Nichtstandardanalysis

Vorbemerkung: Im Folgenden gelten die Definitionen aus Mengenlehre sowie Topologie und es sei zumeist \(m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\). Die Integration und Differentiation in beliebigen stets nicht-leeren Teilmengen \(A\) von \({}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) wird untersucht. Das Abbildungskonzept verlangt, jedes außerhalb der Bildmenge abgebildete Element durch das jeweils nächste der Zielmenge zu ersetzen, im Fall der Nichteindeutigkeit durch Auswahl eines von ihnen. Das Folgende lässt sich leicht auf andere Mengen und Normen verallgemeinern.

Definition: Die Abbildung \(||\cdot||: \mathbb{V} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{\ge 0}\) mit \(\mathbb{V}\) Vektorraum über \({}^{(\omega)}\mathbb{K}\) heißt Norm, wenn für alle \(x, y \in \mathbb{V}\) und alle \(\lambda \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt: \(||x|| = 0 \Rightarrow x = 0\) (Definitheit), \(||\lambda x|| = |\lambda| \; ||x||\) (Homogenität) und \(||x + y|| \le ||x|| + ||y||\) (Dreiecksungleichung). Die Dimension von \(\mathbb{V}\) als der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren wird mit Dim \(\mathbb{V}\) bezeichnet. Die Normen \({||\cdot||}_{a}\) und \({||\cdot||}_{b}\) heißen äquivalent, wenn nicht-infinitesimale \(s, t \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{>0}\) existieren, sodass \(s||x||{}_{b} \le ||x||{}_{a} \le t||x||{}_{b}\) für alle \(x \in \mathbb{V}\) gilt.\(\triangle\)

Satz: Sei \(N\) die Menge aller Normen in \(\mathbb{V}\). Diese sind genau dann äquivalent, wenn \({||x||}_{a}/{||x||}_{b}\) für alle \({||\cdot||}_{a}, {||\cdot||}_{b} \in N\) und alle \(x \in \mathbb{V}^{*}\) endlich, aber nicht infinitesimal ist.

Beweis: Es werde \(s := \text{min }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}\) und \(t := \text{max }\{{||x||}_{a}/{||x||}_{b}: x \in \mathbb{V}^{*}\}\) gesetzt.\(\square\)

Definition: Für die charakteristische Funktion \(\chi\) gelte \(\chi_A(a) := 1\) für \(a \in A\) und \(\chi_A(a) := 0\) für \(a \notin A\). In \({}^{:}\mathbb{R} := \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}\) lässt sich mit \(\infty \gg \tilde{\iota}^2\) wie mit einer Konstanten rechnen. Sei sgn\((z) := \tilde{z}|z|\chi_{\mathbb{C}^*}(z)\) für komplexe \(z\) und sgn\((x) := \tilde{x}|x|\chi_{\mathbb{{}^{:}\mathbb{R}}^*}(x)\) für reelle \(x\). Der Flächeninhalt von \({}^1\dot{\mathbb{R}}^2\) ergibt die Kreiszahl \(\pi\). Die Lösung von \({x}^{\underline{\pi}} = -1\) sei die Eulersche Zahl \(\epsilon\) (kurz gesprochen: „eps“). Dann etabliert \({\epsilon}^{\ln \, z} = z\) eine Logarithmusfunktion ln und die Potenzfunktion \({z}^{s} = {\epsilon}^{s \, \ln \, z}\) mit \(s, z \in \mathbb{C}\). Die Exponentiation lässt sich so (formal) festlegen.\(\triangle\)

Bemerkung: Das Ersetzen von \(\pm0\) durch \(\pm\widetilde{\infty}\) macht Berechnungen eindeutig und widerspruchsfrei. Die Definition von \(\epsilon\) ist \(\mathcal{O}(\tilde{\nu})\) größer als die durch \({(1 + \tilde{\nu})}^{\nu}\) (Rechnen mit Näherungen!): Die exakt differenzierte Exponentialreihe mit möglichst vielen Gliedern rechtfertigt erstere.

Definition: Die Funktion \({\mu}_{h}: A \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) für eine \(m\)-dimensionale Menge \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) mit \(h \in \mathbb{R}_{>0}\) kleiner gleich dem Minimalabstand der Punkte in \(A, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\le \hat{n}}\) und \({\mu}_{h}(A) := |A| {h}^{m}\) sowie \({\mu}_{h}(\emptyset) = |\emptyset| = 0\) heißt exaktes h-Maß von \(A\) und \(A\) h-messbar. Das exakte Standardmaß sei \({\mu}_{\iota}\) (ggf. ohne Angabe von \(\iota).\triangle\)

Bemerkung: Da die Vereinigung \(A\) paarweise disjunkter \(h\)-homogener Mengen \(A_i\) mit \(i \in I \subseteq \mathbb{N}\) offenbar additiv und eindeutig \({{\mu }_{h}}(A)={\LARGE{\textbf{+}}}_{i \in I}{{{\mu }_{h}}(A_i)}\) ergibt, wird das Maßproblem neu positiv beantwortet. Die strenge Monotonie folgt für \(h\)-homogene Mengen \({A}_{1}, {A}_{2} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \({A}_{1} \subset {A}_{2}\) aus \({\mu}_{h}({A}_{1}) < {\mu}_{h}({A}_{2})\). Ist \(h\) nicht bei allen betrachteten Mengen \(A_i\) gleich, so wird das Minimum von allen \(h\) gewählt und homogenisiert wie in der Mengenlehre beschrieben. Im Folgenden sei \(||\cdot||\) die euklidische Norm.

Beispiele: Besteht \(A \subset {[0, 1[}^n\) aus Punkten mit kleinstwertigem Bit 1 (0) in allen \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) Koordinaten, so gilt \({\mu}_{\iota}(A) = {\tilde{2}}^{n}\). Da \(A\) eine unendliche und herkömmlich nicht abzählbare Vereinigung einzelner Punkte ist ohne Nachbarpunkte aus \({[0, 1[}^n\) in \(A\) und diese Punktmengen Lebesgue-Nullmengen darstellen, ist \(A\) nicht Lebesgue-messbar, wohl aber exakt messbar. Dichter zusammengeschobene Gebiete aus \({}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) haben keine kleinere (größere) Durchschnittsmenge (Vereinigungsmenge) als zuvor.

Bemerkung: Das exakte \(h\)-Maß misst optimal, da es nur die NRen eines Punktes berücksichtigt, d. h. im Extremfall die Abstände der Punkte parallel zu den Koordinatenachsen. Begriffe wie \(\sigma\)-Algebra oder Nullmengen sind entbehrlich, da die leere Menge \(\emptyset\) die einzige Nullmenge ist.

Definition: Die irreflexive symmetrische NR \(B \subseteq {A}^{2}\) beschreibt benachbarte Punkte in \(A\). Die Funktion \(\gamma: C \rightarrow A \subseteq \mathbb{C}{}^{n}\) mit einem \(h\)-homogenen \(C \subseteq \mathbb{R}\) und infinitesimalem \(h\) heißt Weg, wenn \(||\gamma(x) – \gamma(y)||\) für benachbarte \(x, y \in C\) infinitesimal ist und (\(\gamma(x), \gamma(y)) \in B\) gilt. Sei \({z}_{0} \in A \subseteq \mathbb{K}^{n}\) und \(f: A \rightarrow {}^{(\nu)}\mathbb{K}^{m}\). NRen werden stets als (Vorgänger, Nachfolger) in der Form \(({z}_{0}, {}^\curvearrowright {z}_{0})\) oder \(({}^\curvearrowleft {z}_{0}, {z}_{0})\) notiert, wobei \(\curvearrowright\) „post“ und \(\curvearrowleft\) „prä“ gesprochen und \(B\) nicht explizit erwähnt wird, sofern der Zusammenhang klar ist.\(\triangle\)

Definition: Gilt für infinitesimales \(\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}{}_{>0}\) die Beziehung \(||f({}^\curvearrowright {z}_{0}) – f({z}_{0})|| < \alpha\), heißt \(f\) \(\alpha\)-nachfolgerstetig in \({z}_{0}\) in Richtung \({}^\curvearrowright {z}_{0}\). Spielt der genaue Betrag von \(\alpha\) keine Rolle, darf \(\alpha\) weggelassen werden. Ist \(f\) für alle \({z}_{0}\) und \({}^\curvearrowright {z}_{0} \; \alpha\)-nachfolgerstetig, so handelt es sich schlicht um \(\alpha\)-Stetigkeit. Hierbei heißt \(\alpha\) der Grad der Stetigkeit. Gilt die Ungleichung nur für \(\alpha = \tilde{\nu}\), handelt es sich schlicht um (Nachfolger-)Stetigkeit.\(\triangle\)

Beispiel: Die Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow \{\pm 1\}\) mit \(f(x) = \underline{1}^{\hat{x}/\iota}\) ist in \(\mathbb{R}\) nirgends nachfolgerstetig, wohl aber ihr Betrag (vgl. Zahlentheorie). Hierbei ist \(x/\iota\) aufgrund der \(\iota\)-Homogenität von \(\mathbb{R}\) ganzzahlig. Wird \(f(x) = 1\) für endliche Brüche \(x\) gesetzt und \(= -1\) andernfalls, so ist \(f(x)\) in den unendlichen Brüchen \(x\) teilweise \(\iota\)-nachfolgerstetig im Gegensatz zur herkömmlichen Auffassung.

Beispiel einer Peanokurve¹vgl. Walter, Wolfgang: Analysis 2; 5., erw. Aufl.; 2002; Springer; Berlin, S. 188: Sei \(g: {}^{\omega}\mathbb{R} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) gerade, periodisch mit der Periode 2 und in \(I := [0, 1]\) gegeben durch \(g(s) = \chi_{[1,\check{3}]}(\tilde{s}) + \chi_{]\check{3},3[}(\tilde{s})(3s – 1)\). Sei \(\phi: I \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^{2}\) definiert durch\[\phi(s) = \left({\LARGE{\textbf{+}}}_{n = 0}^{\omega}{\tilde{2}^{\grave{n}}g(4^{\hat{n}}s)}, {\LARGE{\textbf{+}}}_{n = 0}^{\omega}{\tilde{2}^{\grave{n}}g(4^{\hat{n}+1}s)} \right).\]Die Funktion \(\phi\) ist mindestens stetig, da die Summen lokal letztlich lineare Funktionen in \(s\) sind. Dass sich so \(I\) bijektiv auf \(I^2\) abbilden ließe, ist ein Irrtum: die Viererpotenzen in der Funktion \(g\) und die von \(g\) angenommenen Werte 0 und 1 in zwei Teilintervallen dünnen \(I^2\) so stark aus, dass eine Bijektion unmöglich ist. Den Beweis auf endliche Brüche zu beschränken, ist schlicht unzureichend.

Definition: Für \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{m}\) heißt \({\downarrow}_{{}^\curvearrowright}f(z) := f({}^\curvearrowright z) – f(z)\) Nachfolger-Differential von \(f\) in Richtung \({}^\curvearrowright z\) in \(z \in A\). Ist Dim \(A = n\), so steht \({\downarrow}_{{}^\curvearrowright}f(z)\) für eine Nachfolgerableitung in jeder Variablen. Gemischte Differentiale werden durch mehrere Pfeile gekennzeichnet. Sind sie unwichtig, werden sie weggelassen. Gilt \(f(z) = z\), lässt sich \({\downarrow}_{{}^\curvearrowright}z\) statt \({\downarrow}_{{}^\curvearrowright}f(z)\) schreiben. Klare \(A\) oder \(B\) bleiben unerwähnt.\(\triangle\)

Definition: Hierbei wird \({\downarrow}\) „ab“ gesprochen. Gilt \(|f({}^\curvearrowright x) – f(x)| > \tilde{\omega}\) für ein \(x\) zu \(f: A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\), so heißt \(x\) Sprungstelle. Ist der Betrag des Nachfolger-Differentials von \(f\) in Richtung \({}^\curvearrowright z\) in \(z \in A\) kleiner als \(\alpha\) und infinitesimal, so ist \(f\) dort auch \(\alpha\)-nachfolgerstetig. Eine Funktion \(f: A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) heißt konvex (konkav) (in Zeichen \(f \in Con(A)\)), wenn ihr Graph unterhalb (oberhalb) oder auf jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Kann „oder auf“ entfallen, gilt dies streng.\(\triangle\)

Satz: Mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}{}^{n}\) sind alle \(f \in Con(A) \;\alpha\)-nachfolgerstetig und nachfolgerdifferenzierbar.\(\square\)

Definition: Die \(m\) arithmetischen Mittel aller \({f}_{k}({}^\curvearrowright z)\) von \(f(z)\) bilden die \(m\) gemittelten genormten Tangentialnormalenvektoren von \(m\) (eindeutig bestimmten) Hyperebenen, die die \(mn\) stetigen Ableitungen für die Jacobi-Matrix eines nicht unbedingt stetigen \(f\) liefern. Die Hyperebenen werden dabei so angesetzt, dass sie jeweils durch \({f}_{k}({}^\curvearrowright z)\) und das nach 0 translatierte \(f(z)\) gehen. Den Betrag ihrer Koeffizienten minimiert ein sehr einfaches linear lösbares lineares Programm (vgl. Lineare Optimierung).\(\triangle\)

Definition: Die Nachfolgerableitung in Richtung \({}^\curvearrowright {z}_{k}\) von \(F: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) in \(z = ({z}_{1}, …, {z}_{n}) \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \(k \in \mathbb{N}_{\le n}^*\) ergibt sich als \[\frac{{\downarrow} F(z)}{{\downarrow} {{z}_{k}}}:=\frac{F({{z}_{1}},\,…,\,{}^\curvearrowright\,{{z}_{k}},\,…,\,{{z}_{n}})-F(z)}{{}^\curvearrowright\,{{z}_{k}}-{{z}_{k}}}.\triangle\]Definition: Die Ableitung einer Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) sei genau dann 0, wenn 0 im Intervall mit den Grenzen der links- und rechtsseitigen exakten Ableitung liegt oder wo \(f\) unstetig ist. Differenzierbarkeit ist also immer gegeben. Sei num\((x) = p \in \mathbb{Z}\) die Zählerfunktion und den\((x) = |q| \in \mathbb{N}^*\) die Nennerfunktion von \(x = p/q \in \mathbb{R}\) mit teilerfremden \(p\) und \(q\) (in Zeichen: \(p \perp q\)).

Gilt mit den Bezeichnungen von oben für eine Funktion \(f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) mit \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\)\[f(z)=\left( \frac{F({}^\curvearrowright{{z}_{1}},{{z}_{2}},…,{{z}_{n}})-F({{z}_{1}},…,{{z}_{n}})}{{}^\curvearrowright{{z}_{1}}-{{z}_{1}}},…,\frac{F({{z}_{1}},…,{{z}_{\acute{n}}},{}^\curvearrowright{{z}_{n}})-F({{z}_{1}},…,{{z}_{n}})}{{}^\curvearrowright{{z}_{n}}-{{z}_{n}}} \right)=\left( \frac{{\downarrow} F_1(z)}{{\downarrow} {{z}_{1}}},\,\,…\,\,,\,\,\frac{{\downarrow} {{F}_{n}}(z)}{{\downarrow}{{z}_{n}}} \right),\]so heißt \(f(z)=\nabla {{}^\curvearrowright}\,F(z)\) mit dem Nabla-Operator \(\nabla\) die exakte Nachfolger-Ableitung \({F}^{\prime\curvearrowright} (z)\) bzw. der exakte Nachfolger-Gradient \(\text{grad }^{\curvearrowright} F(z)\) in Richtung \({}^\curvearrowright z\) in \(A\) mit der dort exakt differenzierbaren Funktion \(F(z)\).

Gilt dies für alle \(z \in A\), so heißt \(F\) exakt differenzierbare SF von \(f\). Die Übereinstimmung der Ableitungen in allen Richtungen heißt Holomorphie. (\(A ={}^{\nu}\mathbb{C}\) und \(n = 1\) machen \(F\) herkömmlich holomorph). Auf einem Bereich \(\mathbb{D}\) sei \(\mathcal{O}(\mathbb{D}) \subseteq \mathcal{C}(\mathbb{D}) \subseteq \mathbb{C}\) der Ring holomorpher bzw. stetiger Funktionen.\(\triangle\)

Kettenregel: Für \(x \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f: A \rightarrow B \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}, g: B \rightarrow C \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) gilt bei Wahl von \(f({}^\curvearrowright x) = {}^\curvearrowright f(x)\)\[{g}^{\prime}(f(x)) = {g}^{\prime}(f(x)) {f}^{\prime}(x).\]Beweis:\[{{g}^{\prime}}(f(x))=\tfrac{g(f({}^\curvearrowright x))-g(f(x))}{f({}^\curvearrowright x)-f(x)}\tfrac{f({}^\curvearrowright x)-f(x)}{{}^\curvearrowright x-x}=\tfrac{g({}^\curvearrowright f(x))-g(f(x))}{{}^\curvearrowright f(x)-f(x)}{{f}^{\prime}}(x)={{g}^{\prime}}(f(x)){{f}^{\prime}}(x).\square\]Produktregel: Es gilt \((fg)^{\prime}(x) = {f}^{\prime}(x) g(x) + f({}^\curvearrowright\,x) {g}^{\prime}(x)= {f}^{\prime}(x) g({}^\curvearrowright\,x) + f(x) {g}^{\prime}(x).\)

Beweis: Addition und Subtraktion im Zähler von \(f({}^\curvearrowright\,x) g(x)\) bzw. \(f(x) g({}^\curvearrowright\,x).\square\)

Quotientenregel: Seien die Nenner der folgenden Quotienten nicht 0. Dann gilt\[\left( \tfrac{f}{g} \right)^{\prime }(x)=\tfrac{f^{\prime}(x)\,g(x)-f(x)\,g^{\prime}(x)}{g(x)\,g({}^\curvearrowright\,x)}=\tfrac{f^{\prime}(x)\,g({}^\curvearrowright\,x)-f({}^\curvearrowright\,x)\,g^{\prime}(x)}{g(x)\,g({}^\curvearrowright\,x)}.\]Beweis: Addition und Subtraktion im Zähler von \(f(x) g(x)\) bzw. \(f({}^\curvearrowright\,x) g({}^\curvearrowright\,x).\square\)

Bemerkung: Hierbei müssen die Argumente und Funktionswerte einer kleineren Unendlichkeitsstufe als \(\tilde{\iota}\) angehören sowie \(f\) und \(g\) in \(x \in A\) hinreichend (\(\alpha\)-)stetig sein. D. h. \(\alpha\) muss klein genug sein, um \({}^\curvearrowright x\) durch \(x\) ersetzen zu können. Analoges gilt für infinitesimale Argumente. Die rechtsseitige exakte Ableitung der Umkehrfunktion lautet \({f}^{-1\prime}(y) = 1/{f}^{\prime}(x)\) aus \(y = f(x)\) und der Identität \(x = {f}^{-1}(f(x))\) mithilfe der Kettenregel bei gleicher Genauigkeit. Die Regel von de l’Hospital ist für (\(\alpha\)-)stetige Funktionen \(f\) und \(g\) sinnvoll und ergibt sich für \(f(v) = g(v) = 0\) mit \(v \in A\) sowie \(g({}^\curvearrowright\,v) \ne 0\) aus\[\tfrac{f({}^\curvearrowright\,v)}{g({}^\curvearrowright\,v)}=\tfrac{f({}^\curvearrowright\,v)-f(v)}{g({}^\curvearrowright\,v)-g(v)}=\tfrac{f^{\prime}(v)}{g^{\prime}(v)}.\]Bemerkung: Wo der Quotient definiert ist, lässt sich im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall die exakte Ableitung alternativ auch überall\[{{F}_{\leftrightarrow}^{\prime}}(v)\,:=\,\tfrac{F({}^\curvearrowright\,v)-F({}^\curvearrowleft\,v)}{{}^\curvearrowright\,v -{}^\curvearrowleft\,v}\] setzen. Vor allem wenn \({}^\curvearrowright v – v = v – {}^\curvearrowleft v\) ist und die zusammengefassten Ableitungen gleiches Vorzeichen haben, hat dies den Vorteil \({F}_{\leftrightarrow}^{\prime}(v)\) eher als „Tangentensteigung“ im Punkt \(v\) aufzufassen, z. B. wenn \(F \; \alpha\)-stetig in \(v\) ist. Die Übertragung ins (herkömmlich) Komplexe erfolgt analog.

Definition: Mit \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) heißt \({\uparrow}_{z\in A}{f(z){\downarrow}z:={\LARGE{\textbf{+}}}_{z\in A}{f(z)({}^\curvearrowright\,z-z)}}\)

das exakte Nachfolgerintegral eines Vektorfeldes \(f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) in \(A\) und \(f(z)\) exakt integrierbar. Das Entfernen mindestens eines Punktes aus \(A\) macht hier das exakte Integral uneigentlich. Es wird \({\uparrow}\) „auf“ gesprochen. Für \(\gamma: G = [a, b[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}, C \subseteq \mathbb{R}\) und \(f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n}\) heißt\[{\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta =}{\uparrow}_{t \in G}{f(\gamma (t)){{\gamma}^{\prime}}(t){\downarrow}t}\]mit \({\downarrow}t > 0, {}^\curvearrowright t \in \; ]a, b] \cap C\) bei Wahl von \({}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t)\) wegen \(\zeta = \gamma(t)\) und \({\downarrow}\zeta = \gamma({}^\curvearrowright t) – \gamma(t) = {\gamma}^{\prime}(t) {\downarrow}t\) (z. B. für \(C = \mathbb{R}, B\) maximal in \(\mathbb{C}^{2}\) und \(D\) maximal in \(\mathbb{R}^{2})\) das exakte KI eines Vektorfeldes \(f\) längs des Weges \(\gamma\). Uneigentliche exakte KIe ergeben sich analog den exakten Integralen, ohne das Entfernen von Intervallendpunkten von \(G\) zuzulassen.\(\triangle\)

Satz, der den von Froda verbessert: Eine monotone Funktion \(f: [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) hat maximal \(2\omega^2 – 1\) Sprungstellen, da zwischen \(-\omega\) und \(\omega\) maximal \(2\omega^2\) Sprünge von \(\tilde{\omega}\) möglich sind und die Funktion außer an den Sprungstellen wie eine Treppenfunktion ihre Werte halten kann.\(\square\)

Bemerkung: Das (lineare) exakte KI erfordert kein stetiges \(f\), existiert immer und stimmt mit dem herkömmlichen KI auf \({}^{(\nu)}\mathbb{K}\) weitgehend überein. Es ist im (herkömmlich) (unendlich) reellen Fall monoton.

Zwischenwertsatz: Sei \(f: [a, b] \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} \; \alpha\)-stetig in \([a, b]\). Dann nimmt \(f(x)\) für \(x \in [a, b]\) jeden Wert zwischen min \(f(x)\) und max \(f(x)\) mit einer Genauigkeit \(< \alpha\) an. Ist \(f\) in \({}^{\omega}\mathbb{R}\) stetig, nimmt es jeden Wert von \({}^{\nu}\mathbb{R}\) zwischen min \(f(x)\) und max \(f(x)\) an.

Beweis: Mit jeweils \(f(x)\) als Mittelpunkt existiert zwischen min \(f(x)\) und max \(f(x)\) eine lückenlose Kette von sich überlappenden \(\alpha\)-Umgebungen, da sonst ein Widerspruch zur \(\alpha\)-Stetigkeit von \(f\) entstünde. Der zweite Teil der Behauptung folgt aus der Tatsache, dass eine Abweichung \(|f({}^\curvearrowright\,x) – f(x)| < \tilde{\nu}\) in \({}^{\nu}\mathbb{R}\) die herkömmlich maximal zugelassene Auflösung unterschreitet.\(\square\)

Bemerkung zum Satz vom Minimum und Maximum: Die stetige Funktion \(f(x) := \hat{\omega} \sin(\omega x)\) nimmt für \(x \in [-1, 1]\) die Minima \(-\hat{\omega}\) und die Maxima \(\hat{\omega}\) als unendliche Werte an.

Beispiel: Die \(\hat{\iota}\)-stetige Funktion \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R} \rightarrow \{0, \iota\}\) mit \(f(x):=\check{\iota}(\underline{1}^{\hat{x}/{\iota}}+1)\) besitzt nur die lokalen Minima 0 bzw. lokalen Maxima \(\iota\) sowie die links- bzw. rechtsseitigen exakten Ableitungen \(\pm 1\).

Beispiele: In ²Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H.: Counterexamples in Analysis; Republ., unabr., slightly corr.; 2003; Dover Publications; Mineola, New York, S. 160 gilt \(r_1 = r_2 = 3\). Mit \(q =\) den\((x)\) und \(f(x) := -\chi_{{}^{\omega}\mathbb{R}}(x)\underline{1}^{\hat{q}} \acute{q}/q\) hat \(f: [0, 1] \rightarrow [\acute{\iota}, -\acute{\iota}]\) die beiden relativen Extrema \(\pm \acute{\iota}\)³vgl. ebd. S. 24.

Definition: Für alle \(x \in V\) eines \(h\)-homogenen \(n\)-Volumens \(V \subseteq [{a}_{1}, {b}_{1}] \times…\times [{a}_{n}, {b}_{n}] \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit \(B = {B}_{1}\times…\times{B}_{n}, {B}_{k} \subseteq {[{a}_{k}, {b}_{k}]}^{2}\) und \(|\downarrow x_k| = h\) für alle \(k \in \mathbb{N}_{\le n}^*\) heißt mit \(f(x) := 0\) für alle \(x \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \setminus V\)\[{\uparrow}_{x \in V}{f(x){{\downarrow}x}}:={\uparrow}_{x\in V}{f(x){\downarrow}({{x}_{1}},\,…,{{x}_{n}})}:={\uparrow}_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{…{\uparrow}_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{f(x){\downarrow}{{x}_{1}}\,…\,{\downarrow}{{x}_{n}}}}\]das exakte Volumenintegral über eine dann volumenintegrierbare Funktion \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\). Uneigentliche exakte Volumenintegrale ergeben sich analog zu den exakten Integralen.\(\triangle\)

Bemerkung: Die Isomorphie von \(\mathbb{C}\) und \(\mathbb{R}^{2}\) liefert im Komplexen Entsprechendes und \({\uparrow}_{x \in V}1{{\downarrow}x={{\mu }_{h}}(V)}.\)

Beispiel: Mit dem exakten Volumenintegral im Gegensatz zum Lebesgue-Integral erfüllt\[||f|{{|}_{p}}:={{\left( {\uparrow}_{x \in V}{||f(x)|{{|}^{p}}{\downarrow}x} \right)}^{\tilde{p}}}\]für beliebiges \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{m}\) und \(p \in [1, \omega]\) alle Eigenschaften einer Norm, auch die Definitheit.

Beispiel: Sei \([a, b[ \, \cap \, h{}^{\omega}\mathbb{Z} \ne \emptyset\) eine \(h\)-homogene Teilmenge von \([a, b[ \, \cap \, {}^{\omega}\mathbb{R}\) mit \(B \subseteq [a, b[ \, \cap \, h{}^{\omega}\mathbb{Z} \times ]a, b] \cap h{}^{\omega}\mathbb{Z}\). Sei ferner \(T\) eine SF von einer in \([a, b[ \, \cap \, h{}^{\omega}\mathbb{Z}\) nicht notwendig konvergenten TR \(t\) und \(f(x) := t(x) + \varepsilon {\underline{1}}^{\hat{x}/h}\) mit herkömmlich reellen \(x\) und \(\varepsilon \ge \tilde{\nu}\). Für \(h = \tilde{\nu}\) ist \(f\) weder stetig noch herkömmlich differenzierbar bzw. integrierbar in \([a, b[ \, \cap \, h{}^{\omega}\mathbb{Z}\), aber es gilt exakt für alle \(h\)\[f^{\prime }(x)=t^{\prime }(x)-\widetilde{{\downarrow}x}\hat{\varepsilon}{\underline{1}^{\hat{x}/h}}\]und\[{\uparrow}_{x\in [a,b[ \, \cap \, h{}^{\omega }\mathbb{Z}}{f(x){\downarrow}x=T(b) – T(a)+\,}\check{\varepsilon} \left( {\underline{1}^{\hat{a}/h}}-{\underline{1}^{\hat{b}/h}} \right).\]Beispiel: Die herkömmlich nicht messbare Mitteldrittel-Cantormenge \({C}_{\tilde{3}}\) hat das Maß \({\mu}_{\iota}({C}_{\tilde{3}}) = {\check{3}}^{-\omega}\). Sei die Funktion \(c: [0, 1] \rightarrow \{0, {\check{3}}^{\omega}\}\) definiert durch \(c(x) = {\check{3}}^{\omega}\chi_{C_{\tilde{3}}}(x)\). Dann gilt\[{\uparrow}_{x \in [0, 1]}{c(x){\downarrow}x={\LARGE{\textbf{+}}}_{x=0}^{1}{c(x){\downarrow}x}}={{\check{3}}^{\omega}}{{\mu }_{\iota}}\left( {{C}_{\tilde{3}}} \right)=1.\]Definition: Eine Folge \(({a}_{k})\) mit Folgengliedern \({a}_{k}\) ist eine Abbildung von \({}^{(\omega)}\mathbb{Z}\) nach \({}^{(\omega)}\mathbb{C}^{m}: k \mapsto {a}_{k}\). Eine Reihe ist eine Folge \(({s}_{k})\) mit \(m \in {}^{(\omega)}\mathbb{Z}\), dem Konvergenzradius \(r\) und den Partialsummen \({{s}_{k}}={\LARGE{\textbf{+}}}_{j=m}^{k}{{{a}_{j}}}\). Eine Folge \(({a}_{k})\) mit \(k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}, {a}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und \(\alpha \in \;]0, \tilde{\nu}]\) heißt \(\alpha\)-konvergent gegen \(a \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\), wenn es ein \(m \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{*}_{\le k}\) gibt, sodass \(|{a}_{k} – a| < \alpha\) für alle \({a}_{k}\) mit nicht zu kleinem \(k – m\) gilt. Die Menge \(\alpha\)-\(A\) aller solchen \(a\) heißt \(\alpha\)-Grenzwertmenge von \(({a}_{k})\), der aus ihr (z. B. als letzter oder Mittelwert) bestimmte eindeutige Repräsentant \(\alpha\)-Grenzwert \(\alpha\)-\(a\). Für speziell \(a = 0\) ergibt sich eine Nullfolge. Gilt die Ungleichung lediglich für \(\alpha = \tilde{\nu}\), so darf \(\alpha\)- entfallen. Meistens wird \(k\) maximal und \(\alpha\) minimal gewählt.\(\triangle\)

Bemerkung: Herkömmliche Grenzwerte sind kaum genauer als \(\mathcal{O}(\tilde{\omega})\). Ihre tatsächliche Rationalität oder reine Algebraizität wird selten beachtet! Um die Relevanz ausschließlich des größten Indexes zu vermeiden⁴vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1; 17., akt. Aufl.; 2009; Vieweg + Teubner; Wiesbaden, S. 144, wäre in der herkömmlichen Formulierung zu ergänzen, dass sich stets unendlich viele bzw. fast alle Folgenglieder mit beliebig kleinem Abstand zum Grenzwert und nur endlich viele mit größerem finden lassen. Erst dann gilt das Monotonieprinzip⁵vgl. a.a.O., S. 155.

Bemerkung: Der Hauptsatz der Mengenlehre macht die Darstellung jeder positiven Zahl durch einen eindeutig bestimmten unendlichen Dezimalbruch haltlos⁶vgl. a.a.O., S. 27 f.. Wird \(\varepsilon := \; {}^\curvearrowright 0\) gesetzt, werden alle Beweise falsch, die für \(\varepsilon \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}\) – speziell für alle \(\varepsilon \in {}^{(\nu)}\mathbb{R}_{>0}\) – behaupten, dass eine reelle Zahl \(\varepsilon\tilde{r}\) mit reellem \(r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>1}\) existiere. Andererseits kann ein infiniter Regress entstehen. Die \(\varepsilon\delta\)-Definition des Grenzwertes (fragliche Existenz von \(\delta\)⁷a.a.O., S. 235 f.) benötigt \(\varepsilon\) als ein gewisses Vielfaches von \({}^\curvearrowright 0\).

Bemerkung: Dies gilt auch für die \(\varepsilon\delta\)-Definition der Stetigkeit⁸a.a.O. vgl. S. 215: Die jeden reellen Wert verdoppelnde reelle Funktion entbehrt gleichmäßiger Stetigkeit, da sich generell \(\delta := \; {}^\curvearrowright 0\) und \(\varepsilon\) entsprechend größer setzen lässt. Erfüllen zwei Funktionswerte die Bedingungen nicht, dann ist die Funktion dort auch nicht stetig. Also ist Stetigkeit bei Wahl des größten von allen gültigen infinitesimalen \(\varepsilon\) zur gleichmäßigen äquivalent. Die Äquivalenz zur Hölder-Stetigkeit ist ebenso leicht zu zeigen.

Bemerkung: Hier ist ggf. eine unendliche reelle Konstante zuzulassen. Das Gleiche gilt für gleichmäßige Konvergenz, da sich als alles erfüllender Index das Maximum der Indizes wählen lässt, der für jedes Argument gilt. Hier reicht stets \(\acute{\omega}\) aus. Andernfalls fehlt auch die punktweise Konvergenz. Also ist gleichmäßige Konvergenz bei Wahl des größten von allen gültigen infinitesimalen \(\varepsilon\) zur punktweisen äquivalent.

Satz von Fubini: Für \(X, Y \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) mit \(f: X\times Y \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) ergibt ein Umordnen der Integralsummen\[{\uparrow}_{Y}{{\uparrow}_{X}{f(x,\,y){\downarrow}x\,}{\downarrow}y}={\uparrow}_{X\times Y}{f(x,\,y){\downarrow}(x,\,y)}={\uparrow}_{X}{{\uparrow}_{Y}{f(x,\,y){\downarrow}y\,}{\downarrow}x}.\square\]Beispiel: Mit \(r_{\LARGE{\textbf{$\pm$}}}^2 := x^2 \pm y^2\) ergibt sich gemäß dem Spätesteinsetzungsprinzip (s. u.)\[{\uparrow}_{[a,\,b[\times [c,\,d[}\tilde{r}_+^4r_-^2{\downarrow}(x,\,y)={\uparrow}_{a}^{b}{\left. \tilde{r}_+^2y{\downarrow}x \right|_{c}^{d}}=-{\uparrow}_{c}^{d}{\left. \tilde{r}_+^2x{\downarrow}y \right|_{a}^{b}}=\arctan \tfrac{d}{b}-\arctan \tfrac{c}{b}+\arctan \tfrac{d}{a}-\arctan \tfrac{c}{a}\]das ggf. uneigentliche Integral\[I(a,b):={\uparrow}_{[a,\,b{{[}^{2}}}{\tilde{r}_+^4r_-^2}{\downarrow}(x,\,y)=\arctan \tfrac{b}{b}-\arctan \tfrac{a}{b}+\arctan \tfrac{b}{a}-\arctan \tfrac{a}{a}= \check{\pi} – \check{\pi} =0\]und nicht\[I(0,1)={\uparrow}_{0}^{1}{\uparrow}_{0}^{1}{\tilde{r}_+^4r_-^2}{\downarrow}y\,{\downarrow}x={\uparrow}_{0}^{1}{\tfrac{{\downarrow}x}{1+{{x}^{2}}}}=\tfrac{\pi}{4}\ne -\tfrac{\pi}{4}=-{\uparrow}_{0}^{1}{\tfrac{{\downarrow}y}{1+{{y}^{2}}}}={\uparrow}_{0}^{1}{{\uparrow}_{0}^{1}{\tilde{r}_+^4r_-^2}{\downarrow}x\,{\downarrow}y}=I(0,1).\]Vertauschungssatz: Vollständige (transfinite) Induktion erweist das Ergebnis mehrfacher Ableitungen einer Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) als unabhängig von der Reihenfolge, solange erst zum Schluss Variablen durch Werte ersetzt oder Grenzwerte gebildet werden, falls erforderlich (Spätesteinsetzungsprinzip).\(\square\)

Beispiel: Für \(f: {}^{\omega}\mathbb{R}^{2} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}, f(0, 0) = 0\) und \(f(x, y) = \tilde{r}_+^2{xy}^{3}\) gilt mit \(r_{\LARGE{\textbf{$\pm$}}}^2 := x^2 \pm y^2\):\[\tfrac{{{{\downarrow} ^2}f}}{{{\downarrow} x{\downarrow} y}} = \tilde{r}_+^6({y^6} + 6{x^2}{y^4} – 3{x^4}{y^2}) = \tfrac{{{{\downarrow} ^2}f}}{{{\downarrow} y{\downarrow} x}}\]mit Wert \(\tilde{2}\) an der Stelle (0, 0), obwohl nachfolgend für \(x = 0\) links \(y\) und für \(y = 0\) rechts 0 steht in\[\tfrac{{{\downarrow} f}}{{{\downarrow} x}} = -\tilde{r}_+^4r_-^2y^3 \ne \tilde{r}_+^4(x{y^4} + 3{x^3}{y^2}) = \tfrac{{{\downarrow} f}}{{{\downarrow} y}},\]d. h. dann ergibt links die Ableitung nach \(y\) den Wert \(1 \ne 0\), welches die nach \(x\) rechts ist.

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für KIe: Die Funktion \(F(z)={\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta }\) ist mit \(\gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in G = [a, b[ \, \cap \, C\) bei Wahl von \({}^\curvearrowright \gamma(x) = \gamma({}^\curvearrowright x)\) exakt differenzierbar und es gilt \(F^{\prime}(z) = f(z)\) für alle \(x \in G\) und \(z = \gamma(x)\).

Beweis: \({\downarrow}F(z)\) \(={\uparrow}_{t\in [d,x] \cap C}{f(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{t\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}\) \(={\uparrow}_{x}{f(\gamma (t))\tfrac{\gamma ({}^\curvearrowright t)-\gamma (t)}{{}^\curvearrowright t-t}{\downarrow}t}\) \(=f(\gamma (x)){{\gamma}^{\prime}}(x){\downarrow}x=\) \(\,f(\gamma (x))({}^\curvearrowright\gamma (x)-\gamma (x))\) \(=f(z){\downarrow}z.\square\)

Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für KIe: Mit \(\gamma: G \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) gilt wie oben vorausgesetzt\[ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))={\uparrow}_{\gamma }{{F^{\prime}}(\zeta ){\downarrow}\zeta }.\]Beweis: \(F(\gamma (b))-F(\gamma (a))\) \(={\LARGE{\textbf{+}}}_{t\in G}{F({}^\curvearrowright\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))\) \(={\LARGE{\textbf{+}}}_{t\in G}{{{F}^{\prime}}(\gamma (t))({}^\curvearrowright\,\gamma (t)-\gamma (t))}\) \(={\uparrow}_{t\in G}{{F^{\prime}}(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}\) \(={\uparrow}_{\gamma }{{F_{{}^\curvearrowright }^{\prime}}(\zeta ){\downarrow}\zeta }.\square\)

Korollar: Ist \(\gamma\) darüber hinaus ein GW von \(f\) mit SF \(F\), gilt \({\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta }=0.\square\)

Integralformel: Damit ist für \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und den GW \(\gamma([a, b[) \subseteq A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) genau dann (s. u.) \(f(z)\) ind\(_\gamma(z) = \widetilde{\hat{\underline{\pi}}}{\uparrow}_{\gamma}{\widetilde{\zeta-z}f(\zeta){\downarrow}\zeta}\), wenn aus \(g(\zeta) = \widetilde{\zeta-z}(f(\zeta)-f(z))\) folgt, dass \({\uparrow}_{\gamma}^{\ }{g(\zeta)}{\downarrow}\zeta=0\) gilt.\(\square\)

Bemerkung: Dies trifft insbesondere zu, falls \(g\) auf \(\gamma([a,b[)\) eine SF besitzt. Beide Hauptsätze gelten im herkömmlich reellen Fall analog wie oben angegeben. Für \(u, v \in G, u \ne v\) und \(\gamma(u) = \gamma(v)\) ist \({}^\curvearrowright \gamma(u) \ne \; {}^\curvearrowright \gamma(v)\) erlaubt.

Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe impliziert \({\LARGE{\textbf{$\pm$}}}_{n=1}^{\omega }{\left( \tilde{n} – \omega \right)}={_\epsilon}2.\)

Definition: Nach der Trapezregel sei \({}^{T}{\uparrow}_{z\in A}{f(z){\downarrow}z:={\LARGE{\textbf{+}}}_{z\in A}{\tilde{2}(f(z)+f({}^\curvearrowright\,z))({}^\curvearrowright\,z-z)}}.\)

Nach der Mittelpunktregel sei \({}^{M}{\uparrow}_{z\in A}{f(z){\downarrow}z:={\LARGE{\textbf{+}}}_{z\in A}{f(\tilde{2}(z\,+{}^\curvearrowright z}))({}^\curvearrowright\,z-z)}.\triangle\)

Bemerkung: Im ersten Hauptsatz wird die Ableitung \({\downarrow}(F(z))/{\downarrow}z\) verschärft zum arithmetischen Mittel \(\tilde{2}(f(z) + f({}^\curvearrowright z))\) bzw. zu \(f(\tilde{2}(z + {}^\curvearrowright z))\), im zweiten Hauptsatz \(F(\gamma(b)) – F(\gamma(a))\) zu \(\tilde{2}(F(\gamma(b)) + F({}^\curvearrowleft \gamma(b))) – \tilde{2}(F(\gamma(a)) + F({}^\curvearrowright \gamma(a)))\) bzw. zu \(F(\tilde{2}(\gamma(b) + {}^\curvearrowleft \gamma(b))) – F(\tilde{2}(\gamma(a) + {}^\curvearrowright \gamma(a)))\). Hierbei ergeben sich im hinreichend \(\alpha\)-stetigen Fall von \(f\) bzw. von \(F\) am Rand nahezu die ursprünglichen Resultate.

Leibnizregel für Parameterintegrale: Für \(f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, {}^\curvearrowright x := {(s, {x}_{2}, …, {x}_{n})}^{T}\) und \(s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}\) gilt bei Wahl von \({}^\curvearrowright a(x) = a({}^\curvearrowright x)\) und \({}^\curvearrowright b(x) = b({}^\curvearrowright x)\)\[\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,a(x)).\]Beweis:\[\begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right) &={\left( {\uparrow}_{a({}^\curvearrowright x)}^{b({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ & ={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{(f({}^\curvearrowright x,t)-f(x,t)){\downarrow}t}+{\uparrow}_{b(x)}^{b({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{a({}^\curvearrowright x)}{f({}^\curvearrowright x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f({}^\curvearrowright x,a(x)).\square\end{aligned}\]Anmerkung: Die Integration im Komplexen erlaubt einen Weg mit Anfangs- und Endpunkt als Integralgrenzen. Ist \({}^\curvearrowright a(x) \ne a({}^\curvearrowright x)\), so wird der letzte Summand mit \(({}^\curvearrowright a(x) – a(x))/(a({}^\curvearrowright x) – a(x))\) multipliziert. Ist \({}^\curvearrowright b(x) \ne b({}^\curvearrowright x)\), so wird der vorletzte Summand mit \(({}^\curvearrowright b(x) – b(x))/(b({}^\curvearrowright x) – b(x))\) multipliziert. Für folgende Beispiele⁹vgl. a.a.O., S. 540 – 543 sei jeweils \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und \(x \in [0, 1]\):

1. Die Folge \({f}_{n}(x) = \sin(nx)/n^{\tilde{2}}\) strebt für \(n \rightarrow \omega\) nicht gegen \(f(x) = 0\), sondern gegen \(f(x) = \tilde{\omega}^{\tilde{2}} \sin(\omega x)\) mit der (stetigen) Ableitung \(f^{\prime}(x) = {\omega}^{\tilde{2}} \cos(\omega x)\) statt \(f^{\prime}(x) = 0\).

2. Die Folge \({f}_{n}(x) = x – \tilde{n}x^{n}\) strebt für \(n \rightarrow \omega\) gegen \(f(x) = x – \tilde{\omega}{x}^{\omega}\) statt \(f(x) = x\) mit der (stetigen) Ableitung \(f^{\prime}(x) = 1 – {x}^{\acute{\omega}}\) statt \(f^{\prime}(x) = 1\). Herkömmlich ist \({f}_{n}(x) = 1 – {x}^{\acute{n}}\) unstetig im Punkt \(x = 1\).

3. Die Folge \({f}_{n}(x) = nx(-\acute{x})^{n}\) strebt für \(n \rightarrow \omega\) nicht gegen \(f(x) = 0\), sondern gegen die stetige Funktion \(f(x) = {\omega x(-\acute{x})}^{\omega}\) und nimmt für \(x = \tilde{\omega}\) den Wert \(\tilde{\epsilon}\) an.

Transformationssatz: Existiert die Jacobi-Matrix \(D\varphi(x)\), lehrt die lineare Algebra für \(f: \varphi(A) \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^n\) und
\(A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}^n\)¹⁰vgl. Köhler, Günter: Analysis; 1. Aufl.; 2006; Heldermann; Lemgo, S. 519:\[{\uparrow}_{\varphi(A)}^{\ }{f(y){\downarrow}y={\uparrow}_{A}^{\ }{f(\varphi(x))|\det(D\varphi(x))|{\downarrow}x}}.\square\]Definition: Für einen GW \(\gamma: [a, b[ \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) heißt \(\widetilde{\hat{\underline{\pi}}}{\uparrow}_{\gamma}{\widetilde{\zeta-z}{\downarrow}\zeta}\) Umlaufzahl bzw. Index ind\(_{\gamma}(z) \in \mathbb{Z}\). Die Koeffizienten \(a_{j,-1}\) der Funktion \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}, a_{jk}, c_j \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und\[f(z)={\LARGE{\textbf{+}}}_{j=0}^{n}{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=-\omega}^{\omega}{a_{jk}{(z-c_j)}^k}\]sowie paarweise verschiedenen \(c_j\) heißen Residuen res\(_{c_j}f.\triangle\)

Residuensatz: Aus \(\gamma\) und \(f\) wie oben ergibt sich \(\widetilde{\hat{\underline{\pi}}}{\uparrow}_{\gamma}{f(\zeta){\downarrow}\zeta}={\LARGE{\textbf{+}}}_{j=0}^{n}{{\rm ind}_\gamma(c_j)}{\rm res}_{c_j}f.\)

Beweis: Für alle \(k \in {}^{\omega}\mathbb{Z} \setminus \{-1\}\) gilt \({\LARGE{\textbf{+}}}_{j=0}^{n}{|{\uparrow}_{\gamma}{{a_{jk}(\zeta-c_j)}^k{\downarrow}\zeta}|}=0\) und \(\widetilde{\hat{\underline{\pi}}}{\uparrow}_{\gamma}{{a_{j,-1}}\widetilde{\zeta-c_j}{\downarrow}\zeta}={\rm ind}_\gamma(c_j){\rm res}_{c_j}f.\square\)

Definition: Die Richtung \({}^\curvearrowright z\) ergibt die zweite Ableitung von \(f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) in \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) durch\[\frac{{\downarrow}_{{}^\curvearrowright}^{2}f(z)}{{{({\downarrow}{}_\curvearrowright\,z)}^{2}}}:=\frac{f({}^\curvearrowright({}^\curvearrowright\,z))-2f({}^\curvearrowright\,z)+f(z)}{{{({\downarrow}{}_\curvearrowright\,z)}^{2}}}.\triangle\]Bemerkung: Höhere Ableitungen werden analog definiert. Jede Anzahl \({m}_{n} \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) für \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) der durchgeführten Ableitungen nach der \(n\)-ten Variable wird als Exponent hinter dieser notiert. Der im Zähler anzugebende Exponent ist die Summe aller \({m}_{n}\). Mit 1/(–1)! = 0 gilt dann für \(g\) wie \(f\) und \(p \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) die Leibnizsche Produktregel:\[(fg)^{(p)} = {\LARGE{\textbf{+}}}_{m+n=p}\tbinom{p}{m}f^{(m)} g^{(n)}.\]Beweis: Für \(p = 1\) gilt die einfache Produktregel wie oben. Induktionsschritt von \(p\) nach \(\grave{p}\):\[\begin{aligned}(fg)^{(\grave{p})} &\underset{p}{=} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m+1+n=\grave{p}} {\left (\tbinom{p}{m}+\tbinom{p}{\grave{m}} \right ) f^{(\grave{m})} g^{(n)}}+{\LARGE{\textbf{+}}}_{m+1+n=\grave{p}} {\tbinom{p}{m} f^{(m)} g^{(\grave{n})}} -{\LARGE{\textbf{+}}}_{m+1+n=\grave{p}} {\tbinom{p}{\grave{m}} f^{(\grave{m})} g^{(n)}} =\left(\left(fg\right)^\prime\right)^{(p)} \\ &\underset{1}{=}\left(f^\prime g+fg^\prime\right)^{\left(p\right)}=\left(f^\prime g\right)^{\left(p\right)}+\left(fg^\prime\right)^{\left(p\right)}={\LARGE{\textbf{+}}}_{m+n=\grave{p}}{\tbinom{\grave{p}}{m} f^{\left(m\right)}g^{\left(n\right)}}.\square\end{aligned}\]Satz von Taylor: Es gilt für \({\LARGE{\textbf{+}}}_m |f^{(m)}(a)| > \tilde{\nu}, f^{(m)}(a) \in {}^{\omega}\mathbb{C}, g(z) = (z-a)^\omega, |z – a| < \tilde{\epsilon}\omega\) und \(z \rightarrow a \in {}^{\omega}\mathbb{C}\)\[f(z)=T_\omega(z):={\LARGE{\textbf{+}}}_{m=0}^{\omega}{\widetilde{m!}f^{(m)}(a)(z-a)^m}.\]Beweis: Aus der Regel von de L’Hospital folgt dann mit der Leibnizschen Produktregel\[f(z)=\frac{(fg)(z)}{g(z)}=\frac{(fg)^\prime(z)}{g^\prime(z)}=…=\frac{(fg)^{(\acute{\omega})}(z)}{g^{(\acute{\omega})}(z)}=\frac{(fg)^{(\omega)}(z)}{g^{(\omega)}(z)}=\widetilde{\omega!}(fg)^{(\omega)}(z)\]und\[(fg)^{(\omega)}(z)={\LARGE{\textbf{+}}}_{m+n=\omega}{\tbinom{\omega}{m}f^{(m)}(a)g^{(\omega-m)}(z)}=g^{(\omega)}(z){\LARGE{\textbf{+}}}_{m=0}^{\omega}{\widetilde{m!}f^{(m)}(a)(z-a)^m}.\square\]Folgerung: Der zweite Hauptsatz liefert für das Restglied \(R_n(z) := f(z) – T_n(z) = f(a) + {\uparrow}_{a}^{z}{f^\prime(t){\downarrow}t} – T_n(z)\) nach dem Mittelwertsatz mit \(\zeta \in {}^a\dot{\mathbb{C}}(z)\) und \(p\in\mathbb{N}_{\le n}^*\)\[R_n(z)={\uparrow}_{a}^{z}{\widetilde{n!}(z-t)^nf^{(\grave{n})}(t){\downarrow}t}={\widetilde{pn!}(z-\zeta)^{\grave{n}-p}}f^{(\grave{n})}(\zeta)(z-a)^p.\]Induktionsbeweis mit partieller Integration und Induktionsschritt von \(\acute{n}\) nach \(n\) (\(\acute{n}\) = 0 s. o.):\[f(z)=T_{\acute{n}}(z)+\widetilde{n!}(z-a)^{n}f^{(n)}(a)+{\uparrow}_{a}^{z}{\widetilde{n!}(z-t)^{n}f^{(\grave{n})}(t){\downarrow}t}=T_n(z)+R_n(z).\square\]Bemerkung: Es gilt \((\epsilon^{\iota}-1)/\iota = 1 = \exp(0)^\prime\) und damit \({\downarrow} _\epsilon y/{\downarrow}y = \tilde{y}\) aus \({\downarrow}y/{\downarrow}x = y := \epsilon^x\) sowie \({\downarrow} x^n = {\downarrow}\epsilon^{n _\epsilon x} = nx^{\acute{n}}{\downarrow}x\) für \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) nach der Produkt- bzw. Kettenregel. Einheitskreis und Dreiecke lassen leicht die Beziehungen \(\sin \iota/1 = (\cos \iota – 1)/\iota\) und \(\cos \iota/1 = -\sin \iota/\iota\) einsehen. Damit gilt sin(0)\({}^\prime\) = cos(0) und cos(0)\({}^\prime = -\)sin(0) sowie mit \(m \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(n = \hat{k}\) der Satz von Moivre:\[(\cos z + \underline{\sin}\, z)^m = \epsilon^{\underline{m}z}=1+{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{\check{\omega}}\left({\widetilde{\acute{n}!}(\underline{m}z)^{\acute{n}}}+{\widetilde{n!}(\underline{m}z)^{n}}\right)=\cos{\left(mz\right)}+\underline{\sin}\left(mz\right).\square\]Eulersche Sinusformel: Nullstellensatz und Identitätssatz¹¹vgl. Walter, Wolfgang: Analysis 1; 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin., S. 41 für Reihen sowie der Satz oben liefern \(\Gamma(\tilde{2}) = {\pi}^{\tilde{2}}\) für die Gammafunktion \(\Gamma(z) := \omega!\omega^z/{\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{k=0}^{\omega}{(z + k)}\) mit \(z \in {}^{\nu}\mathbb{C} \setminus -{}^{\nu}\mathbb{N}\) entsprechend aus\[\frac{\epsilon^{\hat{\underline{\pi}}z} – 1}{\epsilon^{\underline{\pi}z}\hat{\underline{\pi}}z} = \frac{\epsilon^{\underline{\pi}z} – \epsilon^{-\underline{\pi}z}}{\hat{\underline{\pi}}z} = \frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = {\LARGE{\textbf{+}}}_{k=0}^{\omega}{\frac{(\underline{\pi}z)^{n}}{\grave{n}!}} = {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{k=1}^{\omega}{(1 – z^2/k^2)} = \frac{\tilde{z}}{\Gamma(z)\Gamma(-\acute{z})},\]da die \(\hat{\omega}\) Nullstellen der linken und rechten Seite wegen \(\epsilon^{\underline{\pi}n} = 1 + \sin 0\) übereinstimmen.\(\square\)

Folgerung: Damit ergibt sich das Wallis-Produkt zu \(W := {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{k=1}^{\omega}{k^2/(k^2-\tilde{4})} = \check{\pi}\) aus\[\frac{\Gamma(\tilde{2})^2}{2W} = \frac{\omega 4^{\grave{\omega}}{\omega!}^2}{{(\hat{\omega} + 1)!!}^2} \frac{(\hat{\omega} + 1){(\hat{\omega} – 1)!!}^2}{2\,4^{\omega}{\omega!}^2} = \frac{\hat{\omega}}{\hat{\omega} + 1} := 1 = \frac{\check{\pi}}{W}.\square\]Funktionalgleichung der Gammafunktion: Aus \(\Gamma(\grave{z})=z\Gamma(z)\omega/(\omega+\grave{z})\) und \(\Gamma(1):=1\) folgt für hinreichend kleine \(|z|\) durch partielle Integration \(\Gamma(\grave{z}) := {\uparrow}_0^{\omega} t^z\epsilon^{-t}{\downarrow} t=z\Gamma(z)\). Dies führt mit \(z = \tilde{2}\) und der Substitution \(x := t^{\tilde{2}}\) auf die für die Statistik und Kugelberechnung wichtige Gleichung \({\uparrow}_0^{\omega} \epsilon^{-x^2}{\downarrow} x = \tilde{2}\pi^{\tilde{2}}.\square\)

Folgerung: Eine logarithmische Ableitung¹²s. Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1; 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin, S. 324 ergibt die Gleichung \( {\uparrow}_{0}^{\omega}{\tilde{x}\sin x {\downarrow}x} = \check{\pi}.\square\)

Stirlingformel: Mit \(\theta = \alpha\omega\) gilt die asymptotische Näherung \(\grave{\theta}^{-1} < {{}_\epsilon}{(\omega! / ({\hat{\pi}\omega})^{\tilde{2}}(\tilde{\epsilon}\omega)^{\omega})} < \tilde{\theta}\) für \(\alpha = 12\).

Beweis: Logarithmieren von \(\binom{\hat{\omega}}{\omega} = \frac{(\tilde{\pi}{\omega})^{\tilde{2}}4^{\omega}}{\omega+\tilde{2}}\sim\frac{4^{\omega}}{{(\pi\omega)}^{\tilde{2}}}\) (s. o.) ergibt \(\omega!= d(\pi\omega)^{\tilde{2}}(c\omega)^{\omega}\) mit \(c, d \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{>0}\) aus\[{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{{\;}_\epsilon n} + {}_\epsilon4\,\omega – \tilde{2}{}_\epsilon(\pi\omega) = {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=\grave{\omega}}^{\hat{\omega}}{{\;}_\epsilon n} = \omega{}_\epsilon(b\omega),\]wobei \(b \in \,]1, 2[\) ist. Die Indizierung \(c_{\grave{\omega}}^{\grave{\omega}} / c_{\omega}^{\omega}\) von \(c\) liefert \(c = \tilde{\epsilon}\) und \(d_{\omega}^{2}/d_{\hat{\omega}}\) von \(d\) zeigt \(d = 2^{\tilde{2}}\) auf. TR (s. o.) und GR des Logarithmus ergeben \(\alpha = 12\) aus \(\acute{\upsilon} = \hat{\omega}\) und \(\tilde{\theta} – \grave{\theta}^{-1} + 1 = (\omega + \tilde{2}){{}_\epsilon}{(\tilde{\omega}\grave{\omega}}) = \check{\upsilon}{{}_\epsilon}((1 + \tilde{\upsilon})/(1 – \tilde{\upsilon})).\square\)

Beispiel: Mit \(f(x) := {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{\tilde{n}^2{}_\epsilon(1+n^2x^2)}\) gilt \(f^{\prime}(0) =\tfrac{f(\iota) – f(0)}{\iota – 0} = {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{\left. \tfrac{\hat{x}}{1+n^2x^2}\right |_0} = {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega}{\tilde{\iota}\tilde{n}^2{}_\epsilon(1+n^2\iota^2)} = \iota \omega = 0\), wobei die Reihenentwicklung \({}_\epsilon\grave{x} = {\LARGE{\textbf{$\pm$}}}_{n=1}^{\omega}{\tilde{n}x^n}\) mit \(x \in\;]-1,1[\) verwendet und gliedweise differenziert wurde.

Bemerkungen: Ist der Betrag von \(x \in \mathbb{C}\) von anderer Größenordnung als der von \({\downarrow}x\) bzw. \(\widetilde{{\downarrow}x}\), liefert \[{{s}^{(0)}}(x):={\LARGE{\textbf{$\pm$}}}_{m=0}^{n}{x^m}=(1-{{x\text{-}}^{\grave{n}}})/\grave{x}\]durch Ableitung\[{{s}^{(1)}}(x)={\LARGE{\textbf{$\mp$}}}_{m=1}^{n}{m{x^{\acute{m}}}}=(\grave{n}{{x\text{-}}^{n}}-n{{x\text{-}}^{\grave{n}}}-1)/{{{\grave{x}}^{2}}}.\]Obige Formeln wurden z. T. falsch berechnet. Letztere lässt sich für hinreichend kleine \(x\) und hinreichend, aber nicht zu große \(n\) noch zu \({-\grave{x}}^{-2}\) vereinfachen und bleibt auch für nicht zu große \(x \ge 1\) gültig. Durch sukzessive Multiplikation von \({s}^{(j)}(x)\) mit \(x\) für \(j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}\) und anschließende Differentiation ergeben sich weitere Formeln für \({s}^{(j+1)}(x)\) als Beispiele auch divergenter Reihen. Wird hingegen \({s}^{(0)}(-x)\) von 0 bis 1 integriert und \(n := \omega\) gesetzt, ergibt sich ein Integralausdruck für \({_\epsilon}\omega + \gamma\) mit der Eulerschen Konstante \(\gamma\).

Die Regel von de l’Hospital löst den Fall \(x = -1\). Über die binomische Reihe ergibt die Substitution \(y := -\acute{x}\) eine Reihe mit unendlichen Koeffizienten (die Reihendarstellung von \({}_\epsilon\omega\) sogar für \(\gamma\)). Wird der Zähler von \({s}^{(0)}(x)\) unzulässig zu 1 vereinfacht, können sich falsche Ergebnisse einstellen, insbesondere wenn \(|x| \ge 1\) gilt. So ist \({s}^{(0)}(-{\epsilon}^{\underline{\pi}})\) bspw. 0 für ungerades \(n\) und 1 für gerades \(n\), aber nicht \(\tilde{2}\).

Satz: Genau dann, wenn \(F: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) mit der Aufspaltung in Real- und Imaginärteil \(F(z) := U(z) + \underline{V}(z) := f(x, y) := u(x, y) + \underline{v}(x, y)\), \(h\)-homogenem \(A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) und \(h = |{\downarrow}x| = |{\downarrow}y|\), der NR \(B \subseteq {A}^{2}\), für alle \(z = x + \underline{y} \in A\) holomorph ist, gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen\[\tfrac{{{\downarrow} u}}{{{\downarrow} x}} = \tfrac{{{\downarrow} v}}{{{\downarrow} y}},\,\,\tfrac{{{\downarrow} v}}{{{\downarrow} x}} = – \tfrac{{{\downarrow} u}}{{{\downarrow} y}}.\]Beweis: Aus \(\tfrac{{{\downarrow} u}}{{{\downarrow} x}} + \tfrac{{{\downarrow} \underline{v}}}{{{\downarrow} x}} = \tfrac{{{\downarrow} v}}{{{\downarrow} y}} – \tfrac{{{\downarrow} \underline{u}}}{{{\downarrow} y}} = \tfrac{{{\downarrow} F}}{{{\downarrow} z}} = {\downarrow}U(z)+ {\downarrow}\underline{V}(z)\) folgt direkt die Behauptung.\(\square\)

Bemerkung: Als notwendige und hinreichende Bedingung für die Holomorphie von \(F\) ergibt sich\[F^{\prime}(\bar z) = \tfrac{{{\downarrow} f}}{{{\downarrow} x}} = \tfrac{{{\downarrow} \underline{f}}}{{{\downarrow} y}} = \tilde{2}\left( {\tfrac{{{\downarrow} f}}{{{\downarrow} x}} + \tfrac{{{\downarrow} \underline{f}}}{{{\downarrow} y}}} \right) = \tfrac{{{\downarrow} F}}{{{\downarrow} \bar z}} = 0.\]Satz von Green: Für die NRen \(B \subseteq {D}^{2}\) mit \(h\)-Gebiet \(\mathbb{D} \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}\), hinreichend großem \(m \in \mathbb{N}^{*}\), infinitesimalem \(h = |{\downarrow}x| = |{\downarrow}y| = |{}^\curvearrowright \gamma(t) – \gamma(t)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m}), (x, y) \in \mathbb{D}, {\mathbb{D}}^{-} := \{(x, y) \in \mathbb{D} : (x + h, y + h) \in \mathbb{D}\}\), einem im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen GW \(\gamma: [a, b[\rightarrow \partial \mathbb{D}\) bei Wahl von \({}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t)\) gilt mit \(t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}\) und hinreichend \(\alpha\)-stetigen Funktionen \(u, v: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}\) mit ggf. nicht stetigen Ableitungen \({\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x\) und \({\downarrow} v/{\downarrow} y\)\[{\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {{\mathbb{D}}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}.\]Beweis: Er wird nur für \(\mathbb{D} := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial \mathbb{D} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}\) geführt, da das jeweils um \(\check{\pi}\) gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem \(h\)-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf\[{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {{\mathbb{D}}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\]Unter Vernachlässigung der Teile von \(\gamma\) mit \({\downarrow}x = 0\) zum KI wie von \(t := h(u(s, g(s)) – u(r, g(r)))\) gilt\[-{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-t={\uparrow}_{r}^{s}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{r}^{s}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{r}^{s}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {{\mathbb{D}}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square\]Integrallemma von Goursat: Für das im Dreieck \(\Delta \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) holomorphe \(f\) ohne SF gilt¹³a.a.O., S. 149 ff.\[I:={\uparrow}_{\partial\Delta }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta }=0.\]Widerlegung bestimmter herkömmlicher Beweise durch Abschätzung mit einer vollständigen Triangulierung: Der Umlaufsinn von \(\partial\Delta\) ist anscheinend unerheblich. Wird \(\Delta\) vollständig trianguliert, dann muss für jedes minimale Teildreieck \({\Delta}_{s} \subseteq \Delta\) mit den Ecken \(\kappa, \lambda\) und \(\mu\) von \({\Delta}_{s}\) o. B. d. A. entweder\[{I_s}: = {\uparrow}_{\partial{\Delta _s}} {f(\zeta ){\downarrow}\zeta } = f(\kappa)(\lambda – \kappa) + f(\lambda)(\mu – \lambda) + f(\kappa)(\kappa – \mu) = (f(\kappa) – f(\lambda))(\lambda – \mu) = 0\]oder\[\begin{aligned}{\uparrow}_{\partial{\Delta _s}} {f(\zeta ){\downarrow}\zeta } &= f(\kappa)(\lambda – \kappa) + f(\lambda)(\mu – \lambda) + f(\mu)(\kappa – \mu) = (f(\kappa) – f(\lambda))\lambda + (f(\lambda) – f(\mu))\mu + (f(\mu) – f(\kappa))\kappa \\ &= f^{\prime}(\lambda)\left( {(\kappa – \lambda)\lambda – (\mu – \lambda)\mu + (\mu – \lambda)\kappa – (\kappa – \lambda)\kappa} \right) = f^{\prime}(\lambda)\left( {(\mu – \lambda)(\kappa – \mu) – {{(\kappa – \lambda)}^2}} \right) = 0\end{aligned}\]gelten. Die Holomorphie bzw. zyklische Vertauschung erlaubt dies nur für \(f(\kappa) = f(\lambda) = f(\mu)\).

Werden alle angrenzenden Teildreiecke in \(\Delta\) einbezogen, muss \(f\) also im Widerspruch zur Voraussetzung konstant sein. Denn da der Term in der großen Klammer translationsinvariant ist, ließe sich sonst o. B. d. A. \(\mu := 0\) setzen, und dieser Term wäre nur dann 0, wenn \(\kappa = \check{\lambda}(1 \pm {3\text{-}}^{\tilde{2}})\) mit \(|\kappa| = |\lambda| = |\kappa – \lambda|\) gilt. Die Homogenität jeder horizontalen und vertikalen Gerade in \({}^{(\omega)}\mathbb{C}\) verbietet dies jedoch:

Das zugehörige Teildreieck wäre dann gleichseitig und nicht gleichschenklig und rechtwinklig. Also ist \(|{I}_{s}|\) in beiden Fällen mindestens \(|f^{\prime}(\lambda) \mathcal{O}({\iota}^{2})|\) o. B. d. A. für die Eckenwahl \(0, \iota\) und \(\underline{\iota}\). Ist \(L\) der Umfang eines Dreiecks, so gilt einerseits \(|I| \le {4}^{m} |{I}_{s}|\) mit unendlich natürlichem \(m\) und andererseits \({2}^{m} = L(\partial\Delta)/|\mathcal{O}({\iota}^{2})|\) wegen \(L(\partial\Delta) = {2}^{m} L(\partial{\Delta}_{s})\) und \(L(\partial{\Delta}_{s}) = |\mathcal{O}({\iota}^{2})|\). Es gilt \(|I| \le |f^{\prime}(\lambda) {L(\partial\Delta)}^{2}/\mathcal{O}({\iota}^{2})|\) und die gewünschte Abschätzung \(|I| \le |\mathcal{O}({\downarrow}\zeta)|\) misslingt für \(|f^{\prime}(\lambda) {L(\partial\Delta)}^{2}|\) etwa größer als \(|\mathcal{O}({\iota}^{2})|.\square\)

Cauchyscher Integralsatz: Für die NRen \(B \subseteq {D}^{2}\) und \(A \subseteq [a, b]\) mit \(h\)-Gebiet \(\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}\), infinitesimalem \(h\) sowie \(f \in \mathcal{O}(\mathbb{D})\) und GW \(\gamma: [a, b[\rightarrow \partial \mathbb{D}\) bei Wahl von \({}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t)\) mit \(t \in [a, b[\), gilt \({\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}=0.\)

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit \(x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f\) und \({\mathbb{D}}^{-} := \{z \in \mathbb{D} : z + h + \underline{h} \in \mathbb{D}\}\)\[{\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}={\uparrow}_{\gamma }{\left( u+\underline{v} \right)\left( {\downarrow}x+{\downarrow}\underline{y} \right)}={\uparrow}_{z\in {{\mathbb{D}}^{-}}}{\left( \left( \tfrac{{\downarrow} \underline{u}}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} \underline{v}}{{\downarrow} y} \right)-\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}+\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right) \right){\downarrow}(x,y)}=0.\square\]Bemerkung: Der Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie lässt sich vermöge \(\tilde{\omega}\) := 0 nach Dixon¹⁴a.a.O., S. 228 f. beweisen, da der Limes dort 0 sein soll bzw. \(\tilde{r}\) gegen 0 für \(r \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{>0}\) gegen \(\omega\) strebt. Der (verallgemeinerte) Satz von Liouville und der kleine Satz von Picard werden in \({}^{\omega}\dot{\mathbb{C}} \subset {}^{\omega}\mathbb{C}\) durch die (ganzen) Funktionen \(f(z) = {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega }{{{z}^{n}}{{{\tilde{\omega }}}^{\grave{n}}}}\) und \(g(z) = \tilde{\omega }z\) wegen \(|f(z)| < 1\) und \(|g(z)| \le 1\) widerlegt, der große Satz von Picard durch \(f(\tilde{z})\) für \(z \in {}^{\omega}\dot{\mathbb{C}}^{*}\).

Definition: Ein Punkt \({z}_{0} \in M \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) bzw. zu einer Folge \(({a}_{k})\) mit \(k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}\) heißt (eigentlicher) \(\alpha\)-Häufungspunkt von \(M\) bzw. \(({a}_{k})\), wenn in der Kugel \({}^{\alpha}\dot{\mathbb{C}}({z}_{0}) \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) um \({z}_{0}\) mit infinitesimalem \(\alpha\) unendlich viele Punkte aus \(M\) bzw. paarweise verschiedene \({a}_{k} \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{n}\) liegen. Für \(\alpha = \tilde{\omega}\) entfällt \(\alpha.\triangle\)

Bemerkung: Die paarweise verschiedenen Nullstellen \(c_k \in {}^{\widetilde{\omega}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D}\) für \(z \in {}^{\omega}\mathbb{C}\) in \(p(z) = {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{k=0}^{\omega}{(z-c_k)}\) seien so gewählt, dass \(|f(c_k)| < \tilde{\omega}\) für eine Funktion \(f \in \mathcal{O}(\mathbb{D})\) in einem Gebiet \(\mathbb{D} \subseteq \mathbb{C}\) mit \(f(0) = 0\) gilt. \(\mathbb{D}\) enthalte \({}^{\widetilde{\omega}}\dot{\mathbb{C}}\) komplett, was eine Koordinatentransformation stets bewirkt, solange \(\mathbb{D}\) "groß" genug ist. Die Koinzidenzmenge \(\{\zeta \in \mathbb{D} : f(\zeta) = g(\zeta)\}\) von \(g(z) := f(z) + p(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})\) enthält einen Häufungspunkt in 0. Da \(p(z)\) jeden komplexen Wert annehmen kann, ist die Abweichung von \(f\) und \(g\) nicht vernachlässigbar.

Aufgrund \(f \ne g\) widerspricht dies dem Identitätssatz wie die lokale Tatsache, dass in \({z}_{0} \in \mathbb{D}\) alle Ableitungen \({u}^{(n)}({z}_{0}) = {v}^{(n)}({z}_{0})\) zweier Funktionen \(u\) und \(v\) für alle \(n\) zwar übereinstimmen können: weiter entfernt können sich aber \(u\) und \(v\) deutlich unterscheiden, ohne ihre Holomorphie zu verlieren, da die Entwicklung mancher holomorphen Funktion in eine TR Näherungspotenzen enthält. Die Funktion \(b(z) := \tilde{\nu}z\) mit \(z \in {}^{\nu}\dot{\mathbb{C}} \subset {}^{\nu}\mathbb{C}\) bildet das einfach zusammenhängende \({}^{\nu}\dot{\mathbb{C}}\) holomorph auf \({}^{1}\dot{\mathbb{C}}\) ab.

Eine fehlende Injektivität bzw. Surjektivität erfordert eine Korrektur des Riemannschen Abbildungssatzes. Beispiele für \(f \in \mathcal{O}(\mathbb{D})\) sind alle in \({}^{\tilde{\omega}}\dot{\mathbb{C}}\) beschränkten Funktionen mit \(f(0) = 0\). Wird die obere Grenze von \(\omega\) auf \(|\mathbb{N}^{*}|\) erweitert, ergeben sich ganze Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen. Die Nullstellen- menge braucht nicht diskret zu sein. Die Menge aller \(f \in \mathcal{O}(\mathbb{D})\) kann hingegen auch Nullteiler enthalten. Dies widerlegt erneut den kleinen Satz von Picard, da die \(f\) mindestens \(\acute{n}\) Werte in \(\mathbb{C}\) auslassen.

Satz (binomische Reihe): Aus \(\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}…(\grave{\alpha}-n)\) und \(\left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1\) für alle \(m \ge \nu\) und \(\binom{\alpha}{0}:=1\) ergibt sich mit \(z \in \mathbb{D}^\ll\) bzw. \(z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) für \(\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}\) die TR um 0 die Gleichung \({\grave{z}}^\alpha={\LARGE{\textbf{+}}}_{n=0}^{\omega}{\tbinom{\alpha}{n}z^n}.\square\)

Multinomialsatz: Für \(\zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}, z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}_{\ge 2}, m, n_j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, |n| := {\LARGE{\textbf{+}}}_{j=1}^{k}{n_j}, z^n := {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{j=1}^{k}{{z_j}^{n_j}}\) und \(\tbinom{m}{n} := \widetilde{n_1! … {n}_k!}m!\) gilt\[(1{\upharpoonright}_k^Tz)^m={\LARGE{\textbf{+}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}.\]Beweis: Die Fälle \(k \in \{1, 2\}\) sind klar. Induktionsschritt von \(k\) nach \(\grave{k}\) mit \(\tbinom{m}{n} = \tbinom{m}{n_1, …,n_{\acute{k}},p}\tbinom{p}{n_k, n_{\grave{k}}}\) und \(p=n_k+n_{\grave{k}}\):\[\left.{({1{\upharpoonright}_{\grave{k}}^Tz})^m}\right |_{\zeta_{k}=z_k+z_{\grave{k}}}=\left.{\LARGE{\textbf{+}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}\right |_{{\eta}_k!={n_k!}{n_{\grave{k}}!}} = {\LARGE{\textbf{+}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}\]bzw. von \(m\) nach \(\grave{m}\)

\((1{\upharpoonright}_{k}^T z)^{\grave{m}} =\grave{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}\left.{(1{\upharpoonright}_{k}^T z)}^m\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonright}_{k}^T z)^{\grave{m}} \right |_{z_j=0}\)\(=\left.\grave{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}{\LARGE{\textbf{+}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^{n}}\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonright}_{k}^T z)^{\grave{m}} \right |_{z_j=0}={\LARGE{\textbf{+}}}_{|\grave{n}|=\grave{m}}{\tbinom{\grave{m}}{\grave{n}}z^{\grave{n}}}.\square\)

Allgemeine Leibnizsche Produktregel: Mit \({\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}…{\downarrow}_k^{n_k}\) und \({\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j}\) folgt für \(j, k, m, n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}\) und differenzierbares \(f = f_1\cdot…\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) aus dem Multinomialsatz \({\downarrow}^mf = {\LARGE{\textbf{+}}}_{|n|=m}{\binom{m}{n}{\downarrow}^nf}.\square\)

Satz von Taylor für mehrere Variablen: Mit \(n! := {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{j=1}^{k}{n_j!}, a, z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}\) und \((z – a)^n := {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{j=1}^{k}{(z – a)^{n_j}}\) folgt aus dem Multinomialsatz ebenfalls analog zum Beweis der einfachen TR für \(n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}\)\[f(z) = T_{\omega}(z) := {\LARGE{\textbf{+}}}_{|n|=0}^{\omega }{\widetilde{n!}{\downarrow}^nf(a)(z – a)^n}.\square\]Folgerung: Analog zur einfachen TR ist das Restglied mit \(\zeta \in {}^a\dot{\mathbb{C}}(z)\) und \(k \in \mathbb{N}_{\le\grave{n}}^{*}\)\[R_n(z) = (z – \zeta)^{k}/(1-k/\grave{n}){\LARGE{\textbf{+}}}_{|m|=\grave{n}}{\widetilde{m!}{\downarrow}^mf(\zeta)(z – a)^{m-k}}.\square\]Kettenregel für mehrere Variablen: Für \(z \in A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^k, f: A \rightarrow B \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^m, g: B \rightarrow C \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}^n\) gilt mit \(k, m, n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^*\):\[g^{\prime}(f(z)) = g^{\prime}(f(z)) f^{\prime}(z).\]Beweis: Aus dem Satz von Taylor für mehrere Variablen folgt für beschränkte \(||r(z)||\) und \(||s(f(z))||\)

\(f(\curvearrowright z) = f(z) + f^{\prime}(z) {{\downarrow}z} + r(z)||{\downarrow}z||^2 \text{ und }\)\(g(\curvearrowright f(z)) = g(f(z)) + g^{\prime}(f(z)) {{\downarrow}f(z)} + s(f(z))||{\downarrow}f(z)||^2.\square\)

Newtonverfahren: Wird oben \(f(\curvearrowright z)=f(z)+f^\prime(z){\downarrow}z=0\) gefordert, so gilt \(z_{\grave{n}} := z_n-{f^\prime(z_n)}^{-1}f(z_n)\), falls \({f^\prime(z_n)}^{-1}\) invertierbar ist, mit quadratischer Konvergenz in der Nähe einer Nullstelle.\(\square\)

Gegenläufigkeitssatz: Durchläuft der Weg \(\gamma: G = [a, b[ \, \cap \, C \rightarrow V\) mit \(C \subseteq \mathbb{R}\) die Kanten aller \(n\)-Würfel mit Seitenlänge \(\iota\) im \(n\)-Volumen \(V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}\) mit \(n \in \mathbb{N}_{\ge 2}\) genau einmal, wobei in allen deren Seitenflächen paarweise gegenüberliegende Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für \(D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, …, {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma({}^\curvearrowright t) = {}^\curvearrowright x\) und \({V}_{{}^\curvearrowright } := \{{}^\curvearrowright x \in V: x \in V, {}^\curvearrowright x \ne {}^\curvearrowleft x\}\) \[{\uparrow}_{t \in G}{f(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}={\uparrow}_{\begin{smallmatrix} (x,{}^\curvearrowright\,x) \\ \in V\times {{V}_{{}^\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x){\downarrow}x}={\uparrow}_{\begin{smallmatrix} t \in G, \\ \gamma | {\partial}^{\acute{n}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{\gamma}^{\prime}}(t){\downarrow}t}.\]Beweis: Bei Betrachten zweier beliebiger Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge \(\iota\), die in einer Ebene liegen, werden nur die Kanten von \(V\times{V}_{{}^\curvearrowright}\) nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in \({\partial}^{\acute{n}}V.\square\)

Endlichkeitskriterium für Reihen: Seien \(m, n, q, r \in \mathbb{N}\). Genau dann ist \(S_r := \left| {\LARGE{\textbf{+}}}_{q=0}^{r}{s_q} \right|\) mit \(s_q \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}\) endlich, wenn \(0 \le S_r = \left|{\LARGE{\textbf{$\pm$}}}_{m=0}^{n}{{a}_{m}}\right| \le {a}_{0}\) für eine Folge \(({a}_{m})\) mit \(a_{\grave{m}} < a_m \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{\ge 0}\) gilt, sofern sich Summanden beliebig nach Größe und Vorzeichen sortieren, zusammenfassen bzw. in Summen aufspalten lassen.\(\square\)

Reihenproduktsatz: Mit \({a}_{m}, {b}_{n} \in {}^{(\omega)}\mathbb{K}\) ersetzt folgende Gleichung das Cauchy-Produkt¹⁵s. Walter, a.a.O., S. 103:\[{\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{{{a}_{m}}}{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{\omega }{{{b}_{n}}}={\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\left( {\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{m}{\left( {{a}_{n}}{{b}_{m-\acute{n}}}+{{a}_{\omega -\acute{n}}}{{b}_{\omega -m+n}} \right)}-{{a}_{m}}{{b}_{\omega -\acute{m}}} \right)}.\square\]Beispiel: Das folgende Reihenprodukt hat den endlichen Wert¹⁶vgl. Gelbaum, a.a.O., S. 61 f.:

\(\left({\LARGE{\textbf{$\pm$}}}_{m=1}^{\mathrm{\omega}}{{\widetilde{m}}^{\tilde{2}}}\right)^2={\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\mathrm{\omega}}{\left(\left(\frac{\widetilde{m}}{\mathrm{\omega}-\acute{m}}\right)^{\tilde{2}}-{\underline{1}^{\hat{m}}}{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=1}^{m}\left(\left(\frac{\tilde{n}}{m-\acute{n}}\right)^{\tilde{2}}+\left(\frac{\widetilde{\mathrm{\omega}-\acute{n}}}{\mathrm{\omega}-m\ \mathrm{+\ }n}\right)^{\tilde{2}}\right)\right)}\)\(=0,36590…\ \ \ \ll\frac{{\zeta\left(\tilde{2}\right)}^2}{3+8^{\tilde{2}}}.\)

Beispiel: Mit der Signumfunktion sgn gilt für folgendes Reihenprodukt¹⁷vgl. a.a.O., S. 62:\[{\LARGE{\textbf{+}}}_{m=0}^{\omega }{{2}^{{{m}^{\text{sgn}(m)}}}}{\LARGE{\textbf{+}}}_{n=0}^{\omega}{\text{sgn}(n-\gamma)} = \acute{\omega}{2}^{\grave{\omega}}\gg -2.\]Satz von Stokes¹⁸vgl. Köhler, a.a.O., S. 625 f.: Steht \(-\) für hinreichend \(\alpha\)-stetige Funktionen \(f_m: C \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}\) über einem wegzulassenden Term bei einer alternierenden Differentialform \(\upsilon := {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{n}{f_m\;{\downarrow}x_1\wedge…\wedge \overline{{\downarrow}x_m}\wedge…\wedge
{\downarrow}x_n}\) vom Grad \(\acute{n}\) auf einem achsenparallelen Quader \(C =[{a}_{1}, {b}_{1}] \times…\times [{a}_{n}, {b}_{n}] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}^n\) mit \(\partial C:= {\LARGE{\textbf{$\mp$}}}_{m=1}^{n}{(F_{a,m} – F_{b,m})}\) und den Seitenflächen \(F_{a,m} = [{a}_{1}, {b}_{1}] \times…\times \{a_m\} \times…\times [{a}_{n}, {b}_{n}]\) sowie \(F_{b,m} = [{a}_{1}, {b}_{1}] \times…\times \{b_m\} \times…\times [{a}_{n}, {b}_{n}]\), so gilt \({\uparrow}_C{{\downarrow}\upsilon} = {\uparrow}_{\partial C}{\upsilon}.\)

Beweis: Der zweite Hauptsatz und der Satz von Fubini (s. o.) ergeben ergeben für die Seitenflächen\[{\uparrow}_C{{\downarrow}\upsilon} = {\LARGE{\textbf{$\mp$}}}_{m=1}^{n}{{{\uparrow}_{a_n}^{b_n}{…\overline{{\uparrow}_{a_m}^{b_m}}{…{\uparrow}_{a_1}^{b_1}{(f_m(x_1, …, a_m, …, x_n) – f_m(x_1, …, b_m, …, x_n)){\downarrow}x_1}\wedge…\wedge}\overline{{\downarrow}x_m}}\wedge…\wedge}{\downarrow}x_n}\]und\[\tfrac{{{\downarrow} f_m}}{{{\downarrow}x_m}}{\downarrow}x_m\wedge {\downarrow}x_1\wedge…\wedge {\downarrow}x_{\acute{m}}\wedge {\downarrow}x_{\grave{m}}\wedge…\wedge {\downarrow}x_n = -\underline{1}^{\hat{m}}\tfrac{{{\downarrow} f_m}}{{{\downarrow} x_m}}{\downarrow}x_1\wedge…\wedge {\downarrow}x_n.\square\]Bemerkung: Der Satz von Stokes gilt auch für aus Quadern bestehende \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten.

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