Topologie

Im Folgenden wird die Mengenlehre mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) vorausgesetzt.

Definition: Gehört zu \(\mathbb{Y} \subseteq \mathcal{P}(X)\) neben \(\emptyset\) und \(X \subseteq R\) jeder Durchschnitt und jede Vereinigung von Mengen aus \(\mathbb{Y}\), heißt ein Mengensystem \( \mathbb{Y}\) Topologie auf \(X\). Das Paar \((X, \mathbb{Y})\) heißt topologischer Raum. Gilt \(\mathbb{Y} = \mathcal{P}(X)\), heißt die Topologie diskret. Lässt sich jede Menge aus \(\mathbb{Y}\) als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus \(B \subseteq \mathbb{Y}\) schreiben, heißt die Menge \(B\) eine Basis von \(\mathbb{Y}\). Jede irreflexive Relation \(N \subseteq {A}^{2}\) etabliert eine NR in \(A \subseteq X\) mit der Grundmenge \(X\).\(\triangle\)

Beispiele: Für \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{A}_\mathbb{R}, \mathbb{A}_\mathbb{C}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) ist genau die jeweilige diskrete Topologie die Basis.

Definition: Gilt \((a, b) \in N\), heißt \(a\) Nachbar von oder benachbart zu \(b\). Speziell heißt ein Element \(x \in A \subseteq X\) Nachbar von einem Element \(y \in A\) mit \(x \ne y\), wenn für alle \(z \in X\) und eine Abbildung \(d: {X}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt: (1) \(d(x, y) \le \text{max }\{\text{min }\{d(x, z), d(z, x)\}, \text{min }\{d(y, z), d(z, y)\}\}\) und (2) \(d(z, z) = 0\). Hierbei heißt \(d\) Nachbarschaftsmetrik. Die Menge aller Punkte \(P = R \cup V\) sei eine Zerlegung in die realen Punkte \(R\) und die virtuellen Punkte \(V\) mit \(R, V \ne \emptyset = R \cap V\). Ist \(R\) oder \(V\) klar, wird es jeweils weggelassen.\(\triangle\)

Definition: Jede Menge \(A \subseteq R\) etabliert ihr Komplement \(A^{\prime} := R \setminus A\) in \(R\). \(A^{\prime}\) heißt auch das Äußere von \(A\). Alle Punkte von \(V \; (A)\), die einen Nachbarn aus \(R \; (A^{\prime} \cup V)\) haben, bilden den (inneren) Rand \(\partial V \; (\partial A)\) von \(V \; (A)\). Hierbei hat \({}^{\prime}\) Vorrang vor \(\partial\). Bei sukzessiver weiterer Anwendung von \(\partial\) wird das Argument jeweils als ohne Komplement angesehen. Das Innere von \(A\) sei \(A° := A \setminus \partial A\). Wird \(\partial A \subseteq A\) vergrößert durch die Bedingung min \(\{d(x, y) : x \in A°, y \in A^{\prime}\} = \tilde{\nu}\), sei \(A^{\ll} := A \setminus \partial A.\triangle\)

Definition: Eine Menge \(S \subseteq R \; (V)\) heißt zusammenhängend, wenn für jede Zerlegung von \(S\) in \(Y \cup Z\) mit \(Y, Z \ne \emptyset = Y \cap Z\) gilt: \(\partial Y^{\prime} \cap \partial Z \ne \emptyset \ne \partial Z^{\prime} \cap \partial Y\). \(S \subseteq R\) heißt darüber hinaus einfach zusammenhängend, wenn gilt: Sowohl \(\partial Y^{\prime} \cap \partial Z \cup \partial Z^{\prime} \cap \partial Y\) für jede Zerlegung in zusammenhängende \(Y\) und \(Z\) als auch \(S^{\prime} \cup (\partial)V\) mit \(S^{\prime}\) als Komplement von \(S\) in \(R\) ist mit zusammenhängendem (\(\partial)V\) zusammenhängend. \(P\) und \(R\) seien einfach zusammenhängend. Jedes \(U \subseteq R\) heißt Umgebung von \(x \in R\), wenn \(x \in U°\) gilt.\(\triangle\)

Definition: Eine \(h\)-homogene Teilmenge von \(R := \mathbb{R}^{m}\) mit \(m \in \mathbb{N}^{*}\) heißt genau dann \(n\)-dimensional mit \(m \ge n \in \mathbb{N}^{*}\), wenn sie mindestens einen \(n\)-Würfel mit Kantenlänge \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) und maximalem \(n\) enthält. Analog wird \(R := \mathbb{C}^{m}\) etabliert. Es sei Dim \({}^{(\omega)}\mathbb{C} = 2\). Die Menge \({\mathbb{B}}_{r}(a) := \{z \in K := {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} : ||z – a|| \le r\}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{R} \; (\mathbb{C})\) heißt reelle (komplexe) (2)n-Kugel oder kurz Kugel mit dem Radius \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) um den Mittelpunkt \(a \in K\). Ihr Rand heißt reelle (komplexe) (2)n-Sphäre \({\mathbb{S}}_{r}(a)\) oder kurz Sphäre.\(\triangle\)

Beispiele: Jede Kugel ist einfach zusammenhängend und für \(r > \iota\) ist jede reelle \(n\)-Sphäre mit \(n \ge 2\) nur zusammenhängend und jede reelle 1-Sphäre unzusammenhängend. Es gilt \(r_1 = r_2 = 3\)¹Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H.: Counterexamples in Analysis; Republ., unabr., slightly corr.; 2003; Dover Publications; Mineola, New York, S. 160.

Satz: Ein Durchlaufen von bis zu neun Feldern eines Tic-Tac-Toe-Spielfeldes macht die einelementige Menge zur einzigen zusammenhängenden mit Fixpunkteigenschaft (ungültiger Satz vom Igel).\(\square\)

Definition: Ist \(a = 0\) und \(r = 1\), ergibt sich die Einheitskugel mit dem Spezialfall Einheitskreisscheibe \(\mathbb{D}\) für \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) und \(n = 1\). Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig, wenn für jeden Punkt bei Abbildbarkeit gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt. Bestehen die Elemente einer Menge aus \(n\) maximalen Würfeln mit Kantenlänge \(\iota\), hat sie Dimension \({}_{\tilde{\iota}}n.\triangle\)

Satz: Für \(n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\) lässt sich keine endliche Zerlegung einer \(n\)-Kugel zu einem \(n\)-Würfel zusammensetzen, da endlich viele konvexe Begrenzungen nicht konkave Pendants gleicher Größenordnung haben können.\(\square\)

Bemerkung: Bei allen kontrahierenden Deformationen sind Punkte so aus der Zielmenge zu entfernen wie es die Kontraktion vorgibt. Erst dann gilt die (verallgemeinerte) Poincaré-Vermutung.

Bemerkung: Die benachbarten Randpunkte des herkömmlich abgeschlossenen [0, 1] und des herkömmlich offenen ]0, 1[ besitzen insbesondere nicht die Hausdorffeigenschaft²s. Querenburg, Boto von: Mengentheoretische Topologie; 3., neu bearb. u. erw. Aufl.; 2001; Springer; Berlin, S. 83.. Damit kann nicht jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum oder normal sein und auch die (prä-)regulären Räume sind eingeschränkt. Die Räume \(\mathbb{C}^{n}\) und \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) besitzen also nur die Fréchet-Topologie³vgl. Kowalsky, Hans-Joachim: Topologische Räume; 1. Aufl.; 1961; Birkhäuser; Basel, S. 62 ff.. In der teilweise unpräzisen herkömmlichen Mathematik ergibt sich dagegen ein anderes Bild.

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