Nichtstandardanalysis

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Vorbemerkung: Im Folgenden gelten die Definitionen aus Mengenlehre sowie Topologie und es sei zumeist \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\). Die Integration und Differentiation in beliebigen stets nicht-leeren Teilmengen \(A\) von \({}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) wird untersucht. Das Abbildungskonzept verlangt, jedes außerhalb der Bildmenge abgebildete Element durch das jeweils nächste der Zielmenge zu ersetzen, im Fall der Nichteindeutigkeit durch Auswahl eines von ihnen. Das Folgende lässt sich leicht auf andere Mengen und Normen verallgemeinern.

Definition: Die Abbildung \(||\cdot||: \mathbb{V} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{\ge 0}\) mit \(\mathbb{V}\) Vektorraum über \({}^{(\omega)}\mathbb{K}\) heißt Norm, wenn für alle \(x, y \in \mathbb{V}\) und alle \(\lambda \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt: \(||x|| = 0 \Rightarrow x = 0\) (Definitheit), \(||\lambda x|| = |\lambda| \; ||x||\) (Homogenität) und \(||x + y|| \le ||x|| + ||y||\) (Dreiecksungleichung). Die Dimension von \(\mathbb{V}\) als der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren wird mit Dim \(\mathbb{V}\) bezeichnet. Die Normen \({||\cdot||}_{a}\) und \({||\cdot||}_{b}\) heißen äquivalent, wenn nicht-infinitesimale \(s, t \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{>0}\) existieren, sodass für alle \(x \in \mathbb{V}\) gilt:\[s||x||{}_{b} \le ||x||{}_{a} \le t||x||{}_{b}.\triangle\]Satz: Sei \(N\) die Menge aller Normen in \(\mathbb{V}\). Diese sind genau dann äquivalent, wenn \({||x||}_{a}/{||x||}_{b}\) für alle \({||\cdot||}_{a}, {||\cdot||}_{b} \in N\) und alle \(x \in \mathbb{V}^{*}\) endlich, aber nicht infinitesimal ist.

Beweis: Es werde \(s := \text{min }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}\) und \(t := \text{max }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}\) gesetzt.\(\square\)

Definition: In der Menge \(\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{\infty\}\) lässt sich mit \(\infty \gg \varsigma^2\) wie mit einer Konstanten rechnen. Das Ersetzen von \(\pm0\) durch \(\pm\hat{\infty}\) macht Berechnungen eindeutig und widerspruchsfrei. Der Flächeninhalt oder halbe Umfang des Einheitskreises definiert die Kreiszahl \(\pi =: \tau/2\) mit \(\iota := \pi/2\). Die Lösung von \({x}^{i\pi} = -1\) definiert die Eulersche Zahl \(e\). Dann definiert \({e}^{\ln \, z} = z\) eine Logarithmusfunktion ln und die zugehörige Potenzfunktion \({z}^{s} = {e}^{s \, \ln \, z}\) mit \(s, z \in \mathbb{C}\). Die Exponentiation lässt sich so auch lässt sich so auch (formal) definieren.\(\triangle\)

Bemerkung: Die Periode \(\tau\) muss Sinus und Kosinus definieren, da deren Potenzreihen nur für endliche Argumente konvergieren. Die Definition von \(e\) ist \(\mathcal{O}(\hat{\nu})\) größer als die durch \({(1 + \hat{\nu})}^{\nu}\): Die exakt differenzierte Exponentialreihe mit möglichst vielen Gliedern rechtfertigt erstere. Die genannte Abweichung kann sich beim genauestmöglichen Rechnen negativ auswirken: Zumeist muss eine Näherung ausreichen.

Lemma: Wegen \(\hat{\nu} m \le 1 \le a\) für alle \(m \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) und \(a \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{\ge 1}\) ist das Archimedische Axiom ungültig.\(\square\)

Archimedischer Satz: Es gibt ein \(m \in {}^{\nu}\mathbb{N}\) mit \(a < b m\) genau dann, wenn mit \(a, b \in {\mathbb{R}}_{>0}\) für \(a > b\) zumindest \(a < b \nu\) gilt, da \(\nu = \max {}^{\nu}\mathbb{N}\) ist.\(\square\)

Definition: Die Funktion \({\mu}_{h}: A \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) für eine \(m\)-dimensionale Menge \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) mit \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) kleiner gleich dem Minimalabstand der Punkte in \(A, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\le 2n}\) und \({\mu}_{h}(A) := |A| {h}^{m}\) sowie \({\mu}_{h}(\emptyset) = |\emptyset| = 0\) heißt exaktes h-Maß von \(A\) und \(A\) h-messbar. Das exakte Standardmaß sei \({\mu}_\text{d0}\) (ggf. ohne Angabe von d0).\(\triangle\)

Bemerkung: Damit wird das Maßproblem neu positiv beantwortet: Die Vereinigung \(A\) paarweise disjunkter \(h\)-homogener Mengen \({A}_{j}\) mit \(j \in J \subseteq \mathbb{N}\) ergibt offenbar additiv und eindeutig\[{{\mu }_{h}}(A)=\sum\limits_{j \in J}{{{\mu }_{h}}\left( {{A}_{j}} \right)}.\] Die strenge Monotonie folgt für \(h\)-homogene Mengen \({A}_{1}, {A}_{2} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \({A}_{1} \subset {A}_{2}\) aus \({\mu}_{h}({A}_{1}) < {\mu}_{h}({A}_{2})\). Ist \(h\) nicht bei allen betrachteten Mengen \({A}_{j}\) gleich, so wird das Minimum von allen \(h\) gewählt und homogenisiert wie in der Mengenlehre beschrieben. Im Folgenden sei \(||\cdot||\) die euklidische Norm.

Bemerkung: Das exakte \(h\)-Maß misst optimal: Es berücksichtigt nur die Nachbarschaftsrelationen eines Punktes, d. h. im Extremfall die Abstände der Punkte parallel zu den Koordinatenachsen. Begriffe wie \(\sigma\)-Algebra oder Nullmengen sind entbehrlich, da die leere Menge \(\emptyset\) die einzige Nullmenge ist.

Beispiele: Besteht \(A \subset {[0, 1[}^n\) aus Punkten mit kleinstwertigem Bit 1 (0) in allen \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) Koordinaten, so gilt \({\mu}_\text{d0}(A) = {2}^{-n}\). Da \(A\) eine unendliche und herkömmlich nicht abzählbare Vereinigung einzelner Punkte ist ohne Nachbarpunkte aus \({[0, 1[}^n\) in \(A\) und diese Punktmengen Lebesgue-Nullmengen darstellen, ist \(A\) nicht Lebesgue-messbar, wohl aber exakt messbar. Dichter zusammengeschobene Gebiete aus \({}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) haben keine kleinere (größere) Durchschnittsmenge (Vereinigungsmenge) als zuvor.

Definition: Die irreflexive symmetrische Nachbarschaftsrelation \(B \subseteq {A}^{2}\) beschreibt benachbarte Punkte in \(A\). Die Funktion \(\gamma: C \rightarrow A \subseteq \mathbb{C}{}^{n}\) mit einem \(h\)-homogenen \(C \subseteq \mathbb{R}\) und infinitesimalem \(h\) heißt Weg, wenn \(||\gamma(x) – \gamma(y)||\) für benachbarte \(x, y \in C\) infinitesimal ist und (\(\gamma(x), \gamma(y)) \in B\) gilt. Die Nachbarschaftsrelationen in \(B\) in \(A\) werden stets als (Vorgänger, Nachfolger) in der Form \(({z}_{0}, \curvearrowright {z}_{0})\) oder \((\curvearrowleft {z}_{0}, {z}_{0})\) notiert, wobei \(\curvearrowright\) „post“ und \(\curvearrowleft\) „prä“ gesprochen wird. Auf den Begriff der Kompaktheit wird in jeglicher Form verzichtet.\(\triangle\)

Definition: Sei \({z}_{0} \in A \subseteq \mathbb{K}^{n}\) und \(f: A \rightarrow {}^{(\nu)}\mathbb{K}^{m}\). Verlaufen Beweise analog zu denen mit Nachfolgern, verzichtet das Folgende auf solche mit Vorgängern. Gilt für infinitesimales \(\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}{}_{>0}\) die Beziehung \(||f(\curvearrowright B {z}_{0}) – f({z}_{0})|| < \alpha\), heißt \(f\) \(\alpha B\)-nachfolgerstetig in \({z}_{0}\) in Richtung \(\curvearrowright B {z}_{0}\). Spielt der genaue Betrag von \(\alpha\) keine Rolle, darf \(\alpha\) weggelassen werden. Ist \(f\) für alle \({z}_{0}\) und \(\curvearrowright B {z}_{0} \; \alpha B\)-nachfolgerstetig, so handelt es sich schlicht um \(\alpha B\)-Stetigkeit. Hierbei heißt \(\alpha\) der Grad der Stetigkeit. Gilt die Ungleichung nur für \(\alpha = \hat{\nu}\), handelt es sich schlicht um (\(B\)-Nachfolger-)Stetigkeit. Die \(\alpha B\)-Vorgängerstetigkeit ergibt sich analog.\(\triangle\)

Bemerkung: Praktisch ist \(\alpha\) durch eine Abschätzung (nach Betrachtung etwaiger Sprungstellen von \(f\)) zu bestimmen. Ist \(B\) klar oder unwichtig, darf es weggelassen werden – wie im Folgenden für \(B = {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{2n}\).

Beispiel: Die Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \{\pm 1\}\) mit \(f(x) = i^{2x/\text{d0}}\) ist in \(\mathbb{R}\) nirgends nachfolgerstetig, wohl aber ihr Betrag (vgl. Zahlentheorie). Hierbei ist \(x/\)d0 aufgrund der d0-Homogenität von \(\mathbb{R}\) ganzzahlig. Wird \(f(x) = 1\) für rationale \(x\) gesetzt und = -1 andernfalls, so ist \(f(x)\) in den nicht-rationalen \(x\) teilweise d0-nachfolgerstetig im Gegensatz zur herkömmlichen Auffassung.

Beispiel einer Peanokurve1Walter, Wolfgang: Analysis 2; 5., erw. Aufl.; 2002; Springer; Berlin, S. 188: „Die Funktion \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) sei gerade, periodisch mit der Periode 2 und in [0, 1] gegeben durch \[{g}(t)=\left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{für }0\le t<\tfrac{1}{3} \\ 3t-1 & \text{für }\tfrac{1}{3}\le t<\tfrac{2}{3} \\ 1 & \text{für }\tfrac{2}{3}\le t\le 1. \\ \end{array} \right.\,\]Offenbar ist \(g\) durch diese Angaben vollständig definiert und stetig. Die Funktion \(\phi: I = [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) sei definiert durch \[\phi(t) = \left( {\sum\limits_{k = 0}^{\infty} {\frac{{g({4^{2k}}t)}}{{{2^{k + 1}}}},} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} {\frac{{g({4^{2k + 1}}t)}}{{{2^{k + 1}}}}} } \right).“\]Wird \(\infty\) durch \(\omega\) ersetzt, ist die Funktion \(\phi\) mindestens stetig, da die Summen lokal letztlich lineare Funktionen in \(t\) sind. Dass sich so [0, 1] bijektiv auf \({[0, 1]}^{2}\) abbilden ließe, ist ein Irrtum: die Viererpotenzen in \(g\) und die von \(g\) angenommenen Werte 0 und 1 in zwei Teilintervallen dünnen \({[0, 1]}^{2}\) so stark aus, dass eine Bijektion unmöglich ist. Den Beweis auf rationale Punkte zu beschränken, ist schlicht unzureichend.

Definition: Für \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{m}\) heißt\[{d}_{\curvearrowright B z}f(z) := f(\curvearrowright B z) – f(z)\]\(B\)-Nachfolger-Differential von \(f\) in Richtung \(\curvearrowright B z\) in \(z \in A\). Ist Dim \(A = n\), so lässt sich \({d}_{\curvearrowright B z}f(z)\) durch \(d((\curvearrowright B){z}_{1}, … , (\curvearrowright B){z}_{n})f(z\)) angeben. Ist \(f\) die Identität, also \(f(z) = z\), lässt sich \({d}_{\curvearrowright B z}Bz\) statt \({d}_{\curvearrowright B z}f(z)\) schreiben. Sind \(A\) oder \(\curvearrowright B z\) klar oder unwichtig, dürfen sie weggelassen werden.\(\triangle\)

Definition: Gilt \(|f(\curvearrowright x) – f(x)| > \hat{\omega}\) für ein \(x\) zu \(f: A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\), so heißt \(x\) Sprungstelle. Ist der Betrag des \(B\)-Nachfolger-Differentials von \(f\) in Richtung \(\curvearrowright B z\) in \(z \in A\) kleiner als \(\alpha\) und infinitesimal, so ist \(f\) dort auch \(\alpha B\)-nachfolgerstetig. Eine (unendlich) reellwertige Funktion mit Argumenten \(\in {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{n}\) heißt konvex (konkav), wenn ihr Graph unterhalb (oberhalb) oder auf jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Kann „oder auf“ entfallen, gilt dies streng.\(\triangle\)

Satz: Alle in \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{n}\) konvexen bzw. konkaven Funktionen \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) sind \(\alpha B\)-nachfolgerstetig und \(B\)-nachfolgerdifferenzierbar.\(\square\)

Definition: Die \(m\) arithmetischen Mittel aller \({f}_{k}(\curvearrowright B z)\) von \(f(z)\) bilden die \(m\) gemittelten genormten Tangentialnormalenvektoren von \(m\) (eindeutig bestimmten) Hyperebenen, die die \(mn\) stetigen partiellen Ableitungen für die Jacobi-Matrix eines nicht unbedingt stetigen \(f\) liefern. Die Hyperebenen werden dabei so angesetzt, dass sie jeweils durch \({f}_{k}(\curvearrowright B z)\) und das nach 0 translatierte \(f(z)\) gehen. Den Betrag ihrer Koeffizienten minimiert ein sehr einfaches linear lösbares lineares Programm (vgl. Lineare Optimierung) .\(\triangle\)

Definition: Die partielle Ableitung in Richtung \(\curvearrowright B {z}_{k}\) von \(F: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) in \(z = ({z}_{1}, …, {z}_{n}) \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \(k \in \mathbb{N}_{\le n}^*\) ist definiert als \[\begin{aligned}f(z) &=\left( \frac{F(\curvearrowright B{{z}_{1}},{{z}_{2}},…,{{z}_{n}})-F({{z}_{1}},…,{{z}_{n}})}{(\curvearrowright B{{z}_{1}}-{{z}_{1}})},…,\frac{F({{z}_{1}},…,{{z}_{n-1}},\curvearrowright B{{z}_{n}})-F({{z}_{1}},…,{{z}_{n}})}{(\curvearrowright B{{z}_{n}}-{{z}_{n}})} \right) \\ &=\left( \frac{\partial B{{F}_{1}}(z)}{\partial B{{z}_{1}}},\,\,…\,\,,\,\,\frac{\partial B{{F}_{n}}(z)}{\partial B{{z}_{n}}} \right)=\text{grad } {{B}_{\curvearrowright Bz}}\,F(z)\,=\,\nabla {{B}_{\curvearrowright Bz}}\,F(z),\end{aligned}\]so heißt \(f(z)\) die exakte \(B\)-Nachfolger-Ableitung \({F_{\curvearrowright B z}^{\prime}} B(z)\) bzw. der exakte \(B\)-Nachfolger-Gradient \(\text{grad }_{\curvearrowright B z} F(z)\) in Richtung \(\curvearrowright B z\) in \(A\) der dann in Richtung \(\curvearrowright B z\) exakt \(B\)-differenzierbaren Funktion \(f\) in \(z\), sofern alle Quotienten in \({}^{(\omega)}\mathbb{K}\) existieren. Hierbei ist \(\nabla\) der Nabla-Operator. Gilt dies für alle \(z \in A\), so heißt \(F\) exakt \(B\)-differenzierbare \(B\)-Stammfunktion von \(f\). Handelt es sich um die entsprechende \(B\)-Ableitung, lassen sich für \(x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) linksseitige und rechtsseitige \(B\)-Stammfunktionen \({F}_{l}(x)\) und \({F}_{r}(x)\) unterscheiden.

Sind \(A\) oder \(\curvearrowright B z\) klar oder unwichtig, dürfen sie entfallen. Der herkömmliche Fall ergibt sich analog und für \(n = 1\) und \(\curvearrowright B x > x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) folgt die rechtsseitige exakte \(B\)-Ableitung \({F_{r}^{\prime}}B(x)\) und für \(\curvearrowright B x < x\) die linksseitige exakte \(B\)-Ableitung \({F_{l}^{\prime}}B(x)\). Die Übereinstimmung der Ableitungen in allen Richtungen ergibt entsprechend die exakte Ableitung \(F^{\prime}B(z)\) (\(A ={}^{\nu}\mathbb{C}\) und \(n = 1\) machen \(F\) herkömmlich holomorph). Auf einem Bereich \(D\) sei \(\mathcal{O}(D) \subseteq \mathcal{C}(D) \subseteq \mathbb{C}\) der Ring holomorpher bzw. stetiger Funktionen.\(\triangle\)

Kettenregel: Für \(x \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}, B \subseteq {A}^{2}, f: A \rightarrow C \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}, D \subseteq {C}^{2}, g: C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) gilt bei Wahl von \(f(\curvearrowright B x) = \curvearrowright D f(x)\),\[{g_{r}^{\prime}}B(f(x)) = {g_{r}^{\prime}}D(f(x)) {f_{r}^{\prime}}B(x).\]Beweis:\[{{{g}_{r}^{\prime}}}B(f(x))=\frac{g(f(\curvearrowright Bx))-g(f(x))}{f(\curvearrowright Bx)-f(x)}\frac{f(\curvearrowright Bx)-f(x)}{\curvearrowright Bx-x}=\frac{g(\curvearrowright Df(x))-g(f(x))}{\curvearrowright Df(x)-f(x)}{{{f}_{r}^{\prime}}}B(x)={{{g}_{r}^{\prime}}}D(f(x)){{{f}_{r}^{\prime}}}B(x).\square\]

Bemerkung: Die ebenso leicht zu zeigende Produkt- und Quotientenregel verlangt, dass die Argumente und Funktionswerte einer kleineren Unendlichkeitsstufe als \(1/\)d0 angehören sowie \(f\) und \(g\) in \(x \in A\) hinreichend (\(\alpha\)-)stetig sein müssen. D. h. \(\alpha\) muss klein genug sein, um \(\curvearrowright x\) durch \(x\) ersetzen zu können. Analoges gilt für infinitesimale Argumente. Der Zwischenwertsatz (mit überlappenden \(\alpha\)-Umgebungen), die Regel von de L’Hospital und die Ableitung der Umkehrfunktion sind auch einfach zu beweisen.

Bemerkung: Differenzierbarkeit ist also leicht herstellbar. Wo der Quotient definiert ist, lässt sich im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall die exakte Ableitung alternativ auch überall\[{{{F}_{b}^{\prime}}}B(v)\,:=\,\frac{F(\curvearrowright B\,v)-F(\curvearrowleft B\,v)}{\curvearrowright B\,v -\curvearrowleft B\,v}\] setzen. Vor allem wenn \(\curvearrowright B v – v = v – \curvearrowleft B v\) ist und die zusammengefassten Ableitungen gleiches Vorzeichen haben, hat dies den Vorteil \({F_{b}^{\prime}} \; B(v)\) eher als „Tangentensteigung“ im Punkt \(v\) aufzufassen, z. B. wenn \(F \; \alpha B\)-stetig in \(v\) ist. Einfache Ableitungsregeln machen so zudem den Ableitungswert 0 bei entgegengesetztem Vorzeichen bestens geeignet (s. u.). Andernfalls ist einfach das arithmetische Mittel der beiden exakten Ableitungen zu bilden. Die Übertragung ins (herkömmlich) Komplexe erfolgt analog.

Definition: Die Ableitung einer Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) wird genau dann als 0 definiert, wenn 0 im Intervall mit den Grenzen der links- und rechtsseitigen exakten Ableitung liegt.\(\triangle\)

Definition: Es heißt mit \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) \[\int\limits_{z\in A}{f(z)dBz:=\sum\limits_{z\in A}{f(z)(\curvearrowright B\,z-z)}}\]das exakte \(B\)-Integral eines Vektorfeldes \(f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) in \(A\) und \(f(z)\) \(B\)-integrierbar. Ist hierfür mindestens ein Punkt aus \(A\) zu entfernen, so heißt das exakte \(B\)-Integral uneigentlich.
Für \(\gamma: [a, b[\; \cap C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}, C \subseteq \mathbb{R}\) und \(f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) heißt\[\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta =}\int\limits_{t\in [a,b[ \; \cap C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}}D(t)dDt}\]mit \(dDt > 0, \curvearrowright D t \in ]a, b] \cap C\) bei Wahl von \(\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)\) wegen \(\zeta = \gamma(t)\) und \(dB\zeta = \gamma(\curvearrowright D t) – \gamma(t) = {\gamma_{\curvearrowright }^{\prime}}D(t) dDt\) (z. B. für \(C = \mathbb{R}, B\) maximal in \(\mathbb{C}^{2}\) und \(D\) maximal in \(\mathbb{R}^{2})\) das exakte \(B\)-Kurvenintegral eines Vektorfeldes \(f\) längs des Weges \(\gamma\). Uneigentliche exakte \(B\)-Kurvenintegrale werden analog den exakten \(B\)-Integralen definiert, ohne das Entfernen von Intervallendpunkten von \([a, b[ \, \cap \, C\) zuzulassen.\(\triangle\)

Bemerkung: Das exakte Kurvenintegral stimmt auf \({}^{(\nu)}\mathbb{K}\) weitgehend mit herkömmlichen Kurvenintegralen überein; \(f\) muss jedoch nicht stetig sein und das eigentliche \(B\)-Kurvenintegral existiert immer. Offenbar ist das exakte \(B\)-Kurvenintegral linear und im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall monoton. Die Kunst des Integrierens besteht im korrekten Zusammenfassen der Summanden einer Summe.

Definition: Für alle \(x \in V\) eines \(h\)-homogenen \(n\)-Volumens \(V \subseteq [{a}_{1}, {b}_{1}] \times…\times [{a}_{n}, {b}_{n}] \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit \(B = {B}_{1}\times…\times{B}_{n}, {B}_{k} \subseteq {[{a}_{k}, {b}_{k}]}^{2}\) und \(|{dB}_{k}{x}_{k}| = h\) für alle \(k \in \mathbb{N}_{\le n}^*\) heißt mit \(f(x) := 0\) für alle \(x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \setminus V\)\[\int\limits_{x\in V}{f(x){dBx}}:=\int\limits_{x\in V}{f(x)dB({{x}_{1}},\,…,{{x}_{n}})}:=\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{…\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{f(x)d{{B}_{1}}{{x}_{1}}\,…\,d{{B}_{n}}{{x}_{n}}}}\]das exakte \(B\)-Volumenintegral über eine dann \(B\)-volumenintegrierbare Funktion \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\). Uneigentliche exakte \(B\)-Volumenintegrale werden analog den exakten \(B\)-Integralen definiert.\(\triangle\)

Bemerkung: Aufgrund der Isomorphie von \(\mathbb{C}\) und \(\mathbb{R}^{2}\) gilt im Komplexen Entsprechendes und\[\int\limits_{x\in V}{dBx={{\mu }_{h}}(V)}.\]Beispiel: Mit dem exakten \(B\)-Volumenintegral im Gegensatz zum Lebesgue-Integral erfüllt\[||f|{{|}_{p}}:={{\left( \int\limits_{x \in V}{||f(x)|{{|}^{p}}dBx} \right)}^{\hat{p}}}\]für beliebiges \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{m}\) und \(p \in [1, \omega]\) alle Eigenschaften einer Norm, auch die Definitheit.

Beispiel: Sei \([a, b[\; \cap h{}^{\omega}\mathbb{Z} \ne \emptyset\) eine \(h\)-homogene Teilmenge von \([a, b[ \; \cap {}^{\omega}\mathbb{R}\) mit \(B \subseteq [a, b[ \; \cap h{}^{\omega}\mathbb{Z} \times ]a, b] \cap h{}^{\omega}\mathbb{Z}\). Sei ferner \({T}_{r}\) eine rechtsseitige \(B\)-Stammfunktion von einer in \([a, b[ \; \cap h{}^{\omega}\mathbb{Z}\) nicht notwendig konvergenten Taylorreihe \(t\) und \(f(x) := t(x) + \varepsilon i^{2x/h}\) mit herkömmlich reellen \(x\) und \(\varepsilon \ge \hat{\nu}\). Für \(h = \hat{\nu}\) ist \(f\) weder stetig noch herkömmlich differenzierbar bzw. integrierbar in \([a, b[ \; \cap h{}^{\omega}\mathbb{Z}\), aber es gilt exakt für alle \(h\)\[ f_{r}^{\prime }B(x)=t_{r}^{\prime }B(x)-2\widehat{dBx}\varepsilon {i^{2x/h}}\]und\[\int\limits_{x\in [a,b[ \; \cap h{}^{\omega }\mathbb{Z}}{f(x)dBx={{T}_{r}}(b)-{{T}_{r}}(a)+\,}\hat{2}\varepsilon \left( {i^{2a/h}}-{i^{2b/h}} \right).\]Beispiel: Die herkömmlich nicht messbare Mitteldrittel-Cantormenge \({C}_{\hat{3}}\) hat mit \(\delta := \frac{2}{3}\) das Maß \({\mu}_\text{d0}({C}_{\hat{3}}) = {\delta}^{-\omega}\). Sei die Funktion \(c: [0, 1] \rightarrow \{0, {\delta}^{\omega}\}\) definiert durch \(c(x) = {\delta}^{\omega}\) für \(x \in {C}_{\hat{3}}\) und \(c(x) = 0\) für \(x \in [0, 1] \setminus {C}_{\hat{3}}\). Dann gilt\[\int\limits_{x \in {{C}_{\hat{3}}}}{c(x)dx=\sum\limits_{x=0}^{1}{c(x)dx}}={{\delta}^{\omega}}{{\mu }_\text{d0}}\left( {{C}_{\hat{3}}} \right)=1.\]Definition: Eine Folge \(({a}_{k})\) mit Folgengliedern \({a}_{k}\) ist eine Abbildung von \({}^{(\omega)}\mathbb{Z}\) nach \({}^{(\omega)}\mathbb{C}^{m}: k \mapsto {a}_{k}\). Eine Reihe ist eine Folge \(({s}_{k})\) mit \(m \in {}^{(\omega)}\mathbb{Z}\), dem Konvergenzradius \(r\) und den Partialsummen\[{{s}_{k}}=\sum\limits_{j=m}^{k}{{{a}_{j}}}.\triangle\]Satz von Fubini: Für \(X, Y \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt mit \(f: X\times Y \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\)\[\int\limits_{Y}{\int\limits_{X}{f(x,\,y)dBx\,}dBy}=\int\limits_{X\times Y}{f(x,\,y)dB(x,\,y)}=\int\limits_{X}{\int\limits_{Y}{f(x,\,y)dBy\,}dBx}.\]Beweis: Umordnen der den obigen Integralen entsprechenden Summen.\(\square\)

Beispiel: Wegen\[\int\limits_{[a,\,b[\times [r,\,s[}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{{d}^{2}}(x,\,y)}=\int\limits_{a}^{b}{\left. \frac{ydx}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|_{r}^{s}}=-\int\limits_{r}^{s}{\left. \frac{xdy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|_{a}^{b}}=\arctan \frac{s}{b}-\arctan \frac{r}{b}+\arctan \frac{s}{a}-\arctan \frac{r}{a}\]ergibt sich gemäß dem Spätesteinsetzungsprinzip (s. u.) das ggf. uneigentliche Integral\[I(a,b):=\int\limits_{[a,\,b{{[}^{2}}}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}{{d}^{2}}(x,\,y)}=\arctan \frac{b}{b}-\arctan \frac{a}{b}+\arctan \frac{b}{a}-\arctan \frac{a}{a}= \iota – \iota =0\]und nicht\[I(0,1)=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}dy\,dx}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}=\frac{\iota}{2}\ne -\frac{\iota}{2}=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{dy}{1+{{y}^{2}}}}=\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}dx\,dy}}=I(0,1).\]Definition: Eine Folge \(({a}_{k})\) mit \(k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}, {a}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und \(\alpha \in ]0, \hat{\nu}]\) heißt \(\alpha\)-konvergent gegen \(a \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\), wenn es ein \(m \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}_{\le k}\) gibt, sodass \(|{a}_{k} – a| < \alpha\) für alle \({a}_{k}\) mit nicht zu kleinem \(k – m\) gilt. Die Menge \(\alpha\)-\(A\) aller solchen \(a\) heißt \(\alpha\)-Grenzwertmenge von \(({a}_{k})\), der aus ihr (z. B. als letzter oder Mittelwert) bestimmte eindeutige Repräsentant \(\alpha\)-Grenzwert \(\alpha\)-\(a\). Für speziell \(a = 0\) ergibt sich eine Nullfolge. Gilt die Ungleichung lediglich für \(\alpha = \hat{\nu}\), so darf \(\alpha\)- entfallen. Meistens wird \(k\) maximal und \(\alpha\) minimal gewählt.\(\triangle\)

Bemerkung: Herkömmliche Grenzwerte sind kaum genauer als \(\mathcal{O}(\hat{\omega})\). Ihre tatsächliche Transzendenz oder Algebraizität wird selten beachtet! Um die Relevanz ausschließlich des größten Indexes zu vermeiden2vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1; 17., akt. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden, S. 144, wäre in der herkömmlichen Formulierung zu ergänzen, dass sich stets unendlich viele bzw. fast alle Folgenglieder mit beliebig kleinem Abstand zum Grenzwert und nur endlich viele mit größerem finden lassen. Erst dann gilt das Monotonieprinzip3vgl. a.a.O., S. 155.

Bemerkung: Der Hauptsatz der Mengenlehre macht die Darstellung jeder positiven Zahl durch einen eindeutig bestimmten unendlichen Dezimalbruch haltlos4vgl. a.a.O., S. 27 f.. Wird \(\varepsilon := \; \curvearrowright 0\) gesetzt, werden alle Beweise falsch, die für \(\varepsilon \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) – speziell für alle \(\varepsilon \in {}^{(\nu)}\mathbb{R}_{>0}\) – behaupten, dass eine reelle Zahl \(\varepsilon\hat{r}\) mit reellem \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>1}\) existiere. Andererseits kann ein infiniter Regress entstehen. Die \(\varepsilon\delta\)-Definition des Grenzwertes (fragliche Existenz von \(\delta\), 5a.a.O., S. 235 f.) benötigt \(\varepsilon\) als ein gewisses Vielfaches von \(\curvearrowright 0\).

Bemerkung: Dies gilt auch für die \(\varepsilon\delta\)-Definition der Stetigkeit6a.a.O. vgl. S. 215: Die jeden reellen Wert verdoppelnde reelle Funktion entbehrt gleichmäßiger Stetigkeit, da sich generell \(\delta := \; \curvearrowright 0\) und \(\varepsilon\) entsprechend größer setzen lässt. Erfüllen zwei Funktionswerte die Bedingungen nicht, dann ist die Funktion dort auch nicht stetig. Also ist Stetigkeit bei Wahl des größten von allen gültigen infinitesimalen \(\varepsilon\) zur gleichmäßigen äquivalent. Die Äquivalenz zur Hölder-Stetigkeit ist ebenso leicht zu zeigen.

Bemerkung: Hier ist ggf. eine unendliche reelle Konstante zuzulassen. Das Gleiche gilt für gleichmäßige Konvergenz, da sich als alles erfüllender Index das Maximum der Indizes wählen lässt, der für jedes Argument gilt. Hier reicht stets \(\acute{\omega}\) aus. Andernfalls fehlt auch die punktweise Konvergenz. Also ist gleichmäßige Konvergenz bei Wahl des größten von allen gültigen infinitesimalen \(\varepsilon\) zur punktweisen äquivalent.

Beispiel: Die (2d0)-stetige Funktion \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R} \rightarrow \{0, \text{d0}\}\) mit \(f(x):=\hat{2}\text{d0}(1 + i^{2x/\text{d0}})\) besitzt nur die lokalen Minima 0 bzw. lokalen Maxima d0 sowie die links- bzw. rechtsseitigen exakten Ableitungen \(\pm 1\).

Beispiel: Die Funktion \(f: [0, 1] \rightarrow [-\varsigma/\grave{\varsigma}, \varsigma/\grave{\varsigma}]\) mit \(f(x) := i^{2q} q/\grave{q}\), wenn \(x\) rational ist und den Nenner \(q \in \mathbb{Q}_{> 0}\) hat, und \(f(x) := 0\) sonst, hat die beiden relativen Extrema7vgl. Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H.: Counterexamples in Analysis; Republ., unabr., slightly corr.; 2003; Dover Publications; Mineola, New York, S. 24 \(\pm \varsigma/\grave{\varsigma}\).

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion\[F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }\]ist mit \(\gamma: [d, x[ \; \cap C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in [a, b[ \; \cap C\) bei Wahl von \(\curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x)\), exakt \(B\)-differenzierbar und es gilt für alle \(x \in [a, b[ \; \cap C\) und \(z = \gamma(x)\)\[F^{\prime} \curvearrowright B(z) = f(z).\]Beweis:\[\begin{aligned}dB(F(z)) &=\int\limits_{t\in [d,x] \cap C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}}D(t)dDt} =\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}\\ &=f(\gamma (x)){{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square\end{aligned}\]Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit \(\gamma: [a, b[ \; \cap C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\)\[ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}_{\curvearrowright }^{\prime}}}}B(\zeta )dB\zeta }.\]Beweis:\[\begin{aligned}F(\gamma (b))-F(\gamma (a)) &=\sum\limits_{t\in [a,b[ \; \cap C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[ \; \cap C}{{{{{F}_{\curvearrowright }^{\prime}}}}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))} \\ &=\int\limits_{t\in [a,b[ \; \cap C}{{{{{F}_{\curvearrowright }^{\prime}}}}B(\gamma (t)){{{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}_{\curvearrowright }^{\prime}}}}B(\zeta )dB\zeta }.\square\end{aligned}\]Korollar: Besitzt \(f\) eine Stammfunktion \(F\) auf einem geschlossenen Weg \(\gamma\), gilt mit den Voraussetzungen von oben\[\oint\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta :=}\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }=0.\square\]Bemerkung: Der herkömmlich reelle Fall kann in beiden Hauptsätzen analog wie oben abgeleitet werden. Für \(u, v \in [a, b[ \; \cap C, u \ne v\) und \(\gamma(u) = \gamma(v)\) ist \(\curvearrowright B \gamma(u) \ne \; \curvearrowright B \gamma(v)\) erlaubt.

Bemerkung: Summen dürfen aufgrund des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes bei korrektem Rechnen (mit den Landau-Symbolen) beliebig umsummiert werden.

Leibnizregel für Parameterintegrale: Für \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n+1} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright B x := {(s, {x}_{2}, …, {x}_{n})}^{T}\) und \(s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}\) gilt bei Wahl von \(\curvearrowright D a(x) = a(\curvearrowright B x)\) und \(\curvearrowright D b(x) = b(\curvearrowright B x)\),\[\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\]Beweis:\[\begin{aligned}\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right) &={\left( \int\limits_{a(\curvearrowright Bx)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}} \\ &={\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{(f(\curvearrowright Bx,t)-f(x,t))dDt}+\int\limits_{b(x)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{a(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\; \\ &=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\square\end{aligned}\]Anmerkung: Die Integration im Komplexen erlaubt einen Weg mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist \(\curvearrowright D a(x) \ne a(\curvearrowright B x)\), so wird der letzte Summand mit \((\curvearrowright D a(x) – a(x))/(a(\curvearrowright B x) – a(x))\) multipliziert. Ist \(\curvearrowright D b(x) \ne b(\curvearrowright B x)\), so wird der vorletzte Summand mit \((\curvearrowright D b(x) – b(x))/(b(\curvearrowright B x) – b(x))\) multipliziert. Für folgende Beispiele8vgl. Heuser, a.a.O., S. 540 – 543 sei jeweils \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und \(x \in [0, 1])\):

1. Die Folge \({f}_{n}(x) = \sin(nx)/\sqrt{n}\) strebt für \(n \rightarrow \omega\) nicht gegen \(f(x) = 0\), sondern gegen \(f(x) = \sin(\omega x)/\sqrt{\omega}\) mit der (stetigen) Ableitung \(f^{\prime}(x) = \cos(\omega x) \sqrt{\omega}\) statt \(f^{\prime}(x) = 0\).

2. Die Folge \({f}_{n}(x) = x – \hat{n}x^{n}\) strebt für \(n \rightarrow \omega\) gegen \(f(x) = x – \hat{\omega}{x}^{\omega}\) statt \(f(x) = x\) mit der (stetigen) Ableitung \(f^{\prime}(x) = 1 – {x}^{\acute{\omega}}\) statt \(f^{\prime}(x) = 1\). Herkömmlich ist \({f}_{n}(x) = 1 – {x}^{\acute{n}}\) unstetig im Punkt \(x = 1\).

3. Die Folge \({f}_{n}(x) = nx(-\acute{x})^{n}\) strebt für \(n \rightarrow \omega\) nicht gegen \(f(x) = 0\), sondern gegen die stetige Funktion \(f(x) = {\omega x(-\acute{x})}^{\omega}\) und nimmt für \(x = \hat{\omega}\) den Wert \(\hat{e}\) an.

Definition: Nach der Trapezregel sei\[\int\limits_{z\in A}^{T}{f(z)dBz:=\sum\limits_{z\in A}{\frac{(f(z)+f(\curvearrowright B\,z))}{2}(\curvearrowright B\,z-z)}}.\]Nach der Mittelpunktregel sei – die Existenz von \((z + \curvearrowright B z)/2\) vorausgesetzt -\[\int\limits_{z\in A}^{M}{f(z)dBz:=\sum\limits_{z\in A}{f\left( \frac{z\,+\curvearrowright Bz}{2} \right)(\curvearrowright B\,z-z)}}.\triangle\]Bemerkung: Da diese verschärften exakten \(B\)-Integrale offenbar unabhängig von der Durchlaufungsrichtung sind, rechtfertigen sie (implizit) Sätze, in denen sich Integrationsergebnisse bei entgegengesetztem Durchlaufen gerade aufheben sollen wie z. B. der Satz von Green (s. u.). Im ersten Hauptsatz wird die Ableitung \(dB(F(z))/dBz\) verschärft zum arithmetischen Mittel \((f(z) + f(\curvearrowright B z))/2\) bzw. zu \((f(z + \curvearrowright B z)/2)\), im zweiten Hauptsatz \(F(\gamma(b)) – F(\gamma(a))\) zu \((F(\gamma(b)) + F(\curvearrowleft B \gamma(b)))/2 – (F(\gamma(a)) + F(\curvearrowright B \gamma(a)))/2\) bzw. zu \(F((\gamma(b) + \curvearrowleft B \gamma(b))/2) – F((\gamma(a) + \curvearrowright B \gamma(a))/2)\). Hierbei ergeben sich im hinreichend \(\alpha\)-stetigen Fall von \(f\) bzw. von \(F\) am Rand nahezu die ursprünglichen Resultate.

Definition: Für einen geschlossenen Weg \(\gamma: [a, b[ \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) heißt \(\widehat{2\pi i}\int_{\gamma}{\widehat{\zeta-z}d\zeta}\) Umlaufzahl bzw. Index ind\(_{\gamma}(z) \in \mathbb{Z}\). Die Koeffizienten \(a_{j,-1}\) der Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}, a_{jk}, c_j \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und\[f(z)=\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=-\omega}^{\omega}{a_{jk}{(z-c_j)}^k}\]sowie paarweise verschiedenen \(c_j\) heißen Residuen res\(_{c_j}f.\triangle\)

Integralformel: Das letzte Korollar zeigt, dass mit \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und dem geschlossenen Weg \(\gamma([a, b[) \subseteq A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) genau dann \(f(z)\) ind\(_\gamma(z) = \widehat{2\pi i}\int_{\gamma}{\widehat{\zeta-z}f(\zeta)d\zeta}\) ist, wenn aus \(g(\zeta) = \widehat{\zeta-z}(f(\zeta)-f(z))\) folgt, dass \(\int_{\gamma}^{\ }{g(\zeta)}d\zeta=0\) gilt, also insbesondere \(g\) auf \(\gamma([a,b[)\) eine Stammfunktion besitzt.\(\square\)

Residuensatz: Für \(\gamma\) und \(f\) wie oben gilt\[\widehat{2\pi i}\int\limits_{\gamma}{f(\zeta)d\zeta}=\sum_{j=0}^{n}{{\rm ind}_\gamma(c_j)}{\rm res}_{c_j}f.\]Beweis: Für alle \(j \in \mathbb{N}_{\le n}\) und alle \(k \in {}^{\omega}\mathbb{Z} \setminus \{-1\}\) gilt\[\int\limits_{\gamma}{{a_{jk}\left(\zeta-c_j\right)}^kd\zeta}=0\]und\[\widehat{2\pi i}\int\limits_{\gamma}{{a_{j,-1}\left(\zeta-c_j\right)}^{-1}d\zeta}={\rm ind}_\gamma(c_j){\rm res}_{c_j}f.\square\]Definition: Es sei \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}\). Dann heißt\[\frac{d_{\curvearrowright B\,z}^{2}Bf(z)}{{{(d\curvearrowright B\,z)}^{2}}}:=\frac{f(\curvearrowright B(\curvearrowright B\,z))-2f(\curvearrowright B\,z)+f(z)}{{{(d\curvearrowright B\,z)}^{2}}}\]die zweite Ableitung in Richtung \(\curvearrowright B z\) von \(f\) in \(z \in A.\triangle\)

Bemerkung: Höhere Ableitungen werden analog definiert. Jede Anzahl \({m}_{n} \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) für \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) der durchgeführten Ableitungen nach der \(j\)-ten Variable wird als Exponent hinter dieser notiert. Ist \(n \ge 2\), heißen die Ableitungen partiell und\(d\) wird durch \(\partial\) ersetzt. Der im Zähler anzugebende Exponent ist die Summe aller \({m}_{n}\). Mit 1/(–1)! = 0 und den Bezeichnungen von oben auch für \(g\) wie \(f\) und \(p \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) gilt die

Leibnizsche Produktregel:\[(fg)^{(p)} = \sum\limits_{m+n=p}\binom{p}{m}f^{(m)} g^{(n)}.\]Beweis: Für \(p = 1\) gilt die einfache Produktregel wie oben. Induktionsschritt von \(p\) nach \(\grave{p}\):\[\begin{aligned}(fg)^{(\grave{p})} &\underset{p}{=} \sum\limits_{m+1+n=\grave{p}} {\left (\binom{p}{m}+\binom{p}{\grave{m}} \right ) f^{(\grave{m})} g^{(n)}}+\sum\limits_{m+1+n=\grave{p}} {\binom{p}{m} f^{(m)} g^{(\grave{n})}} -\sum\limits_{m+1+n=\grave{p}} {\binom{p}{\grave{m}} f^{(\grave{m})} g^{(n)}} \\ &=\left(\left(fg\right)^\prime\right)^{(p)}\underset{1}{=}\left(f^\prime g+fg^\prime\right)^{\left(p\right)}=\left(f^\prime g\right)^{\left(p\right)}+\left(fg^\prime\right)^{\left(p\right)}=\sum\limits_{m+n=\grave{p}}{\binom{\grave{p}}{m} f^{\left(m\right)}g^{\left(n\right)}}.\square\end{aligned}\]Satz von Taylor: Es gilt für \(\sum_m |f^{(m)}(a)| > \hat{\nu}, f^{(m)}(a) \in {}^{\omega}\mathbb{C}, g(z) = (z-a)^\omega, |z – a| < \omega/e\) und \(z \rightarrow a\)\[f(z)=T_\omega(z):=\sum\limits_{m=0}^{\omega}{\widehat{m!}f^{(m)}(a)(z-a)^m}.\]Beweis: Aus der Regel von de L’Hospital folgt dann\[f(z)=\frac{(fg)(z)}{g(z)}=\frac{(fg)^\prime(z)}{g^\prime(z)}=…=\frac{(fg)^{(\acute{\omega})}(z)}{g^{(\acute{\omega})}(z)}=\frac{(fg)^{(\omega)}(z)}{g^{(\omega)}(z)}=\widehat{\omega!}(fg)^{(\omega)}(z)\]und die Leibnizsche Produktregel ergibt\[(fg)^{(\omega)}(z)=\sum_{m+n=\omega}{\binom{\omega}{m}f^{(m)}(a)g^{(\omega-m)}(z)}=g^{(\omega)}(z)\sum_{m=0}^{\omega}{\widehat{m!}f^{(m)}(a)(z-a)^m}.\square\]Folgerung: Der zweite Hauptsatz liefert für das Restglied \(R_n(z) := f(z) – T_n(z) = f(a) + \int_{a}^{z}{f^\prime(t)dt} – T_n(z)\) nach dem Mittelwertsatz mit \(\xi \in \mathbb{B}_a(z)\) und \(p\in\mathbb{N}_{\le n}^*\)\[R_n(z)=\int_{a}^{z}{\widehat{n!}(z-t)^nf^{(\grave{n})}(t)dt}={\widehat{pn!}(z-\xi)}^{\grave{n}-p}f^{(\grave{n})}(\xi)(z-a)^p.\]Induktionsbeweis mit partieller Integration und Induktionsschritt von \(n\) nach \(\grave{n}\) (\(n\) = 0 s. oben):\[f(z)=T_n(z)+\widehat{\grave{n}!}(z-a)^{\grave{n}}f^{(\grave{n})}(a)+\int_{a}^{z}{\widehat{\grave{n}!}(z-t)^{\grave{n}}f^{(n+2)}(t)dt}=T_{\grave{n}}(z)+R_{\grave{n}}(z).\square\]Bemerkung: Es gilt \((e^{d0}-1)/d0 = \varsigma(1+ \hat{\varsigma})^{\varsigma d0} – \varsigma = 1 = \exp(0)^\prime\) und damit \(d \ln y/dy = \hat{y}\) aus \(dy/dx = y := e^x\) sowie \(d x^n/dx = d(e^{n \ln x}) = nx^{\acute{n}}\) für \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) nach der Produkt- bzw. Kettenregel. Einheitskreis und Dreiecke lassen leicht die Beziehungen sin d0/1 = (cos d0 \(-\) 1)/d0 und cos d0/1 = \(-\)sin d0/d0 einsehen. Damit gilt sin(0)\({}^\prime\) = cos(0) und cos(0)\({}^\prime = -\)sin(0) sowie mit \(m \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) der

Satz von Moivre:\[e^{imz}=\sum_{n=0}^{\omega}\left({\widehat{2n!}(imz)}^{2n}+{\widehat{(2n+1)!}(imz)}^{2n+1}\right)=\cos{\left(mz\right)}+i \sin\left(mz\right).\square\]Bemerkung: Der folgende Satz stellt den von Froda richtig und präzisiert ihn:

Satz: Eine monotone Funktion \(f: [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) hat maximal \(2\omega^2 – 1\) Sprungstellen.

Beweis: Zwischen \(-\omega\) und \(\omega\) sind maximal \(2\omega^2\) Sprünge von \(\hat{\omega}\) möglich. Wenn die Funktion außer an den Sprungstellen wie eine Treppenfunktion ihre Werte hält, folgt die Behauptung.\(\square\)

Vertauschungssatz: Das Ergebnis mehrfacher partieller Ableitungen einer Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) ist unabhängig von der Reihenfolge, solange erst zum Schluss Variablen durch Werte ersetzt oder Grenzwerte gebildet werden, falls erforderlich (Spätesteinsetzungsprinzip).

Beweis: Die Ableitung ist eindeutig bestimmt: Bis zur zweiten Ordnung ist dies klar, für höhere Ordnungen folgt die Behauptung durch vollständige (transfinite) Induktion.\(\square\)

Beispiel: Sei \(f: {}^{\omega}\mathbb{R}^{2} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) gegeben durch \(f(0, 0) = 0\) und \(f(x, y) = {xy}^{3}/({x}^{2} + {y}^{2})\) sonst. Dann gilt:\[\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{y^6} + 6{x^2}{y^4} – 3{x^4}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^3}}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}\]mit Wert \(\hat{2}\) an der Stelle (0, 0), obwohl in\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{{y^5} – {x^2}{y^3}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} \ne \frac{{x{y^4} + 3{x^3}{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\]für \(x = 0\) links \(y\) und für \(y = 0\) rechts 0 steht, d. h. dann ergibt links die partielle Ableitung nach \(y\) den Wert \(1 \ne 0\), welches die partielle Ableitung nach \(x\) rechts ist.

Satz: Genau dann, wenn \(F: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit der Aufspaltung in Real- und Imaginärteil \(F(z) := U(z) + i V(z) := f(x, y) := u(x, y) + i v(x, y)\), infinitesimalem \(h = |dBx| = |dBy|, h\)-homogenem \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}\), der Nachbarschaftsrelation \(B \subseteq {A}^{2}\) für alle \(z = x + i y \in A\) holomorph und\[r(h):=\frac{{\partial{}^{2}}Bf(x,y)}{\partial Bx\partial By\,}h\]infinitesimal ist, gelten die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen\[\frac{{\partial Bu}}{{\partial Bx}} = \frac{{\partial Bv}}{{\partial By}},\,\,\frac{{\partial Bv}}{{\partial Bx}} = – \frac{{\partial Bu}}{{\partial By}},\]wenn \(B\) sowohl für \(\curvearrowright\) als auch für \(\curvearrowleft\) gilt.

Beweis: Da mit\[\begin{aligned}F^{\prime}B(z) &= \frac{{F(z \pm \partial Bx) – F(z)}}{{\pm \partial Bx}} = \frac{{F(z \pm i\partial By) – F(z)}}{{\pm i\partial By}} = \frac{{F(z + dBz) – F(z)}}{{dBz}} \\ &= \frac{{\partial Bu}}{{\partial Bx}} + i\frac{{\partial Bv}}{{\partial Bx}} = \frac{{\partial Bv}}{{\partial By}} – i\frac{{\partial Bu}}{{\partial By}} = \frac{{u(x \pm \partial Bx,y) + i\,v(x \pm \partial Bx,y) – u(x,y) – i\,v(x,y)}}{{\pm \partial Bx}} \\ &= \frac{{u(x,y \pm \partial By) + i\,v(x,y \pm \partial By) – u(x,y) – i\,v(x,y)}}{{\pm i\partial By}} = \frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} = – i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}} = \hat{2}\left( {\frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} – i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}}} \right) = \frac{{\partial BF}}{{\partial Bz}}\end{aligned}\]und \(dBz = dBx + i dBy\) alle in \(A\) definierten Ableitungen gegeben sind, ergibt sich wegen\[\begin{aligned}&u(\curvearrowright Bx,y)-u(x,y)+u(x,\curvearrowright By)-u(x,y)+u(\curvearrowright Bx,\curvearrowright By)-u(\curvearrowright Bx,y)-u(x,\curvearrowright By)+u(x,y) \\ &=u(\curvearrowright Bx,\curvearrowright By)-u(x,y) \\ &=\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial Bx}dBx+\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial By}dBy+\frac{\partial Bu(\curvearrowright Bx,y)}{\partial By}dBy-\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial By}dBy \\ &=\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial Bx}dBx+\frac{\partial Bu(x,y)}{\partial By}dBy+\frac{{{\partial}^{2}}Bu(x,y)}{\partial Bx\partial By}dBxdBy=dBU(z)\end{aligned}\]mit den analogen Formeln für \(v\) wie auch für \(\curvearrowleft\), wobei der letzte Summand zu vernachlässsigen ist,\[F^{\prime}B(z)\,dBz = dBF(z) = dBU(z) + i\,dBV(z) = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\partial Bu}}{{\partial Bx}}} & {\frac{{\partial Bu}}{{\partial By}}}\\{i\frac{{\partial Bv}}{{\partial Bx}}} & {i\frac{{\partial Bv}}{{\partial By}}}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{dBx}\\{dBy}\end{array}} \right) + \frac{{{\partial ^2}Bf(x,y)}}{{\partial Bx\partial By}}dBxdBy.\square\]Bemerkung: Letzteres ist insbesondere bei stetigem \(f\) der Fall. Als notwendige und hinreichende Bedingung für die Holomorphie von \(F\) ergibt sich\[F^{\prime}B(\bar z) = \frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} = i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}} = \hat{2}\left( {\frac{{\partial Bf}}{{\partial Bx}} + i\frac{{\partial Bf}}{{\partial By}}} \right) = \frac{{\partial BF}}{{\partial B\bar z}} = 0.\]Endlichkeitskriterium für Reihen: Seien \(j, k, m, n \in \mathbb{N}\). Genau dann ist \(S_n := \left| \sum\limits_{k=0}^{n}{s_k} \right|\) mit \(s_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) endlich, wenn für eine monoton fallende Folge \(({d}_{j})\) mit \( d_j \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt: \(S_n = \sum\limits_{j=0}^{m}{{i^{2j}}{{d}_{j}}}.\)

Beweis: Mit \(0 \le S_n \le {d}_{0}\) folgt die Behauptung direkt aus der Möglichkeit beliebig umzusummieren, Summanden nach Größe und Vorzeichen zu sortieren, zusammenzufassen bzw. in Summen aufzuspalten.\(\square\)

Beispiel: Aus der alternierenden harmonischen Reihe ergibt sich\[\sum\limits_{n=1}^{\omega }{{i^n}}\left( \omega -\hat{n} \right)={_e}2.\]Definition: Mit \({a}_{m}, {b}_{n} \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) ist das Cauchy-Produkt wie folgt zum Reihenprodukt zu korrigieren:\[\sum\limits_{m=1}^{\omega }{{{a}_{m}}}\sum\limits_{n=1}^{\omega }{{{b}_{n}}}=\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\left( \sum\limits_{n=1}^{m}{\left( {{a}_{n}}{{b}_{m-\acute{n}}}+{{a}_{\omega -\acute{n}}}{{b}_{\omega -m+n}} \right)}-{{a}_{m}}{{b}_{\omega -\acute{m}}} \right)}.\triangle\]Beispiel: Das folgende Reihenprodukt hat den Wert9vgl. Gelbaum, a.a.O., S. 61 f.:\[\left(\sum_{m=1}^{\mathrm{\omega}}\frac{i^m}{\sqrt m}\right)^2=\sum_{m=1}^{\mathrm{\omega}}{\left(\sqrt{\frac{\hat{m}}{\mathrm{\omega}-\acute{m}}}-\sum_{n=1}^{m}{i^m\left(\sqrt{\frac{\hat{n}}{m-\acute{n}}}+\sqrt{\frac{\widehat{\mathrm{\omega}-\acute{n}}}{\mathrm{\omega}-m\ \mathrm{+\ }n}}\right)}\right)=0,36590…\ }\ \ \ll\frac{{\zeta\left(\hat{2}\right)}^2}{3+2\sqrt2}.\]Beispiel: Mit der Signumfunktion sgn gilt für folgendes Reihenprodukt10vgl. a.a.O., S. 62:\[\sum\limits_{m=0}^{\omega }{{2}^{{{m}^{\text{sgn}(m)}}}}\sum\limits_{n=0}^{\omega}{\text{sgn}(n-\gamma)} = \acute{\omega}{2}^{\grave{\omega}}\gg -2.\] Satz von Green: Für die Nachbarschaftsrelationen \(B \subseteq {D}^{2}\) mit \(h\)-Gebiet \(D \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}\), infinitesimalem \(h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) – \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m})\), hinreichend großem \(m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in D, {D}^{-} := \{(x, y) \in D : (x + h, y + h) \in D\}\), einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg \(\gamma: [a, b[\rightarrow \partial D\) bei Wahl von \(\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright A t)\) gilt mit \(t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}\) und hinreichend \(\alpha\)-stetigen Funktionen \(u, v: D \rightarrow \mathbb{R}\) mit ggf. nicht stetigen partiellen Ableitungen \(\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx\) und \(\partial Bv/\partial By\)\[\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.\]Beweis: O. B. d. A. werde der Beweis nur für \(D := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial D \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) geführt, da er für das jeweils um \(\iota\) gedrehte Äquivalent analog verläuft und jedes \(h\)-Gebiet eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur\[\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}\]gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von \(\gamma\) mit \(dBx = 0\) zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem \(t := h(u(s, g(s)) – u(r, g(r)))\)\[-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square\]Bemerkung: Die Wahl von \(m\) hängt von der Anzahl der benötigten Mengen der im Beweis genannten Typen ab, deren Vereinigung das \(h\)-Gebiet ergibt.

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom \(p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) hat ein \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit \(p(z) = 0\).

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen lässt sich \(1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0})\) erreichen. Die Annahme von \(p(z) \ne 0\) für alle \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) ergibt für das holomorphe \(f(z) := 1/p(z)\) wegen \(f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0})\) und aufgrund der Mittelwertungleichung11Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1; 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 160 \(|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}\) mit \(\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)\) und beliebigem \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\), also \(f(0) = \mathcal{O}(\text{d0})\) im Widerspruch zur Voraussetzung.\(\square\)

Definition: Die Gegenläufigkeitsregel besagt, dass bei zu unstetigen Funktionen für die Integration über identische Wege in positiver und negativer Umlaufrichtung der gleiche (!) Funktionswert von beiden möglichen auszuwählen ist, sodass der Wert des Integrals über beide Richtungen gerade 0 ist, um einen anderen signifikanten Wert zu vermeiden. Dies gilt wie der folgende Satz auch im Komplexen.\(\triangle\)

Gegenläufigkeitssatz: Durchläuft der Weg \(\gamma: [a, b[ \; \cap C \rightarrow V\) mit \(C \subseteq \mathbb{R}\) die Kanten aller \(n\)-Würfel mit der Seitenlänge d0 im \(n\)-Volumen \(V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\) genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der \(n\)-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für \(D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x\) und \({V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}\) \[\int\limits_{t \in [a,b[ \; \cap C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[ \; \cap C, \\ \gamma | {\partial{}^{\acute{n}}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }_{\curvearrowright }^{\prime}}}}(t)dDt}.\]Beweis: Bei Betrachten zweier beliebiger Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge d0, die in einer Ebene liegen, werden nur die Kanten von \(V\times{V}_{\curvearrowright}\) nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in \({\partial}^{\acute{n}}V.\square\)

Integrallemma von Goursat: Für das im Dreieck \(\Delta \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) holomorphe \(f\) ohne Stammfunktion gilt\[I:=\int\limits_{\partial \Delta }{f(\zeta )dB\zeta }=0.\]Widerlegung bestimmter herkömmlicher Beweise durch Abschätzung mit einer vollständigen Triangulierung: Der Umlaufsinn von \(\partial\Delta\) ist anscheinend unerheblich. Wird \(\Delta\) vollständig trianguliert, dann muss für jedes minimale Teildreieck \({\Delta_s} \subseteq \Delta\) mit den Ecken \({\kappa}, {\lambda}\) und \({\mu}\) von \({\Delta_s}\) o. B. d. A. entweder\[{I_s}: = \int\limits_{\partial {\Delta _s}} {f(\zeta )dB\zeta } = f({\kappa})({\lambda} – {\kappa}) + f({\lambda})({\mu} – {\lambda}) + f({\kappa})({\kappa} – {\mu}) = (f({\kappa}) – f({\lambda}))({\lambda} – {\mu}) = 0\]oder\[\begin{aligned}\int\limits_{\partial {\Delta _s}} {f(\zeta )dB\zeta } &= f({\kappa})({\lambda} – {\kappa}) + f({\lambda})({\mu} – {\lambda}) + f({\mu})({\kappa} – {\mu}) = (f({\kappa}) – f({\lambda})){\lambda} + (f({\lambda}) – f({\mu})){\mu} + (f({\mu}) – f({\kappa})){\kappa} \\ &= f^{\prime}({\lambda})\left( {({\kappa} – {\lambda}){\lambda} – ({\mu} – {\lambda}){\mu} + ({\mu} – {\lambda}){\kappa} – ({\kappa} – {\lambda}){\kappa}} \right) = f^{\prime}({\lambda})\left( {({\mu} – {\lambda})({\kappa} – {\mu}) – {{({\kappa} – {\lambda})}^2}} \right) = 0\end{aligned}\]gelten. Die Holomorphie bzw. zyklische Vertauschung erlaubt dies nur für \(f({\kappa}) = f({\lambda}) = f({\mu})\). Nach Einbeziehen aller angrenzenden Teildreiecke in \(\Delta\), muss \(f\) also im Widerspruch zur Voraussetzung konstant sein. Denn da der Term in der großen Klammer translationsinvariant ist, ließe sich sonst o. B. d. A. \({\mu} := 0\) setzen, und dieser Term wäre nur dann 0, wenn \({\kappa} = {\lambda}(1 \pm i\sqrt{3})/2\) mit \(|{\kappa}| = |{\lambda}| = |{\kappa} – {\lambda}|\) gilt. Die Homogenität jeder horizontalen und vertikalen Gerade in \({}^{(\omega)}\mathbb{C}\) verbietet dies jedoch:

Das zugehörige Teildreieck wäre dann gleichseitig und nicht gleichschenklig und rechtwinklig. Also ist \(|{I_s}|\) in beiden Fällen mindestens \(|f^{\prime}({\lambda}) \mathcal{O}({\text{d0}}^{2})|\) o. B. d. A. für die Eckenwahl 0, |d0| und \(i|\text{d0}|\). Ist \(L\) der Umfang eines Dreiecks, so gilt einerseits \(|I| \le {4}^{m} |{I_s}|\) mit unendlich natürlichem \(m\) und andererseits \({2}^{m} = L(\partial\Delta)/|\mathcal{O}(\text{d0}^{2})|\) wegen \(L(\partial\Delta) = {2}^{m} L(\partial{\Delta_s})\) und \(L(\partial{\Delta_s}) = |\mathcal{O}(\text{d0}^{2})|\). Es gilt \(|I| \le |f^{\prime}({\lambda}) {L(\partial\Delta)}^{2}/\mathcal{O}(\text{d0}^{2})|\) und die gewünschte Abschätzung \(|I| \le |\mathcal{O}(dB\zeta)|\) misslingt für \(|f^{\prime}({\lambda}) {L(\partial\Delta)}^{2}|\) etwa größer als \(|\mathcal{O}(\text{d0}^{2})|.\square\)

Cauchyscher Integralsatz: Für die Nachbarschaftsrelationen \(B \subseteq {D}^{2}\) und \(A \subseteq [a, b]\) mit \(h\)-Gebiet \(D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\), infinitesimalem \(h\) sowie \(f \in \mathcal{O}(D)\) und geschlossenem Weg \(\gamma: [a, b[\rightarrow \partial D\) bei Wahl von \(\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright A t)\) mit \(t \in [a, b[\), gilt\[\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0.\]Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit \(x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f\) und \({D}^{-} := \{z \in D : z + h + ih \in D\}\)\[\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{D}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square\]Bemerkung: Mit \(\hat{\omega}\) := 0 lässt sich der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie richtig und kann nach Dixon12a.a.O., S. 228 f. bewiesen werden, zumal der dort erwähnte Limes 0 sein soll bzw. \(\hat{r}\) gegen 0 für \(r \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0}\) gegen \(\omega\) strebt.

Bemerkung: Der (verallgemeinerte) Satz von Liouville und der kleine Satz von Picard werden in \({\mathbb{B}}_{\omega}(0) \subset {}^{\omega}\mathbb{C}\) durch die (ganzen) Funktionen \(f(z) = \sum\limits_{k=1}^{\omega }{{{z}^{k}}{{{\hat{\omega }}}^{k+1}}}\) und \(g(z) = \hat{\omega }z\) wegen \(|f(z)| < 1\) und \(|g(z)| \le 1\) widerlegt, der große Satz von Picard durch \(f(\hat{z})\) für \(z \in {\mathbb{B}}_{\omega}(0)^{*}\). Die Funktion \(b(z) := \hat{\nu}z\) mit \(z \in {\mathbb{B}}_{\nu}(0) \subset {}^{\nu}\mathbb{C}\) bildet das einfach zusammenhängende \({\mathbb{B}}_{\nu}(0)\) holomorph, aber nicht notwendig injektiv bzw. surjektiv auf \(\mathbb{D}\) ab. Der Riemannsche Abbildungssatz ist entsprechend zu korrigieren.

Definition: Ein Punkt \({z}_{0} \in M \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) bzw. zu einer Folge \(({a}_{k})\) mit \({a}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) und (unendlich) natürlichen \(k\) heißt (eigentlicher) \(\alpha\)-Häufungspunkt von \(M\) bzw. der Folge, wenn in der Kugel \(\mathbb{B}_{\alpha}({z}_{0}) \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) um \({z}_{0}\) mit infinitesimalem \(\alpha\) unendlich viele Punkte aus \(M\) bzw. unendlich viele paarweise verschiedene Folgenglieder liegen. Für \(\alpha = \hat{\omega}\) entfällt \(\alpha\). Sei \(\underline{u}_n := (u, …, u)^T \in{}^{\omega}\mathbb{C}^{n}.\triangle\)

Die paarweise verschiedenen Nullstellen \(c_k \in \mathbb{B}_{\hat{\omega}}(0) \subset \mathbb{D}\) für \(z \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) in\[p(z) = \prod\limits_{k=0}^{\omega}{(z-c_k)}\]seien so gewählt, dass \(|f(c_k)| < \hat{\omega}\) für eine Funktion \(f \in \mathcal{O}(D)\) in einem Gebiet \(D \subseteq \mathbb{C}\) mit \(f(0) = 0\) gilt. \(D\) enthalte \(\mathbb{B}_{\hat{\omega}}(0)\) komplett, was eine Koordinatentransformation stets bewirkt, solange \(D\) „groß“ genug ist. Die Koinzidenzmenge \(\{\zeta \in D : f(\zeta) = g(\zeta)\}\) of \(g(z) := f(z) + p(z) \in \mathcal{O}(D)\) enthält einen Häufungspunkt in 0.

Da \(p(z)\) jeden komplexen Wert annehmen kann, ist die Abweichung von \(f\) und \(g\) nicht vernachlässigbar. Wegen \(f \ne g\) widerspricht dies dem Identitätssatz wie die lokale Tatsache, dass in \({z}_{0} \in D\) alle Ableitungen \({u}^{(n)}({z}_{0}) = {v}^{(n)}({z}_{0})\) zweier Funktionen \(u\) und \(v\) für alle \(n\) zwar übereinstimmen können: weiter entfernt können sich aber \(u\) und \(v\) deutlich unterscheiden, ohne ihre Holomorphie zu verlieren, da die Entwicklung mancher holomorphen Funktion in eine Taylorreihe Näherungspotenzen enthält.

Beispiele für \(f \in \mathcal{O}(D)\) sind alle in \(\mathbb{B}_{\hat{\omega}}(0)\) beschränkten Funktionen mit \(f(0) = 0\). Wird die obere Grenze von \(\omega\) auf \(|\mathbb{N}^{*}|\) erweitert, ergeben sich ganze Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen. Die Nullstellenmenge braucht nicht diskret zu sein. Damit kann die Menge aller \(f \in \mathcal{O}(D)\) Nullteiler enthalten. Die Funktionen widerlegen wie Polynome mit \(n > 2\) paarweise verschiedenen Nullstellen wieder den kleinen Satz von Picard, da sie mindestens \(\acute{n}\) Werte in \(\mathbb{C}\) auslassen.

Multinomialsatz: Für \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, \binom{m}{n} := \widehat{n_1! … {n}_k!}m!, z^n := z_1^{n_1} … z_k^{n_k}\) und \(k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) gilt\[\left({\underline{1}}_kz\right)^m=\sum\limits_{\underline{1}_kn=m}{\binom{m}{n}z^n}.\]Beweis: Der Fall \(m = 1\) ist klar. Induktionsschritt von \(m\) nach \(\grave{m}\) mit \(\grave{n} := n+(1,0, … ,0)^T\) und \(\check{z}\ \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}\):\[\grave{m}\int_{0}^{\check{z}}{\left({\underline{1}}_kz\right)^mdz_1}=\left({\underline{1}}_k\check{z}\right)^{\grave{m}}=\sum_{{\underline{1}}_k\grave{n}=\grave{m}}\binom{m}{n}{\check{z}}^{\grave{n}}.\square\]Satz (binomische Reihe): Aus \(\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\alpha(\alpha-1)…\frac{\alpha+1-n}{n!}\) und \(\left|{\binom{\alpha}{\grave{m}}}/{\binom{\alpha}{m}}\right|<1\) für alle \(m \ge \nu\) und \(\binom{\alpha}{0}:=1\) ergibt sich mit \(z \in \mathbb{D}^\ll\) die Taylorreihe um 0\[{\grave{z}}^\alpha=\sum\limits_{n=0}^{\omega}{\binom{\alpha}{n}z^n}.\square\]Bemerkung: Ist der Betrag von \(x \in \mathbb{C}\) von anderer Größenordnung als der von \(dx\) bzw. \(\widehat{dx}\), liefert \[{{s}^{(0)}}(x):=\sum\limits_{m=0}^{n}{{{(-x)}^{m}}}=\frac{1-{{(-x)}^{\grave{n}}}}{\grave{x}}\]durch Ableitung\[{{s}^{(1)}}(x)=-\sum\limits_{m=1}^{n}{m{{(-x)}^{\acute{m}}}}=\frac{\grave{n}{{(-x)}^{n}}-n{{(-x)}^{\grave{n}}}-1}{{{\grave{x}}^{2}}}.\]

Obige Formeln wurden z. T. falsch berechnet. Letztere lässt sich für hinreichend kleine \(x\) und hinreichend, aber nicht zu große \(n\) noch zu \(-1/{\grave{x}}^{2}\) vereinfachen und bleibt zudem für nicht zu große \(x \ge 1\) gültig. Durch sukzessive Multiplikation von \({s}^{(j)}(x)\) mit \(x\) für \(j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und anschließende Differentiation ergeben sich weitere Formeln für \({s}^{(j+1)}(x)\) als Beispiele auch divergenter Reihen. Wird hingegen \({s}^{(0)}(-x)\) von 0 bis 1 integriert und \(n := \omega\) gesetzt, ergibt sich ein Integralausdruck für \({_e}\omega + \gamma\) mit der Eulerschen Konstante \(\gamma\).

Die Regel von de l’Hospital löst den Fall \(x = -1\). Die Substitution \(y := -\acute{x}\) ergibt über die binomische Reihe eine Reihe mit unendlichen Koeffizienten; wird darüber hinaus \({}_e\omega\) als Reihe dargestellt, sogar für \(\gamma\). Wird der Zähler von \({s}^{(0)}(x)\) unzulässig zu 1 vereinfacht, können sich falsche Ergebnisse einstellen, insbesondere wenn \(|x| \ge 1\) gilt. So ist \({s}^{(0)}(-{e}^{i\pi})\) bspw. 0 für ungerades \(n\) und 1 für gerades \(n\), aber nicht \(\hat{2}\).

Definition: Seien \(f_n^*(z) = f(\eta_nz)\) die Schwestern zur Taylorreihe \(f(z) \in \mathcal{O}(D)\) um 0 auf dem Gebiet \(D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\) mit \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und \(\eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}}\) sowie \(\delta_n^*f = (f – f_n^*)/2\) die halben Schwesterabstände von \(f\). Mit \(\mu_n^m := m!n!/(m + n)!\) bilden \(\mu\) und \(\eta\) einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.\(\triangle\)

Beschleunigungssatz für Integrale: Die Taylorreihe (s. u.) \(f(z) \in \mathcal{O}(D)\) um 0 auf \(D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\) ergibt mit \(\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*\)\[\int\limits_0^z…\int\limits_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1)\text{d}\zeta_1\;…\;\text{d}\zeta_n} = \widehat{n!} f(z\mu_n) z^n.\square\]Beispiel: Für die Taylorreihen \(f(x), g(x) \in {}^{\omega}\mathbb{R}\) gilt\[\int\limits_0^x{f(v)\text{d}v}\int\limits_0^x\int\limits_0^{y}{g(v)\text{d}v\text{d}y} = \hat{2}f(x\mu_1)g(x\mu_2)x^3.\]Beschleunigungssatz für Ableitungen: Mit \(\mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\) ergeben die Taylorreihe\[f(z):=f(0) + \sum\limits_{m=1}^{\omega }{\widehat{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},\]\(b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i}\) und der Konvergenzradius \(r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0}\) von \(f\)\[{{f}^{(n)}}(0)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* f({{d}_{\varepsilon k n}})}.\]Beweis: Satz von Taylor13vgl. a.a.O., S. 165 f. und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.\(\square\)

Korollar: Aus \(\text{Re} \; c \in [\hat{\nu}, 1 + \hat{\nu}[, c \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) und \(b_{\varepsilon n} := \widehat{\varepsilon n}= 2^j, j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) folgt14vgl. Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 2; 1. unveränd. Nachdruck der 1. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 42\[\zeta (n+c)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* u_c({d}_{\varepsilon k n})}\]für \(z \in \mathbb{B}_{1-\hat{\nu}}(0) \subset D\) und \[u_c(z):=\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\zeta (m+c){{z}^{m}}}=z\sum\limits_{m=1}^{\omega }{{{{\hat{m}}}^{c}}\widehat{z-m}}.\square\]Universelles Mehrschrittverfahren: Mit \(n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, d_{\curvearrowright B} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k(\curvearrowright B x) := g_{\acute{k}}(x)\) und \(g_0(a) = f((\curvearrowleft B)a, y_0, … , y_{\acute{n}})\) ergibt die Taylorreihe des Anfangswertproblems \(n\)-ter Ordnung \(y^\prime(x) = f(x, y((\curvearrowright B)^0 x), … , y((\curvearrowright B)^{\acute{n}} x))\)\[y(\curvearrowright B x) = y(x) – d_{\curvearrowright B}x\sum\limits_{k=1}^{p}{i^{2k} g_{p-k}((\curvearrowright B) x)\sum\limits_{m=k}^{p}{\widehat{m!}\binom{\acute{m}}{\acute{k}}}} + \mathcal{O}((d_{\curvearrowright B} x)^{\grave{p}}).\square\]Bemerkung: Die \(f^{(n)}(a)\) sind analog für \(a \in D\) und \(g(z) := f(z + a)\) bestimmbar. Die Identität anstatt \(\delta_n^*\) vermag immerhin noch beliebig genaue Näherungen für die \(f^{(n)}\) zu liefern. Letztere Sätze sind für mehrdimensionale Taylorreihen (mit mehreren Summen) und Laurent-Reihen gleichermaßen gültig. Da sich \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten aus Quadern wie unten beschrieben zusammensetzen lassen, gilt der folgende Satz auch für sie wie für allgemeinere Differentialformen.

Satz von Stokes: Steht \(\;\widetilde{\ }\;\) über einem wegzulassenden Term und ist\[\upsilon:=\sum_{m=1}^{n}f_m\ dx_1\land\ …\land \widetilde{dx_m}\land…\land dx_n\]auf einem achsenparallelen Quader \(C = [a_1, b_1]\times…\times[a_n, b_n] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}^n\) eine alternierende Differentialform vom Grad \(\acute{n}\) mit hinreichend \(\alpha\)-stetigen Funktionen \(f_m: C \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\), wobei\[\partial C:=\sum_{m=1}^{n}{i^{2m}(F_{am}-F_{bm})}\]mit den Seitenflächen \(F_{am} = [a_1, b_1]\times…\times\{a_m\}\times…\times[a_n, b_n]\) und \(F_{bm} = [a_1, b_1]\times…\times\{b_m\}\times…\times[a_n, b_n]\) von \(C\) sei, so gilt15vgl. Köhler, Günter: Analysis; 1. Aufl.; 2006; Heldermann; Lemgo, S. 625 f.\[\int\limits_{C}{d\upsilon}=\int\limits_{\partial C}{\upsilon}.\]Beweis: Der zweite Hauptsatz und der Satz von Fubini ergeben\[\int\limits_{\partial C}{\upsilon}=\sum_{m=1}^{n}{i^{2m}\int\limits_{a_n}^{b_n}{…\int\limits_{a_m}^{\widetilde{b_m}}{…\int\limits_{a_1}^{b_1}{\left(f_m(x_1,…,a_m,…,x_n)-f_m(x_1,…,b_m,…,x_n)\right)dx_1…\widetilde{dx_m}…dx_n}}}}\]und\[\frac{\partial f_m}{\partial x_m}dx_m\land dx_1\land\ …\land dx_{\acute{m}}\land dx_{\grave{m}}\land…\land dx_n=-i^{2m}\frac{\partial f_m}{\partial x_m}dx_1\land\ …\land dx_{\acute{m}}\land dx_m\land dx_{\grave{m}}\land…\land dx_n.\square\]Transformationssatz: Existiert die Jacobi-Matrix \(D\varphi(x)\), lehrt die lineare Algebra für \(f: \varphi(A) \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^n\) und \(A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}^n\)16vgl. a.a.O., S. 519:\[\int\limits_{\varphi(A)}^{\ }{f(y)dy=\int\limits_{A}^{\ }{f(\varphi(x))|\det(D\varphi(x))|dx}}.\square\]Beispiel: Eine Richardson-Extrapolation bestimmt die Digammafunktion \(\psi\) und\[\zeta(\grave{n}) = \widehat{2\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^n{(\psi(d_{\varepsilon kn} i^{\hat{n}2}) – \psi(d_{\varepsilon kn}))} + \mathcal{O}(\varepsilon^2)\]für \(n = 2\) und \(\varepsilon = 10^{-8}\) als\[\zeta(3) = 25.000.000\sum\limits_{k=1}^2{(\psi(d_{\varepsilon k2}i) – \psi(d_{\varepsilon k2}))} + \mathcal{O}(10^{-16}).\]

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Literatur

Literatur
1 Walter, Wolfgang: Analysis 2; 5., erw. Aufl.; 2002; Springer; Berlin, S. 188
2 vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1; 17., akt. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden, S. 144
3 vgl. a.a.O., S. 155
4 vgl. a.a.O., S. 27 f.
5 a.a.O., S. 235 f.
6 a.a.O. vgl. S. 215
7 vgl. Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H.: Counterexamples in Analysis; Republ., unabr., slightly corr.; 2003; Dover Publications; Mineola, New York, S. 24
8 vgl. Heuser, a.a.O., S. 540 – 543
9 vgl. Gelbaum, a.a.O., S. 61 f.
10 vgl. a.a.O., S. 62
11 Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1; 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 160
12 a.a.O., S. 228 f.
13 vgl. a.a.O., S. 165 f.
14 vgl. Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 2; 1. unveränd. Nachdruck der 1. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 42
15 vgl. Köhler, Günter: Analysis; 1. Aufl.; 2006; Heldermann; Lemgo, S. 625 f.
16 vgl. a.a.O., S. 519