Zahlentheorie

Das Folgende setzt Mengenlehre, Topologie und Nichtstandardanalysis voraus. Sei \(k \in \mathbb{N}\).

Primzahlsatz: Für \(\pi(x) := |\{p \in {\mathbb{P}_{\le x}} : x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|\) gilt \(\pi(\omega) = \widetilde{{_e}\omega}\,\omega + \mathcal{O}({_e}\omega\;{\omega}^{\tilde{2}})\).

Beweis: Intervalle fester Länge \(y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{>0}}\) erlauben \(\check{y}\) Mengen-2-Tupel von Primzahlen so zu bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw. Die Stirlingformel (s. Nichtstandardanalysis) legt die Primzahllücke \(n = e^{\sigma} = \mathcal{O}({_e}(n!))\) mit \(n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}\) nahe.

Impliziert der Induktionsanfang \(n = 2\) bzw. 3 die Annahme, dass mit \(x_4 \in [2, 4[\) das erste Intervall \(x_n/{_e}x_n\) Primzahlen enthält, so beweist der Schritt von \(x_n\) nach \(x_n^2\), dass \(\pi(x_n^2) = \pi(x_n) {\check{x}}_n\) Primzahlen nur aus \(\pi(x_n) = x_n/{_e}x_n\) folgen. Die Primzahllücke beträgt durchschnittlich \({_e}x_n\), maximal \({_e}x_n^2\) (s. u. Folgerung von Cramér) und die maximale Entsprechung von \(x_n^2\) zu \(x_n\) ist \(\omega\) zu \({\omega}^{\tilde{2}}.\square\)

Bemerkung: Ersetzt \(m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{>2}}\) bei \(\widetilde{m}{y}^{\acute{m}}\) Mengen-\(m\)-Tupeln die 2, bleibt das Ergebnis gleich. Vollständige Induktion und das Sieb des Eratosthenes zeigen mit dem dirichletschen Primzahlsatz je unendlich viele prime und zusammengesetzte Mersenne-Zahlen \(M_n := 2^n – 1\) für \(n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}^{*}}\) auf¹s. Scheid, Harald: Zahlentheorie; 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim, S. 174 f. und 354 – 365.

Satz von Giuga: Genau dann ist \(n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 2}}\) eine Primzahl, wenn \({+}_{k=1}^{\acute{n}}{k^{\acute{n}}} \equiv -1 \mod n\) gilt.

Beweis: Der (kleine) fermatsche Satz erledigt den Fall \(n \in {}^{\omega }{\mathbb{P}} \cup {}^{\omega }{2\mathbb{N^*}}\). Aus dem harmonischen und geometrischen Mittel \(H_n\) bzw. \(G_n\) folgt andernfalls \({+}_{p \in {}^{\omega}\mathbb{P}}\;{\tilde{p}} – {\times}_{p \in {}^{\omega}\mathbb{P}}\;{\tilde{p}} = m/H_n – G_n^{-m} = c \in {}^{\omega }{\mathbb{N^*}}\)²vgl. D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein und R. Girgensohn: Giuga’s Conjecture on Primality; Amer. Math. Monthly 103:40-50; 1996, S. 3 f.. Dies widerspricht \(c < 1\) aufgrund von \(H_n(m) \ne H_n = H_n(m, n) = m/(c + \tilde{n}) < n^{\widetilde{m}} = G_n.\square\)

Schrankensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Jedes \(z \in \mathbb{C}^{*}\) mit \(|z| \notin [\tilde{\omega}, \omega]\) ist bereits \(\omega\)-transzendent.

Beweis: Den reellen Fall lösen in einer Polynom- oder Reihengleichung der Ansatz \({a}_{m} = 1\) und \({a}_{k} = -\acute{\omega}\) für \(k < m\) mit Bilden des Kehrwerts und die GR. Das Ersetzen von \(\omega\) jeweils durch \({\omega}(m) = \omega – \acute{\omega}/{\omega(m)}^{m}\) liefert die exakten Grenzwerte. Den komplexen Fall löst u. a. \(x = \grave{y}\omega\) mit \(y \in {}^{\omega }\underline{\mathbb{R}}^{*}.\square\)

Folgerungen: Für jedes \(z \in \mathbb{Q}+ \underline{\mathbb{Q}}\) mit \(|z| \notin \{0, 1\}\) und \(\eta := {z}^{\grave{\omega}}\) ist die GR \({+}_{n=0}^{\omega}{{{z}^{n}}}=\acute{\eta}/\acute{z} \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{C}}.\) Mit \(k = {\omega}^2!\) gilt \(\Gamma(z) := k! \, {k}^{z}/(z\grave{z} … (z + k)) \in \mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) für alle \(z \in {}^{\omega}\mathbb{Q} \setminus -{}^{\omega }\mathbb{N}.\) Für die Eulersche Zahl gilt \(e = {(1 + \tilde{\omega})}^{\omega} = (k\omega + 1)/\omega! \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) mit \(k > \omega\) (Exponentialreihe).\(\square \)

Koeffizientensatz für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Alle Nullstellen normierter irreduzibler Polynome und Reihen mit mindestens einem \({a}_{k} \notin {}^{\omega }\mathbb{Z}\) sind \(\omega\)-transzendent, da sie paarweise verschieden und eindeutig bestimmt sind sowie ihre Nicht-\(\omega\)-Algebraizität ihre \(\omega\)-Transzendenz erzwingt.\(\square\)

Definition: Die Notation für \(m\)-AZen ist \({(m, {a}_{\acute{k}}, {a}_{k-2}, …, {a}_{1}, {a}_{0}; r, i; \#n, \&q; v, p)}_{s}\). Mit \(r \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*} (-{}^{\nu}\mathbb{N}^{*})\) existieren eine Nullstelle mit dem \(r\).-größten (\(|r|\).-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit \(r = 0, i \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*} (-{}^{\nu}\mathbb{N}^{*})\) eine nicht-reelle Nullstelle mit dem \(i\).-größten (\(|i|\).-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen AZen analog. Wird für mindestens ein \({a}_{j}\) eine Variable eingesetzt, gibt \(\#n\) die Anzahl \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) der Nullstellen an und \(\&q\) die Anzahl \(q \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) der mehrfachen Nullstellen. Alle \(k\)-Minimalpolynome haben < als Spezifikation \(s\), alle \(k\)-Minimalreihen >. Mit \(x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) sei \({}_e^0(x) = x, {}_e^{\grave{n}}(x)={_e}({}_e^n(x))\) und \({}_e^{\grave{n}}(x) := 0\) für \({}_e^n(x)\le 1.\triangle\)

Bemerkung: Hierbei hat \(r\) Vorrang vor \(i\) und stellt sich mit \(r = i = {a}_{0} = 0\) die Zahl 0 dar. Der numerische Wert \(v\) hat die Genauigkeit \(p\). Der Verzicht auf Unterscheidung mehrfacher Nullstellen erlaubt diejenigen eines \(k\)-Polynoms oder einer \(k\)-Reihe mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten streng totalzuordnen. Die Angaben \(r, i, \#n, \&q, v, p\) und \(s\) können wie z. B. für rationale Zahlen entbehrlich sein. Die \((\nu+2)\)-Tupel \((0, …, 0, {a}_{\acute{k}}, …, {a}_{0}; r, i{)}_{<}\) mit \({a}_{j} \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) wohlordnen die AZen lexikalisch streng.

Beispiele: Die Zahlen \((\nu; 1, 0, 0, 0, -1{)}_{>}\) sind gegeben als \(1, -1, \underline{1}\) und \(-\underline{1}\). Die Goldene Zahl \(\Phi := \check{1} + {5}^{\tilde{2}}/2\) lässt sich mit \((\nu; 1, -1, -1; 1, 0; 1,618033, {10}^{-6}{)}_{<}\) notieren. Die Zahl \(0,\overline{1} = 0,1…1\) mit \(\omega\) Einsen hinter dem Komma ist mittendlich und verschieden von der Zahl \(\tilde{9}\), da 9 \(\times \; 0,\overline{1} = 0,9…9 = 1 – {10}^{-\omega} \ne 1\) ist. Daher ist sie \(\omega\)-transzendent und lässt sich mit (\(\omega, 9 \times {10}^{\omega}, 1 – {10}^{\omega})\) notieren.

Satz zur zweiten Hardy-Littlewood-Vermutung: Für \(m, n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}\) gilt \(\pi(m + n) \le \pi(m) + \pi(n)\).

Vollständiger Induktionsbeweis nach \(n\): Die Fälle \(\pi(m + \grave{n}) = \pi(m + n)\) bzw. \(\pi(\grave{n}) = \grave{\pi}(n)\) und \(\pi(m + \grave{n}) = \grave{\pi}(m + n)\) sind klar. Liegt der letzte Fall mit \(\pi(\grave{n}) = \pi(n)\) vor, folgt die Behauptung mit \(m := n + k\) und \(\pi(n) = \widetilde{\sigma}n + \mathcal{O}(\sigma n^{\tilde{2}})\) wegen \(\grave{\pi}(\hat{n} + k) \le \pi(n + k) + \pi(n)\) und \(\pi(4) \le \hat{\pi}(2)\) usf. aus\[(n + k)({}_e(\hat{n}+k)-{}_e(n+k))\sigma+n({}_e(\hat{n}+k)-\sigma){}_e(n+k) \geq {}_e(\hat{n}+k){}_e(n+k)\sigma.\square\]Satz von Goldbach: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen wie die Induktion über alle Primzahllücken bis zur jeweils maximal möglichen zeigt.\(\square\)

Folgerung von Fortune: Der vorige Satz ergibt das Bertrandsche Postulat³a.a.O., S. 34 f. und mit \(p_n\) als der \(n\)-ten Primzahl min \(\{j \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2} : m = p_n\# \pm j \in {}^{\omega}\mathbb{P}\} = p_{\grave{n}+k}\) wegen ggT\((j, m) = 1\) für alle \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*.\square\)

Folgerung von Cramér: Für alle \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\) und \(s = {+}_{m=0}^{\omega}{{\;}_e^m(n)}\) gibt es \(p \in {}^{\omega}\mathbb{P}\) mit \(\lfloor{_e}n\;n\rfloor \le p \le \lceil{_e}s\;s\rceil.\square\)

Erste Folgerung von Hardy-Littlewood: Für die Anzahl der Primzahlzwillinge gilt \(\pi_2(n) \sim C_2\,\hat{x}\widetilde{{}_ex^2}.\square\)

Zweite Folgerung von Hardy-Littlewood: Für jedes \(n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge2}}\) gibt es unendlich viele prime \(n\)-Tupel.\(\square\)

Bemerkung: Es seien \(m \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) der maximal zugelassene Polynomgrad und \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten \({a}_{k}\) der Polynome \({a}_{m}{x}^{m} + {a}_{\acute{m}}{x}^{\acute{m}} + … + {a}_{1}x + {a}_{0}\) mit \(k \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le m}\) annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die \({a}_{k}\) voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der AZen entspricht der Anzahl der Nullstellen der derart definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt \({a}_{m} > 0\) und \({a}_{0} \ne 0\).

Anzahlsatz der AZen: Mit der Riemannschen Zetafunktion \(\zeta\) und der durchschnittlichen Anzahl \(z(m)\) der Nullstellen eines \(\grave{m}\)-Polynoms oder einer \(\grave{m}\)-Reihe haben die AZen asymptotisch für \(\check{\kappa} = n\) die Anzahl\[\mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){\grave{\kappa}^{m}}( n+\mathcal{O}(\sigma)).\]Beweis: Der Fall \(m = 1\) hat⁴a.a.O., S. 323 u. 330 den Korrekturterm \(\mathcal{O}(\sigma n)\) und gibt die Anzahl \(4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1\) der rationalen Zahlen über die eulersche \(\varphi\)-Funktion wieder. Für \(m > 1\) ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm \(\mathcal{O}(\sigma n)\) noch den Hauptterm. Durch \(1/\zeta(\grave{m}) = {\times}_{i=1}^n(1 – \tilde{p}_i^{\grave{m}})\) (GRn!), das Vielfache primer \(p_i\) entfernt, werden Polynome und Reihen mit \(\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1\) ausgeschlossen.\(\square\)

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom \(p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) hat ein \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit \(p(z) = 0\).

Indirekter Beweis: Eine affin-lineare Variablensubstitution erreicht \(\widetilde{p(0)} \ne \mathcal{O}(\iota)\). Die Annahme von \(p(z) \ne 0\) für alle \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) ergibt für das holomorphe \(f(z) := \widetilde{p(z)}\) wegen \(f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota)\) und aufgrund der Mittelwertungleichung \(|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}\)⁵s. a.a.O., S. 160 mit \(\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)\) und beliebigem \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\), also \(f(0) = \mathcal{O}(\iota)\) im Widerspruch zur Voraussetzung (und damit gilt exakt \(z(m) = m).\square\)

Bemerkung: Im reellen Fall ist \(z(m)\) asymptotisch gleich \({_e}m/{\check{\pi}} + \mathcal{O}(1)\)⁶Kac, Mark: On the Average Number of Real Roots of a Random Algebraic Equation; Bull. Amer. Math. Soc. 49 (4); 1943; 314 – 320.

Folgerung: Für \(m = n = \acute{\nu}\) gilt \(|{}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{R}}| = \tilde{\pi}\sigma{\mathrm{\grave{\kappa}}^{\acute{\nu}}}\left(\hat{\nu}+\mathcal{O}(\mathrm{\sigma})\right)\) und \(|{}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{C}}| = {\grave{\kappa}}^\nu\left(\check{\nu}+\mathcal{O}(\mathrm{\sigma})\right).\square\)

Approximationssatz für reelle \(\omega\)-AZen: Der durchschnittliche Fehler, um jede reelle \(\omega\)-AZ vom Grad \(n > 1\) durch eine reelle \(\omega\)-AZ vom Grad \(m < n\) zu approximieren, ist asymptotisch gleich \({|{}^{\omega }\mathbb{Z}|}^{-m} \widetilde{{_e}\omega} \zeta(\grave{m}) \check{\pi}\).

Beweis: Die Anzahl der \(\omega\)-AZ und innerhalb unveränderter Grenzen nahezu gleichmäßig verteilten Zahlen nimmt in \({}^{\omega}\mathbb{R}\) pro Grad mehr ca. um den Faktor \(|{}^{\omega }\mathbb{Z}|\) zu. Der Fehler entspricht dem Abstand der \(\omega\)-AZen untereinander. In \({}^{\omega}\mathbb{C}\) liegen \(\omega\)-AZen weniger dicht.\(\square\)

Folgerung: Zwei verschiedene reelle \(\omega\)-AZen haben durchschnittlich mindestens den Abstand \({|{}^{\omega}\mathbb{Z}|}^{-\acute{\omega}} \widetilde{{_e}\omega} \pi\). Die genaue Bestimmung des Minimalabstands erfordert ein unendliches nicht-lineares nicht-konvexes Optimierungsproblem zu lösen. Damit haben reelle \(\nu\)-AZen eine Approximationsordnung von \(\mathcal{O}(\nu)\). Dies widerlegt den Satz von Thue-Siegel-Roth, der nur den Minimalabstand zweier rationaler Zahlen beweist.

Satz: Für die BBP-Reihen \(s_k := {+}_{n=1}^{\omega}{p(n)\widetilde{q(n){{b}^{n}}}}\) mit \(b \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) und ganzzahligen Polynomen bzw. Reihen \(p\) und \(q \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) mit \(q(n) \ne 0\) und deg\((p) <\) deg\((q)\) gilt \(s_k \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) wegen den\((s_k) \ge {b}^{m} > \omega\) mit \(m \in \mathbb{N}^{*}.\square\)

Beispiele: Für \(m = 1\) gibt es \(3(n/\check{\pi})^{2}+\mathcal{O}(\sigma n)\) rationale und für \(m = 2\), da ein reelles Polynom vom Grad 2 nach der \(a\)-\(b\)-\(c\)-Formel zwei reelle Nullstellen mit Wahrscheinlichkeit \({\frac{9}{16}}\) hat, \(\check{9}{n}^{3}/\zeta(3) + \mathcal{O}(\sigma {n}^{2})\) reelle Lösungen. Für \({a}_{m} = 1\) existieren \(z(m)\grave{\kappa}^{\acute{m}}(\kappa + \mathcal{O}(\sigma))\) ganzalgebraische Lösungen.

Satz: Der Abstand zweier benachbarter reeller \(\omega\)-AZen beträgt maximal \(\Omega/\acute{\omega}\) mit der \(\omega\)-transzendenten Omega-Konstante \(\Omega = \tilde{e}^{\Omega} = W(1)\) (s. u. Lambertsche \(W\)-Funktion).

Beweis: Der Abstand der reellen \(\omega\)-AZen ist um \(\pm 1\) herum am größten. Die Zahl 1 approximiert ein \(x \in {}^{\omega }\mathbb{A}_{\mathbb{R}}\), das die Polynom- oder Reihengleichung \(\acute{x}x^{\acute{m}}\acute{\omega} = 1\) für \(x > 1\) oder \(x^m = -\acute{x}\acute{\omega}\) für \(x < 1\) erfüllt.\(\square\)

GPK für \(\omega\)-transzendente Zahlen: Gilt bei gekürzten Brüchen \(r := \widetilde{ap}b \pm \tilde{s}t \in {}^{\omega}\mathbb{R}\) mit natürlichen \(a, b, s\) und \(t, abst \ne 0\) und \(a + s > 2\) sowie der (zweit-) größten Primzahl \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b\) und \(p \nmid s\), so gilt \(r \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\), da der Primzahlsatz den\((\widetilde{aps} (bs \pm apt)) \ge \hat{p} \ge \hat{\omega} – \mathcal{O}({_e}\omega\;{\omega}^{\tilde{2}}) > \omega\) impliziert.\(\square\)

Satz: Es gilt \(\pi \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\), sofern die unterschiedlichen Darstellungen als Wallis-Produkt oder Produktdarstellung der Gammafunktion für den Wert \(\tilde{2}\) akzeptiert werden (s. Nichtstandardanalysis), oder alternativ durch Anwendung des GPKs auf die Leibnizsche Reihe oder die arcsin\((x)\)-TR für \(x = 1\).\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Catalan \((G)\), Gieseking \((\pi \, {_e}\beta)\), Smarandache \(({S}_{1})\) und Taniguchi \(({C}_{T})\) sind \(\omega\)-transzendent aufgrund des GPKs.\(\square\)

Satz: Die Konstanten von Artin \(({C}_{Artin})\), Baxter \(({C}^{2})\), Chaitin \(({\Omega}_{F})\), Champernowne \(({C}_{10})\), Copeland-Erdős \(({C}_{CE})\) (gilt bei jeder Basis aus \({}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\)), Erdős-Borwein \((E)\), Feller-Tornier \(({C}_{FT})\), Flajolet und Richmond \((Q)\), Glaisher-Kinkelin \((A)\), Heath-Brown-Moroz \(({C}_{HBM})\), Landau-Ramanujan \((K)\), Liouville \(({\pounds}_{Li})\), Murata \(({C}_{M})\), Pell \(({P}_{Pell})\), Prouhet-Thue-Morse \(({C}_{PTM})\), Sarnak \(({C}_{sa})\) und Stephen \(({C}_{S})\) sowie die Euler- bzw. Landau-Totient-Konstante \((ET\) bzw. \(LT)\), die Primzahlzwillingskonstante \(({C}_{2})\) und die Carefree-Konstanten \(({K}_{1}, {K}_{2}\) und \({K}_{3})\) sind \(\omega\)-transzendent, da je keine gewisse Primzahlpotenz aus Zähler oder Nenner kürzbar ist.\(\square\)

Satz: Die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen, die Digammafunktion \(\psi\), die Lambertsche \(W\)-Funktion, die Funktion \(Ein\), der (hyperbolische) Integralsinus \(S(h)i\), die Eulersche Betafunktion \(B\) und mit natürlichen positiven \(s\) und \(u\) sowie natürlichem \(t\) die generalisierte Fehlerfunktion \({E}_{t}\), die hypergeometrische Funktion \({}_{0}{F}_{t}\), die Fresnel-Integral-Funktionen \(C\) und \(S\) und die Bessel-Funktion \({I}_{t}\) bzw. die erster Gattung \({J}_{t}\), die Legendresche Funktion \({\chi}_{t}\), die Polygammafunktion \({\psi}_{t}\), die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion \({E}_{s,t}\), die Dirichletreihe \({+}_{n=1}^{\omega}{{\tilde{n}^{s}f(n)}\;}\) mit maximal endlichen rationalen \(|f(n)|\), die Primzetafunktion \(P(s)\), der Polylogarithmus \({Li}_{s}\) sowie die Lerchsche Zeta-Funktion \(\Phi(q, s, r)\) liefern für rationale Argumente und maximal endliche rationale \(|q|\) und \(|r|\), bei denen die zugehörige TR konvergiert, nur \(\omega\)-transzendente Werte.

Beweis: GPK, Dirichletscher Primzahlsatz und Wallis-Produkt liefern die Behauptung. Sie folgt bei der Digammafunktion aus dem Beweis der \(\omega\)-Transzendenz der Eulerschen Konstante \(\gamma\) (s. u.).\(\square\)

Satz: Mit \(Li_s(z) := {+}_{n=1}^{\omega}{{\tilde{n}}^s z^n}, z \in \mathbb{D}\) und \(s \in {}^{\omega }\mathbb{C}\) sei \(\gamma := Li_1(1) – {_e}\omega = {\uparrow}_{1}^{\omega}{\left( \widetilde{\left\lfloor x \right\rfloor} – \tilde{x} \right){\downarrow}x}\), wobei Umsummieren \(\gamma \in \; ]0, 1[\) zeigt. Wird \({_e}\omega = Li_1(\tilde{2})\;{_2}\omega\) akzeptiert, so gilt \(\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) auf \(\mathcal{O}(\tilde{2}^{\omega}\tilde{\omega}\;{_e}\omega)\) genau.

Beweis: Aus der GR folgt \(-{_e}(-\acute{x}) = Li_1(x) + \mathcal{O}(\tilde{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x){\downarrow}x\) für \(x \in [-1, 1 – \tilde{\nu}]\) und \(t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}\). Dann werden der (kleine) fermatsche Satz und das GPK auf den\((\tilde{p}(1 – 2^{-p}\,{_2}\omega))\) für \(p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}\) angewandt.\(\square\)

Definition: Erfüllen zwei Zahlen \(x, y \in {}^{\omega}\mathbb{C}^{*}\) keine nicht-triviale Polynomgleichung \(p(x, y) = 0\), so heißen sie \(\omega\)-algebraisch unabhängig. Eine rationale Zahl \(\ne 0\) heißt potenzfrei, wenn ihr Betrag nur als Potenz einer rationalen Zahl mit einem ganzzahligen Exponenten \(= \pm 1\) darstellbar ist.\(\triangle\)

Satz: Das GPK liefert mit \(e = {(1 + \tilde{p})}^{p}\) für maximales \(p \in {}^{\omega }\mathbb{P}\) und \(\pi\) als Wallis-Produkt paarweise \(\omega\)-algebraisch unabhängige Darstellungen von \(A, {C}_{2}, \gamma, e, K\) und \(\pi.\square\)

Satz: Nur dann gilt \({+}_{n=-1}^{\omega}{\widetilde{a_n b_n}} \notin {}^{\omega}\mathbb{Q}\) für beliebige \(b_n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\), wenn dies ebenfalls für \({+}_{n=-1}^{\omega}{\widetilde{a_n}}\) oder \(\widetilde{a_{-1}} – \widetilde{a_{\omega}}\) mit \(a_n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) zutrifft, da \(b_n := 1\,(+\,a_n )\) (Teleskopsumme) gesetzt werden kann⁷vgl. Guy, Richard K.: Unsolved Problems in Number Theory; 3rd Ed.; 2004; Springer; New York, S. 346.\(\square\)

Satz: Sind alle \(q \in Q := {\mathbb{Q}}_{>0}\) potenzfrei, \({q}^{x} \in Q\) und \({_2}\omega \gg |x| \in {}^{\omega}\mathbb{R}\), muss \(x \in {}^{\omega }\mathbb{Z}\) gelten.

Beweis: Sei o. B. d. A. \(x > 0\). Da ein nicht zu großes \(x \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) keinen Widerspruch ergibt, wird \(x \in Q \setminus {}^{\omega }{\mathbb{N}}^{*}\) angenommen. Wegen \({q}^{x} \in {}^{\omega }{\mathbb{A}}_{R} \setminus Q\) lässt sich \(x := k/d \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0} \setminus Q\) annehmen mit \(d, k \in {\mathbb{N}}^{*}\) und ggT\((d, k) = 1\). Ein \(r \in Q\) liefert \({q}^{k} = {r}^{d}\). Dann weist aber der Fundamentalsatz der Arithmetik den Zähler oder Nenner von \(q\) bzw. \(r\) größer als \(2^{\omega}\) aus. Dieser Widerspruch liefert die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Die Bedingungen sind nicht hinreichend wie die Beispiele \(a_n := 1, b_n := 2\) bzw. \((a_n ) := (12, 12, 12, 12, 12, 6, 12, 20, 30, 42, … ,\acute{\omega}\omega), b_n := 1\) mit den Summen \(\check{\omega} + 1\) bzw. \((\omega – 2)/\acute{\omega}\) zeigen. Zu \((n!)\) bzw. \((a_n)\) mit \(a_n = a_n^2 – a_n + 1\) gilt \({+}_{n=1}^{\omega}{\widetilde{a_n b_n}} \in {}^{\omega}\mathbb{T}_{\mathbb{R}}\) für \(b_n := n + 2\) bzw. \(b_n := 1\).

Bemerkung: Der vorige Satz beweist die Vermutung von Alaoglu und Erdős, dass \({p}^{x}\) und \({q}^{x}\) genau dann \(\nu\)-rational für verschiedene \(p, q \in {}^{\nu}\mathbb{P}\) sind, wenn \(x \in {}^{\nu}\mathbb{Z}\) mit nicht zu großem \(|x|\) gilt.

Satz von Gelfond-Schneider: Mit \(a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q := {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R}\) und \(b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q\) gilt \(a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C}\).

Beweis: Setzt \(b \in Q\) das Minimalpolynom \(p(a^b) = p(c^q)\) auf 0, so liefert die Annahme \(a^b = c^{q+\varepsilon}\) mit maximalem \(q \in Q_{>0}\) den Widerspruch \(0 = (p(a^b) – p(c^q)) / (a^b – c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square\)

Drei-Kuben-Satz: Es gilt \(S := \{n \in \mathbb{Z} : n \ne \pm 4\mod 9\} = \{n \in \mathbb{Z} : n = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)c(a – b + c) = (a + c)^3 + (b – c)^3 + c^3\} \subset a^3 + b^3 + c^3 + 6{\mathbb{Z}}\), da unabhängige vollständige Induktion nach den gleichberechtigten Variablen \(a, b, c \in {\mathbb{Z}}\) zunächst \(\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\} \subset S\) zeigt und dann die Behauptung.\(\square\)

Satz von Brocard: Es gilt \(\{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}.\)

Beweis: Aus \(n! = \acute{m}\grave{m}\) folgt \(m = \hat{r} \pm 1\) für \(r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}\) und \(n \ge 3\). Also ist \(n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1)\) mit \(s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}\). Gelte \(2^q \mid n!\) und \(2^{\grave{q}} \nmid n!\) für maximales \(q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}\). Damit ist \(n! = 2^q(\hat{u} + 1)\) für \(u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}\) und zwingend \(n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1)\). Die Primfaktorzerlegung von \(n!\) erfordert dann \(n \le 7\), was die Behauptung ergibt.\(\square\)

Satz von Beal: Für \(a^m + b^n = c^k\) mit \(a, b, c \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}\) und \(k, m, n \in {}^{\omega} \mathbb{N}_{\ge 3}\) gilt ggT\((a, b, c) > 1.\)

Beweis: Aus \(b^n = (c^{k-r} – a^m)(c^r + 1) = c^k – a^m + c^{k-r} – a^mc^r\) folgt \(a^m =c^{k-\hat{r}}\) und \(\widetilde{m}(k-\hat{r}) = {}_ca \in {}^{\omega}\mathbb{Q}_{>0}\)⁸s. Walter, Wolfgang: Analysis 1; 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 66 f., was mit ggT\((a, c) > 1\) die Behauptung ergibt.\(\square\)

Folgerung: Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen und ein unendlicher Abstieg wegen ggT\((a, b, c) > 1\) ergibt, dass \(a^n + b^n = c^n\) von keinem \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}\) für beliebige \(a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) erfüllt wird.\(\square\)

Satz von Littlewood in der herkömmlichen Mathematik: Mit \(||\cdot|{{|}_{d}}\) als Abstand zur nächsten ganzen Zahl gilt \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\;||na|{{|}_{d}}\;||nb|{{|}_{d}}=0\) für alle \(a,b\in {}^{\nu}\mathbb{R}\) und \(n\in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\).

Beweis: Für \(k, m \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) als Nenner der Kettenbruchentwicklung von \(a\) bzw. \(b\) mit Genauigkeit \(g \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0}\) und \(n/km\) immer wieder ganz liefert der dirichletsche Approximationssatz⁹s. Scheid, a.a.O., S. 63: \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n||na|{{|}_{d}}||nb|{{|}_{d}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,n\mathcal{O}{{(\tilde{n})}^{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \inf }}\,\mathcal{O}(\tilde{n})=0.\square\]Widerlegung durch die Nichtstandardmathematik: Für \(a = b := {\tilde{\omega}^{\check{3}}}\) gilt \(\omega \;||\omega a|{{|}_{d}}\;||\omega b|{{|}_{d}}= 1.\square\)

Satz von Collatz: Aus \(n_{\grave{k}} := 3n_k+1-\chi_{2\mathbb{N}}(n_k)(\check{5}n_k+1)\) mit Anfang \(n_0 = n\) folgt \(n_{\omega} \in \{1, 2, 4\}\) für alle \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\) mit \(r\) Darstellungen aus \(\{1, …, 2^rm\}\) und (un-) geradem \(m \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}\).

Beweis: Der Erwartungswert ist im Mittel bis zur Bestimmung von \(m\) ca. \((3/4)^{\check{m}}\) des Ausgangswertes. Vor dem trivialen Zyklus gibt es keinen weiteren¹⁰Slapničar, Ivan: There are no cycles in the 3n + 1 sequence, arXiv: 1706.08399v1. Nach maximal \(s\) erzwungenen Schritten ist die Wahrscheinlichkeit für \(\grave{n} = 2^s\) anzusteigen durchschnittlich und es folgt die Behauptung.\(\square\)

Beispiel: Für \(s \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit Re\((s) \le 1\) und \(z := \tilde{2}^{\acute{s}}\) hat \(\zeta(s) = {+}_{n=1}^{\omega}{\tilde{n}^s}\) definitiv keine analytische Fortsetzung¹¹vgl. Ivic, Aleksandar: The Riemann Zeta-Function; Reprint; 2003; Dover Publications; Mineola, S. 4 und ist damit nullstellenfrei. Dies widerlegt die Riemannsche Vermutung:\[{\mp}_{n=1}^{\mathrm{\omega}}\tilde{n}^s=z{+}_{n=1}^{\mathrm{\check{\omega}}}\tilde{n}^s-{+}_{n=1}^{\mathrm{\omega}}\tilde{n}^s\neq\acute{z}{+}_{n=1}^{\mathrm{\omega(/2)}}\tilde{n}^s.\]Satz: Da die Dirichletsche \(L\)-Funktion \(L\left(s,\chi\right)={+}_{n=1}^{\omega}{\chi\left(n\right)\tilde{n}^s}\) offenbar nur Nullstellen für \(s = 0\) und nichttriviale Dirichlet-Charaktere \(\chi(n)\) hat, widerlegt sie die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.\(\square\)

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