Wissenschaftliches Rechnen

Im Folgenden werden Mengenlehre und Nichtstandardanalysis vorausgesetzt.

Bemerkungen: Ist der Betrag von \(x \in \mathbb{C}\) von anderer Größenordnung als der von \({\downarrow}x\) bzw. \(\widetilde{{\downarrow}x}\), liefert \[{{s}^{(0)}}(x):={\pm}_{m=0}^{n}{x^m}=(1-{{(-x)}^{\grave{n}}})/\grave{x}\]durch Ableitung\[{{s}^{(1)}}(x)={\mp}_{m=1}^{n}{m{x^{\acute{m}}}}=(\grave{n}{{(-x)}^{n}}-n{{(-x)}^{\grave{n}}}-1)/{{{\grave{x}}^{2}}}.\]Obige Formeln wurden z. T. falsch berechnet. Letztere lässt sich für hinreichend kleine \(x\) und hinreichend, aber nicht zu große \(n\) noch zu \({-\grave{x}}^{-2}\) vereinfachen und bleibt auch für nicht zu große \(x \ge 1\) gültig. Durch sukzessive Multiplikation von \({s}^{(j)}(x)\) mit \(x\) für \(j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und anschließende Differentiation ergeben sich weitere Formeln für \({s}^{(j+1)}(x)\) als Beispiele auch divergenter Reihen. Wird hingegen \({s}^{(0)}(-x)\) von 0 bis 1 integriert und \(n := \omega\) gesetzt, ergibt sich ein Integralausdruck für \({_e}\omega + \gamma\) mit der Eulerschen Konstante \(\gamma\).

Die Regel von de l’Hospital löst den Fall \(x = -1\). Über die binomische Reihe ergibt die Substitution \(y := -\acute{x}\) eine Reihe mit unendlichen Koeffizienten (die Reihendarstellung von \({}_e\omega\) sogar für \(\gamma\)). Wird der Zähler von \({s}^{(0)}(x)\) unzulässig zu 1 vereinfacht, können sich falsche Ergebnisse einstellen, insbesondere wenn \(|x| \ge 1\) gilt. So ist \({s}^{(0)}(-{e}^{\pi i})\) bspw. 0 für ungerades \(n\) und 1 für gerades \(n\), aber nicht \(\tilde{2}\).

Definition: Seien \(f_n^*(z) = f(\eta_nz)\) die Schwestern zur TR \(f(z) \in \mathcal{O}(D)\) um 0 auf dem Gebiet \(D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\) mit \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und \(\eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}}\) sowie \(\delta_n^*f = \tilde{2}(f – f_n^*)\) die halben Schwesterabstände von \(f.\) Sei \(\mu_n^m := m!n!/(m + n)!\) und \(\widetilde{(-n)!} := 0\). Für \(j, k \in {}^{\omega}\mathbb{N}, f \in \mathcal{C}_{\pi}^{j+2}\) und die Fourierkoeffizienten \(c_k := \tilde{\hat{\pi}}{\uparrow}_{-\pi}^{\pi}{f(t)\tilde{e}^{ikt}{\downarrow t}}\)¹vgl. Walter, Wolfgang: Analysis 2; 5., erw. Aufl.; 2002; Springer; Berlin, S. 358 ff. heißt die Reihe \({+}_{k=-\omega}^{\omega}{c_ke^{ikt}}\) Fourierreihe.\(\triangle\)

Bemerkung: Ein Umrechnen auf andere Periodenlängen als \(\hat{\pi}\) ist leicht möglich²s. a.a.O., S. 364. Auf Ebene der TRn³vgl. Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1; 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 165 f. bilden \(\mu\) und \(\eta\) den \(\mu\)-\(\eta\)-Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.

Darstellungssatz für Integrale: Die TR (s. u.) \(f(z) \in \mathcal{O}(D)\) um 0 auf \(D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\) ergibt mit \(\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*\)\[{\uparrow}_0^z…{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;…\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square\]Beispiel: Für die TRn \(f(x), g(x) \in {}^{\omega}\mathbb{R}\) gilt\[{\uparrow}_0^x{f(v){\downarrow}v}{\uparrow}_0^x{\uparrow}_0^{y}{g(v){\downarrow}v{\downarrow}y} = \tilde{2}f(x\mu_1)g(x\mu_2)x^3.\]Darstellungssatz für Ableitungen: Mit \(\mathbb{B}_{\tilde{\nu}}(0) \subset D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\) ergeben die \(n\)-ten Einheitswurzeln, die TR\[f(z):=f(0) + {+}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},\]\(b_n := \tilde{\varepsilon}^{n}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in \;]0, r[, u :=e^{\tilde{n} \hat{\pi}i}\) und der Konvergenzradius \(r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0}\) von \(f\)\[{{f}^{(n)}}(0)=b_n{+}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\varepsilon u^k)}.\square\]Universeller Mehrschrittsatz: Mit \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, {\downarrow}_{{}^\curvearrowright} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k({}^\curvearrowright x) := g_{\acute{k}}(x)\) und \(g_0(a) = f(({}^\curvearrowleft)a, y_0, … , y_{\acute{n}})\) ergibt die TR des Anfangswertproblems \(n\)-ter Ordnung \(y^\prime(x) = f(x, y(({}^\curvearrowright)^0 x), … , y(({}^\curvearrowright)^{\acute{n}} x))\)\[y({}^\curvearrowright x) = y(x) + {\downarrow}_{{}^\curvearrowright}x{\pm}_{k=1}^{p}{\left (g_{p-k}(({}^\curvearrowright) x){+}_{m=k}^{p}{\widetilde{m!}\tbinom{\acute{m}}{\acute{k}}}\right )} + \mathcal{O}(({\downarrow}_{{}^\curvearrowright} x)^{\grave{p}}).\square\]Auf- und Ableitungssatz für TRen: Mit \(j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}\), \(q = \tilde{\varepsilon}(z-a)\), \(a \in D\) und \(k, m \in \mathbb{N}_{<n}\) ergeben modulare Arithmetik⁴vgl. Knuth, Donald Ervin: The Art of Computer Programming Volume 2; 3rd Ed.; 1997; Addison Wesley; Reading, S. 302 – 311 und die \(n\)-ten Einheitswurzeln die entsprechende DFT-Form:\[{\updownarrow}^jf_n(z) := \tilde{n}(q^k)^T(\delta_{km}\widetilde{\varepsilon q}^j\widetilde{(k-j)!}k!)({\tilde{u}}^{km})(f({\varepsilon u}^m+a))+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square\]Folgerung: DFT-Nullstellenverfahren iterieren Nullstellen \(a \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) zu jeder um Vorgaben \(z_0 \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) in eine TR entwickelbaren Funktion \(f(z) \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) mit jeweils gleicher Konvergenz wie in Simpson-ähnlichen Verfahren, wenn \({\updownarrow}^0f_n(z)\) bei hinreichend genauen \(|z_{\grave{m}} – z_m|\) und \(m \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) (mehrfach) abgeleitet wird.\(\square\)

Bemerkung: Die Identität anstatt \(\delta_n^*\) liefert beliebig genaue Näherungen für die \(f^{(n)}\). Für durch Produkte gegebene Funktionen ist der Satz besonders von Vorteil. Letztere Sätze gelten für mehrdimensionale TRn (mit mehreren Summen) und Laurent-Reihen ebenso. Der Fehler für analog definierte \(m\)-dimensionale DFT-Formen der TR mit je \(\binom{m+n}{n}\) Ableitungen ist bei vergleichbarem Aufwand \(\mathcal{O}(\varepsilon^n)\) statt \(\mathcal{O}(\varepsilon)\). Eine gute Wahl ist \(\varepsilon = \tilde{2}\) und \(n = 64\) sowie in obenstehender Folgerung \(n = 16\).

Ableitungssatz für Fourierreihen: Mit \(m \in \mathbb{N}_{<\hat{n}}\) und \(k \in [-\acute{n}, n] \cap \mathbb{Z}\) ergeben die \(\hat{n}\)-ten Einheitswurzeln die auch für größere Intervalle gültige DFT-Form:\[{\downarrow}^jf_n(t):=(u^{\tilde{\pi}knt})^T(\delta_{(k+\acute{n})m}(ik)^j)(\tilde{u}^{km})(f(\pi m/n – \pi))/{\hat{n}}+\mathcal{O}(\tilde{n}).\square\]Folgerung: Die Stützstellen \(mr := \pi m/n\) des glatten \(f(mr)\) liefern mit \(k\) wie \(m\) interpolierend in \(\mathcal{O}(_en n)\):\[{\downarrow}^jf_n(t):=(u^{\tilde{r}kt})^T(\delta_{km}(ik)^j)(\tilde{u}^{km})(f(mr))/{\hat{n}}.\square\]Satz (DFT-Fixpunktverfahren): Jedes \(z \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) eines beliebigen \(m\)-Polynoms \(p(z) = 0\) mit \(m \in [2, n] \cap \mathbb{N}\) für \(n := 2^r, r \in {}^{\nu}\mathbb{N}^*\) und Koeffizienten aus \({}^{\nu}\mathbb{C}\) lässt sich (als Anschub) ebenfalls in \(\mathcal{O}(_en n)\) bestimmen.

Beweis und Algorithmus: Sei \(U = (\tilde{u}^{jk})\) mit \(j, k \in \mathbb{N}_{<n}, u :=e^{\tilde{n} \hat{\pi}i}, q := \hat{z}\) und \(s_k := p(\tilde{2}u^k)\). Eine einfache Transformation erreicht \(|q| < \tilde{2}\) für alle Nullstellen \(\zeta\) von \(p(z)\) und \(p(0) = 1\). Für \(p(z) = \tilde{n}(q^j)^TUs = \tilde{n}\mu^Ts = 0\) ergibt sich die vereinfachte Iteration \(\mu^* = U_{1}^{-T}\mu U((\delta_{jk}\tilde{u}^j)U^{-1}\mu-(U_{\acute{n}}^{-T}\mu+\beta s^T\mu, \beta s^T\mu, …, \beta s^T\mu)^T)\) mit dem Kronecker-Delta \(\delta_{jk}\), dem Startpunkt \(q := \tilde{2}\) und \(\beta \in {}^{\nu}\mathbb{C}^*\), sodass jeweils sich \(||\mu^*-\mu||\) ungefähr halbiert und \(\mu^Ts = 0\) gilt. Für \(m > 2\) bildet Polynomdivision den Schluss.\(\square\)

Reihensatz für Integrale: DFT-Formen der TR zeigen für \(c, x \in [0, a], f \in {}^{\nu}\mathcal{C}^{n}\) und \(n, \hat{p}, r = 2^p \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*\)\[{\uparrow}_0^1 g(y){\downarrow}y = 2{+}_{\check{q}=1}^{\check{r}}{{+}_{\check{m}=0}^{\check{n}-1}{\widetilde{\grave{m}!}g^{(m)}\left (\tilde{r}\acute{q} \right){\tilde{r}}^{\grave{m}}}}+\mathcal{O}\left(\widetilde{\grave{n}!}g^{(n)}(\tilde{a}c){\tilde{r}}^n\right).\square\]Bemerkungen: DFT-Äquivalente können die \(g^{(m)}\) mit \(g(y) := af(ay)\) und \(a > 0\) ersetzen. Die Transformation \(z := e^{\pm x}\) macht hier unendliche Integralgrenzen endlich. Die Mittelpunktregel ist vorteilhafter als die Trapezregel.

Beispiel: Das vollständige elliptische Integral I. und II. Art ist mit \(g(\vartheta) := \check{\pi}(1 – {\varepsilon}^2 {\sin}^2(\check{\pi}\vartheta))^{\mp\tilde{2}}\) und \(\varepsilon \in \; ]0, 1[\)\[{\uparrow}_0^{1} g(\vartheta) {\downarrow}\vartheta = g(\check{1}) + \widetilde{24} g^{(2)}(\check{1}) + \widetilde{1920} g^{(4)}(\check{1}) + \mathcal{O}\left(\widetilde{9!}g^{(6)}(\check{1})\right).\]Zweite Euler-Maclaurin-Formel: Der vorangehende Satz liefert in \(\mathcal{O}(_en n)\) für \(f(\check{q}) = g(\tilde{r}\acute{q})\) und \(k = \grave{a} = \grave{r}\)\[{+}_{\check{q}=1}^{\check{r}} f(\check{q}) = {\uparrow}_{\check{1}}^{\check{k}} f(x){\downarrow}x + {+}_{\check{m}=1}^{\check{n}-1} H_m \left (f^{(\acute{m})}(\check{k}) – f^{(\acute{m})}(\check{1}) \right ) + \mathcal{O}\left (H_n \left (f^{(\acute{n})}(\check{k}) – f^{(\acute{n})}(\check{1}) \right )\right ).\]Beweis: Für \(h(x)=x/\sin x\) und \(H_m := {i}^m\widetilde{m!}h^{(m)}(0)=\widetilde{m!}B_m(2-2^m) \rightarrow 2(i\tilde{\pi})^m\) folgt aus\[{+}_{\check{q}=1}^{\check{r}} g(\tilde{r}\acute{q}) = \tilde{2}r{\uparrow}_0^1 g(y){\downarrow}y – {+}_{\check{q}=1}^{\check{r}}{+}_{\check{m}=1}^{\check{n}-1} {\widetilde{\grave{m}!}g^{(m)}\left (\tilde{r}\acute{q} \right)} + \mathcal{O}\left(\widetilde{\grave{n}!}g^{(n)}(\tilde{a}c){\tilde{r}}^n\right)\]durch Einsetzen und Zusammenfassen der in Abhängigkeit von Partitionen gezählten Fakultäten die Behauptung, wobei die \(B_m\) Bernoulli-Zahlen sind und \(B_{\grave{m}} = 0, B_0=1\) sowie \(B_1=-\tilde{2}\) gilt.\(\square\)

Folgerung: Es gilt \(n! \sim (\hat{\pi} – \widetilde{3k}\pi)^{\tilde{2}}(\tilde{e}\check{k})^{\check{k}}\) für \(f(n) = {}_en\) und \(r = \hat{n}\).

Beweis: Mit \((1+\tilde{r})^{\check{k}} \sim e^{\tilde{2}}\) und \((1-\tilde{n})^{\tilde{2}} \sim 1-\tilde{r}\) (vgl. Nichtstandardanalysis) ergibt sich:\[\begin{aligned}{}_en! &={\uparrow}_{\check{3}}^{\check{k}} f(x){\downarrow}x + {+}_{\check{m}=1}^{\check{n}} H_m \left (f^{(\acute{m})} (\check{k}) – f^{(\acute{m})} (\check{3}) \right ) + \mathcal{O}\left( H_{n+2} \left (f^{(\grave{n})} (\check{k}) – f^{(\grave{n})} (\check{3})\right)\right) \\ &= \check{k}\left (_e{\check{k}} – 1 \right ) – \check{3}\left (_e{\check{3}} – 1 \right ) – \left (\tilde{k} – \tilde{3} \right )/12 + 7\left (\tilde{k}^3 – \widetilde{27} \right )/360 \mp \cdots .\square\end{aligned}\]Erste Euler-Maclaurin-Formel: Vollständige Induktion nach \(n\) zeigt\[+_{\check{q}=0}^{\check{r}}f(\check{q})=\uparrow_0^{\check{r}}{f\left(x\right){\downarrow}x}+\tilde{2}(f(\check{r})+f(0))++_{\check{m}=1}^{\check{n}-1}{\widetilde{m!}}B_m\left(f^{(\acute{m})}\left(\check{r}\right)-f^{(\acute{m})}\left(0\right)\right)+\mathcal{O}\left({\widetilde{n!}}B_n\left(f^{(\acute{n})}\left(\check{r}\right)-f^{(\acute{n})}\left(0\right)\right)\right).\square\]

Programmtext der FFT-Form

© 2022 by Boris Haase

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