entfällt nachfolgend. Seien ferner \(f\) und \(g\) rechtsseitig exakt differenzierbare (unendlich) reelle Funktionen in \(x \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}\).

Produktregel: Es gilt\[(fg){'}_{r}(x) = {f'}_{r}(x) g(x) + f(\curvearrowright x) {g'}_{r}(x)= {f'}_{r}(x) g(\curvearrowright x) + f(x) {g'}_{r}(x).\]Beweis: Wir addieren und subtrahieren im Zähler \(f(\curvearrowright x) g(x)\) bzw. \(f(x) g(\curvearrowright x).\square\)

Quotientenregel: Seien die Nenner der folgenden Quotienten nicht 0. Dann gilt\[\left( \frac{f}{g} \right)_{r}^{\prime }(x)=\frac{{{{{f}'}}_{r}}(x)\,g(x)-f(x)\,{{{{g}'}}_{r}}(x)}{g(x)\,g(\curvearrowright x)}=\frac{{{{{f}'}}_{r}}(x)\,g(\curvearrowright x)-f(\curvearrowright x)\,{{{{g}'}}_{r}}(x)}{g(x)\,g(\curvearrowright x)}.\]Beweis: Wir addieren und subtrahieren im Zähler \(f(x) g(x)\) bzw. \(f(\curvearrowright x) g(\curvearrowright x)\).\(\square\)

Bemerkung: Damit die Produkt- und Quotientenregel so genau wie die herkömmliche ist, müssen die Argumente und Funktionswerte einer kleineren Unendlichkeitsstufe als \(1/d0\) angehören sowie \(f\) und \(g\) in \(x \in A\) hinreichend (\(\alpha\)-)stetig sein (d. h. \(\alpha\) muss klein genug sein), um \(\curvearrowright x\) durch \(x\) ersetzen zu können. Analoges gilt für infinitesimale Argumente.

Bemerkung: Die rechtsseitige exakte Ableitung der Umkehrfunktion ergibt sich zu\[{f}^{-1}{'}_{r}(y) = 1/{f'}_{r}(x)\]aus \(y = f(x)\) und der Identität \(x = {f}^{-1}(f(x))\) mithilfe der Kettenregel bei gleicher Genauigkeit. Die Regel von de l'Hospital ist für (\(\alpha\)-)stetige Funktionen \(f\) und \(g\) sinnvoll und ergibt sich für \(f(v) = g(v) = 0\) mit \(v \in A\) sowie \(g(\curvearrowright v) \ne 0\) aus\[\frac{f(\curvearrowright v)}{g(\curvearrowright v)}=\frac{f(\curvearrowright v)-f(v)}{g(\curvearrowright v)-g(v)}=\frac{{{{{f}'}}_{r}}(v)}{{{{{g}'}}_{r}}(v)}.\]

Bemerkung: Differenzierbarkeit ist also leicht herstellbar. Wir können im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall die exakte Ableitung alternativ auch überall da \[{{{F}'}_{b}}B(v)\,:=\,\frac{F(\curvearrowright B\,v)-F(\curvearrowleft B\,v)}{\curvearrowright B\,v-\curvearrowleft B\,v}\] setzen, wo der Quotient definiert ist. Dies bietet sich vor allem an, wenn \(\curvearrowright B v - v = v - \curvearrowleft B v\) ist und die zusammengefassten Ableitungen gleiches Vorzeichen haben, und hat den Vorteil, dass wir \({F'}_{b} \; B(v)\) eher als "Tangentensteigung" im Punkt \(v\) auffassen können, insbesondere wenn \(F \; \alpha B\)-stetig in \(v\) ist. Dies sorgt ferner für einfache Ableitungsregeln, zumal bei entgegengesetztem Vorzeichen der Ableitungswert 0 bestens geeignet ist (s. u.). Andernfalls bilden wir einfach das arithmetische Mittel der beiden exakten Ableitungen. Die Übertragung ins (herkömmlich) Komplexe erfolgt analog.

Definition: Es heißt mit \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) \[\int\limits_{z\in A}{f(z)dBz:=\sum\limits_{z\in A}{f(z)(\curvearrowright B\,z-z)}}\]das exakte \(B\)-Integral eines Vektorfeldes \(f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) in \(A\) und \(f(z)\) \(B\)-integrierbar. Ist hierfür mindestens ein Punkt aus \(A\) zu entfernen, so heißt das exakte \(B\)-Integral uneigentlich.
Für \(\gamma: [a, b[C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}, C \subseteq \mathbb{R}\) und \(f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) heißt\[\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta =}\int\limits_{t\in [a,b[C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}\]mit \(dDt > 0, \curvearrowright D t \in ]a, b]C\), wenn wir \(\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)\) wählen, wegen \(\zeta = \gamma(t)\) und \(dB\zeta = \gamma(\curvearrowright D t) - \gamma(t) = {\gamma'}_{\curvearrowright }D(t) dDt\) (also insbesondere für \(C = \mathbb{R}, B\) maximal in \(\mathbb{C}^{2}\) und \(D\) maximal in \(\mathbb{R}^{2})\) das exakte \(B\)-Kurvenintegral eines Vektorfeldes \(f\) längs des Weges \(\gamma\). Uneigentliche exakte \(B\)-Kurvenintegrale werden analog den exakten \(B\)-Integralen definiert, wobei wir dann Punkte jeweils nur von den Intervallenden von \([a, b[C\) entfernen dürfen.

Bemerkung: Das exakte Kurvenintegral stimmt auf \({}^{(c)}\mathbb{K}\) weitgehend mit herkömmlichen Kurvenintegralen überein; \(f\) muss jedoch nicht stetig sein und das eigentliche \(B\)-Kurvenintegral existiert immer. Offenbar ist das exakte \(B\)-Kurvenintegral linear und im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall monoton. Die Kunst des Integrierens besteht im korrekten Zusammenfassen der Summanden der definierenden Summe.

Definition: Für alle \(x \in V\) eines \(h\)-homogenen \(n\)-Volumens \(V \subseteq [{a}_{1}, {b}_{1}] \times...\times [{a}_{n}, {b}_{n}] \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit \(B = {B}_{1}\times...\times{B}_{n}, {B}_{k} \subseteq {[{a}_{k}, {b}_{k}]}^{2}\) und \(|{dB}_{k}{x}_{k}| = h\) für alle \(k \in [1, n]\mathbb{N}\) heißt\[\int\limits_{x\in V}{f(x){dBx}}:=\int\limits_{x\in V}{f(x)dB({{x}_{1}},\,...,{{x}_{n}})}:=\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{...\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{f(x)d{{B}_{1}}{{x}_{1}}\,...\,d{{B}_{n}}{{x}_{n}}}}\]das exakte \(B\)-Volumenintegral über eine dann \(B\)-volumenintegrierbare Funktion \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) mit \(f(x) := 0\) für alle \(x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \setminus V\). Uneigentliche exakte \(B\)-Volumenintegrale definieren wir analog den exakten \(B\)-Integralen.

Bemerkung: Aufgrund der Isomorphie von \(\mathbb{C}\) und \(\mathbb{R}^{2}\) gilt im Komplexen Entsprechendes und\[\int\limits_{x\in V}{dBx={{\mu }_{h}}(V)}.\]Bemerkung: Wie weiter unten beschrieben gibt es alternative Definitionen zum exakten Volumenintegral. Am einfachsten zu handhaben sind jedoch die ursprünglichen Definitionen. Ggf. bietet sich eine geeignete Landau-Notation an. Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches, so werde es durch die zu ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb des Definitionsbereiches ersetzt. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus allen diesen Zahlen oder wir wählen eine aus (z. B. nach einer einheitlichen Regel).

Beispiel: Sei \([a, b[h{}^{\omega}\mathbb{Z}\) eine nichtleere \(h\)-homogene Teilmenge von \([a, b[{}^{\omega}\mathbb{R}\) mit \(B \subseteq [a, b[h{}^{\omega}\mathbb{Z} \times ]a, b]h{}^{\omega}\mathbb{Z}\). Für \(h = 1/c\) und \(c = -a = b - h\) ist \([a, b[h {}^{\omega}\mathbb{Z}\) mit \({}^{c}\mathbb{R}\) vergleichbar. Sei ferner \({T}_{r}\) eine rechtsseitige \(B\)-Stammfunktion von einer in \([a, b[h{}^{\omega}\mathbb{Z}\) nicht notwendig konvergenten Taylorreihe \(t\) und \(f(x) := t(x) + {\varepsilon(-1)}^{x/h}\) mit herkömmlich reellen \(x\) und \(\varepsilon \ge 1/c\). Für \(h = 1/c\) ist \(f\) nirgends stetig und damit nirgends herkömmlich differenzierbar und integrierbar in \([a, b[h{}^{\omega}\mathbb{Z}\), aber es gilt exakt für alle \(h\)\[f_{r}^{\prime }B(x)=t_{r}^{\prime }B(x)-\frac{2\varepsilon {{(-1)}^{\tfrac{x}{h}}}}{dBx}\]und\[\int\limits_{x \in [a,b[h{}^{\omega }\mathbb{Z}}f(x)dBx={{T}_{r}}(b)-{{T}_{r}}(a)+\frac{\varepsilon }{2}\left( {{(-1)}^{\tfrac{a}{h}}}-{{(-1)}^{\tfrac{b}{h}}} \right).\]Beispiel: Das Intervall \(Q := [0, 1[\mathbb{Q}\) hat das Maß (vgl. Mengenlehre) \({\mu}_{d0}(Q) = \frac{1}{2}\). Sei die Funktion \(q: [0, 1[\rightarrow \{0, 1\}\) definiert durch \(q(x) = 1\) für \(x \in Q\) und \(q(x) = 0\) für \(x \in [0, 1[ \; \setminus \; Q\). Dann gilt\[\int\limits_{x\in Q}{q(x)dx=\sum\limits_{x=0}^{1}{q(x)dx}={\frac{1}{2}}}.\]Beispiel: Die Mitteldrittel-Cantormenge \({C}_{\frac{1}{3}}\) hat das Maß \({\mu}_{d0}({C}_{\frac{1}{3}}) = {(\frac{2}{3})}^{\acute{\omega}}\). Sei die Funktion \(c: [0, 1] \rightarrow \{0, {(\frac{2}{3})}^{-\acute{\omega}}\}\) definiert durch \(c(x) = {(\frac{2}{3})}^{-\acute{\omega}}\) für \(x \in {C}_{\frac{1}{3}}\) und \(c(x) = 0\) für \(x \in [0, 1] \setminus {C}_{\frac{1}{3}}\). Dann gilt\[\int\limits_{x \in {{C}_{\frac{1}{3}}}}{c(x)dx=\sum\limits_{x=0}^{1}{c(x)dx}}={{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-\acute{\omega}}}{{\mu }_{d0}}\left( {{C}_{}} \right)=1.\]Bemerkung: Die Mengen \(Q\) und \({C}_{\frac{1}{3}}\) sind herkömmlich nicht messbar. Damit ist das exakte Integral allgemeiner gültig als Riemann-, Lebesgue-(Stieltjes-)Integral und weitere Integrale, da die letzteren nur in herkömmlich messbaren Mengen existieren und Funktionswerte Werte überspringen können, die dann nicht gemessen werden. Die Funktionen wurden nur wegen der Anschaulichkeit so einfach gewählt und können natürlich komplizierter sein.

Definition: Eine Folge \(({a}_{k})\) mit Folgengliedern \({a}_{k}\) ist eine Abbildung von \({}^{(\omega)}\mathbb{Z}\) nach \({}^{(\omega)}\mathbb{C}^{m}: k \mapsto {a}_{k}\). Eine Reihe ist eine Folge \(({s}_{k})\) mit \(m \in {}^{(\omega)}\mathbb{Z}\) und den Partialsummen\[{{s}_{k}}=\sum\limits_{j=m}^{k}{{{a}_{j}}}.\]

Bemerkung: Damit ist insbesondere der Riemannsche Umordnungssatz ungültig, da wir beim Aufsummieren positiver Summanden zu einem angestrebten Wert so viele negative zu addieren gezwungen sind, bis wir wieder die ursprüngliche Reihensumme erreichen und umgekehrt. Bei einem kleineren bzw. größeren Wert als der Summe der positiven bzw. negativen Summanden gilt das Gleiche, da der Rest nahezu annulliert wird usf. Wollen wir Irrwege vermeiden, darf mit der Unendlichkeit nicht willkürlich umgegangen werden. Wer etwas in die Unendlichkeit verlagert, darf dessen Existenz nicht vernachlässigen.

Bemerkung: Da Summen aufgrund des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes beliebig umsummiert werden dürfen, wenn korrekt (mit den Landau-Symbolen) gerechnet wird, ergibt sich für exakte B-Volumenintegrale der

Satz von Fubini: Für \(X, Y \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt mit \(f: X\times Y \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\)\[\int\limits_{Y}{\int\limits_{X}{f(x,\,y)dBx\,}dBy}=\int\limits_{X\times Y}{f(x,\,y)dB(x,\,y)}=\int\limits_{X}{\int\limits_{Y}{f(x,\,y)dBy\,}dBx}.\]Beweis: Umordnen der den obigen Integralen entsprechenden Summen.\(\square\)

Beispiel: Wegen\[\int\limits_{[a,\,b[\times [r,\,s[}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{{d}^{2}}(x,\,y)}=\int\limits_{a}^{b}{\left. \frac{ydx}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|_{r}^{s}}=-\int\limits_{r}^{s}{\left. \frac{xdy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|_{a}^{b}}=\arctan \frac{s}{b}-\arctan \frac{r}{b}+\arctan \frac{s}{a}-\arctan \frac{r}{a}\]erhalten wir gemäß dem Spätesteinsetzungsprinzip (s. u.) das ggf. uneigentliche Integral\[I(a,b):=\int\limits_{[a,\,b{{[}^{2}}}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{{d}^{2}}(x,\,y)}=\arctan \frac{b}{b}-\arctan \frac{a}{b}+\arctan \frac{b}{a}-\arctan \frac{a}{a}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=0\]und nicht\[I(0,1)=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}dy\,dx}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}=\frac{\pi }{4}\ne -\frac{\pi }{4}=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{dy}{1+{{y}^{2}}}}=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}dx\,dy}}=I(0,1).\]Endlichkeitskriterium für Reihen: Die euklidische Norm der Partialsumme mit dem größten Index max \(k\) einer Reihe \(({s}_{k})\) für natürliche \(k\) und \(j\) ist genau dann endlich, wenn\[\left\| {{s}_{\max k}} \right\|=\sum\limits_{j=0}^{\max j}{{{\left( -1 \right)}^{j}}{{d}_{j}}}\]für eine monoton fallende Folge \(({d}_{j}) \in {}^{c}\mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt.

Beweis: Die Summe ist nach unten durch 0 und nach oben durch \({d}_{0}\) beschränkt. Die Behauptung folgt direkt aus der Möglichkeit beliebig umzusummieren, Summanden nach Größe und Vorzeichen zu sortieren, zusammenzufassen bzw. in Summen aufzuspalten.\(\square\)

Beispiel: Aus der alternierenden harmonischen Reihe folgt

\[\sum\limits_{k=1}^{2\left\lfloor \acute{\omega}/2 \right\rfloor }{{{\left( -1 \right)}^{k}}}\left(\acute{\omega}-\tfrac{1}{k} \right)+\frac{1-{{\left( -1 \right)}^{\acute{\omega}}}}{2}=\ln 2.\]Definition: Folgende Umsummierung mit \({a}_{j}, {b}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) ergibt das Reihenprodukt und korrigiert das Cauchy-Produkt:\[\sum\limits_{j=1}^{\acute{\omega}}{{{a}_{j}}}\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{{{b}_{k}}}=\sum\limits_{j=1}^{\acute{\omega}}{\left( \sum\limits_{k=1}^{j}{\left( {{a}_{k}}{{b}_{j-k+1}}+{{a}_{\acute{\omega}-k+1}}{{b}_{\acute{\omega}-j+k}} \right)}-{{a}_{j}}{{b}_{\acute{\omega}-j+1}} \right)}.\]Beispiel: Für folgendes Reihenprodukt gilt (vgl. [763], S. 61 f.):\[{{\left( \sum\limits_{j=1}^{\acute{\omega}}{\tfrac{{{(-1)}^{j}}}{\sqrt{j}}} \right)}^{2}}=\sum\limits_{j=1}^{\acute{\omega}}{\left( \tfrac{{{(-1)}^{\acute{\omega}}}}{\sqrt{j(\acute{\omega}-j+1)}}-\sum\limits_{k=1}^{j}{\left( \tfrac{{{(-1)}^{j}}}{\sqrt{k(j-k+1)}}+\tfrac{{{(-1)}^{j}}}{\sqrt{(\acute{\omega}-k+1)(\acute{\omega}-j+k)}} \right)} \right)}={{\left( \left( \sqrt{2}-1 \right)\zeta \left( \tfrac{1}{2} \right) \right)}^{2}}.\]Beispiel: Mit der Signumfunktion \(sgn\) gilt für folgendes Reihenprodukt (vgl. [763], S. 62):\[\sum\limits_{j=0}^{\acute{\omega}}{{{2}^{{{j}^{sgn(j)}}}}}\sum\limits_{k=0}^{\acute{\omega}}{sgn(k-\gamma )}=(\acute{\omega}-1){{2}^{\acute{\omega}+1}}\gg -2.\]

Definition: Eine Folge \(({a}_{k})\) mit \(k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}, {a}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und \(\alpha \in ]0, 1/c]\) heißt \(\alpha\)-konvergent gegen \(a \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\), wenn es ein \(m \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}\) gibt, sodass \(|{a}_{k} - a| < \alpha\) für alle \({a}_{k}\) mit \(k \ge m\) und nicht zu kleiner Differenz max \(k - m\) gilt. Die Menge \(\alpha\)-\(A\) aller solchen \(a\) wird als \(\alpha\)-Grenzwertmenge von \(({a}_{k})\) bezeichnet, der aus ihr zweckmäßig (z. B. als letzter oder Mittelwert) bestimmte eindeutige Repräsentant als \(\alpha\)-Grenzwert \(\alpha\)-\(a\). Für speziell \(a = 0\) sprechen wir von einer Nullfolge. Gilt die Ungleichung lediglich für \(\alpha = 1/c\), so wird \(\alpha\)- weggelassen.

Bemerkung: In der Regel werden wir \(k\) maximal und \(\alpha\) minimal wählen. Die herkömmlichen Grenzwerte sind oft nicht genauer als \(\mathcal{O}(1/\acute{\omega})\) und im Allgemeinen zu ungenau, da sie z. B. (willkürlich) algebraisch (von einem bestimmten Grad) oder transzendent sind. Die herkömmliche Formulierung, dass sich stets unendlich viele bzw. fast alle Folgenglieder mit beliebig kleinem Abstand zum Grenzwert und nur endlich viele mit größerem finden lassen, müsste in der Definition der herkömmlichen Konvergenz ergänzt werden, da sie sonst für jede Folge gilt, bei der nur der größte Index als relevant betrachtet wird (vgl. [813], S. 144), und erst dann gilt das Monotonieprinzip (vgl. a. a. O. S. 155).

Bemerkung: Die Aussage, dass sich jede positive Zahl durch einen völlig eindeutig bestimmten unendlichen Dezimalbruch darstellen ließe, ist aufgrund des Hauptsatzes der Mengenlehre haltlos (vgl. S. 27 f.). Darüber hinaus sind alle Beweise falsch, die für \(\varepsilon \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) - insbesondere durch die Formulierung für alle herkömmlich reellen \(\varepsilon > 0\) - behaupten, dass eine reelle Zahl \(\varepsilon/r\) mit reellem \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>1}\) existiere, weil wir einfach \(\varepsilon := \; \curvearrowright 0\) setzen können bzw. in einen infiniten Regress geraten. Daher muss bei der \(\varepsilon\delta\)-Definition des Grenzwertes (fragliche Existenz von \(\delta\), S. 235 f.) und damit bei der \(\varepsilon\delta\)-Definition der Stetigkeit (vgl. S. 215) (betrachte etwa die reelle Funktion, die jeden reellen Wert verdoppelt und dann noch nicht einmal gleichmäßig stetig ist) \(\varepsilon\) auf ein gewisses ganzzahliges Vielfaches von \(\curvearrowright 0\) beschränkt werden.

Bemerkung: Wir brauchen gleichmäßige Stetigkeit nicht zu betrachten, da wir generell \(\delta := \; \curvearrowright 0\) und \(\varepsilon\) entsprechend größer setzen können. Wenn die Bedingungen für zwei Funktionswerte nicht erfüllt sind, dann ist die Funktion dort auch nicht stetig. Also ist Stetigkeit mit gleichmäßiger Stetigkeit äquivalent, wenn wir von allen gültigen infinitesimalen \(\varepsilon\) das größte auswählen. Die Äquivalenz zur Hölder-Stetigkeit ist ebenso leicht zu zeigen, sofern wir ggf. eine transreelle Konstante zulassen. Das Gleiche gilt für gleichmäßige Konvergenz, da wir als den alles erfüllenden Index das Maximum der Indizes wählen können, der für jedes Argument gilt, wobei \(\acute{\omega}\) in jedem Fall ausreichen sollte. Ist dies für ein Argument nicht der Fall, ist dort auch keine punktweise Konvergenz gegeben. Also ist gleichmäßige Konvergenz mit der punktweisen äquivalent, wenn wir von allen gültigen infinitesimalen \(\varepsilon\) das größte auswählen.

Bemerkung: Die Definition der reellen Zahlen durch Dedekindsche Schnitte ist daher ebenso ungeeignet wie durch die Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen (vgl. S. 29 ff.). Die herkömmliche Differentiation und Integration verwischen durch herkömmliche Grenzwertbildung die genaue Unterscheidung von Transzendenz und Algebraizität. Dies ist z. B. für die exakte Bestimmung von Nullstellen problematisch. Die vorstehenden Bemerkungen verdeutlichen, dass wir die herkömmliche Analysis in der bestehenden Form nicht aufrecht erhalten können. Deswegen gehen wir hier einen anderen (genaueren) Weg.

Beispiele (vgl. S. 540 - 543 mit jeweils \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und \(x \in [0, 1])\):

1. Die Folge \({f}_{n}(x) = sin(nx)/\sqrt{n}\) strebt für \(n \rightarrow \acute{\omega}\) nicht gegen \(f(x) = 0\), sondern gegen \(f(x) = sin(\acute{\omega}x)/\sqrt{\acute{\omega}}\) mit der (stetigen) Ableitung \(f'(x) = cos(\acute{\omega}x) \sqrt{\acute{\omega}}\) statt \(f'(x) = 0\).

2. Die Folge \({f}_{n}(x) = x - x^{n}/n\) strebt für \(n \rightarrow \acute{\omega}\) nicht gegen \(f(x) = x\), sondern gegen \(f(x) = x - {x}^{\acute{\omega}}/\acute{\omega}\) mit der (stetigen) Ableitung \(f'(x) = 1 - {x}^{\acute{\omega}-1}\) statt \(f'(x) = 1\). Herkömmlich ist \({f}_{n}(x) = 1 - {x}^{n-1}\) unstetig im Punkt \(x = 1\).

3. Die Folge \({f}_{n}(x) = ({n}^{2}/2 - |{n}^{3}(x - 1/(2n))|)(1 - sgn(x - 1/n))\) (oder mit stetig differenzierbaren Funktionen ausgedrückt\[{{f}_{n}}(x)=\left\{ \begin{matrix} 2{{n}^{3}}x \\ 2{{n}^{2}}-2{{n}^{3}}x \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \,\,f\ddot{u}r\,x\in \left[ 0,\tfrac{1}{2n} \right] \\ \,\,f\ddot{u}r\,x\in \left] \tfrac{1}{2n},\tfrac{1}{n} \right] \\ f\ddot{u}r\,x\in \left] \tfrac{1}{n},1 \right] \\ \end{matrix} \right.\,\]strebt für \(n \rightarrow \acute{\omega}\) nicht generell gegen 0, sondern gegen verschiedene Werte in Abhängigkeit von \(x\) (ersetze \(n\) durch \(\acute{\omega}\) in \({f}_{n}(x))\). Ferner gilt\[\int\limits_{x \in [0,1[} {{f_n}dx} = \frac{n}{2}\]und\[\int\limits_{x\in [0,1[}{fdx}=\frac{\acute{\omega}}{2}\]statt\[\int\limits_{x \in [0,1[} {fdx} = 0\]wegen angeblich \(f(x) = 0\).

4. Die Folge \({f}_{n}(x) = (n/2 - |{n}^{2}(x - 1/(2n))|)(1 - sgn(x - 1/n))\) (oder mit stetig differenzierbaren Funktionen ausgedrückt\[{{f}_{n}}(x)=\left\{ \begin{matrix} 2{{n}^{2}}x \\ 2n-2{{n}^{2}}x \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \,\,f\ddot{u}r\,x\in \left[ 0,\tfrac{1}{2n} \right] \\ \,\,f\ddot{u}r\,x\in \left] \tfrac{1}{2n},\tfrac{1}{n} \right] \\ f\ddot{u}r\,x\in \left] \tfrac{1}{n},1 \right] \\ \end{matrix} \right.\,\]strebt für \(n \rightarrow \acute{\omega}\) nicht generell gegen 0, sondern gegen verschiedene Werte in Abhängigkeit von \(x\) (ersetze \(n\) durch \(\acute{\omega}\) in \({f}_{n}(x)\)). Ferner gilt\[\int\limits_{x \in [0,1[} {{f_n}dx} = \int\limits_{x \in [0,1[} {fdx} = {\textstyle{1 \over 2}}\]statt\[\int\limits_{x \in [0,1[} {fdx} = 0\]wegen angeblich \(f(x) = 0\).

5. Die Folge \({f}_{n}(x) = nx(1 - x)^{n}\) strebt für \(n \rightarrow \acute{\omega}\) nicht gegen \(f(x) = 0\), sondern gegen die stetige Funktion \( f(x) = {\acute{\omega}x(1 - x)}^{\acute{\omega}}\) und nimmt für \(x = 1/\acute{\omega}\) den Wert \(1/e\) an.

Diese fünf Beispiele zeigen hier die Überlegenheit der Nichtstandardanalysis und die Stärke der Verwendung infinitesimaler bzw. unendlicher Werte.

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion\[F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }\]ist mit \(\gamma: [c, x[C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, c \in [a, b[C\), wenn wir \(\curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x)\) wählen, exakt \(B\)-differenzierbar und es gilt für alle \(x \in [a, b[C\) und \(z = \gamma(x)\)\[F' \curvearrowright B(z) = f(z).\]Beweis:\[dB(F(z))=\int\limits_{t\in [d,x]C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}=f(\gamma (x)){{{\gamma }'}_{\curvearrowright }}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square\]Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit \(\gamma: [a, b[C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\)\[ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\]Beweis:\[F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))}=\int\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\square\]Korollar: Für einen geschlossenen Weg \(\gamma\) gilt mit den Voraussetzungen von oben\[\oint\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta :=}\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }=0,\]wenn \(f\) eine Stammfunktion \(F\) auf \(\gamma\) besitzt.\(\square\)

Bemerkung: In beiden Hauptsätzen ergibt sich der herkömmlich reelle Fall wie oben analog. Für \(u, v \in [a, b[C, u \ne v\) und \(\gamma(u) = \gamma(v)\) ist \(\curvearrowright B \gamma(u) \ne \; \curvearrowright B \gamma(v)\) erlaubt. Beachtenswert ist, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Eigentliches Integrieren (als Umkehrung der Ableitung) macht nur für stetige Funktionen Sinn, wenn es über bloßes Summieren hinausgehen soll. Können wir jedoch Funktionswerte zu endlich vielen stetigen Funktionen zusammenfassen, für deren jede die Stammfunktion in endlicher Zeit angegeben werden kann, lässt sich auch das Integral für unstetige Funktionen so berechnen, ggf. unter Verwendung der Euler-Maclaurinschen Summenformel und weiterer Vereinfachungstechniken.

Definition: Das verschärfte (rechtsseitige) exakte B-Integral nach der Trapezregel ist definiert durch\[\int\limits_{z\in A}^{=}{f(z)dBz:=\sum\limits_{z\in A}{\frac{(f(z)+f(\curvearrowright B\,z))}{2}(\curvearrowright B\,z-z)}}.\]Das verschärfte (rechtsseitige) exakte B-Integral nach der Mittelpunktsregel ist - die Existenz von \((z + \curvearrowright B z)/2\) vorausgesetzt - definiert durch\[\int\limits_{z\in A}^{\doteq }{f(z)dBz:=\sum\limits_{z\in A}{f\left( \frac{z\,+\curvearrowright Bz}{2} \right)(\curvearrowright B\,z-z)}}.\]Bemerkung: Da diese verschärften exakten \(B\)-Integrale offenbar unabhängig von der Durchlaufungsrichtung sind, werden durch ihren (impliziten) Einsatz Sätze gerechtfertigt, in denen sich Integrationsergebnisse bei entgegengesetztem Durchlaufen gerade aufheben sollen wie z. B. der Satz von Green (s. u.). Im ersten Hauptsatz wird die Ableitung \(dB(F(z))/dBz\) verschärft zum arithmetischen Mittel \((f(z) + f(\curvearrowright B z))/2\) bzw. zu \((f(z + \curvearrowright B z)/2)\), im zweiten Hauptsatz \(F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\) zu \((F(\gamma(b)) + F(\curvearrowleft B \gamma(b)))/2 - (F(\gamma(a)) + F(\curvearrowright B \gamma(a)))/2\) bzw. zu \(F((\gamma(b) + \curvearrowleft B \gamma(b))/2) - F((\gamma(a) + \curvearrowright B \gamma(a))/2)\), wobei sich im hinreichend \(\alpha\)-stetigen Fall von \(f\) bzw. von \(F\) am Rand nahezu die ursprünglichen Resultate ergeben. Da das exakte \(B\)-Integral nach einer Rechteckregel definiert ist, ergeben sich insgesamt entsprechende Fehlerabschätzungen zur exakten Integration (s. Literatur zur Numerischen Mathematik).

Leibnizsche Differentiationsregel: Für \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n+1} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright B x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T}\) und \(s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}\) gilt, wenn wir \(\curvearrowright D a(x) = a(\curvearrowright B x)\) und \(\curvearrowright D b(x) = b(\curvearrowright B x)\) wählen,\[\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\]Beweis:\[\begin{aligned}\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right) &={\left( \int\limits_{a(\curvearrowright Bx)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\;={\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{(f(\curvearrowright Bx,t)-f(x,t))dDt}+\int\limits_{b(x)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{a(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\; \\ &=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\square\end{aligned}\]Anmerkung: Hierbei wird im Komplexen über einen Weg integriert, dessen Anfangs- und Endpunkt die Integralgrenzen bilden. Ist \(\curvearrowright D a(x) \ne a(\curvearrowright B x)\), so ist der letzte Summand mit \((\curvearrowright D a(x) - a(x))/(a(\curvearrowright B x) - a(x))\) und ist \(\curvearrowright D b(x) \ne b(\curvearrowright B x)\), so ist der vorletzte Summand mit \((\curvearrowright D b(x) - b(x))/(b(\curvearrowright B x) - b(x))\) zu multiplizieren.

Zwischenwertsatz: Sei \(f: [a, b] \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} \; \alpha\)-stetig in \([a, b]\). Dann nimmt \(f(x)\) für \(x \in [a, b]\) jeden Wert zwischen min \(f(x)\) und max \(f(x)\) mit einer Genauigkeit \(< \alpha\) an. Ist \(f\) in \({}^{\omega}\mathbb{R}\) stetig, nimmt es jeden Wert von \({}^{c}\mathbb{R}\) zwischen min \(f(x)\) und max \(f(x)\) an.

Beweis: Zwischen min \(f(x)\) und max \(f(x)\) existiert eine lückenlose Kette von sich überlappenden \(\alpha\)-Umgebungen mit jeweils \(f(x)\) als Mittelpunkt, da sonst ein Widerspruch zur \(\alpha\)-Stetigkeit von \(f\) entstünde. Der zweite Teil der Behauptung folgt aus der Tatsache, dass eine Abweichung \(|f(\curvearrowright x) - f(x)| < 1/c\) bzw. \(|f(x) - f(\curvearrowleft x)| < 1/c\) in \({}^{c}\mathbb{R}\) die herkömmlich maximal zugelassene Auflösung unterschreitet.\(\square\)

Definition: Die Ableitung einer Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) definieren wir genau dann als 0, wenn 0 im Intervall mit den Grenzen der links- und rechtsseitigen exakten Ableitung liegt.

Beispiel: Die (2\(d0\))-stetige Funktion \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R} \rightarrow \{0, d0\}\) mit\[f(x):=\left( \frac{{{(-1)}^{x/d0}}+1}{2} \right)d0\]besteht nur aus den lokalen Minima 0 und den lokalen Maxima \(d0\) und hat nur die (links- bzw. rechtsseitigen) exakten Ableitungen \(\pm 1\).

Definition: Es sei \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}\). Dann heißt\[\frac{d_{\curvearrowright B\,z}^{2}Bf(z)}{{{(d\curvearrowright B\,z)}^{2}}}:=\frac{f(\curvearrowright B(\curvearrowright B\,z))-2f(\curvearrowright B\,z)+f(z)}{{{(d\curvearrowright B\,z)}^{2}}}\]die zweite Ableitung in Richtung \(\curvearrowright B z\) von \(f\) in \(z \in A\).

Bemerkung: Höhere Ableitungen werden analog definiert. Jede Anzahl \({k}_{j} \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) für \(j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) der durchgeführten Ableitungen nach der \(j\)-ten Variable wird als Exponent hinter dieser notiert. Ist \(j \ge 2\), heißen die Ableitungen partiell und wir ersetzen \(d\) durch \(\partial\). Der im Zähler anzugebende Exponent ist die Summe aller \({k}_{j}\). Taylor-Reihen sind wegen des approximativen und Konvergenzverhaltens nur für \(\acute{\omega}\)-fach \(\alpha\)-stetig differenzierbare Funktionen sinnvoll.

Vertauschungssatz: Das Ergebnis mehrfacher partieller Ableitungen einer Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) ist unabhängig von der Reihenfolge, solange erst zum Schluss Variablen durch Werte ersetzt oder Grenzwerte gebildet werden, falls erforderlich (Spätesteinsetzungsprinzip).

Beweis: Die Ableitung ist eindeutig bestimmt: Bis zur zweiten Ordnung ist dies klar, für höhere Ordnungen folgt die Behauptung durch vollständige (transfinite) Induktion.\(\square\)

Beispiel: Sei \(f: {}^{\omega}\mathbb{R}^{2} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) gegeben durch \(f(0, 0) = 0\) und \(f(x, y) = {xy}^{3}/({x}^{2} + {y}^{2})\) sonst. Dann gilt:\[\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{y^6} + 6{x^2}{y^4} - 3{x^4}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^3}}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}\]mit Wert \(\frac{1}{2}\) an der Stelle (0, 0), obwohl in\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{{y^5} - {x^2}{y^3}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} \ne \frac{{x{y^4} + 3{x^3}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\]für \(x = 0\) links \(y\) und für \(y = 0\) rechts 0 steht, d. h. dann ergibt links die partielle Ableitung nach \(y\) den Wert \(1 \ne 0\), welches die partielle Ableitung nach \(x\) rechts ist.

Satz: Genau dann, wenn \(F: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit der Aufspaltung in Real- und Imaginärteil \(F(z) := U(z) + i V(z) := f(x, y) := u(x, y) + i v(x, y)\), infinitesimalem \(h = |dBx| = |dBy|, h\)-homogenem \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}\), der Nachbarschaftsrelation \(B \subseteq {A}^{2}\) für alle \(z = x + i y \in A\) holomorph und\[r(h):=\frac{{\partial{}^{2}}Bf(x,y)}{\partial Bx\partial By\,}h\]infinitesimal ist, gelten die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen\[\frac{{\partial Bu}}{{\partial Bx}} = \frac{{\partial Bv}}{{\partial By}},\,\,\frac{{\partial Bv}}{{\partial Bx}} = - \frac{{\partial Bu}}{{\partial By}},\]wenn \(B\) sowohl für \(\curvearrowright\) als auch für \(\curvearrowleft\) gilt.

Beweis: Da mit\[\begin{aligned}F'B(z) &= \frac{{F(z \pm \partial Bx) - F(z)}}{{\pm \partial Bx}} = \frac{{F(z \pm i\partial By) - F(z)}}{{\pm i\partial By}} = \frac{{F(z + dBz) - F(z)}}{{dBz}} = \frac{{\partial Bu}}{{\partial Bx}} + i\frac{{\partial Bv}}{{\partial Bx}} = \frac{{\partial Bv}}{{\partial By}} - i\frac{{\partial Bu}}{{\partial By}} = \frac{{u(x \pm \partial Bx,y) + i\,v(x \pm \partial Bx,y) - u(x,y) - i\,v(x,y)}}{{\pm \partial Bx}} \\ &= \frac{{u(x,y \pm \partial By) + i\,v(x,y \pm \partial By) - u(x,y) - i\,v(x,y)}}{{\pm i\partial By}} = \frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} = - i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} - i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}}} \right) = \frac{{\partial BF}}{{\partial Bz}}\end{aligned}\]und \(dBz = dBx + i dBy\) alle in \(A\) definierten Ableitungen gegeben sind und da wegen\[\begin{aligned}&u(\curvearrowright Bx,y)-u(x,y)+u(x,\curvearrowright By)-u(x,y)+u(\curvearrowright Bx,\curvearrowright By)-u(\curvearrowright Bx,y)-u(x,\curvearrowright By)+u(x,y) =u(\curvearrowright Bx,\curvearrowright By)-u(x,y) \\ &=\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial Bx}dBx+\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial By}dBy+\frac{\partial Bu(\curvearrowright Bx,y)}{\partial By}dBy-\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial By}dBy =\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial Bx}dBx+\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial By}dBy+\frac{{{\partial}^{2}}Bu(x,y)}{\partial Bx\partial By}dBxdBy=dBU(z)\end{aligned}\]
mit den analogen Formeln für \(v\) wie auch für \(\curvearrowleft\) \[F'B(z)\,dBz = dBF(z) = dBU(z) + i\,dBV(z) = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial Bu}}{{\partial Bx}}}{\,\frac{{\partial Bu}}{{\partial By}}}\\{i\,\frac{{\partial Bv}}{{\partial Bx}}}{i\frac{{\partial Bv}}{{\partial By}}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{dBx}\\{dBy}\end{array}} \right) + \frac{{{\partial ^2}Bf(x,y)}}{{\partial Bx\partial By}}dBxdBy\]gilt, dessen letzter Summand genau unter der genannten Bedingung vernachlässigt werden kann, ergibt sich die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Der letzte Summand ist insbesondere vernachlässigbar, wenn \(f\) stetig ist. Aus den Gleichungen für \(F'B(z)\) ergibt sich dann die notwendige und hinreichende Bedingung für die Holomorphie von \(F\)\[F'B(\bar z) = \frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} = i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} + i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}}} \right) = \frac{{\partial BF}}{{\partial B\bar z}} = 0.\]Definition: Für die gegenläufige Integration über identische Wege in positiver und negativer Umlaufrichtung wird als Gegenläufigkeitsregel für Integrale vereinbart, dass in negativer Umlaufrichtung der Funktionswert für den Nachfolger des Arguments auszuwählen ist, sodass der Wert des Integrals über beide Richtungen gerade 0 ist.

Bemerkung: Die Gegenläufigkeitsregel ist erforderlich, weil die zugehörigen Integrale da, wo wir den Wert 0 erwarten würden, sonst einen anderen (signifikanten) Wert haben können.

Gegenläufigkeitssatz: Durchläuft der Weg \(\gamma: [a, b[C \rightarrow V\) mit \(C \subseteq \mathbb{R}\) die Kanten aller \(n\)-Würfel mit der Seitenlänge \(d0\) im \(n\)-Volumen \(V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\) genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der \(n\)-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für \(D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x\) und \({V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}\) \[\int\limits_{t \in [a,b[C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[C, \\ \gamma | {\partial{}^{n-1}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}.\]Beweis: Betrachten wir zwei beliebige Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge \(d0\), die in einer Ebene liegen, so werden nur die Kanten von \(V\times{V}_{\curvearrowright}\) nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in \({\partial}^{n-1}V.\square\)

Bemerkung: Definition und Satz lassen sich unschwer ins Komplexe übertragen.

Satz von Green: Für die Nachbarschaftsrelationen \(B \subseteq {A}^{2}\) mit einfach zusammenhängender \(h\)-Menge \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}\), infinitesimalem \(h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\omega}^{-m})\), hinreichend großem \(m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A, {A}^{-} := {(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A}\), einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg \(\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A\), wenn wir \(\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)\) wählen, gilt mit \(t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2}\) und hinreichend \(\alpha\)-stetigen Funktionen \(u, v: A \rightarrow \mathbb{R}\) mit (nicht notwendig stetigen) partiellen Ableitungen \(\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx\) und \(\partial Bv/\partial By\)\[\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.\]Beweis: O. B. d. A. werde der Beweis nur für \(A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) geführt, da er für das jeweils um 90° gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende \(h\)-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur\[\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}\]gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von \(\gamma\) mit \(dBx = 0\) zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem \(t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))\)\[-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square\]Bemerkung: Die Wahl von \(m\) hängt von der Anzahl der benötigten Mengen der im Beweis genannten Typen ab, deren Vereinigung die einfach zusammenhängende \(h\)-Menge ergibt.

Integrallemma von Goursat: Ist \(f\) in einem Dreieck \(\Delta \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) holomorph und hat \(f\) dort keine Stammfunktion, so gilt\[I:=\int\limits_{\partial \Delta }{f(\zeta )dB\zeta }=0.\]Widerlegung bestimmter herkömmlicher Beweise durch Abschätzung mit einer vollständigen Triangulierung: Der Umlaufsinn von \(\partial\Delta\) ist anscheinend unerheblich. Wird \(\Delta\) vollständig trianguliert, dann muss für jedes minimale Teildreieck \({\Delta}_{s} \subseteq \Delta\) o. B. d. A. entweder\[{I_s}: = \int\limits_{\partial {\Delta _s}} {f(\zeta )dB\zeta } = f({z_1})({z_2} - {z_1}) + f({z_2})({z_3} - {z_2}) + f({z_1})({z_1} - {z_3}) = (f({z_1}) - f({z_2}))({z_2} - {z_3}) = 0\]oder\[\begin{aligned}\int\limits_{\partial {\Delta _s}} {f(\zeta )dB\zeta } &= f({z_1})({z_2} - {z_1}) + f({z_2})({z_3} - {z_2}) + f({z_3})({z_1} - {z_3}) = (f({z_1}) - f({z_2})){z_2} + (f({z_2}) - f({z_3})){z_3} + (f({z_3}) - f({z_1})){z_1}\\ &= f'({z_2})\left( {({z_1} - {z_2}){z_2} - ({z_3} - {z_2}){z_3} + ({z_3} - {z_2}){z_1} - ({z_1} - {z_2}){z_1}} \right) = f'({z_2})\left( {({z_3} - {z_2})({z_1} - {z_3}) - {{({z_1} - {z_2})}^2}} \right) = 0\end{aligned}\]mit den Ecken \({z}_{1}, {z}_{2}\) und \({z}_{3}\) von \({\Delta}_{s}\) gelten. Aufgrund der Holomorphie bzw. zyklischen Vertauschung kann dies nur für \(f({z}_{1}) = f({z}_{2}) = f({z}_{3})\) eintreten. Beziehen wir alle angrenzenden Teildreiecke in \(\Delta\) ein, muss \(f\) also im Widerspruch zur Voraussetzung konstant sein. Denn da der Term in der großen Klammer translationsinvariant ist, könnten wir sonst o. B. d. A. \({z}_{3} := 0\) setzen, und dieser Term wäre nur dann 0, wenn \({z}_{1} = {z}_{2}(1 \pm i\sqrt{3})/2\) mit \(|{z}_{1}| = |{z}_{2}| = |{z}_{1} - {z}_{2}|\) gilt. Da jedoch jede horizontale und vertikale Gerade in \({}^{(\omega)}\mathbb{C}\) homogen ist, kann dies nicht sein, weil das zugehörige Teildreieck dann gleichseitig und nicht gleichschenklig und rechtwinklig wäre. Also ist \(|{I}_{s}|\) in beiden Fällen mindestens \(|f'({z}_{2}) \mathcal{O}({d0}^{2})|\), wenn wir o. B. d. A. die Ecken 0, \(|d0|\) und \(i|d0|\) wählen. Gibt \(L\) den Umfang eines Dreiecks an, so gilt einerseits \(|I| \le {4}^{m} |{I}_{s}|\) mit unendlich natürlichem \(m\) und andererseits \({2}^{m} = L(\partial\Delta)/|\mathcal{O}({d0}^{2})|\) wegen \(L(\partial\Delta) = {2}^{m} L(\partial{\Delta}_{s})\) und \(L(\partial{\Delta}_{s}) = |\mathcal{O}({d0}^{2})|\). Also gilt \(|I| \le |f'({z}_{2}) {L(\partial\Delta)}^{2}/\mathcal{O}({d0}^{2})|\), sodass die gewünschte Abschätzung \(|I| \le |\mathcal{O}(dB\zeta)|\) misslingt, wenn \(|f'({z}_{2}) {L(\partial\Delta)}^{2}|\) etwa größer als \(|\mathcal{O}({d0}^{2})|\) ist.\(\square\)

Cauchyscher Integralsatz: Für die Nachbarschaftsrelationen \(B \subseteq {A}^{2}\) und \(D \subseteq [a, b]\) mit einer einfach zusammenhängenden \(h\)-Menge \(A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\), infinitesimalem \(h\) sowie einer holomorphen Funktion \(f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C}\) und einem geschlossenen Weg \(\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A\), wenn wir \(\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)\) mit \(t \in [a, b[\) wählen, gilt\[\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0.\]Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit \(x := Re \, z, y := Im \, z, u := Re \, f, v := Im \, f\) und \({A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\}\)\[\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square\]Fundamentalsatz der Algebra: Für jedes nicht-konstante Polynom \(p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) gibt es ein \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit \(p(z) = 0\).

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen können wir \(1/p(0) \ne \mathcal{O}(d0)\) erreichen. Wir nehmen \(p(z) \ne 0\) für alle \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) an. Für das holomorphe \(f(z) := 1/p(z)\) gilt \(f(1/d0) = \mathcal{O}(d0)\) und aufgrund der Mittelwertungleichung \(|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}\) (s. [473], S. 160) mit \(\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)\) und beliebigem \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\), also \(f(0) = \mathcal{O}(d0)\) im Widerspruch zur Voraussetzung.\(\square\)

Bemerkung: Die abweichend in \({\mathbb{B}}_{\omega}(0) \subset {}^{\omega}\mathbb{C}\) ganzen Funktionen \(f(z) = \sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{{{z}^{k}}}/{{{\omega{}^{k+1}}}}\) und \(g(z) = z/\omega\) widerlegen den (verallgemeinerten) Satz von Liouville und den kleinen Satz von Picard wegen \(|f(z)| < 1\) und \(|g(z)| \le 1\). Der große Satz von Picard wird durch \(f(1/z)\) für \(z \in {\mathbb{B}}_{\omega}(0)^{*}\) widerlegt. Die Funktion \(b(z) := z/c\) mit \(z \in {\mathbb{B}}_{c}(0) \subset {}^{c}\mathbb{C}\) bildet das einfach zusammenhängende \({\mathbb{B}}_{c}(0)\) holomorph, aber nicht notwendig injektiv bzw. surjektiv auf \(\mathbb{D}\) ab, was den Riemannschen Abbildungssatz und analog die (verallgemeinerte) Poincaré-Vermutung widerlegt.

Bemerkung: Wenn wir \(1/\omega\) mit 0 identifizieren, ist der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie richtig und kann nach Dixon (wie in [473], S. 228 f.) bewiesen werden, zumal der dort erwähnte Limes 0 sein soll bzw. \(1/r\) gegen 0 für \(r \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0}\) gegen \(\omega\) strebt.

Definition: Ein Punkt \({z}_{0} \in M \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) bzw. zu einer Folge \(({a}_{k})\) mit \({a}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) und (unendlich) natürlichen \(k\) heißt (eigentlicher) \(\alpha\)-Häufungspunkt von \(M\) bzw. der Folge, wenn in der Kugel \(\mathbb{B}_{\alpha}({z}_{0}) \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) um \({z}_{0}\) mit dem infinitesimalen Radius \(\alpha\) unendlich viele Punkte aus \(M\) bzw. unendlich viele paarweise verschiedene Folgenglieder liegen. Gilt das Behauptete für \(\alpha = 1/\omega\), so heißt der \(\alpha\)-Häufungspunkt schlicht Häufungspunkt.

Bemerkung: Sei \(p(z) = \prod\limits_{k=0}^{\acute{\omega}}{\left( z-{{d}_{k}} \right)}\) für \(z \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) ein unendliches Produkt mit paarweise verschiedenen Nullstellen \({d}_{k} \in \mathbb{B}_{1/\acute{\omega}}(0) \subset \mathbb{D}\), die so gewählt seien, dass \(|f({d}_{k})| < 1/\acute{\omega}\) für eine in einem Gebiet \(G \subseteq \mathbb{C}\) holomorphe Funktion \(f\) mit \(f(0) = 0\) gilt. \(G\) enthalte \(\mathbb{B}_{1/\acute{\omega}}(0)\) komplett, was durch Koordinatentransformation immer erreichbar ist, solange \(G\) "groß" genug ist.

Dann hat für die dort ebenfalls holomorphe Funktion \(g(z) := f(z) + p(z)\) die Koinzidenzmenge \(\{\zeta \in G : f(\zeta) = g(\zeta)\}\) einen Häufungspunkt in 0 und es gilt \(f \ne g\) im Widerspruch zur Aussage des Identitätssatzes. Beispiele für \(f\) sind alle in \(\mathbb{B}_{1/\acute{\omega}}(0)\) beschränkten und zugleich in \(G\) holomorphen Funktionen mit Nullstelle 0. Da \(p(z)\) jeden komplexen Wert annehmen kann, ist die Abweichung von \(f\) und \(g\) nicht vernachlässigbar.

Ebenfalls zum Identitätssatz im Widerspruch steht die Tatsache, dass in einem Punkt \({z}_{0} \in G\) alle Ableitungen \({u}^{(n)}({z}_{0}) = {v}^{(n)}({z}_{0})\) zweier Funktionen \(u\) und \(v\) für alle \(n\) übereinstimmen können, aber \(u\) und \(v\) über diese lokale Tatsache hinaus weiter entfernt ebenfalls deutlich verschieden sein können, ohne ihre Holomorphie zu verlieren, da nicht jede holomorphe Funktion aufgrund des Näherungscharakters (der Differentiation) bzw. des Rechnens mit Landau-Symbolen (eindeutig) in eine Taylorreihe entwickelt werden kann (vgl. Zahlentheorie).

Die Erweiterung auf \(\prod\limits_{k=0}^{\left| \mathbb{N}^{*} \right|}{\left( z-{{d}_{k}} \right)}\) liefert ganze Funktionen mit unendlich natürlich vielen Nullstellen. Die Nullstellenmenge braucht nicht diskret zu sein. Damit kann die Menge aller in einem Gebiet \(G\) holomorphen Funktionen Nullteiler enthalten. Die Funktionen widerlegen wie Polynome mit \(n > 2\) paarweise verschiedenen Nullstellen wieder den kleinen Satz von Picard, da sie mindestens \(n - 1\) Werte in \(\mathbb{C}\) auslassen.

Bemerkung: Aus der Identität\[{{s}^{(0)}}(x):=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-x)}^{k}}}=\frac{1-{{(-x)}^{n+1}}}{1+x}\]erhalten wir für reelles oder komplexes \(x\) durch Differentiation\[{{s}^{(1)}}(x)=-\sum\limits_{k=1}^{n}{k{{(-x)}^{k-1}}}=\frac{(n+1){{(-x)}^{n}}-n{{(-x)}^{n+1}}-1}{{{(1+x)}^{2}}},\]wenn der Betrag von \(x\) von anderer Größenordnung als der von \(dx\) bzw. \(1/dx\) ist.

Diese Formel kann für hinreichend, aber nicht zu kleine \(x\) und hinreichend, aber nicht zu große (unendliche) \(n\) noch zu \(-1/{(1+x)}^{2}\) vereinfacht werden und bleibt auch für nicht zu große \(x \ge 1\) gültig. Durch sukzessive Multiplikation von \({s}^{(j)}(x)\) mit \(x\) für \(j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und anschließende Differentiation ergeben sich weitere Formeln für \({s}^{(j+1)}(x)\) als Beispiele auch divergenter Reihen, die bisher nicht immer korrekt berechnet wurden.

Für alle komplexen \(z\) gilt \({s}^{(0)}(z)\), was für den problematischen Fall \(z = -1\) aus der Regel von de l'Hospital folgt. Integrieren wir hingegen \({s}^{(0)}(-x)\) von 0 bis 1 und setzen \(n := \acute{\omega}\), so erhalten wir einen Integralausdruck für \(ln \acute{\omega} + \gamma\) mit der Eulerschen Konstante \(\gamma\). Substituieren wir darin \(y := 1 - x\), so erhalten wir dafür über die binomische Reihe eine Reihe mit fast nur unendlichen Koeffizienten; stellen wir darüber hinaus \(ln \acute{\omega}\) als Reihe dar, sogar für \(\gamma\).

Vereinfachen wir den Zähler von \({s}^{(0)}(z)\) unzulässig zu 1, können wir falsche Ergebnisse erhalten, insbesondere wenn \(|z| \ge 1\) gilt. So ist \({s}^{(0)}(-{e}^{i\pi})\) bspw. 0 für ungerades \(n\) und 1 für gerades \(n\), aber nicht \(\frac{1}{2}\).

Satz: Mit der Digammafunktion \(\psi\) gilt für \(n \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}\) und kleine \(d \in ]0, 1]\)\[\zeta (n+1)=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{n{{d}^{n}}}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \gamma +\psi \left( d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}} \right) \right)}+\mathcal{O}\left( {{d}^{n}} \right)\]und\[\zeta (n+1)=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2n{{d}^{n}}}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \psi \left( d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}}{{i}^{\tfrac{2}{n}}} \right)-\psi \left( d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}} \right) \right)}+\mathcal{O}\left( {{d}^{2n}} \right).\]Beweis: Die Behauptung folgt leicht über die geometrische Reihe aus ([474], S. 37 - 42):\[\psi (z)+\gamma +\frac{1}{z}=\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+z} \right)}=-\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{\zeta (k+1){{(-z)}^{k}}}=\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{\frac{z}{k\left( k+z \right)}}.\square\]Bemerkung: Die langsam konvergente Reihe rechts können wir gut durch Eulersche Reihentransformation beschleunigen.

Korollar: Für \(n \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}\) gilt\[\zeta (n+1)=\frac{-{\omega{}^{n}}}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \gamma +\psi \left( {{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}}}/{\omega }\; \right) \right)}.\square\]Korollar: Für \(z \in \mathbb{B}_{1-1/c}(0) \subset \mathbb{D}, s \in {}^{\omega}\mathbb{C}, 1/c \le Re \; s < 1 + 1/c\) und kleine \(d \in ]0, 1]\) gelten mit\[v(s,z):=\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{\frac{z}{{{k}^{s}}(k-z)}}=\sum\limits_{k=1}^{\acute{\omega}}{\zeta (k+s){{z}^{k}}}\]und \(u(s, z) := zv(s, z)\) sowie \(n \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}\) die Formeln\[\zeta (n-1+s)=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n{{d}^{n}}}\sum\limits_{k=1}^{n}{u\left( s,d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}} \right)}+\mathcal{O}\left( {{d}^{n}} \right)\]und\[\zeta (n+s)=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n{{d}^{n}}}\sum\limits_{k=1}^{n}{v\left( s,d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}} \right)}+\mathcal{O}\left( {{d}^{n}} \right).\]Beweis: Da die erste Reihe konvergent ist, ergibt sich die Behauptung analog wie zuvor.\(\square\)

Bemerkung: Die Addition von \(p/z + qz + r\) zu \(u(s, z)\) bzw. \(v(s, z)\) mit \(p, q, r \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) ändert kaum etwas.

Korollar: Mit \(a \in D \subseteq \mathbb{C}\) und \(n \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}\) gelten für eine im Bereich \(D\) holomorphe Funktion\[f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\acute{\omega}}{\frac{{{f}^{(k)}}(a)}{k!}{{(z-a)}^{k}}}\]und \(g(z) := zf(z + a)\) bzw. \(h(z) := f(z + a) - f(a)\) die Formeln\[{{f}^{(n-1)}}(a)=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(n-1)!}{n{{d}^{n}}}\sum\limits_{k=1}^{n}{g\left( d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}} \right)}+\mathcal{O}\left( {{d}^{n}} \right)\]und\[{{f}^{(n)}}(a)=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(n-1)!}{{{d}^{n}}}\sum\limits_{k=1}^{n}{h\left( d{{e}^{\tfrac{2k\pi i}{n}}} \right)}+\mathcal{O}\left( {{d}^{n}} \right).\]Beweis: Die Behauptung folgt mit Obigem aus dem Satz von Taylor (vgl. [473], S. 165 f.).\(\square\)

Bemerkung: Durch sukzessives Einsetzen kann die Genauigkeit beliebig erhöht werden.

© 07.03.2018 by Boris Haase


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