Was kann ich Ihnen aus meiner jahrzehntelangen mathematischen Erfahrung heraus raten?
Echte Fortschritte in der Mathematik gibt es nur mit ungewöhnlichen Ideen, die aus einer intensiven Gedankenarbeit resultieren. Mit Glück lösen sich die wenigsten Probleme. Wir benötigen einen mathematischen Fundus, aus dem wir die mathematischen Tools für unsere Probleme verwenden können. Erfolg stellt sich erst mit einer gehörigen Portion Hartnäckigkeit ein, mit der wir ein Problem auch notfalls Jahrzehnte lang verfolgen, bevor wir es lösen können.
Wenn wir tief genug denken, kann dies so weit gehen, dass wir ganze Theorien überflüssig machen. Daher ist es erforderlich auch die sogenannten Selbstverständlichkeiten infrage zu stellen und bessere Lösungen zu entwickeln, wenn wir mit dem Stand der Forschung nicht zufrieden sind. Wir müssen eine hohe Sensibilität für das Machbare entwickeln und dürfen nicht vorschnell mit dem Erreichten zufrieden sein: Wir müssen uns selbst kritisieren (lassen).
Es sind nicht nur die großen und komplizierten Ideen, die ein Problem bestmöglich lösen, aber lange Beweise erfordern. Es sind oftmals die kleinen, einfachen Schritte, die den Erfolg bringen, da aufwändige Transformationen eine ungünstige Komplexität besitzen. Wir sollten außerdem die Beobachtungsgabe schulen und uns von der vorhandenen Literatur lösen, deren Studium vermeidet das Rad neu erfinden zu müssen oder wichtige Impulse zu verpassen.
Können wir ein mathematisches Problem iterativ nicht lösen, sollten wir automatisierte rechnergestützte (Beweis-)Methoden nutzen oder uns mit einer guten Näherung zufrieden geben, auch wenn dabei die Schönheit und Prägnanz der exakten und geschlossenen Darstellung verloren geht und der Aufwand für die Umsetzung beträchtlich ist, sofern die Lösung des Problems wichtig genug ist bzw. die benötigten Ressourcen verfügbar sind.
Oftmals sind die Angabe von Fehlergliedern oder numerische Lösungswege (z. B. unter Verwendung von Intervallarithmetik) ausreichend, da eine hohe Präzision nicht erforderlich ist. Zwar sind bestimmte Aussagen nur in ihrer exakten Form von Wert, aber es ist wichtiger die Probleme nach ihrer praktischen Verwendbarkeit und Verwendung zu bewerten, dann eine Prioritätenrangfolge zu erstellen und sie zum Schluss befriedigend zu lösen.
Es wird immer wieder Zahlen geben, die nicht mit kurzen Summen oder Produkten von wenigen (algebraischen oder transzendenten) Zahlen darstellbar sind, selbst wenn wir einige Zahlen (zusätzlich) auszeichnen und unter einem Symbol verwenden müssen. Es hat seinen guten Grund, dass wir nicht über die Möglichkeit der Götter verfügen ganze Unendlichkeitsstufen auf einmal zu überblicken und aus ihnen prägnante Ergebnisse herauszufiltern.
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