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Zahlentheorie

Zahlentheorie
Zahlentheorie

Das Folgende setzt Mengenlehre und Nichtstandardanalysis voraus. Seien \(m, n =: \acute{\kappa}/2 \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(k \in \mathbb{N}\).

Primzahlsatz: Für \(\pi(x) := |\{p \in {}^{\omega}{\mathbb{P}} : p \le x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|\) gilt \(\pi(\omega) = \widehat{{_e}\omega}\omega + \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega})\).

Beweis: Intervalle fester Länge \(y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{>0}}\) erlauben \(\hat{2}y\) Mengen-2-Tupel von Primzahlen so zu bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw.

Ist mit Induktionsanfang \(n\) = 2 bzw. 3 die Induktionsannahme, dass mit \(n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}\) und beliebigem \(x_4 \in [2, 4[\) das erste Intervall \(x_n/{_e}x_n\) Primzahlen enthält, so beweist die Betrachtung der Primzahllücken von primen \(p\# /q + 1\) mit \(p, q \in {}^{\omega}\mathbb{P}\) im Induktionsschritt von \(x_n\) nach \(x_n^2\), dass sich dann \(\pi(x_n^2) = \pi(x_n) x_n/2\) Primzahlen nur aus \(\pi(x_n) = x_n/{_e}x_n\) ergeben. Der durchschnittliche Primzahlabstand beträgt \({_e}x_n\) und die maximale Entsprechung von \(x_n^2\) zu \(x_n\) ist \(\omega\) zu \(\sqrt{\omega}.\square\)

Bemerkung: Ersetzt \(m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{>2}}\) die Zahl 2 bei \(\hat{m}{y}^{\acute{m}}\) Mengen-\(m\)-Tupeln, bleibt das Ergebnis gleich. Der Korrekturterm \(\mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega})\) widerlegt scharf die Legendresche Vermutung. Das Sieb des Eratosthenes und vollständige Induktion weisen mit dem dirichletschen Primzahlsatz je unendlich viele prime und zusammengesetzte Mersenne-Zahlen \(M_n := 2^n – 1\) für \(n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}^{*}}\) nach1Scheid, Harald: Zahlentheorie; 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim, S. 174 f..

Schrankensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Jedes \(z \in \mathbb{C}^{*}\) mit \(|z| \notin [\hat{\omega}, \omega]\) ist bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Den reellen Fall lösen in einer Polynom- oder Reihengleichung der Ansatz \({a}_{m} = 1\) und \({a}_{k} = -\acute{\omega}\) für \(k < m\) mit Bilden des Kehrwerts und die GR. Das Ersetzen von \(\omega\) jeweils durch \({\omega}(m) = \omega – \acute{\omega}/{\omega(m)}^{m}\) liefert die exakten Grenzwerte. Den komplexen Fall löst u. a. \(x = \grave{y}\omega\) mit \(y \in i{}^{\omega }{\mathbb{R}^{*}}.\square\)

Algebraizitätssatz: Der Zähler oder Nenner jedes \(|z| \in {}^{\omega}\mathbb{A}_\mathbb{R} \setminus {}^{\omega}\mathbb{Q}\) ist notwendig \(\mathcal{O}(\varsigma).\square\)

Koeffizientensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Alle Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen mit mindestens einem \({a}_{k} \notin {}^{\omega }\mathbb{Z}\) sind \(\omega\)-transzendent, da
sie paarweise verschieden und eindeutig bestimmt sind sowie ihre Nicht-\(\omega\)-Algebraizität ihre \(\omega\)-Transzendenz erzwingt.\(\square\)

Definition: Die Notation für \(m\)-AZen ist \({(m, {a}_{k-1}, {a}_{k-2}, …, {a}_{1}, {a}_{0}; r, i; \#n, \&q; v, p)}_{s}\). Hierbei hat \(r\) Vorrang vor \(i\) und stellt sich mit \(r = i = {a}_{0} = 0\) die Zahl 0 dar. Der numerische Wert \(v\) hat die Genauigkeit \(p\). Mit \(r \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*} (-{}^{\nu}\mathbb{N}^{*})\) existieren eine Nullstelle mit dem \(r\).-größten (\(|r|\).-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit \(r = 0, i \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*} (-{}^{\nu}\mathbb{N}^{*})\) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem \(i\).-größten (\(|i|\).-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen AZen analog. Wird für mindestens ein \({a}_{j}\) eine Variable eingesetzt, gibt \(\#n\) die Anzahl \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) der Nullstellen an und \(\&q\) die Anzahl \(q \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) der mehrfachen Nullstellen. Alle \(k\)-Minimalpolynome haben < als Spezifikation \(s\), alle \(k\)-Minimalreihen >.\(\triangle\)

Bemerkung: Der Verzicht auf Unterscheidung mehrfacher Nullstellen erlaubt diejenigen eines \(k\)-Polynoms oder einer \(k\)-Reihe mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalzuordnen. Die Angaben \(r, i, \#n, \&q, v, p\) und \(s\) sind ggf. entbehrlich wie z. B. für rationale Zahlen. Die \((\nu+2)\)-Tupel \((0, …, 0, {a}_{k-1}, …, {a}_{0}; r, i{)}_{<}\) mit natürlichen \({a}_{j}\) wohlordnen die AZen lexikalisch streng.

Beispiele: Die Zahlen \((\nu; 1, 0, 0, 0, -1{)}_{>}\) sind gegeben als \(1, -1, i\) und \(-i\). Die Goldene Zahl \(\Phi := (1 + \sqrt{5})/2\) lässt sich mit \((\nu; 1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, {10}^{-6}{)}_{<}\) notieren. Die Zahl \(0,\overline{1} = 0,1…1\) mit \(\omega\) Einsen hinter dem Komma ist mittendlich und verschieden von der Zahl \(\hat{9}\), da 9 \(\times \; 0,\overline{1} = 0,9…9 = 1 – {10}^{-\omega} \ne 1\) ist. Daher ist sie \(\omega\)-transzendent und lässt sich mit (\(\omega, 9 \times {10}^{\omega}, 1 – {10}^{\omega})\) notieren.

Bemerkung: Es seien \(m \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) der maximal zugelassene Polynomgrad und \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten \({a}_{k}\) der Polynome \({a}_{m}{x}^{m} + {a}_{\acute{m}}{x}^{\acute{m}} + … + {a}_{1}x + {a}_{0}\) mit \(k \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le m}\) annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die \({a}_{k}\) voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der AZen entspricht der Anzahl der Nullstellen der so definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt \({a}_{m} > 0\) und \({a}_{0} \ne 0\).

Satz von Goldbach: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen wie die Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen zeigt.\(\square\)

Folgerung von Hardy-Littlewood: Für jedes \(n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 2}}\) gibt es unendlich viele prime \(n\)-Tupel.\(\square\)

Anzahlsatz der AZen: Mit der Riemannschen Zetafunktion \(\zeta\) und \(z(m)\) als der durchschnittlichen Anzahl der Nullstellen eines \(\grave{m}\)-Polynoms oder einer \(\grave{m}\)-Reihe haben die AZen asymptotisch die Anzahl\[\mathbb{A}(m, n) = \widehat{\zeta(\grave{m})}\,z(m){\kappa^m}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right).\]Beweis: Der Fall \(m = 1\) erfordert den Korrekturterm2a.a.O., S. 323 u. 330 \(\mathcal{O}({_e}n n)\) und gibt die Anzahl \(4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1\) der rationalen Zahlen über die eulersche \(\varphi\)-Funktion wieder. Für \(m > 1\) ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm \(\mathcal{O}({_e}n n)\) noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit \(\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1\) werden durch \(1/\zeta(\grave{m})\) ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen \(p\) aller \((1 – {p}^{-\grave{m}})\), die hier Vielfache der \(p\) entfernen und Summen GRn sind.\(\square\)

Bemerkung: Im komplexen Fall gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra (s. Nichtstandardanalysis) \(z(m) = m\). Im reellen Fall ist \(z(m)\) asymptotisch gleich \(\hat{\iota}\;{_e}m + \mathcal{O}(1)\)3Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation; Bull. Amer. Math. Soc. 49 (4); 1943; 314 – 320.

Beispiele: Für \(m = n = \acute{\nu} =: e^{\mathrm{\sigma}}\) gilt \(|{}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}| = \frac{\mathrm{\sigma}}{\mathrm{\iota}}{\mathrm{\kappa}^{\acute{\nu}}}\left(\nu+\mathcal{O}(\mathrm{\sigma})\right)\) und \(|{}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{C}}| = {\frac{1}{2}} {\kappa}^\nu\left(\nu+\mathcal{O}(\mathrm{\sigma})\right)\).

Approximationssatz für reelle \(\omega\)-AZen: Der durchschnittliche Fehler, um jede reelle \(\omega\)-AZ vom Grad \(n > 1\) durch eine reelle \(\omega\)-AZ vom Grad \(m < n\) zu approximieren, ist asymptotisch gleich \({|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{-m} \widehat{{_e}\omega} \zeta(\grave{m}) \iota\).

Beweis: Die Anzahl der \(\omega\)-AZen und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen nimmt in \({}^{\omega}\mathbb{R}\) pro Grad mehr ca. um den Faktor \(|{}^{\omega }\mathbb{Z}|\) zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der \(\omega\)-AZen untereinander. In \({}^{\omega}\mathbb{C}\) liegen \(\omega\)-AZen weniger dicht.\(\square\)

Folgerung: Zwei verschiedene reelle \(\omega\)-AZen haben durchschnittlich mindestens den Abstand \({|{}^{\omega}\mathbb{Z}|}^{-\acute{\omega}} \widehat{{_e}\omega} \pi\). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert die Lösung eines unendlichen nicht-linearen nicht-konvexen Optimierungsproblems. Damit haben reelle \(\nu\)-AZen eine Approximationsordnung von \(\mathcal{O}(\nu)\). Dies widerlegt den Satz von Thue-Siegel-Roth, der auch nicht mehr als den trivialen Minimalabstand zweier rationaler Zahlen beweist. Daher ist die abc-Vermutung falsch.

Satz: Der Abstand zweier benachbarter reeller \(\omega\)-AZen beträgt maximal \(\Omega/\acute{\omega}\) mit der \(\omega\)-transzendenten Omega-Konstante \(\Omega = e^{-\Omega} = W(1)\) (s. u. Lambertsche \(W\)-Funktion).

Beweis: Der Abstand der reellen \(\omega\)-AZen ist um \(\pm 1\) herum am größten. Die Zahl 1 approximiert ein \(x \in {}^{\omega }\mathbb{A}_{\mathbb{R}}\), das die Polynom- oder Reihengleichung \(\acute{x}x^{\acute{m}}\acute{\omega} = 1\) für \(x > 1\) oder \(x^m = -\acute{x}\acute{\omega}\) für \(x < 1\) erfüllt.\(\square\)

Beispiele: Für \(m = 1\) gibt es \(3(\hat{\iota}n)^{2}+\mathcal{O}({_e}n n)\) rationale und für \(m = 2\), da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der \(a\)-\(b\)-\(c\)-Formel zwei reelle Nullstellen mit Wahrscheinlichkeit \({\frac{9}{16}}\) hat, \(\frac{9}{2}{n}^{3}/\zeta(3) + \mathcal{O}({_e}n{n}^{2})\) reelle Lösungen. Für \({a}_{m} = 1\) existieren \(z(m)\kappa^{\acute{m}}(\kappa + \mathcal{O}({_e}\kappa))\) ganzalgebraische Lösungen.

Satz: Für jedes \(z \in \mathbb{Q}+ i\mathbb{Q}\) mit \(|z| \notin \{0, 1\}\) ist die GR \(\sum\limits_{n=0}^{\omega}{{{z}^{n}}}=({{z}^{\grave{\omega}}} – 1)/\acute{z} \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{C}}\), da der Betrag des Zählers oder Nenners von \({z}^{\grave{\omega}} > {2}^{\omega/2}\) ist.\(\square\)

Satz: Die Eulersche Zahl \(e = {(1 + \hat{\omega})}^{\omega}\) impliziert \(e = (k\omega + 1)/\omega! \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) mit \(k > \omega\) (Exponentialreihe).\(\square\)

Größte-Primzahl-Kriterium (GPK) für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung \(\widehat{ap}b \pm \hat{s}t\) mit natürlichen \(a, b, s\) und \(t, abst \ne 0\) und \(a + s > 2\) sowie der (zweit-) größten Primzahl \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b\) und \(p \nmid s\), so ist sie \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Der Nenner von \(\widehat{aps} (bs \pm apt)\) ist \(\ge 2p \ge 2\omega – \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) > \omega\) aufgrund des Primzahlsatzes.\(\square \)

Satz: Die Kreiszahl \(\pi\) ist \(\omega\)-transzendent aufgrund der unterschiedlichen Darstellungen als Wallis-Produkt oder Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert \(-\hat{2}\), sofern sie akzeptiert werden, oder alternativ durch Anwendung des GPKs auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin\((x)\)-TR für \(x = 1\).\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Artin \(({C}_{Artin})\), Baxter \(({C}^{2})\), Chaitin \(({\Omega}_{F})\), Champernowne \(({C}_{10})\), Copeland-Erdős \(({C}_{CE})\), Erdős-Borwein \((E)\), Feller-Tornier \(({C}_{FT})\), Flajolet und Richmond \((Q)\), Glaisher-Kinkelin \((A)\), Heath-Brown-Moroz \(({C}_{HBM})\), Landau-Ramanujan \((K)\), Liouville \(({£}_{Li})\), Murata \(({C}_{M})\), Pell \(({P}_{Pell})\), Prouhet-Thue-Morse \(({C}_{PTM})\), Sarnak \(({C}_{sa})\) und Stephen \(({C}_{S})\) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante \((ET\) bzw. \(LT)\), die Primzahlzwillingskonstante \(({C}_{2})\) und die Carefree-Konstanten \(({K}_{1}, {K}_{2}\) und \({K}_{3})\) sind \(\omega\)-transzendent, da sich je eine gewisse Primzahlpotenz nicht aus Zähler oder Nenner kürzen lässt.\(\square\)

Bemerkung: Die Behauptung für \({C}_{CE}\) gilt offenbar auch für jede Basis aus \({}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\).

Satz: Die Konstanten von Catalan \((G)\), Gieseking \((\pi \, {_e}\beta)\), Smarandache \(({S}_{1})\) und Taniguchi \(({C}_{T})\) sind \(\omega\)-transzendent aufgrund des GPKs.\(\square\)

Satz: Mit \(s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}\) für \(x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) sei die Eulersche Konstante \(\gamma := s(1) – {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} – \hat{x} \right)dx}\), wobei Umsummieren \(\gamma \in \; ]0, 1[\) zeigt. Wird \({_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega\) akzeptiert, so gilt \(\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) auf \(\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega)\) genau.

Beweis: Die exakte Integration (s. Nichtstandardanalysis) macht \(-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx\) für \(x \in [-1, 1 – \hat{\nu}]\) und \(t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\) aus der GR. Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von \(\hat{p}(1 – 2^{-p}\,{_2}\omega)\) für \(p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}\) angewandt, liefert das GPK die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Wird \(\omega\) durch ein beliebiges \(k \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge\omega/2}\) ersetzt, ist der vorstehende Beweis kaum schwieriger.

Wird die Gammafunktion \(\Gamma(z)\) durch \(k! \, {k}^{z}/(z\grave{z} … (z + k))\) mit \(k = {\omega}^2!\) definiert, gilt \(\Gamma(z) \in \mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) für alle \(z \in R := {}^{\omega}\mathbb{Q} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}\) und nicht zu umfangreiche rationale Obermengen von \(R\), da für mindestens ein \(n\) mit \(x := \Gamma(z), a_n \in \mathbb{Z}\) und \(\sum\limits_{n=0}^{\omega}{a_n{{x}^{n}}} = 0\) zwingend \(|a_n| > \omega\) gilt.\square\)

Bemerkung: Da \(\Gamma(\grave{n}) = n!\) für \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) gelten sollte, ist vorstehende Definition überdenkenswert.

Satz: Die BBP-Reihen \(\sum\limits_{n=1}^{\omega}{p(n)\widehat{q(n){{b}^{n}}}}\) für \(b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und ganzzahlige Polynome bzw. Reihen \(p\) und \(q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) mit \(q(n) \ne 0\) und deg\((p) <\) deg\((q)\) liefern nur \(\omega\)-transzendente Werte, da die Summe sich auf einen kleinsten Nenner \(d \ge {b}^{k} > \omega\) mit \(d, k \in \mathbb{N}^{*}\) bringen lässt.\(\square\)

Drei-Kuben-Satz: Nach dem kleinen Satz von Fermat ist \(k \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}\) genau dann Summe von drei Kuben, wenn für \(2a_{1,2} = n \pm m\) und \(a, b, c, d, m, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}\) aus\[k=(n – a)^3 + n^3 + (n + b)^3 = 3n^3 – a^3 + b^3+ 3c \ne \pm 4\mod 9\]sowohl \((a^2 + b^2)n – (a – b)n^2 = c =: dn\) als auch \(m^2 = n^2 – 4(b^2 – bn + d)\) folgt.\(\square\)

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion \(\psi\), die Lambertsche \(W\)-Funktion, die Funktion \(Ein\), der (hyperbolische) Integralsinus \(S(h)i\), die Eulersche Betafunktion \(B\) und mit natürlichen positiven \(s\) und \(u\) sowie natürlichem \(t\) die generalisierte Fehlerfunktion \({E}_{t}\), die hypergeometrische Funktion \({}_{0}{F}_{t}\), die Fresnel-Integral-Funktionen \(C\) und \(S\) und die Bessel-Funktion \({I}_{t}\) bzw. die erster Gattung \({J}_{t}\), die Legendresche Funktion \({\chi}_{t}\), die Polygammafunktion \({\psi}_{t}\), die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion \({E}_{s,t}\), die Dirichletreihe \(\sum\limits_{n=1}^{\omega}{{\hat{n}^{s}f(n)}\;}\) mit maximal endlichen rationalen \(|f(n)|\), die Primzetafunktion \(P(s)\), der Polylogarithmus \({Li}_{s}\) sowie die Lerchsche Zeta-Funktion \(\Phi(q, s, r)\) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale \(|q|\) und \(|r|\), bei denen die zugehörige TR konvergiert, nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: GPK, Dirichletscher Primzahlsatz und Wallis-Produkt liefern die Behauptung. Sie folgt bei der Digammafunktion aus dem Beweis der \(\omega\)-Transzendenz der Eulerschen Konstante (s. o.).\(\square\)

Definition: Erfüllen zwei Zahlen \(x, y \in {}^{\omega}\mathbb{C}^{*}\) oder ihre Kehrwerte keine Polynom- oder Reihengleichung \(p(x, y) = 0\), so heißen sie \(\omega\)-algebraisch unabhängig. Eine rationale Zahl \(\ne 0\) heißt potenzfrei, wenn ihr Betrag nur als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten \(= \pm 1\) darstellbar ist. Sei \(||\cdot|{{|}_{d}}\) der Abstand zur nächsten ganzen Zahl.\(\triangle\)

Satz: Das GPK liefert mit \(e = {(1 + \hat{p})}^{p}\) für maximales \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(\pi\) als Wallis-Produkt paarweise \(\omega\)-algebraisch unabhängige Darstellungen von \(A, {C}_{2}, \gamma, e, K\) und \(\pi.\square\)

Satz: Sind alle \(q \in Q := {\mathbb{Q}}_{>0}\) potenzfrei, \({q}^{x} \in Q\) und \({_2}\omega \gg |x| \in {}^{\omega}\mathbb{R}\), muss \(x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) gelten.

Beweis: Sei o. B. d. A. \(x > 0\). Da sich für nicht zu großes \(x \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) kein Widerspruch ergibt, wird \(x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}\) angenommen. Wegen \({q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q\) lässt sich \(x := k/d \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0} \setminus Q\) annehmen mit \(d, k \in {\mathbb{N}}^{*}\) und ggT\((d, k) = 1\). Also muss \({q}^{k} = {r}^{d}\) mit einem \(r \in Q\) gelten. Dann weist aber der Fundamentalsatz der Arithmetik den Zähler oder Nenner von \(q\) bzw. \(r\) größer als \(2^{\omega}\) aus. Dieser Widerspruch liefert die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Dieser Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass \({p}^{x}\) und \({q}^{x}\) genau dann \(\nu\)-rational für verschiedene \(p, q \in {}^{\nu}\mathbb{P}\) sind, wenn \(x \in {}^{\nu}\mathbb{Z}\) mit nicht zu großem \(|x|\) gilt.

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Für alle \(a,b\in {}^{\nu}\mathbb{R}\) und \(n\in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) gilt:\[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0.\]Beweis: Für \(k, m \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) als Nenner der Kettenbruchentwicklung von \(a\) bzw. \(b\) mit Genauigkeit \(g \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0}\) und \(n/km\) immer wieder ganz liefert der dirichletsche Approximationssatz4a.a.O., S. 63: \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n||na|{{|}_{d}}||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\mathcal{O}{{(\hat{n})}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(\hat{n})=0.\square\]Widerlegung der Littlewood-Vermutung in der Nichtstandardmathematik: Sei \(a = b := {{\omega}^{-{3}/{2}}}\). Dann gilt:\[\omega \;||\omega a|{{|}_{d}}\;||\omega b|{{|}_{d}}= 1 \ne 0.\square\]Satz: Die (\(3n + 1\))-Vermutung ist für jedes \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) richtig.

Beweis: Die \(m\) Darstellungen von \(n\) seien aus \(\{1, …, 2^mk\}\), ohne die Parität von \(k \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) zu bestimmen. Dann ist der Erwartungswert im Mittel bis zur Bestimmung ca. \((3/4)^{m/2}\) des Ausgangswertes. Zyklen können nicht auftreten5Slapničar, Ivan: There are no cycles in the 3n + 1 sequence, arXiv: 1706.08399v1. Nach \(s\) maximal erzwungenen Schritten ist die Wahrscheinlichkeit für \(n = 2^s – 1\) größer zu werden durchschnittlich und die Behauptung folgt durch verallgemeinerte Iteration.\(\square\)

Satz: Nach dem Hauptsatz der Mengenlehre ist die Fermat-Catalan-Vermutung falsch, da die enthaltene Gleichung wenigstens rationale Punkte als Lösungen enthalten muss.\(\square\)

Beispiel: Aus \(\text{Re} \; c \in [\hat{\nu}, 1 + \hat{\nu}[, c \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) und \(a_n := \varepsilon^{-n} \hat{n} = 2^j, j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) folgt (s. Nichtstandardanalysis)\[\zeta (n+c)=a_n\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* v_c(\varepsilon u^k)}\]für \(z \in \mathbb{B}_{1-\hat{\nu}}(0) \subset D\) und \[v_c(z):=\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\zeta (m+c){{z}^{m}}}=z\sum\limits_{m=1}^{\omega }{{{{\hat{m}}}^{c}}\widehat{z-m}}.\square\]Beispiel: Eine Richardson-Extrapolation bestimmt die Digammafunktion \(\psi\) und\[\zeta(\grave{n}) = \hat{2}a_n\sum\limits_{k=1}^n{(\psi(\varepsilon u^k i^{\hat{n}2}) – \psi(\varepsilon u^k))} + \mathcal{O}(\varepsilon^{2n})\]für \(n = 2\) und \(\varepsilon = 10^{-4}\) als\[\zeta(3) = 5000^2\sum\limits_{k=1}^2{(\psi(\varepsilon u^k i) – \psi(\varepsilon u^k))} + \mathcal{O}(10^{-16}).\]Beispiel: Für \(s \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit Re\((s) \le 1\) und \(z := \hat{2}^{\acute{s}}\) hat \(\zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}^s}\) definitiv keine analytische Fortsetzung6vgl. Ivic, Aleksandar: The Riemann Zeta-Function; Reprint; 2003; Dover Publications; Mineola, S. 4 und ist damit nullstellenfrei. Dies widerlegt die Riemannsche Vermutung:\[\sum_{n=1}^{\mathrm{\omega}}i^{2n}\hat{n}^s=z\sum_{n=1}^{\mathrm{\omega/2}}\hat{n}^s-\sum_{n=1}^{\mathrm{\omega}}\hat{n}^s\neq\acute{z}\sum_{n=1}^{\mathrm{\omega(/2)}}\hat{n}^s.\]Satz: Da die Dirichletsche \(L\)-Funktion \(L\left(s,\chi\right)=\sum\limits_{n=1}^{\omega}{\chi\left(n\right)\hat{n}^s}\) offenbar nur Nullstellen für \(s = 0\) und nichttriviale Dirichlet-Charaktere \(\chi(n)\) hat, widerlegt sie die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.\(\square\)

© 2009-2018 by Boris Haase

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Literatur

Literatur
1 Scheid, Harald: Zahlentheorie; 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim, S. 174 f.
2 a.a.O., S. 323 u. 330
3 Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation; Bull. Amer. Math. Soc. 49 (4); 1943; 314 – 320
4 a.a.O., S. 63
5 Slapničar, Ivan: There are no cycles in the 3n + 1 sequence, arXiv: 1706.08399v1
6 vgl. Ivic, Aleksandar: The Riemann Zeta-Function; Reprint; 2003; Dover Publications; Mineola, S. 4