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Mathematik

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Die im Folgenden erzielten Ergebnisse in den Teilgebieten Mengenlehre, Topologie, Nichtstandardanalysis, Zahlentheorie, lineare Optimierung, euklidische Geometrie und theoretische Informatik sind außergewöhnlich! Bekannte Aussagen und grundlegende im Folgenden nicht definierte Begriffe wie Axiom, Körper usw. werden wie in der einschlägigen Literatur oder bei Wikipedia beschrieben vorausgesetzt. Daher werden hier nur abweichende oder klarstellende Definitionen gegeben.

Eingeklammerte Satzteile können abweichend vom herkömmlichen Gebrauch der näheren Erläuterung entweder stehen oder nicht: beide Bedeutungen sind gültig. Beweise werden mit \(\square\) abgeschlossen und Definitionen mit \(\triangle\). Aufgrund der Endlichkeit unserer Welt bereitet die Behandlung des Unendlichen gewisse Schwierigkeiten. Sind Zahlen Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten, dessen größter Exponent seines Arguments sein Grad ist, heißen sie algebraisch, andernfalls transzendent.

Es ist zu überlegen, ob die Anzahl der Elemente der Menge der algebraischen Zahlen endlich oder unendlich zu definieren ist. Die Algebra lehrt, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier algebraischer Zahlen von natürlichem Grad \(m\) bzw. \(n\) algebraisch maximal vom Grad \(mn\) sind und die \(1/m\)-te Potenz einer algebraischen Zahl vom Grad \(n\) ebenfalls algebraisch maximal vom Grad \(mn\) ist. Transzendente Zahlen sind die Summe eines algebraischen Hauptteils und eines transzendenten Rests.

Ist die Transzendenz einer Zahl zu untersuchen und ist der Rest durch den Grenzwert einer Nullfolge \(\left({a}_{n}\right)\) gegeben, dürfen die Folgenwerte für große \(n\) nicht einfach weggelassen werden: Sie sind entscheidend. Transzendente Zahlen sind alle Zahlen, die zwischen den algebraischen liegen oder jenseits von diesen. Die Zahlentheorie zeigt, dass zwischen zwei dicht genug beieinander liegenden verschiedenen transzendenten Zahlen (algebraischen vom Grad \(m\)) keine algebraische Zahl (vom Grad \(< m\)) liegt.

Endliche rationale Zahlen bilden mit den unendlichen (komplex)rationalen Zahlen numerisch bereits alle reellen (komplexen) Zahlen. Daher sind algebraische und transzendente Zahlen (numerisch) kaum zu unterscheiden und Approximationen von geringer Aussagekraft über die Algebraizität (von einem bestimmten Grad). Nicht als rationale Zahl abbrechende reelle Kettenbrüche sind transzendent, da sie unendlich rational sind. Sie können algebraische Zahlen nur annähern.

Da alle reellen Zahlen näherungsweise (unendliche) rationale Zahlen sind, lassen sie sich in Echtzeit berechnen. Die transzendenten Zahlen erlauben, sich im Gegensatz zu algebraischen Zahlen, wo mit den zugehörigen Minimalpolynomen oder -reihen argumentiert werden sollte, mit einer beliebig genauen unendlich kleinen Genauigkeit zufriedenzugeben. Erstere lassen sich daher als rationale Brüche mit unendlichem Zähler und Nenner ansetzen. Definitionen eignen sich besser als Axiome.

Die endliche Definition bietet deutliche Handhabungsvorteile und ist traditionell. Es wird gezeigt, dass die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, algebraischen, reellen oder komplexen Zahlen nicht abgeschlossen sind. Damit ist die Differenz algebraischer Zahlen nicht mehr notwendig algebraisch, was die Theorie der transzendenten Zahlen erschwert. Eine unendliche rationale und transzendente Zahl kann aus einem endlichen Kettenbruch bestehen. Hier kann der letzte Teilnenner unendlich groß sein.

Würde sie einer herkömmlich rationalen Zahl durch Entfernen des letzten Teilbruchs gleichgesetzt, so wäre sie gleichzeitig Lösung einer linearen Gleichung mit (unendlichen) ganzen Koeffizienten. Wird die erste Gleichung von der zweiten mehrmals abgezogen und die Lösung jeder neu entstandenen Gleichung bestimmt, führt diese Gleichsetzung zu Widersprüchen. Korrekt ist dagegen das Arbeiten mit Näherungsbrüchen. In der Praxis (der Informatik) helfen oftmals hinreichend kleine formale Systeme.

Ein Beginn mit der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen ermöglicht durch (herkömmlich natürliche und unendliche natürliche) Induktion zu zeigen, dass nach Cantor bis in jede beliebige Potenz diagonalisiert werden kann. Werden Hilberts Translationen ins Unendliche zu Hilfe genommen, sind alle (!) unendlichen Mengen gleichmächtig zur Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen.

Dieser Widersprüchlichkeit begegnet der Satz, dass zu keiner Menge eine Bijektion zu ihrer echten Teilmenge existiert. Damit werden u. a. Dedekind-Unendlichkeit und Hilberts Hotel widerlegt, da die Bildmengen von Translationen jeder Menge aus dieser herausführen. Jede Anzahl der Elemente einer Menge lässt sich durch Bezug auf die Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen angeben. Dies leistet nur die genaue Konstruktionsvorschrift. Deshalb wird \(\mathbb{N}\) als Referenzmenge herangezogen.

Die Anzahlen der Mengen \(\mathbb{N}\) und \(\mathbb{Z}\) unterscheiden sich. Cantor hat solche Mengen als gleichmächtig angesehen. Die richtige Betrachtung der Bijektionen ergibt jedoch ein anderes Bild. Das bisher um Ordinal- und Kardinalzahlen gemachte Aufheben entfällt. Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz erlauben Summen bei korrektem Rechnen (mit den Landau-Symbolen) beliebig umzusummieren. Jede probabilistische Aussage ist erst gewiss, wenn alle ihre relevanten Möglichkeiten verifiziert wurden.

Cantors Unterscheidung zwischen lediglich abzählbaren und überabzählbaren Mengen ist nicht differenziert genug. Die korrekte Behandlung von Bijektionen ergibt, dass anzahlmäßig zwischen der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen und der der herkömmlich reellen Zahlen unendlich viele Mengen liegen. Damit erhält die Kontinuumshypothese eine neue Antwort. Die Periode \(2\pi\) muss Sinus und Kosinus definieren, da deren Potenzreihen nur für endliche Argumente konvergieren.

Die Menge \(\mathbb{R}\) aller reellen Zahlen ist isomorph zu einer Menge (hyper-)natürlicher bzw. ganzer Zahlen. Sie hat sowohl ein festes minimales als auch ein festes maximales Element, da von einer ganzheitlichen und vollständigen Betrachtung von \(\mathbb{R}\) ausgegangen wird. Hieraus folgt zusammen mit den Körperaxiomen ihre Abgeschlossenheit. Andernfalls wäre eventuell die bisherige Theorie immer wieder an die Gegebenheiten anzupassen. Als Folgen notierte Zahlen sind schlichtweg unhandlich1vgl. Landers, Dieter; Rogge, Lothar: Nichtstandard Analysis; 1. Aufl.; 1994; Springer; Berlin, S. 15 f..

Eine Kreisscheibe ohne ihren Rand stellt herkömmlich eine offene Menge dar, weil dann jeder Punkt von ihr eine herkömmliche Umgebung hat, die ganz in dieser Menge liegt. Werden die Punkte auf einer Halbgeraden beginnend bei dem Kreisscheibenmittelpunkt betrachtet, muss es auf dieser Halbgeraden zum Rand hin immer eine echte Umgebung für jeden Punkt geben.

So war die bisherige Vorstellung. Tatsächlich muss jedoch irgendwann „das Ende der Fahnenstange“ erreicht sein. Es muss also einen Punkt im Inneren der Kreisscheibe geben, der keine herkömmliche Umgebung in diesem Inneren hat. Daher ist der Offenheitsbegriff bei Mengen untauglich2vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1; 17., akt. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden, S. 36.. Wird die Einheitskreisscheibe um den Koordinatenursprung betrachtet, so ist der letzte Punkt der Halbgeraden \([0, 1[\) dual dargestellt der Punkt \(0,\overline{1}_{2}\) und der nächste Punkt ist der Randpunkt 1.

Zwischen diesen beiden Punkten liegt kein weiterer Punkt. Ersterer hat keine Umgebung, die im Kreisscheibeninneren liegt, obwohl er ein innerer Punkt ist. Deshalb ist die Kreisscheibe ohne Rand ebenfalls abgeschlossen, weil die letzten Punkte der Halbgeraden vom Kreisscheibenmittelpunkt aus gerade den Abschluss als Rand bilden. Da auf ihrem Rand keine Umgebung existiert, ist auch eine abgeschlossene Menge im euklidischen Raum sinnlos. Jede offene Menge ist dort zugleich abgeschlossen.

Diese Absurdität hat bisher nicht weiter gestört, da die infinitesimalen Größen bisher nicht ausdifferenziert betrachtet, also insbesondere die Zahlen 1 und \(0,\overline{1}_{2}\) gleichgesetzt wurden. Jedoch ist dies nicht korrekt wie in der Zahlentheorie erläutert wird, da hier sonst Algebraizität (1) und Transzendenz \((0,\overline{1}_{2})\) gleichgesetzt werden. Genauso absurd ist der unendliche Durchschnitt offener Mengen wie der aller offenen konzentrischen Kreisscheiben, der eine abgeschlossene Menge bilden kann.

Es handelt sich hierbei um den gemeinsamen Kreisscheibenmittelpunkt. Eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen kann eine offene Menge wie eine offene Kreisscheibe als Vereinigung aller deren Punkte als abgeschlossenen Mengen bilden. Eine 0-dimensionale Menge (Punkt) ist offen, weil hier jede Umgebung ebenfalls aus einem Punkt besteht. Deshalb ist sogar die leere Menge \(\emptyset\) abgeschlossen und als Folge der gesamte euklidische Raum, was Kugeln auf höhere Dimensionen verallgemeinern können.

Werden infinitesimale Radien zugelassen, deren reziproker Wert unendlich ist, erweisen sich die Begriffe innerer bzw. äußerer Punkt sowie Randpunkt jedoch als sinnvoll. Da sich ein absurder bzw. sinnloser Spezialfall auf den allgemeinen Fall übertragen lässt, eignet sich bei metrischen und topologischen Räumen die Betrachtung von offenen bzw. abgeschlossenen Mengen nicht: insbesondere die herkömmliche Definition des topologischen Raumes mutet seltsam inhaltsleer und willkürlich an.

Der herkömmliche Irrationalitätsbeweis von \(\sqrt{2}\) enthält eine gewisse Dialektik und \(\mathbb{R}\) enthält die multiplikativ Inversen meist nur näherungsweise. Die Gegenläufigkeitsregel besagt auch im Komplexen, dass bei zu unstetigen Funktionen für die Integration über identische Wege in positiver und negativer Umlaufrichtung der gleiche (!) Funktionswert von beiden möglichen auszuwählen ist, sodass der Wert des Integrals über beide Richtungen gerade 0 ist, um einen anderen signifikanten Wert zu vermeiden.

Folgende Gründe machen den Riemannschen Umordnungssatz ungültig: Das Aufsummieren positiver Summanden zu einem angestrebten Wert erzwingt so viele negative zu addieren, bis die ursprüngliche Reihensumme erreicht wird und umgekehrt. Bei einem kleineren bzw. größeren Wert als der Summe der positiven bzw. negativen Summanden gilt das Gleiche, da der Rest nahezu annulliert wird usf. Die Vernachlässigung des in die Unendlichkeit Verlagerten stellt nicht zu vertretende Willkür dar.

Die Definition des exakten Integrals in der Nichtstandardanalysis über eine Rechteckregel kann Fehlerabschätzungen3Hämmerlin, Günther; Hoffmann, Karl-Heinz: Numerische Mathematik; 2. Aufl.; 1991; Springer; Berlin., 4Hermann, Martin: Numerische Mathematik; 3., überarb. u. erw. Aufl.; 2011; Oldenbourg; München. und 5Schwarz, Hans Rudolf; Köckler, Norbert: Numerische Mathematik; 7., überarb. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden. erfordern. Soll eigentliches Integrieren als Umkehren der Ableitung über bloßes Summieren hinausgehen, macht es nur für stetige Funktionen Sinn. Beachtenswert ist, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Das exakte Volumenintegral lässt sich anders definieren. Am einfachsten zu handhaben sind jedoch die ursprünglichen Definitionen.

Ggf. bietet sich eine geeignete Landau-Notation an. Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches \(D\), so werde es durch die zu ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb von \(D\) ersetzt. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus mehreren Zahlen oder einer davon (z. B. nach einer einheitlichen Regel). Die Koeffizienten von Taylor- und Fourierreihen lassen sich (im Komplexen) besonders leicht berechnen, indem die diskrete Fouriertransformation verwendet wird.

Das Zusammenfassen von Funktionswerten zu endlich vielen davon erlaubt auch das Integral für unstetige Funktionen zu berechnen. Hierbei bietet sich u. a. die Euler-Maclaurinsche Summenformel an. Das exakte Integral ist allgemeiner gültig als z. B. Riemann- oder Lebesgue-(Stieltjes-)Integral. Letztere existieren nur in herkömmlich messbaren Mengen. Die herkömmliche Notation von Summen (\(\Sigma\)), Produkten (\(\Pi\)), Differentialen (d und \(\partial\)), Integralen (\(\smallint\)) und Wurzeln (\(\sqrt{}\)) wird vermieden.

Dieses Buch basiert auf ISO 80000-2:2019 (Größen und Einheiten – Mathematik). Funktionswerte können Werte überspringen, die dann nicht gemessen werden. Die dort gegebenen drei Beispiele verdeutlichen die Überlegenheit der Nichtstandardanalysis und die Stärke der Verwendung infinitesimaler bzw. unendlicher Werte. Die Beispielfunktionen sind nur wegen der Anschaulichkeit so einfach. Insbesondere geht es um herkömmlich nicht messbare, mitt- und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen.

Weder Dedekindsche Schnitte noch Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen eignen sich zur Definition der reellen Zahlen. Die herkömmliche Differentiation und Integration verwischen durch herkömmliche Grenzwertbildung die genaue Unterscheidung von Transzendenz und Algebraizität. Dies ist z. B. für die exakte Bestimmung von Nullstellen problematisch. Daher lässt sich die herkömmliche Analysis in der bestehenden Form nicht aufrechterhalten und benötigt gangbare Alternativen.

Das Verwenden von \(1/\infty\) statt 0 vermeidet die Division durch 0 und eine vage Grenzwertbildung, aber erfordert genau zu überlegen, wo überall das Ersetzen sinnvoll ist, damit kein Widerspruch bei einem Symbolwechsel entsteht. Es gestattet auch Integral und Differential für jede Operation auf den reellen und komplexen Zahlen so zu definieren, dass jede Funktion überall dort zumindest als Richtungsableitung integrierbar und differenzierbar ist, wo die Funktionswerte bestimmt sind.

Für Schönheit und Eleganz in der Mathematik lässt sich sorgen, indem das Darzustellende hinreichend durchdacht und ohne zu geizen auf die klare Essenz reduziert wird, die beide begründet und Kennzeichen des Wahren ist. Leider gibt es viel hässliches Langes in der mathematischen Welt. Es bleibt zu hoffen, dass dieses Buch viel Vergnügen mit der Nichtstandardmathematik und Einblick in das wahre Gute und Schöne verschaffen kann. Wer daran Gefallen findet, verwirkliche beide selbst!

© 2002-2020 by Boris Haase

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Literatur

Literatur
1 vgl. Landers, Dieter; Rogge, Lothar: Nichtstandard Analysis; 1. Aufl.; 1994; Springer; Berlin, S. 15 f.
2 vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1; 17., akt. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden, S. 36.
3 Hämmerlin, Günther; Hoffmann, Karl-Heinz: Numerische Mathematik; 2. Aufl.; 1991; Springer; Berlin.
4 Hermann, Martin: Numerische Mathematik; 3., überarb. u. erw. Aufl.; 2011; Oldenbourg; München.
5 Schwarz, Hans Rudolf; Köckler, Norbert: Numerische Mathematik; 7., überarb. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden.