Zahlentheorie | Homepage von Boris Haase

Das Folgende setzt Mengenlehre, Topologie und Nichtstandardanalysis voraus. Sei $k \in \mathbb{N}$.

Primzahlsatz: Für $\pi(x) := |\{p \in {\mathbb{P}_{\le x}} : x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|$ gilt $\pi(\omega) = \widetilde{{_\epsilon}\omega}\,\omega + \mathcal{O}({_\epsilon}\omega\;{\omega}^{\tilde{2}})$.

Beweis: Intervalle fester Länge $y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{>0}}$ erlauben $\check{y}$ Mengen-2-Tupel von Primzahlen so zu bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw. Die Stirlingformel (s. Nichtstandardanalysis) legt die Primzahllücke $n = {\epsilon}^{\sigma} = \mathcal{O}({_\epsilon}(n!))$ mit $n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}$ nahe.

Impliziert der Induktionsanfang $n = 2$ bzw. 3 die Annahme, dass mit $x_4 \in [2, 4[$ das erste Intervall $x_n/{_\epsilon}x_n$ Primzahlen enthält, so beweist der Schritt von $x_n$ nach $x_n^2$, dass $\pi(x_n^2) = \pi(x_n) {\check{x}}_n$ Primzahlen nur aus $\pi(x_n) = x_n/{_\epsilon}x_n$ folgen. Die Primzahllücke beträgt durchschnittlich ${_\epsilon}x_n$, aber maximal ${_\epsilon}x_n^2$, und die maximale Entsprechung von $x_n^2$ zu $x_n$ ist $\omega$ zu ${\omega}^{\tilde{2}}.\square$

Bemerkung: Ersetzt $m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{>2}}$ bei $\widetilde{m}{y}^{\acute{m}}$ Mengen-$m$-Tupeln die 2, bleibt das Ergebnis gleich. Vollständige Induktion und das Sieb des Eratosthenes zeigen mit dem dirichletschen Primzahlsatz je unendlich viele prime und zusammengesetzte Mersenne-Zahlen $M_n := 2^n – 1$ für $n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}^{*}}$ auf¹.

Satz von Singmaster: Es gibt maximal 8 verschiedene Binomialkoeffizienten gleichen Werts > 1.

Beweis: Die Existenz ist klar wegen $\binom{3003}{1} = \binom{78}{2} = \binom{15}{5} = \binom{14}{6}$ und dem Aufbau des Pascalschen Dreiecks. Mit $p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}}, a,b ,c, d \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}, \hat{a} \le r := p – b, \hat{a} < \hat{c} \le n := p – d, b < d$ und $s \notin \mathbb{P}$ für alle $s \in [\max(r – \acute{a},\grave{n}), r]$ ergeben die Stirlingformel ${n!}^2\sim\pi(\hat{n}+\tilde{3}){(\tilde{\epsilon}n)}^{\hat{n}}$ und der Primzahlsatz $\omega\binom{r}{a} \le {}_\epsilon\omega\binom{n}{c}$ für $p \rightarrow \omega.\square$

Satz von Giuga: Genau dann ist $n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 2}}$ eine Primzahl, wenn ${\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{\acute{n}}{k^{\acute{n}}} \equiv -1 \mod n$ gilt.

Beweis: Der (kleine) fermatsche Satz erledigt den Fall $n \in {}^{\omega }{\mathbb{P}} \cup {}^{\omega }{2\mathbb{N^*}}$. Aus dem harmonischen und geometrischen Mittel $H_n$ bzw. $G_n$ folgt andernfalls ${\LARGE{\textbf{+}}}_{p \in {}^{\omega}\mathbb{P}}\;{\tilde{p}} – {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{p \in {}^{\omega}\mathbb{P}}\;{\tilde{p}} = m/H_n – G_n^{-m} = c \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}$². Dies widerspricht $c < 1$ aufgrund von $H_n(m) \ne H_n = H_n(m, n) = m/(c + \tilde{n}) < n^{\widetilde{m}} = G_n.\square$

Primzahllückensatz: Für die Menge $M_g$ der mittelbaren Primzahllücken gilt $M_g \supset {}^{\omega}{2\mathbb{N}} \cup \{1\}$.

Beweis durch vollständige Induktion: Behauptung ist, dass neben 1 die mittelbaren Primzahllücken $m_p$ von 2 bis $\acute{p}$ existieren. Sie stimmt für die Primzahlen $p \in \{2, 3\}$. Der Primzahlsatz lässt beim Schritt von $p \rightarrow p + 2$ keine größere als die aufgetretenen Primzahllücken als $m_{p+2}$ zu. Daher existiert auch $\grave{p}.\square$

Satz von Goldbach: Jede gerade Zahl $> 2$ ist Summe zweier Primzahlen.

Beweis: Mit $\hat{m} + \hat{n} = p_{m+r,n-r} + q_{m+r,n-r} + r, r \in \{0, 2, … , \max(g(n))\}$ gilt zugleich $\hat{m} + \hat{n} = p_{m+s,n-s} + q_{m+s,n-s} + s,$ $s \in \{0, 2, … , \max(g(n)) + 2\}$. Daraus folgt $\hat{m} + \hat{n} + 2 = p_{\grave{m}+r,\grave{n}-r} + q_{\grave{m}+r,\grave{n}-r} + r, r \in \{0, 2, … , \max(g(\grave{n}))\}$. Vollständige Induktion liefert dann die Behauptung mit dem vorigen Satz.$\square$

Satz zur zweiten Hardy-Littlewood-Vermutung: Für $m, n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}$ gilt $\pi(m + n) \le \pi(m) + \pi(n)$.

Vollständiger Induktionsbeweis nach $n$: Die Fälle $\pi(m + \grave{n}) = \pi(m + n)$ bzw. $\pi(\grave{n}) = \grave{\pi}(n)$ und $\pi(m + \grave{n}) = \grave{\pi}(m + n)$ sind klar. Liegt der letzte Fall mit $\pi(\grave{n}) = \pi(n)$ vor, folgt die Behauptung mit $m := n + k$ und $\pi(n) = \widetilde{\sigma}n + \mathcal{O}(\sigma n^{\tilde{2}})$ wegen $\grave{\pi}(\hat{n} + k) \le \pi(n + k) + \pi(n)$ und $\pi(4) \le \hat{\pi}(2)$ usf. aus\[(n + k)({}_\epsilon(\hat{n}+k)-{}_\epsilon(n+k))\sigma+n({}_\epsilon(\hat{n}+k)-\sigma){}_\epsilon(n+k) \geq {}_\epsilon(\hat{n}+k){}_\epsilon(n+k)\sigma.\square\]Koeffizientensatz für $\omega$-AZen: Keine Nullstelle normierter irreduzibler Polynome und Reihen mit mindestens einem ${a}_{k} \notin {}^{\omega }\mathbb{Z}$ ist $\omega$-AZ, da diese paarweise verschieden und eindeutig bestimmt sind.$\square$

Schrankensatz für $\omega$-AZen: Kein $z \in \mathbb{C}^{*}$ mit $|z| \notin [\tilde{\omega}, \omega]$ ist $\omega$-AZ.

Beweis: Den reellen Fall lösen in einer Polynom- oder Reihengleichung der Ansatz ${a}_{m} = 1$ und ${a}_{k} = -\acute{\omega}$ für $k < m$ mit Bilden des Kehrwerts und die GR. Das Ersetzen von $\omega$ jeweils durch ${\omega}(m) = \omega – \acute{\omega}/{\omega(m)}^{m}$ liefert die exakten Grenzwerte. Den komplexen Fall löst u. a. $x = \grave{y}\omega$ mit $y \in {}^{\omega }{\mathbb{\underline{R}}^{*}}.\square$

Folgerungen: Für jedes $z \in \mathbb{R}+ \mathbb{\underline{R}}$ mit $|z| \notin \mathbb{B}$ und $\eta := {z}^{\grave{\omega}}$ ist die GR ${\LARGE{\textbf{+}}}_{n=0}^{\omega}{{{z}^{n}}}=\acute{\eta}/\acute{z} \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{C}}$. Mit $k = {\omega}^2!$ gilt $\Gamma(z) := k! \, {k}^{z}/(z\grave{z} … (z + k)) \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$ für alle $z \in {}^{\omega}\mathbb{R} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}$. Für die Eulersche Zahl gilt $e = {(1 + \tilde{\omega})}^{\omega} = (k\omega + 1)/\omega! \notin {}_{\omega}^{\omega }\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$ mit $k > \omega$ (Exponentialreihe).$\square $

Anzahlsatz der AZen: Mit der Riemannschen Zetafunktion $\zeta$ und der durchschnittlichen Anzahl $z(m)$ der Nullstellen eines $\grave{m}$-Polynoms oder einer $\grave{m}$-Reihe haben die AZen asymptotisch für $\check{\kappa} = n$ die Anzahl\[\mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){\grave{\kappa}^{m}}( n+\mathcal{O}(\sigma)).\]Beweis: Der Fall $m = 1$ hat³ den Korrekturterm $\mathcal{O}(\sigma n)$ und gibt die Anzahl $4{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1$ der Brüche über die eulersche $\varphi$-Funktion wieder. Für $m > 1$ ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm $\mathcal{O}(\sigma)$ noch den Hauptterm. Durch $1/\zeta(\grave{m}) = {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{i=1}^n(1 – \tilde{p}_i^{\grave{m}})$ (GRn!), das Vielfache primer $p_i$ entfernt, werden Polynome und Reihen mit $\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1$ ausgeschlossen.$\square$

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom $p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}$ hat ein $z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}$ mit $p(z) = 0$.

Indirekter Beweis: Eine affin-lineare Variablensubstitution erreicht $\widetilde{p(0)} \ne \mathcal{O}(\iota)$. Dann ist $f(z) := \widetilde{p(z)}$ für alle $z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}$ holomorph unter der Annahme $p(z) \ne 0$. Mit $f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota)$ liefert die Mittelwertungleichung (s. Nichtstandardanalysis) $|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}$ für $\gamma = \partial^r\dot{\mathbb{C}}$ und beliebiges $r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}$, also $f(0) = \mathcal{O}(\iota).\square$

Beispiele: Für $m = 1$ gibt es $3(n/\check{\pi})^{2}+\mathcal{O}(\sigma n)$ reelle und für $m = 2$, da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der $a$-$b$-$c$-Formel zwei reelle Nullstellen mit Wahrscheinlichkeit ${\frac{9}{16}}$ hat, $\check{9}{n}^{3}/\zeta(3) + \mathcal{O}(\sigma{n}^{2})$ reelle Lösungen. Für ${a}_{m} = 1$ existieren $z(m)\grave{\kappa}^{\acute{m}}(\kappa + \mathcal{O}(\sigma))$ ganzalgebraische Lösungen.

Bemerkung: Im reellen Fall ist $z(m)$ asymptotisch gleich ${_\epsilon}m/{\check{\pi}} + \mathcal{O}(1)$⁴.

Folgerung: Für $m = n = \acute{\nu}$ gilt $|{}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}| = \tilde{\pi}\sigma{\mathrm{\grave{\kappa}}^{\acute{\nu}}}\left(\hat{\nu}+\mathcal{O}(\mathrm{\sigma})\right)$ und $|{}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{C}}| = {\grave{\kappa}}^\nu\left(\check{\nu}+\mathcal{O}(\mathrm{\sigma})\right).\square$

Satz von Bunjakowski: Gilt $a_n > 0$ für ein Minimalpolynom $p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}$ vom Grad $n$ mit $p(i) \perp p(j)$ für alle ${}^{\omega }\mathbb{N}^* \owns i < j \in {}^{\omega }\mathbb{N}^*$, so hat es unendlich viele Primzahlen als Werte.

Beweis: Der dirichletsche Primzahlsatz liefert für $m \in {}^{\omega }\mathbb{N}^*$ unendliche viele Primzahlen $q_m = b m + c$ mit festen $b \perp c \in {}^{\omega }\mathbb{N}^*$. Umgekehrt gibt es unendlich viele $m$, sodass $d_m := p(m) = \widetilde{m}(q_m – c)$ ist. Wird letztere Formel umgestellt, ergibt vollständige Induktion nach dem Polynomgrad $n$ die Behauptung.$\square$

Satz: Für die BBP-Reihen $s_k := {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{p(n)\widetilde{q(n){{b}^{n}}}}$ mit $b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}$ und ganzzahligen Polynomen bzw. Reihen $p$ und $q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}$ mit $q(n) \ne 0$ und deg$(p) <$ deg$(q)$ gilt $s_k \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$ wegen den$(s_k) \ge {b}^{m} > \omega$ mit $m \in \mathbb{N}^{*}.\square$

Satz: Der Abstand zweier benachbarter reeller $\omega$-AZen beträgt maximal $\Omega/\acute{\omega}$ mit der nicht $\omega$-algebraischen Omega-Konstante $\Omega = \tilde{\epsilon}^{\Omega} = W(1)$ (s. u. Lambertsche $W$-Funktion).

Beweis: Der Abstand der reellen $\omega$-AZen ist um $\pm 1$ herum am größten. Die Zahl 1 approximiert ein $x \in {}^{\omega }\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$, das die Polynom- oder Reihengleichung $\acute{x}x^{\acute{m}}\acute{\omega} = 1$ für $x > 1$ oder $x^m = -\acute{x}\acute{\omega}$ für $x < 1$ erfüllt.$\square$

Approximationssatz für reelle $\omega$-AZen: Der durchschnittliche Fehler, um jede reelle $\omega$-AZ vom Grad $n > 1$ durch eine reelle $\omega$-AZ vom Grad $m < n$ zu approximieren, ist asymptotisch gleich ${|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{-m} \widetilde{{_\epsilon}\omega} \zeta(\grave{m}) \check{\pi}$.

Beweis: Die Anzahl der $\omega$-AZ und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen nimmt in ${}^{\omega}\mathbb{R}$ pro Grad mehr ca. um den Faktor $|{}^{\omega }\mathbb{Z}|$ zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der $\omega$-AZen untereinander. In ${}^{\omega}\mathbb{C}$ liegen $\omega$-AZen weniger dicht.$\square$

Folgerung: Zwei verschiedene reelle $\omega$-AZen haben durchschnittlich mindestens den Abstand ${|{}^{\omega}\mathbb{Z}|}^{-\acute{\omega}} \widetilde{{_\epsilon}\omega} \pi$. Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert ein unendliches nicht-lineares nicht-konvexes Optimierungsproblem zu lösen. Damit haben reelle $\nu$-AZen eine Approximationsordnung von $\mathcal{O}(\nu)$. Dies widerlegt den Satz von Thue-Siegel-Roth, der von falschen Voraussetzungen ausgeht.$\square$

GPK für $\omega$-AZen: Gilt bei gekürzten Brüchen $r := \widetilde{ap}b \pm \tilde{s}t \in {}^{\omega}\mathbb{R}$ mit natürlichen $a, b, s$ und $t, abst \ne 0$ und $a + s > 2$ sowie der (zweit-) größten Primzahl $p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b$ und $p \nmid s$, so gilt $r \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$, da der Primzahlsatz den$(\widetilde{aps} (bs \pm apt)) \ge \hat{p} \ge \hat{\omega} – \mathcal{O}({_\epsilon}\omega\;{\omega}^{\tilde{2}}) > \omega$ impliziert.$\square$

Satz: Die Konstanten von Catalan $(G)$, Gieseking $(\pi \, {_\epsilon}\beta)$, Smarandache $({S}_{1})$ und Taniguchi $({C}_{T})$ sind nicht $\omega$-algebraisch aufgrund des GPKs.$\square$

Satz: Es gilt $\pi \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$, sofern die unterschiedlichen Darstellungen als Wallis-Produkt oder Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert $\tilde{2}$ akzeptiert werden (s. Nichtstandardanalysis), oder alternativ durch Anwendung des GPKs auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin$(x)$-TR für $x = 1$.$\square$

Satz: Die Konstanten von Artin $({C}_{Artin})$, Baxter $({C}^{2})$, Chaitin $({\Omega}_{F})$, Champernowne $({C}_{10})$, Copeland-Erdős $({C}_{CE})$ (gilt bei jeder Basis aus ${}^{\nu}\mathbb{N}^{*}$), Erdős-Borwein $(E)$, Feller-Tornier $({C}_{FT})$, Flajolet und Richmond $(Q)$, Glaisher-Kinkelin $(A)$, Heath-Brown-Moroz $({C}_{HBM})$, Landau-Ramanujan $(K)$, Liouville $({£}_{Li})$, Murata $({C}_{M})$, Pell $({P}_{Pell})$, Prouhet-Thue-Morse $({C}_{PTM})$, Sarnak $({C}_{sa})$ und Stephen $({C}_{S})$ sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante $(ET$ bzw. $LT)$, die Primzahlzwillingskonstante $({C}_{2})$ und die Carefree-Konstanten $({K}_{1}, {K}_{2}$ und ${K}_{3})$ sind nicht $\omega$-algebraisch, da sonst eine Primzahlpotenz aus Zähler oder Nenner kürzbar wäre.$\square$

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion $\psi$, die Lambertsche $W$-Funktion, die Funktion $Ein$, der (hyperbolische) Integralsinus $S(h)i$, die Eulersche Betafunktion $B$ und mit $s, u \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}$ sowie $t \in {}^{\omega}\mathbb{N}$ die verallgemeinerte Fehlerfunktion ${E}_{t}$, die hypergeometrische Funktion ${}_{0}{F}_{t}$, die Fresnel-Integral-Funktionen $C$ und $S$ und die Bessel-Funktion ${I}_{t}$ bzw. die erster Gattung ${J}_{t}$, die Legendresche Funktion ${\chi}_{t}$, die Polygammafunktion ${\psi}_{t}$, die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion ${E}_{s,t}$, die Dirichletreihe ${\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{{\tilde{n}^{s}f(n)}\;}$ mit maximal endlichen reellen $|f(n)|$, die Primzetafunktion $P(s)$, der Polylogarithmus ${Li}_{s}$ sowie die Lerchsche Zeta-Funktion $\Phi(q, s, r)$ liefern für reelle Argumente und maximal endliche reelle $|q|$ und $|r|$, bei denen die zugehörige TR konvergiert, keine $\omega$-AZen.

Beweis: GPK, Dirichletscher Primzahlsatz und Wallis-Produkt liefern die Behauptung. Sie folgt bei der Digammafunktion aus dem Fehlen der $\omega$-Algebraizität der Eulerschen Konstante $\gamma$ (s. u.).$\square$

Satz von Gelfond-Schneider: Mit $a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus \mathbb{B}$ und infinitesimalem $\varepsilon, b \in {}^{\omega}\mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{R}$ gilt $a^b \notin {}_{\omega}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}$.

Indirekter Beweis: Die Minimalpolynome $p$ (und $q$) von $c^r$ bzw. $c^{r\pm\varepsilon} = a^b$ mit maximalem $r \in {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{R}_{>0}$ und $f = p (q)$ ergeben den Widerspruch ${}^1f(c^{r(\pm\varepsilon)}) \ne 0 = (f(c^r) – f(c^{r\pm\varepsilon})) / (c^r – c^{r\pm\varepsilon}) = {}^1f(c^{r(\pm\varepsilon)}).\square$

Satz: Mit $Li_s(z) := {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{{\tilde{n}}^s z^n}, z \in {}^{1}\dot{\mathbb{C}}$ und $s \in {}^{\omega }\mathbb{C}$ sei $\gamma := Li_1(1) – {_\epsilon}\omega = {\uparrow}_{1}^{\omega}{\left( \widetilde{\left\lfloor x \right\rfloor} – \tilde{x} \right){\downarrow}x}$, wobei Umsummieren $\gamma \in \; ]0, 1[$ zeigt. Wird ${_\epsilon}\omega = Li_1(\tilde{2})\;{_2}\omega$ akzeptiert, so gilt $\gamma \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$ auf $\mathcal{O}(\tilde{2}^{\omega}\tilde{\omega}\;{_\epsilon}\omega)$ genau.

Beweis: Aus der GR folgt $-{_\epsilon}(-\acute{x}) = Li_1(x) + \mathcal{O}(\tilde{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x){\downarrow}x$ für $x \in [-1, 1 – \tilde{\nu}]$ und $t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}$. Dann werden der (kleine) fermatsche Satz und das GPK auf den$(\tilde{p}(1 – 2^{-p}\,{_2}\omega))$ für $p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}$ angewandt.$\square$

Satz: Nur dann gilt ${\LARGE{\textbf{+}}}_{n=-1}^{\omega}{\widetilde{a_n b_n}} \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{R}$ für beliebige $b_n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}$, wenn dies ebenfalls für ${\LARGE{\textbf{+}}}_{n=-1}^{\omega}{\widetilde{a_n}}$ oder $\widetilde{a_{-1}} – \widetilde{a_{\omega}}$ mit $a_n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}$ zutrifft, da sich $b_n := 1\,(+\,a_n )$ (Teleskopsumme) setzen lässt⁵.$\square$

Satz: Aus $p^2 \nmid \text{num}(q)\text{den}(q)$ für alle $p \in {}^{\omega }\mathbb{P}$ mit $q \in Q := {{}_{\omega}^{\omega}\mathbb{R}}_{>0} \owns {q}^{x}$ und ${_2}\omega \gg |x| \in {}^{\omega}\mathbb{R}$ folgt $x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}$.

Indirekter Beweis: Sei o. B. d. A. $x > 0$. Da für nicht zu großes $x \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}$ der Satz gilt, sei nun $x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}$. Wegen ${q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q$ sei nun $x := k/d \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0} \setminus Q$ mit $d, k \in {\mathbb{N}}^{*}$ und $d \perp k$. Also gilt ${q}^{k} = {r}^{d}$ mit $r \in Q$. Der Fundamentalsatz der Arithmetik weist den Zähler oder Nenner von $q$ bzw. $r$ größer als $2^{\omega}$ aus.$\square$

Bemerkung: Der vorige Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass ${p}^{x}$ und ${q}^{x}$ genau dann $\nu$-reell für verschiedene $p, q \in {}^{\nu}\mathbb{P}$ sind, wenn $x \in {}^{\nu}\mathbb{Z}$ mit nicht zu großem $|x|$ gilt.

Beispiel: Gibt es in $m_{\grave{k}} := \left\lfloor m_k^{\check{3}-\chi_{2\mathbb{N}}\left(m_k\right)}\right\rfloor$ keine Zyklen, folgt $m_{\tilde{\iota}} = 1$ für jedes $m_0 \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}$.

Satz von Collatz: Aus $\hat{n}_{\grave{k}} := n_k + \chi_{2\mathbb{N}}(\acute{n}_k)(5n_k+2)$ folgt $n_{\tilde{\iota}} \in \{1, 2, 4\}$ für jedes $n_0 \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}$.

Beweis: Ist der triviale Zyklus (hier nach ⁶) der einzige, unterschreitet jedes solche öfter ab- als aufsteigende Verfahren jedes $n_0 \ge 2$, wie es der Erwartungswert von $3^{\tilde{2}}/2$ des vorigen Wertes anzeigt.$\square$

Definition: Erfüllen zwei Zahlen $x_0, y_0 \in {}^{\omega}\mathbb{C}^{*}$ keine nicht-triviale Polynomgleichung $p(x, y) = 0$, so heißen sie $\omega$-algebraisch unabhängig.$\triangle$

Satz: Das GPK liefert mit $\epsilon = {(1 + \tilde{p})}^{p}$ für maximales $p \in {}^{\omega }\mathbb{P}$ und $\pi$ als Wallis-Produkt paarweise $\omega$-algebraisch unabhängige Darstellungen von $A, {C}_{2}, \gamma, \epsilon, K$ und $\pi.\square$

Bemerkung: Die Bedingungen sind nicht hinreichend wie die Beispiele $a_n := 1, b_n := 2$ bzw. $(a_n ) := (12, 12, 12, 12, 12, 6, 12, 20, 30, 42, … ,\acute{\omega}\omega), b_n := 1$ mit den Summen $\check{\omega} + 1$ bzw. $(\omega – 2)/\acute{\omega}$ zeigen. Zu $(n!)$ bzw. $(a_n)$ mit $\acute{a}_{\grave{n}} = a_n \grave{a}_n$ gilt ${\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{\widetilde{a_n b_n}} \notin {}_{\omega}^{\omega}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}$ für $b_n := n + 2$ bzw. $b_n := 1$.

Satz von Beal: Für $a^m + b^n = c^k$ mit $a, b, c, d, e, r, s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}$ und $k, m, n \in {}^{\omega} \mathbb{N}_{\ge 3}$ gilt $d :=$ ggT$(a, b, c) > 1.$

Indirekter Beweis: Sei $(da)^n + (db)^m = (dc)^n$ der nötige Ansatz, um $d$ nach Rechnen mod $d$ herauszukürzen. Wird verallgemeinert $b^s + e^m = c^s$ wieder mit $d^{rm}$ multipliziert, folgt $b = 1$, $c = d$ und $s \ne m \notin 2\mathbb{N}$. Die zweite allgemeine Form $1 + d^s = e^m$ ergibt ebenso mit $m \ne s \notin 2\mathbb{N}$ die Behauptung durch Widerspruch.$\square$

Folgerung: Wegen $m \ne s$ wird $a^n + b^n = c^n$ von keinem $n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}$ für beliebige $a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}$ erfüllt.$\square$

Satz von Catalan: Es gilt $\{(m, n, x, y) \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}^4 : 1 + x^m = y^n\} = \{(3, 2, 2, 3)\}$.

Indirekter Beweis: Der vorige Satz ergibt min$(m, n) = 2$. Mit $\acute{n} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}$ zeigt Quadrieren $1 + 4{\check{x}}^2 = (1 + \acute{y})^n$ und $(1 + 2^rz)^n \equiv 1 + 2^r{\check{x}}^2 \equiv 1$ mod $2^{\grave{r}}$ für $\acute{y} = 4z$ und alle $r \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}$ sowie $1 + x^2 \equiv 2 \ne 0 \equiv 2^n{\check{y}}^n$ mod $8$. Aus $\acute{m} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}$ und $s \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}$ folgt $x^m = \acute{y}\grave{y}$ mit $s^m \ne \acute{y} \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}$ und es gilt $x^m = 8\check{s}\acute{s} = 8.\square$

Satz von Erdős-Moser: Die Faulhabersche Formel (s. Nichtstandardanalysis) ergibt für $k, n \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}$, dass mit $n\grave{n} \mid {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{n} {m^k} = \grave{n}^k$ nur die Lösung $k = 1 = \acute{n}$ wegen $1 < n \nmid \grave{n}$ existiert.$\square$

Drei-Kuben-Satz: Es gilt $S := \{n \in \mathbb{Z} : n \ne \pm 4\mod 9\} = \{n \in \mathbb{Z} : n = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)c(a – b + c)$$= (a + c)^3 + (b – c)^3 + c^3\} \subset a^3 + b^3 + c^3 + 6{\mathbb{Z}}$, da unabhängige vollständige Induktion nach den gleichberechtigten Variablen $a, b, c \in {\mathbb{Z}}$ zunächst $\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\} \subset S$ zeigt und dann die Behauptung.$\square$

Satz von Brocard: Es gilt $\{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}.$

Beweis: Aus $n! = \acute{m}\grave{m}$ folgt $m = \hat{r} \pm 1$ für $r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}$ und $n \ge 3$. Also ist $n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1)$ mit $s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}$. Gelte $2^q \mid n!$ und $2^{\grave{q}} \nmid n!$ für maximales $q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}$. Damit ist $n! = 2^q(\hat{u} + 1)$ für $u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}$ und zwingend $n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1)$. Die Primfaktorzerlegung von $n!$ erfordert dann $n \le 7$, was die Behauptung ergibt.$\square$

Wilsonscher Primzahlsatz: Nur für die Primzahlen $p \in \{5, 13, 563\}$ gilt $q := p^2 \mid (\acute{p}! + 1)$.

Indirekter Beweis: Wird danach eine geeignete Zweierpotenz links addiert und subtrahiert, liefert Division durch $\acute{p}$ oder $\grave{p}$ in $\hat{n}q + \acute{q} = \acute{p}!$ für $n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}$ rechts eine höhere ab hinreichend großem $p.\square$

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Mit $||\cdot|{{|}_{d}}$ als Abstand zur nächsten ganzen Zahl gilt $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0$ für alle $a,b\in {}^{\nu}\mathbb{R}$ und $n\in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}$.

Beweis: Für $k, m \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}$ als Nenner der Kettenbruchentwicklung von $a$ bzw. $b$ mit Genauigkeit $g \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0}$ und $n/km$ immer wieder ganz liefert der dirichletsche Approximationssatz⁷: \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n||na|{{|}_{d}}||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\mathcal{O}{{(\tilde{n})}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(\tilde{n})=0.\square\]Widerlegung durch die Nichtstandardmathematik: Für $a = b := {\tilde{\omega}^{\check{3}}}$ gilt $\omega \;||\omega a|{{|}_{d}}\;||\omega b|{{|}_{d}}= 1.\square$

Beispiel: Für $s \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}$ mit Re$(s) \le 1$ und $z := \tilde{2}^{\acute{s}}$ hat $\zeta(s) = {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{\tilde{n}^s}$ definitiv keine analytische Fortsetzung⁸ und ist damit nullstellenfrei. Dies widerlegt die Riemannsche Vermutung:\[{\LARGE{\textbf{$\mp$}}}_{n=1}^{\mathrm{\omega}}\tilde{n}^s=z{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\mathrm{\check{\omega}}}\tilde{n}^s-{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\mathrm{\omega}}\tilde{n}^s\neq\acute{z}{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\mathrm{\omega(/2)}}\tilde{n}^s.\]Satz: Da die Dirichletsche $L$-Funktion $L\left(s,\chi\right)={\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{\chi\left(n\right)\tilde{n}^s}$ offenbar nur Nullstellen für $s = 0$ und nichttriviale Dirichlet-Charaktere $\chi(n)$ hat, widerlegt sie die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.$\square$

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Literatur

s. Scheid, Harald: Zahlentheorie; 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim, S. 174 f. und 354 – 365
vgl. D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein und R. Girgensohn: Giuga’s Conjecture on Primality; Amer. Math. Monthly 103:40-50; 1996, S. 3 f.
Scheid, a.a.O., S. 323 u. 330
Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation; Bull. Amer. Math. Soc. 49 (4); 1943; 314 – 320
vgl. Guy, Richard K.: Unsolved Problems in Number Theory; 3rd Ed.; 2004; Springer; New York, S. 346
Slapničar, Ivan: There are no cycles in the 3n + 1 sequence, arXiv: 1706.08399v1
Scheid, a.a.O., S. 63
vgl. Ivic, Aleksandar: The Riemann Zeta-Function; Reprint; 2003; Dover Publications; Mineola, S. 4