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#77: Ergänzung Topologie vom 05.04.2019

Im Folgenden wird die Mengenlehre vorausgesetzt.

Definition: Ein Mengensystem \(\mathbb{Y} \subseteq \mathcal{P}(X)\) heißt Topologie auf \(X \subseteq R\), wenn zu \( \mathbb{Y}\) neben \(\emptyset\) und \(X\) jeder Durchschnitt und jede Vereinigung von Mengen aus \(\mathbb{Y}\) gehört. Das Paar \((X, \mathbb{Y})\) heißt topologischer Raum. Gilt \(\mathbb{Y} = \mathcal{P}(X)\), heißt die Topologie diskret. Eine Menge \(B \subseteq \mathbb{Y}\) heißt eine Basis von \(\mathbb{Y}\), wenn sich jede Menge aus \(\mathbb{Y}\) als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus \(B\) schreiben lässt. Jede irreflexive Relation \(N \subseteq {A}^{2}\) definiert eine Nachbarschaftsrelation in \(A \subseteq X\) mit der Grundmenge \(X\).

Beispiele: Für \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{A}_\mathbb{R}, \mathbb{A}_\mathbb{C}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) ist genau die jeweilige diskrete Topologie die Basis.

Definition: Gilt \((a, b) \in N\), heißt \(a\) Nachbar von oder benachbart zu \(b\). Speziell heißt ein Element \(x \in A \subseteq X\) Nachbar von einem Element \(y \in A\) mit \(x \ne y\), wenn für alle \(z \in X\) und eine Abbildung \(d: {X}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt: (1) \(d(x, y) \le \text{max }\{\text{min }\{d(x, z), d(z, x)\}, \text{min }\{d(y, z), d(z, y)\}\}\) und (2) \(d(z, z) = 0\). Hierbei heißt \(d\) Nachbarschaftsmetrik. Die Menge aller Punkte \(P = R \cup V\) sei eine Zerlegung in die realen Punkte \(R\) und die virtuellen Punkte \(V\) mit \(R, V \ne \emptyset = R \cap V\).

Definition: Die Menge \(A' := R \setminus A\) für eine Menge \(A \subseteq R\) heißt Komplement von \(A\) in \(R\). Wenn \(R\) klar ist, wird es weggelassen und \(A'\) heißt auch das Äußere von \(A\). Die Menge \(\partial V \; (\partial A)\) besteht aus allen Punkten von \(V \; (A)\), die einen Nachbarn aus \(R \; (A' \cup V)\) haben, und heißt (innerer) Rand von \(V \; (A)\). Hierbei hat \('\) Vorrang vor \(\partial\). Wenden wir \(\partial\) sukzessiv weiter an, sehen wir das Argument jeweils als ohne Komplement an. Die Menge \(A ° := A \setminus \partial A\) heißt das Innere von \(A\).

Definition: Eine Menge \(S \subseteq R \; (V)\) heißt zusammenhängend, wenn für jede Zerlegung von \(S\) in \(Y \cup Z\) mit \(Y, Z \ne \emptyset = Y \cap Z\) gilt: \(\partial Y' \cap \partial Z \ne \emptyset \ne \partial Z' \cap \partial Y\). \(S \subseteq R\) heißt darüber hinaus einfach zusammenhängend, wenn gilt: Sowohl \(\partial Y' \cap \partial Z \cup \partial Z' \cap \partial Y\) für jede Zerlegung in zusammenhängende \(Y\) und \(Z\) als auch \(S' \cup (\partial)V\) mit \(S'\) als Komplement von \(S\) in \(R\) ist mit zusammenhängendem (\(\partial)V\) zusammenhängend. \(P\) und \(R\) seien einfach zusammenhängend.

Definition: Eine \(h\)-homogene Teilmenge von \(R := \mathbb{R}^{m}\) mit \(m \in \mathbb{N}^{*}\) heißt genau dann \(n\)-dimensional mit \(m \ge n \in \mathbb{N}^{*}\), wenn sie mindestens einen \(n\)-Würfel mit Kantenlänge \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) und maximalem \(n\) enthält. Die Definition für \(R := \mathbb{C}^{m}\) erfolgt analog. Es sei Dim \({}^{(\omega)}\mathbb{C} = 2\). Die Menge \({\mathbb{B}}_{r}(a) := \{z \in K := {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} : ||z - a|| \le r\}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{R} \; (\mathbb{C})\) heißt reelle (komplexe) (2)n-Kugel oder kurz Kugel mit dem Radius \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) um den Mittelpunkt \(a \in K\), deren Rand reelle (komplexe) (2)n-Sphäre \({\mathbb{S}}_{r}(a)\) oder kurz Sphäre heißt.

Beispiele: Jede Kugel ist einfach zusammenhängend und für \(r > d0\) ist jede reelle \(n\)-Sphäre mit \(n \ge 2\) nur zusammenhängend und jede reelle 1-Sphäre unzusammenhängend.

Definition: Ist \(a = 0\) und \(r = 1\), erhalten wir die Einheitskugel mit dem Spezialfall Einheitskreisscheibe \(\mathbb{D}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) und \(n = 1\). Jedes \(U \subseteq R\) heißt Umgebung von \(x \in R\), wenn \(x \in U°\) gilt. Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig, wenn für jeden Punkt bei Abbildbarkeit gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.

Bemerkung: Die benachbarten Randpunkte des herkömmlich abgeschlossenen [0, 1] und des herkömmlich offenen ]0, 1[ besitzen insbesondere nicht die Hausdorffeigenschaft. Damit kann nicht jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum oder normal sein und auch die (prä-)regulären Räume sind eingeschränkt. Die Räume \(\mathbb{C}^{n}\) und \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) besitzen also nur die Fréchet-Topologie. In der (unpräzisen) herkömmlichen Mathematik ergibt sich dagegen ein anderes Bild.

© 05.04.2019 by Boris Haase


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