Mathematik

Die im Folgenden erzielten Ergebnisse in den Teilgebieten Mengenlehre, Topologie, Nichtstandardanalysis, Zahlentheorie, lineare Optimierung, wissenschaftliches Rechnen, euklidische Geometrie und theoretische Informatik sind außergewöhnlich! Bekannte Aussagen und grundlegende im Folgenden nicht definierte Begriffe wie Axiom, Körper usw. werden wie in der einschlägigen Literatur oder bei Wikipedia beschrieben vorausgesetzt. Daher werden hier nur abweichende oder klarstellende Definitionen gegeben.

Eingeklammerte Satzteile sind abweichend vom herkömmlichen Gebrauch der näheren Erläuterung sowohl optional als auch gültig. Unter Verzicht auf Trivialitäten und aus Gründen wie Folgen des Ruhms werden Beweise nicht stets vollständig ausgeführt sowie mit \(\square\) abgeschlossen, Definitionen dagegen mit \(\triangle\). Der größte Exponent des Arguments eines Polynoms ist sein Grad. Minimalpolynome lassen sich mit ganzzahligen Koeffizienten (statt rationalen) wie durchweg im Folgenden angeben.

Vorüberlegung: Die Endlichkeit der Welt bereitet der Behandlung des Unendlichen (mit dem Infinitesimalen als Kehrwert und dual zum Endlichen) gewisse Schwierigkeiten. Ein Bezug auf philosophische Begriffe ist berechtigt, da sich Mathematik metasprachlich nicht allein aus sich selbst erklären lässt und Abstrakta nach dem Prinzip der Wissenschaftlichkeit die allgemeinsten Aussagen liefern. Die vollständige Zerlegung unendlicher Mengen beinhaltet einen sukzessiven nicht abschließbaren Prozess.

Der schwer vermittelbare abrupte Übergang von endlichen zu unendlichen Zahlen erfordert mittendliche. Die Existenz aktual oder nur potenziell unendlicher Mengen bleibt offen, da die Transzendenz des Unendlichen einen Beweis versagt. Aus der fast „verschwenderischen“ Größe bzw. Expansion des Universums lässt sich auf eine Verfügbarkeit des Seienden schließen, der keine erkennbaren Grenzen gesetzt sind.

Solche Schlüsse sind allerdings schwächer als die Abduktion. Wird eine endliche Strecke in unendlich viele Teile zerlegt, liegt das Unendliche endlich begrenzt vor. Ist darüber hinaus die Anzahl der Teile beider Unendlichkeiten gleich, liegt mathematisch eine Isomorphie vor: Die Vergrößerung der unendlich kleinen Teile der endlichen Strecke auf endliche Strecken ergibt im größeren Maßstab die Unendlichkeit im herkömmlichen Sinne bezogen auf das Gesamte. Dies erschließt leicht eine Bijektion im mathematischen Sinne.

Rationale Zahlen sind reell, setzen ein Minimalpolynom vom Grad 1 auf 0 und haben zum Teil periodische Nachkommastellen. Ist der Grad \(\ge 2\), handelt es sich um rein algebraische Zahlen mit unendlichen Zählern und Nennern. Endliche reelle Brüche bilden mit den unendlichen bzw. rein komplexen Brüchen bereits alle reellen bzw. komplexen Zahlen. Nicht als endlicher Bruch abbrechende reelle Kettenbrüche sind algebraisch (herkömmlich transzendent!), da sie einen unendlichen Nenner besitzen.

Ein Beginn mit der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen ermöglicht durch (herkömmlich und unendliche natürliche) Induktion zu zeigen, dass nach Cantor bis in jede beliebige Potenz diagonalisiert werden kann. Werden Hilberts Translationen ins Unendliche zu Hilfe genommen, sind alle (!) unendlichen Mengen gleichmächtig zur Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen. Die Anzahlen der Mengen natürlicher und ganzer Zahlen unterscheiden sich aber fast genau um den Faktor 2.

Die Algebra lehrt, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier herkömmlicher algebraischer Zahlen von natürlichem Grad \(m\) bzw. \(n\) algebraisch maximal vom Grad \(mn\) sind und die \(1/m\)-te Potenz einer herkömmlichen algebraischen Zahl vom Grad \(n\) ebenfalls algebraisch maximal vom Grad \(mn\) ist. Ist die Algebraizität einer Zahl zu untersuchen und der Rest durch den Grenzwert einer Nullfolge \(\left({a}_{n}\right)\) gegeben, ist das Weglassen der Folgenwerte für große \(n\) nicht erlaubt. Sie sind entscheidend.

Eine unendliche reelle Zahl kann aus einem endlichen Kettenbruch bestehen mit unendlich großem letztem Nenner. Würde sie einer herkömmlich rationalen Zahl gleichgesetzt, indem der letzte Teilbruch entfernt würde, so wäre sie gleichzeitig Lösung einer linearen Gleichung mit (unendlichen) ganzen Koeffizienten. Keine (unendliche) Teilmenge der komplexen Zahlen ist abgeschlossen. (Endliche) Definitionen eignen sich besser als Axiome: Sie bieten deutliche Handhabungsvorteile und sind traditionell.

Werden Bijektionen korrekt behandelt, liegen anzahlmäßig zwischen der Menge der herkömmlich natürlichen Zahlen und der der herkömmlich reellen Zahlen unendlich viele Mengen. Damit erhält die Kontinuumshypothese eine neue Antwort. Die Definition der reellen Zahlen durch Dedekindsche Schnitte oder Äquivalenzklassen von reellen Cauchy-Folgen ist überflüssig. Die Mengenlehre insgesamt ist natürlich umfangreicher, da hier nur wesentliche (neue) Gedanken präsentiert werden.

Eine Kreisscheibe ohne ihren Rand stellt herkömmlich eine offene Menge dar, weil dann jeder Punkt von ihr eine herkömmliche Umgebung hat, die ganz in dieser Menge liegt. Werden nacheinander die Punkte auf einer Halbgeraden vom Kreisscheibenmittelpunkt bis zum Rand betrachtet, muss es auf dieser Halbgeraden hin immer eine echte Umgebung für jeden Punkt geben.

Diese bisherige Vorstellung negiert jedoch „das Ende der Fahnenstange“, demzufolge jede solche Halbgerade einen Punkt im Inneren der Kreisscheibe ohne herkömmliche Umgebung dort aufweisen muss. Somit ist der Offenheitsbegriff bei Mengen untauglich¹. Wird die Einheitskreisscheibe um den Koordinatenursprung betrachtet, so ist der letzte Punkt der Halbgeraden \([0, 1[\) dual dargestellt der Punkt \(0{,}\overline{1}_{2}\) und der nächste Punkt ist der Randpunkt 1. Dazwischen liegt kein weiterer Punkt.

Daher ist jede Kreisscheibe ohne Rand zugleich abgeschlossen, weil die betrachteten Endpunkte der Halbgeraden gerade den Abschluss als Rand bilden. Da auf ihrem Rand keine Umgebung existiert, ist auch jede abgeschlossene Menge im euklidischen Raum sinnlos. Jede offene Menge ist dort zugleich abgeschlossen. Diese Absurdität verstört, wenn die infinitesimalen Größen differenziert betrachtet, also insbesondere die Zahlen 1 (rational!) und \(0{,}\overline{1}_{2}\) (algebraisch!) nicht gleichgesetzt werden.

Genauso absurd ist der unendliche Durchschnitt offener Mengen wie der aller offenen konzentrischen Kreisscheiben, der eine abgeschlossene Menge bilden kann, genauer: den gemeinsamen Kreisscheibenmittelpunkt. Eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen kann eine offene Menge wie eine offene Kreisscheibe als Vereinigung aller deren Punkte als abgeschlossenen Mengen bilden. Eine 0-dimensionale Menge (Punkt) ist offen, weil hier jede Umgebung ebenfalls aus einem Punkt besteht.

Deshalb ist sogar die leere Menge \(\emptyset\) abgeschlossen und als Folge der gesamte euklidische Raum, was sich bei Kugeln auf höhere Dimensionen verallgemeinern lässt. Dieser Spezialfall macht auch den allgemeinen Fall absurd bzw. sinnlos: Die Betrachtung von offenen bzw. abgeschlossenen Mengen eignet sich bei metrischen und topologischen Räumen nicht. Insbesondere mutet die herkömmliche Definition des topologischen Raumes seltsam inhaltsleer und willkürlich an und macht sie fragwürdig.

Das Zulassen infinitesimaler Radien macht die Begriffe innerer bzw. äußerer Punkt sowie Randpunkt jedoch sinnvoll. Der herkömmliche Irrationalitätsbeweis von \(\sqrt{2}\) ist problematisch, da das Quadrat der zugeordneten rationalen Zahl (mit unendlichem Zähler und Nenner) nicht existiert. Thema sind auch herkömmlich nicht messbare, mitt- und unendliche Mengen sowie unstetige Funktionen. Jede probabilistische Aussage ist erst gewiss, wenn alle ihre relevanten Möglichkeiten verifiziert wurden.

Die Gegenläufigkeitsregel besagt auch im Komplexen, dass bei zu unstetigen Funktionen für die Integration über identische Wege in positiver und negativer Umlaufrichtung der gleiche (!) Funktionswert von beiden möglichen auszuwählen ist. Dies vermeidet einen anderen signifikanten Wert, sodass der Wert des Integrals über beide Richtungen gerade 0 ist. Der Satz von Stokes lässt sich auch allgemein beweisen². Funktionswerte können Werte überspringen, die dann nicht gemessen werden.

Die herkömmliche Differentiation und Integration verwischen durch herkömmliche Grenzwertbildung die genaue Unterscheidung von Rationalität und reiner Algebraizität. Dies ist z. B. für die exakte Bestimmung von Nullstellen problematisch. Daher lässt sich die herkömmliche Analysis in der bestehenden Form nicht aufrechterhalten und benötigt gangbare Alternativen. Die Periode \(2\pi\) muss Sinus und Kosinus definieren, da deren Potenzreihen nur für endliche Argumente konvergieren.

Das exakte Volumenintegral hat gegenüber herkömmlichen die einfachste Handhabung. Seine uneigentliche Form ergibt sich analog. Das Zusammenfassen von Funktionswerten zu endlich vielen davon erlaubt auch das Integral für unstetige Funktionen zu berechnen. Hierbei bieten sich u. a. die beiden Euler-Maclaurin-Formeln oder eine geeignete Landau-Notation an. Beachtenswert ist, dass Stetigkeit bei Integral und Ableitung nicht vorausgesetzt wird. Dies ermöglicht eine entsprechende Definition.

Liegt das Ergebnis der Differentiation außerhalb des Definitionsbereiches \(D\), so werde es durch die zu ihm am dichtesten liegende Zahl innerhalb von \(D\) ersetzt. Ist diese nicht eindeutig bestimmt, so bestehe das Ergebnis aus (einer von) mehreren Zahlen (z. B. nach einer einheitlichen Regel). Das exakte Integral ist allgemeiner gültig als z. B. Riemann- oder Lebesgue-(Stieltjes-)Integral. Letztere existieren nur in herkömmlich messbaren Mengen. Extrapolationen können Knickstellen aufdecken.

Das Verwenden von \(1/\infty\) statt 0 vermeidet die Division durch 0 und eine vage Grenzwertbildung, aber erfordert genau zu überlegen, wo überall das Ersetzen sinnvoll ist und wie potenziert wird, um Widersprüche bei einem Symbolwechsel zu vermeiden. Es gestattet auch Integral und Differential für jede Operation auf den reellen und komplexen Zahlen so zu definieren, dass jede Funktion überall dort zumindest als Richtungsableitung integrierbar und differenzierbar ist, wo die Funktionswerte bestimmt sind.

Die Definition des exakten Integrals über eine Rechteckregel kann Fehlerabschätzungen erfordern³, ⁴ und ⁵. Soll Integrieren als Umkehren der Ableitung über bloßes Summieren hinausgehen, macht es nur für stetige Funktionen Sinn. Der zu Nachfolger duale Begriff Vorgänger wird meist nicht noch einmal eigens erwähnt, sondern ist mitzudenken. Nur drei Beispiele der Nichtstandardanalysis verdeutlichen deren Überlegenheit und die Stärke der Verwendung infinitesimaler bzw. unendlicher Werte.

Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz erlauben Summen bei korrektem Rechnen (mit den Landau-Symbolen) beliebig umzusummieren. Der Riemannsche Umordnungssatz gilt nicht, da sich das Kommutativgesetz auch im Unendlichen nicht aushebeln lässt: Werden einzelne Summanden im Unendlichen nicht weiter berücksichtigt bzw. vernachlässigt, liegt Willkür vor.

(Im Komplexen) erlaubt die diskrete Fouriertransformation (DFT) die Koeffizienten von Taylorreihen besonders leicht in äquivalenten Kronreihen zu berechnen. Dies gestattet eine effiziente Zahlenrepräsentation und deren Berechnung. Funktionen lassen sich als Vektor bzw. Produkt der Fourier-Matrix mit einem Vektor von festen Funktionswerten an den sogenannten Kronpunkten bestimmen, die kreisförmig um einen Entwicklungspunkt angeordnet sind, der effektiv gewählt werden sollte.

Das genannte Produkt kann vor der Berechnung mit einer frei wählbaren Genauigkeit gespeichert werden, die für Computerberechnungen am besten der Kehrwert einer Zweierpotenz ist. Da es sich schnell berechnen lässt und Taylorreihen mit dem Horner-Schema realisiert werden können, ist diese Methode (insbesondere als FFT-Version) sehr effizient. Hierbei werden Matrizen durch Tensoren ersetzt und Beträge über die Signumfunktion berücksichtigt oder Abschnitte gebildet.

Geeignete Matching-Verfahren ermöglichen fließende Übergänge einzelner Abschnitte. Die notwendige Umkehrbarkeit von Operatoren wie bei der Adomian-Dekomposition entfällt. Die Taylorreihe des integrierten Logarithmus erlaubt als geometrische Reihe eine einfache Implementation des multiplikativ Inversen. Die genauen Ableitungsregeln brauchen hierbei nicht bekannt zu sein. Die lineare Algebra kann vergleichbar effizient analytische Differentialgleichungen mithilfe von Kronreihen numerisch lösen.

Dieses Buch basiert auf ISO 80000-2:2019 (Größen und Einheiten – Mathematik). Die herkömmliche, zu ausladende und weniger intuitive, da historisch gewachsene Notation von Summen (\(\Sigma\)), Produkten (\(\Pi\)), Differentialen (d und \(\partial\)), Integralen (\(\smallint\)) und Wurzeln (\(\sqrt{}\)) wird vermieden. Der Minimalitätssatz erklärt die Wahl von 2 als Basis (auch für am häufigsten im Binärsystem arbeitende Digitalrechner). In der Praxis (der Informatik) helfen oft hinreichend kleine formale Systeme.

Simplex- und numerisch einfache Intexverfahren, welche in 35 Jahren entwickelt wurden und (z. B. mithilfe von Gomory-Schnitten) Hilberts zehntes Problem positiv beantworten, können ein lineares Programm meist in kubischer bzw. quadratischer Zeit lösen. Ist kein Missbrauch für intransparente oder schlechte Entscheidungen zu befürchten, werden Implementierungsdetails veröffentlicht. Kleinere Ausgangsprobleme erlauben dem Simplexverfahren das genaue und einfache Rechnen mit (genäherten) reellen Brüchen.

Für Schönheit und Eleganz in der Mathematik lässt sich sorgen, indem das Darzustellende hinreichend durchdacht und ohne zu geizen auf die klare Essenz reduziert wird, die beide begründet und Kennzeichen des Wahren ist. Leider gibt es viel hässliches Langes in der mathematischen Welt. Es bleibt zu hoffen, dass dieses Buch viel Vergnügen mit der Nichtstandardmathematik und Einblick in das wahre Gute und Schöne verschaffen kann. Wer daran Gefallen findet, verwirkliche beide selbst!

© 2002-2025 by Boris Haase

Seitenbeginn

1. vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1; 17., akt. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden, S. 36.
2. vgl. Köhler, Günter: Analysis; 1. Aufl.; 2006; Heldermann; Lemgo, S. 625 f.
3. Hämmerlin, Günther; Hoffmann, Karl-Heinz: Numerische Mathematik; 2. Aufl.; 1991; Springer; Berlin.
4. Hermann, Martin: Numerische Mathematik; 3., überarb. u. erw. Aufl.; 2011; Oldenbourg; München.
5. Schwarz, Hans Rudolf; Köckler, Norbert: Numerische Mathematik; 7., überarb. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden.