Euklidische Geometrie

Das Folgende setzt Mengenlehre, Topologie und Nichtstandardanalysis voraus.

Definition: Sei \(R\) ein euklidischer Raum als Unterraum von \(\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 3}\) (s. Mengenlehre). Zwei verschiedene Punkte als Elemente von \(R\) heißen (Punkte-)Paar. Ein (ein-) zweidimensionaler Unterraum von \(R\) wird als (Gerade) Ebene bezeichnet. Eine eindimensionale Punktmenge in \(R\), bei der jeder Punkt lückenlos mindestens einen und höchstens zwei benachbarte Punkte hat, heißt Linie. Der Abstand ist durch die euklidische Norm \(||\cdot||\) gegeben und ergibt aufsummiert die euklidische Weglänge \(A.\triangle\)

Definition: Eine Strecke ist eine zusammenhängende Teilmenge einer Geraden, deren Anfangs- und Endpunkt sie genau bestimmen und mit jeweils nur einem Nachbarn endlichen Abstand haben. Zwei Strecken mit einem gemeinsamen inneren Punkt schneiden sich. Zwei durch Translation auseinander hervorgegangene Strecken heißen parallel. Die Punkte der Ebene mit dem gleichen Abstand (genannt Radius) zu einem weiteren Punkt werden als Kreis bezeichnet, der mit seinem Inneren eine Kreisscheibe bildet.\(\triangle\)

Ergebnis: Bei kürzer definierten Geraden gibt es für das Axiom von Pasch, das der Vollständigkeit und diverse andere Axiome sowie ihre Äquivalente mit Obigem viele Gegenbeispiele. Das Unterraumkonzept kann Hilberts Inzidenzaxiome I.6 und I.8 beweisen. Bestimmt eine Gerade eine parallele Gerade durch einen weiteren Punkt mit dem kürzesten Abstand eindeutig, ist das Parallelenaxiom in der euklidischen Geometrie redundant. Die Axiome der Anordnung und Kongruenz sind überflüssig.

Entgegen Hilberts Inzidenzaxiom I.4 reichen drei verschiedene Punkte nicht aus, um eine Ebene eindeutig zu bestimmen, da es verschiedene Unendlichkeiten gibt. Hilberts Inzidenzaxiom I.7 ist falsch¹vgl. Hilbert, David: Grundlagen der Geometrie; 2. Aufl.; 1903; Teubner; Leipzig; S. 2 – 17, da Ebenen im Unendlichen dennoch begrenzt sind und sich genau in einem Punkt schneiden können. Der Hauptsatz der Mengenlehre erlaubt alle (drei antiken) exakt nicht lösbaren Probleme über den Strahlensatz und Farey-Folgen²Scheid, Harald: Zahlentheorie; 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim, S. 62 f. mit beliebiger Genauigkeit zu lösen.

Sind zwei Geraden lediglich dann parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden, ist das Parallelenaxiom falsch: Der Kehrwert des Abstands des weiteren Punktes zu der ursprünglichen Geraden kann mindestens unendlich oder kleiner als \(|{}^{\omega }\mathbb{N}|\) sein und dann lassen sich unendlich viele verschiedene Geraden durch den weiteren Punkt legen, ohne die ursprüngliche Gerade zu schneiden. Hilberts vage Formulierung des Vollständigkeitsaxioms macht es letztlich nicht zukunftstauglich.

Das Archimedische Axiom ist auf eine unendliche natürliche Anzahl von Abtragungen einer Strecke auszudehnen, die nicht über den Anfangs- oder Endpunkt einer Geraden hinaus geschehen können. Es ist im endlichen Fall durch den Archimedischen Satz (s. Mengenlehre) zu ersetzen. Das Axiom von Pasch ist ebenso entbehrlich, da eine Gerade aufgrund ihrer maximalen Länge das Innere eines Dreiecks vollständig passieren muss, also auch ihren Rand, sofern einer ihrer Punkte in diesem Inneren liegt.

Lotsatz: Mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}\) enthält jede konvexe Menge \(S\) aus \({}^{\omega }\mathbb{R}^{n}\) einen Punkt, der das Fällen von \(\hat{n}\) Loten auf \(\partial S\) (auch auf eine Ecke) erlaubt, da dies in der Ebene alle \(90°\) möglich ist³vgl. Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K.: Unsolved Problems in Geometry; Reprint of 1st Ed.; 2013; Springer; New York; S. 14 f..\(\square\)

Toeplitz-Vermutung: Jede geschlossene Jordan-Kurve besitzt ein einbeschriebenes Quadrat.

Gegenbeispiele: Das rechtwinklige Dreieck mit Kathetenlänge \(\iota\) und das stumpfwinklige Dreieck mit dem geeignet infinitesimal verschobenen Eckpunkt des höchstens einen einbeschriebenen Quadrates.\(\square\)

Satz: Ein geeignetes infinitesimales Nebeneinanderlegen äquichordaler Punkte führt zu einem Jordanbereich mit mehr als einem äquichordalen Punkt⁴vgl. a.a.O. S. 9 f..\(\square\)

Satz von Fickett: Für jede Lage zweier überlappender kongruenter \(n\)-Quader \(P\) und \(Q\)⁵a.a.O. S. 25. mit \(n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, \grave{m} := \hat{n}\) und dem exakten Standardmaß \(\mu\) gilt, wobei \(\mu\) für \(n = 2\) gerade \(A\) ist:\[\widetilde{m} < r := \mu(\partial P \cap Q)/\mu(\partial Q \cap P) < m.\]Beweis: Das zugrundeliegende Extremalproblem hat sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen \(s\) und \(s + \hat{\iota}\). Mit \(q := 3 – \hat{\iota}\tilde{s}\) gilt min \(r = \tilde{q} \le r \le\) max \(r = q\). Der Beweis für \(n > 2\) verläuft analog.\(\square\)

© 2010-2017 by Boris Haase

Seitenbeginn