Im Folgenden wird die Mengenlehre mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) vorausgesetzt.
Definition: Gehört zu \(\mathbb{Y} \subseteq \mathcal{P}(X)\) neben \(\emptyset\) und \(X \subseteq R\) jeder Durchschnitt und jede Vereinigung von Mengen aus \(\mathbb{Y}\), heißt ein Mengensystem \( \mathbb{Y}\) Topologie auf \(X\). Das Paar \((X, \mathbb{Y})\) heißt topologischer Raum. Gilt \(\mathbb{Y} = \mathcal{P}(X)\), heißt die Topologie diskret. Lässt sich jede Menge aus \(\mathbb{Y}\) als Vereinigung beliebig vieler Mengen aus \(B \subseteq \mathbb{Y}\) schreiben, heißt die Menge \(B\) eine Basis von \(\mathbb{Y}\). Jede irreflexive Relation \(N \subseteq {A}^{2}\) etabliert eine NR in \(A \subseteq X\) mit der Grundmenge \(X\).\(\triangle\)
Definition: Gilt \((a, b) \in N\), heißt \(a\) Nachbar von oder benachbart zu \(b\). Speziell heißt ein Element \(x \in A \subseteq X\) Nachbar von einem Element \(y \in A\) mit \(x \ne y\), wenn für alle \(z \in X\) und eine Abbildung \(d: {X}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt: (1) \(d(x, y) \le \text{max }\{\text{min }\{d(x, z), d(z, x)\}, \text{min }\{d(y, z), d(z, y)\}\}\) und (2) \(d(z, z) = 0\). Hierbei heißt \(d\) Nachbarschaftsmetrik. Die Menge aller Punkte \(P = R \cup V\) sei eine Zerlegung in die realen Punkte \(R\) und die virtuellen Punkte \(V\) mit \(R, V \ne \emptyset = R \cap V\). Ist \(R\) oder \(V\) klar, wird es jeweils weggelassen.\(\triangle\)
Definition: Jede Menge \(A \subseteq R\) etabliert ihr Komplement \(A^{\prime} := R \setminus A\) in \(R\). \(A^{\prime}\) heißt auch das Äußere von \(A\). Alle Punkte von \(V \; (A)\), die einen Nachbarn aus \(R \; (A^{\prime} \cup V)\) haben, bilden den (inneren) Rand \(\partial V \; (\partial A)\) von \(V \; (A)\). Hierbei hat \({}^{\prime}\) Vorrang vor \(\partial\). Bei sukzessiver weiterer Anwendung von \(\partial\) wird das Argument jeweils als ohne Komplement angesehen. Das Innere von \(A\) sei \(A° := A \setminus \partial A\). Wird \(\partial A \subseteq A\) vergrößert durch die Bedingung min \(\{d(x, y) : x \in A°, y \in A^{\prime}\} = \tilde{\nu}\), sei \(A^{\ll} := A \setminus \partial A.\triangle\)
Definition: Eine Menge \(S \subseteq R \; (V)\) heißt zusammenhängend, wenn für jede Zerlegung von \(S\) in \(Y \cup Z\) mit \(Y, Z \ne \emptyset = Y \cap Z\) gilt: \(\partial Y^{\prime} \cap \partial Z \ne \emptyset \ne \partial Z^{\prime} \cap \partial Y\). \(S \subseteq R\) heißt darüber hinaus einfach zusammenhängend, wenn gilt: Sowohl \(\partial Y^{\prime} \cap \partial Z \cup \partial Z^{\prime} \cap \partial Y\) für jede Zerlegung in zusammenhängende \(Y\) und \(Z\) als auch \(S^{\prime} \cup (\partial)V\) mit \(S^{\prime}\) als Komplement von \(S\) in \(R\) ist mit zusammenhängendem (\(\partial)V\) zusammenhängend. \(P\) und \(R\) seien einfach zusammenhängend. Jedes \(U \subseteq R\) heißt Umgebung von \(x \in R\), wenn \(x \in U°\) gilt.\(\triangle\)
Definition: Gilt \(\emptyset \ne \mathbb{D} \subseteq (X, \mathbb{Y})\), heißt ein zusammenhängendes \(\mathbb{D}\) Gebiet. Mit \(m \in \mathbb{N}^{*}\) heißt die Menge \(h\)-\(S \subseteq \mathbb{R}^{m}\) genau dann \(n\)-dimensional mit \(m \ge n \in \mathbb{N}^{*}\), wenn sie mindestens einen \(n\)-Würfel mit Kantenlänge \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) und maximalem \(n\) enthält. Sei \({}^1\dot{\mathbb{R}}^n\) die Einheitskugel mit dem Spezialfall Einheitskreisscheibe \({}^1\dot{\mathbb{R}}^2\). Mittelpunkte \(a\) von \(n\)-Kugeln und \(n\)-Würfeln werden evtl. dahinter in Klammern als (\(a\)) notiert. Bestehen die Elemente einer Menge aus \(n\) maximalen Würfeln mit Kantenlänge \(\iota\), hat sie Dimension \({}_{\tilde{\iota}}n.\triangle\)
Beispiele: Für \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{A}_\mathbb{R}, \mathbb{A}_\mathbb{C}, \mathbb{R}\) und \(\mathbb{C}\) ist genau die jeweilige diskrete Topologie die Basis. Der Rand jeder \(n\)-Kugel mit \(n \ge 2\) ist nur zusammenhängend, sie selbst hängt einfach zusammen. Für \(n = 1\) sind beide unzusammenhängend. Mit \(n \ge 2\) und \(r \in \mathbb{R}_{>0}\) ist der \(n\)-Torus \({}^r\mathbb{T}^n := \left(\partial{}^r\dot{\mathbb{R}}\right)^n\) nur zusammenhängend.
Satz: Für \(n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\) lässt sich keine endliche Zerlegung einer \(n\)-Kugel zu einem \(n\)-Würfel zusammensetzen, da endlich viele konvexe Begrenzungen nicht konkave Pendants gleicher Größenordnung haben können.\(\square\)
Satz: Ein Durchlaufen von bis zu neun Feldern eines Tic-Tac-Toe-Spielfeldes macht die einelementige Menge zur einzigen zusammenhängenden mit Fixpunkteigenschaft (ungültiger Satz vom Igel).\(\square\)
Definition: Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen heißt stetig, wenn für jeden abgebildeten Punkt gilt: für jede Umgebung des Bildpunktes dieses Punktes gibt es eine Umgebung des Punktes, deren Bild komplett in der Umgebung des Bildpunktes liegt.\(\triangle\)
Bemerkung: Die suggestiven Begriffe Kompaktheit und (die eventuell irreführende) Abzählbarkeit werden nicht verwendet, da sie bei unendlichen Mengen wie \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{N}\) nicht vorliegen. Bei allen kontrahierenden Deformationen sind Punkte so aus der Zielmenge zu entfernen wie es die Kontraktion vorgibt. Erst dann gilt die (verallgemeinerte) Poincaré-Vermutung.
Bemerkung: Die benachbarten Randpunkte des herkömmlich abgeschlossenen [0, 1] und des herkömmlich offenen ]0, 1[ besitzen insbesondere nicht die Hausdorffeigenschaft1s. Querenburg, Boto von: Mengentheoretische Topologie; 3., neu bearb. u. erw. Aufl.; 2001; Springer; Berlin, S. 83. Damit kann nicht jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum oder normal sein und auch die (prä-)regulären Räume sind eingeschränkt. Die Räume \(\mathbb{C}^{n}\) und \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}^{*}\) besitzen also nur die Fréchet-Topologie2vgl. Kowalsky, Hans-Joachim: Topologische Räume; 1. Aufl.; 1961; Birkhäuser; Basel, S. 62 ff.. In der teilweise unpräzisen herkömmlichen Mathematik ergibt sich dagegen ein anderes Bild.
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