Mengenlehre

Definition: Der Verzicht auf Unterscheidung zweier Entitäten macht sie identisch. Die Gesamtheit nicht-identischer Entitäten wird als Menge \(S\) von Elementen mit \(|S|\) als deren Anzahl \(n\) bezeichnet, die keine Elemente enthaltende leere Menge mit dem Symbol \(\emptyset\). Lässt sich \(S \ne \emptyset\) sukzessive die aufgerundete Hälfte der verbliebenen Elemente entnehmen, bis \(S\) leer ist, so ist \(n\) endlich, andernfalls unendlich. Sei \(\nu\) die größte endliche, \(\omega\) dazwischen die größte mittendliche und \(\iota\) die kleinste positive reelle Zahl.\(\triangle\)

Vorüberlegung: Der Bezug auf philosophische Begriffe ist berechtigt, da sich Mathematik metasprachlich nicht allein aus sich selbst erklären lässt und Abstrakta nach dem Prinzip der Wissenschaftlichkeit die allgemeinsten Aussagen liefern. Das Wort sukzessive beinhaltet hierbei die physikalische Vorstellung, dass zwischen den zu betrachtenden Zeitpunkten eine messbare bzw. in irgendeiner Form wahrnehmbare Zeitspanne liegt, und setzt damit die Planck-Zeit von ca. \(10^{-43}\) Sekunden implizit voraus.

Dem Vorwurf der mangelnden Allgemeingültigkeit durch Einbeziehen physikalischer Tatsachen ist zu entgegnen, dass in dieser Welt beliebig kleine Zeitabschnitte bzw. echt instante Ereignisse keine Bedeutung haben, da sie praktisch nicht existieren, sondern allenfalls aus theoretischen Erwägungen zuzulassen sind. Aufgrund der strukturell ähnlichen und in der Raumzeit zusammengefassten Größen Raum und Zeit, gilt das für den Raum weiter unten Gesagte auch für die Zeit.

Die Spezifikation weder endlicher noch unendlicher Zahlen erfordert mittendliche Zahlen. Das Akzeptieren eines abrupten Übergangs wäre schwer zu rechtfertigen, da endlich und unendlich zwei nicht einfach zu vereinbarende Gegensätze darstellen. Die Existenz aktual oder nur potenziell unendlicher Mengen bleibt offen, da die Transzendenz des Unendlichen einen Beweis versagt. Was macht die Frage plausibel: Wenn etwas denkbar ist, kann dann seine Existenz unmöglich sein?

Gibt es Widersprüche oder Ungereimtheiten, wenn alles nur endlich wäre? Eine Folge wäre die zwangsweise Wiederholung alles Seienden im endlichen Fall zu einem bestimmten Zeitpunkt. Aus der fast „verschwenderischen“ Größe bzw. Expansion des Universums lässt sich auf eine Verfügbarkeit des Seienden schließen, der keine erkennbaren Grenzen gesetzt sind. Trotzdem bleiben solche Schlüsse schwächer als die Abduktion aufgrund der praktischen Unverfügbarkeit des Unendlichen.

Wird eine endliche Strecke in unendlich viele Teile zerlegt, liegt das Unendliche endlich begrenzt vor. Ist darüber hinaus die Anzahl der Teile beider Unendlichkeiten gleich, ist mathematisch eine Isomorphie gegeben: Die Vergrößerung der unendlich kleinen Teile der endlichen Strecke auf endliche Strecken, ergibt im größeren Maßstab die Unendlichkeit im herkömmlichen Sinne bezogen auf das Gesamte. Dies erschließt leicht eine Bijektion im mathematischen Sinne.

Herkömmlich definieren hinlänglich bekannte Axiome die reellen Zahlen als linear geordneten Körper und die komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit \(\underline{1}\) (gesprochen „komp 1“) als Körper. Analog lassen sich Addition, Multiplikation und deren Inversenbildung in deren umfassendste und per Definition abgeschlossenen Oberkörper \(\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C} := \mathbb{R} + \underline{\mathbb{R}}\) (mit weiteren Operationen wie bspw. der Potenzierung) fortführen. Jede Zahl aus \(\mathbb{C}^{*}\) mit unendlichem Betrag ihres Kehrwertes heißt infinitesimal.

Auf die Darstellung der Peano-Axiome und der Körperaxiome wird hier bewusst verzichtet, um anschaulich zu bleiben und das Neue herauszustellen. Zwei Zahlen müssen einen Minimalabstand besitzen, da alle verschiedenen Zahlen von \(\mathbb{R}\) durch einen Abstand getrennt sind. Die gegenteilige Annahme, dass das Minimum nicht fest ist, führt auf den Widerspruch, dass jede Zahl aus \(\mathbb{R}\) mindestens einen nächsten Nachbarn als Zahl haben muss, der selbst in \(\mathbb{R}\) liegt (vgl. die Isomorphie oben).

Definition: Die aus sukzessivem Addieren von 1 zu 0 entstehenden Elemente ergeben die Menge aller natürlichen Zahlen \(\mathbb{N} := \mathbb{N}^{*} \cup \{0\}\). Das Entfernen der zusammengesetzten Zahlen von \(\mathbb{N}_{\ge 2}\) ergibt die Primzahlen \(\mathbb{P}\), die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) ergeben sich durch \(\mathbb{Z} := \mathbb{N} \cup -\mathbb{N}^*\) und die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) durch die Brüche mit Zähler aus \(\mathbb{Z}\) und Nenner aus \(\mathbb{N}^{*}\). Der Minimalabstand von 0 ist \(\iota\). \(\mathbb{R}\) umfasst hyperreelle und surreale Zahlen. Die Zahlen \(\nu, \omega\) und \(1/\iota\) haben für \(n \in \mathbb{N}\) die Form \(2^n.\triangle\)

Minimalitätssatz: Für die eindeutige \(b\)-adische Entwicklung jedes \(r \in \mathbb{R}\) gilt min \(\{b \in \mathbb{R}_{>1}\} = 2\), da die GR dies mit Fokus auf die Nachkommastellen zeigt.\(\square\)

Bemerkung: Für \(b \in \; ]1, 2[\) ist die Entwicklung nicht mehr eindeutig, da zwei für die Dualdarstellung vorgesehene Ziffern (0 und 1) verwendet werden müssen: Die Beschränkung auf eine Ziffer ist nur für die Basis \(b = 1\) sinnvoll. Für \(b > 2\) kann Eindeutigkeit hergestellt werden wegen \((1 – b^{-n})/(1 – b^{-1}) < 2\), wobei \(n \in \mathbb{N}\) die Anzahl der Nachkommastellen von \(r\) bezeichnet. Minimalitätssatz und am häufigsten im Binärsystem arbeitende Digitalrechner erklären die Wahl von 2 als Basis.

Definition: Dekrement und Inkrement von \(a \in \mathbb{C}\) werden \(\acute{a} := a – 1\) bzw. \(\grave{a} := a + 1\) notiert und der Kehrwert von \(u \in \mathbb{C}^*\) ist \(\tilde{u} := 1/u\). Gesprochen werden sie „\(a\) dek“, „\(a\) ink“ und „Kehr \(u\)“. Ferner werden \(\hat{a} := 2a\) und \(\check{a} := a/2\) „a Dach“ bzw. „halb a“ gesprochen. Der Logarithmus von \(a \in {}^{\omega}\mathbb{C} \setminus {}^{\omega}\mathbb{R}_{\le 0}\) zur Basis \(b \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{>0}\) wird mit \({_b}{a}\) notiert und gesprochen „\(b\) log \(a\)“. Gilt \(\sigma \in \{\nu, \omega\}\) und \(S^* = S^{*-1}\), seien \({}^\sigma S := S \cap [-\sigma, \sigma]\) für \(S \subseteq \mathbb{R}, {}^\sigma \mathbb{C} := {}^\sigma \mathbb{R} + {}^\sigma \underline{\mathbb{R}} \subset \mathbb{C}\) und \({}^\sigma S := S \cap {}^\sigma \mathbb{C}\) für \(S \subseteq \mathbb{C}\) und deren Teilmengen analog.\(\triangle\)

Bemerkung: Mit \(T := {}^\sigma S \notin \{\emptyset, \{0\}\}\) gilt \(T+T \nsubseteq T\) oder sogar \(T \cdot T \nsubseteq T\). Das (z. B. durch \(\mathbb{R}^2 := \mathbb{R}\times\mathbb{R}\) bzw. \(\mathbb{C}\) gegebene) Quadrat wird dem Kreis vorgezogen, obwohl seine Diagonalen die längsten Geraden wären: das kartesische Produkt ist leichter handhabbar¹vgl. Deitmar, Anton: Analysis; 1. Aufl.; 2014; Springer; Berlin, S. 13.. Die Mengen \({}^\omega S\) enthalten nur nicht-unendliche Elemente. Die Mengen \({}^\nu S\) entsprechen den herkömmlichen Mengen \(S\). Die mittendlichen schließen die Lücke von endlichen zu unendlichen Mengen.

Extremalsatz: Jede lineare Ordnung besitzt sowohl ein maximales als auch ein minimales Element, da alle anderen Konstellationen auf einen Widerspruch zur Totalität bzw. zu Obigem führen.\(\square\)

Bemerkung: Von der Verwendung des eventuell irreführenden Begriffs der Abzählbarkeit wird abgesehen, da unendliche Mengen wie \(\mathbb{N}\) Abzählbarkeit suggerieren, die aber nicht vorliegt. Erst die eindeutige Konstruktion einer mitt- oder unendlichen Menge erlaubt deren Anzahl an Elementen korrekt zu bestimmen und sie auf \({}^{\omega}\mathbb{N}\) als Basis zu beziehen. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten wird die plausibelste ausgewählt. Die Relation \(\in\) ist irreflexiv und asymmetrisch, \(\subseteq\) hingegen Teilordnung.

Definition: Die Mengen \({\mathbb{M}}_{\mathbb{R}} := {}^{\omega}{\mathbb{R}} \setminus {}^{\nu}{\mathbb{R}}\) und \({\mathbb{M}}_{\mathbb{C}} := {\mathbb{M}}_{\mathbb{R}} + \underline{\mathbb{M}}_{\mathbb{R}}\) definieren die mittendlichen Zahlen. Bei reellen Mengen kann der Index \(_{\mathbb{R}}\) entfallen. Enthalten zwei Mengen die gleichen Elemente, heißen sie genau dann gleich (Extensionalität). Die Menge \(Y\) heißt Vereinigung der Menge \(X\), wenn sie genau die Elemente der Elemente von \(X\) als Elemente enthält. Die Potenzmenge der Menge \(X\) ist \(\mathcal{P}(X) := \{Y : Y \subseteq X\}.\triangle\)

Inklusionssatz: Weder enthält eine nichtleere Menge sich selbst oder ihre Potenzmenge, noch lässt sie sich bijektiv auf ihre echte Teilmenge abbilden.

Beweis: Jede Menge unterscheidet sich von ihren Elementen, da sie letztere umfasst. So ist \(\emptyset \ne \{\emptyset\}\). Ihre Differenzmenge weist die Elemente mit fehlendem Partnerelement für die Bijektion auf.\(\square\)

Folgerung: Dies widerlegt insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument, da \(\mathbb{N}\) eine echte Teilmenge von \(\mathbb{Q}\) ist. Ein Verlagern nach hinten der vorne ausgeschlossenen Zahlen macht das zweite haltlos. Gleiches gilt für das Cantorsche, das Russell-Zermelosche und das Banach-Tarski-Paradoxon. Hilberts Hotel widerlegt die Translation, die aus einer unendlichen Menge immer herausführt wie die Nachfolgerabbildung \(s: {}^{\omega}\mathbb{N} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} \cup \{\grave{\omega}\}\) aus \({}^{\omega}\mathbb{N}\).

Definition: Zyklenfreiheit bezeichnet die Abwesenheit zyklischer Folgen von Mengen, bei denen jeweils eine als Element in der vorangegangenen enthalten ist. Ersetzbarkeit bezeichnet den möglichen Übergang von einer Menge \(X\) bei einer eindeutigen Ersetzung jedes Elements von \(X\) durch eine beliebige Menge. Enthält die Menge \(Y\) genau ein Element aus jedem Element von \(X\) (Forderung der Auswählbarkeit), heißt sie Auswahl aus einer Menge \(X\) von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.\(\triangle\)

Fundierungssatz: Wird \(X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}\) und \(x_{\acute{n}} := \{x_n\}\) mit \(m \in {}^{\omega}\mathbb{N}\) und \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}\) gesetzt, garantiert erst die Forderung des Fundierungsaxioms Zyklenfreiheit, dass jede nichtleere Teilmenge \(X \subseteq Y\) ein Element \(x_0\) enthält, sodass \(X\) und \(x_0\) disjunkt sind.\(\square\)

Bemerkung: Mit \(x_{\omega} := \{x_0\}\) statt \(x_{\omega} := \{x_1\}\) ist \(X\) eine unendliche Kette. Alle Definitionen oben legen die hier vertretene Mengenlehre fest, die ohne echte Klassen²vgl. Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre; 1. Aufl.; 2002; Springer; Berlin, S. 117 f. auskommt, da nur sinnvolle Mengen betrachtet werden. Die existierende Menge \(\mathbb{W}\) aller Welten ist unveränderlich, weil sie sonst der Vollständigkeit widerspräche. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Veränderungen in den Welten nicht existieren oder alles determiniert ist. Hierbei hilft es die Zeit räumlich zu betrachten.

Behauptung: Das Cantor-Polynom \(P(m, n) := \tilde{2}({(m + n)}^{2} + 3m + n)\) bildet \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) bijektiv auf \({}^{\omega}\mathbb{N}\) ab.

Widerlegung: Es gilt \(P(\omega, \omega) = \hat{\omega}\grave{\omega} >\omega = \max \; {}^{\omega}\mathbb{N}.\square\)

Bemerkung: Ebenso wird die Fueter-Pólya-Vermutung widerlegt. Wird die Menge \({}^{\omega}\mathbb{N}^{2}\) durch \(\{(m, n) \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{2} : m + n \le k \in {}^{\omega}\mathbb{N}\}\) mit \(k(k + 3) = \hat{\omega}\) ersetzt, gilt die Behauptung. Da es unendlich viele Mengen mit Anzahl der Elemente zwischen \(|{}^{\nu}\mathbb{N}|\) und \(|{}^{\nu}\mathbb{R}|\) gibt, ist auch die Kontinuumshypothese falsch.

Definition: Die Summe \(p(z)={+}_{k=0}^{\acute{m}}{{{a}_{k}}{{z}^{k}}}\) mit \(z \in \mathbb{C}\) und \(m \in \mathbb{N}^*\) heißt \(m\)-Polynom, falls die Anzahl der Koeffizienten mit bspw. \({a}_{k} \in {}^{\nu}\mathbb{Z}\) oder \({a}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{Z}\) und \(k \in \mathbb{N}_{<m}\) und \({a}_{k} \ne 0\) endlich ist, sonst \(m\)-Reihe. Es heißt \(\deg(p) := \acute{m}\) für \({a}_{k} \ne 0\) der Polynom- bzw. Reihengrad von \(p\). Für das Nullpolynom \(p = 0\) sei \(\deg(p) := -1.\) Eine \(p(z) = 0\) setzende Zahl \(z \in \mathbb{C}\) wird als Nullstelle und \(m\)-AZ bezeichnet. Ist \(p(z)\) das Minimalpolynom von \(\alpha \in \mathbb{C}\) mit \(0 \ne p(\alpha) \approx 0\), so gelte min \(|p(z)| = |p(\alpha)|.\triangle\)

Definition: Die Mengen dazu heißen \({}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}\) im reellen Fall und \({}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}} \supset {}^{m}{\mathbb{Q}}_{\mathbb{C}} \supset {}^{m}{\mathbb{Z}}_{\mathbb{C}} \supset {}^{m}{\mathbb{N}}_{\mathbb{C}}\) im komplexen. Für \({a}_{\deg(p)} = 1\) ergeben sich \(m\)-ganzalgebraische Zahlen. Die weder ein \(m\)-Polynom noch eine \(m\)-Reihe auf null setzenden \(z \in \mathbb{C}\) heißen \(m\)-transzendent und bilden die Mengen \({}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{R}}\) im reellen Fall und \({}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{C}} := ({}^{m}{\mathbb{T}}_{\mathbb{R}} + {}^{m}\underline{\mathbb{R}}) \cup ({}^{m}\mathbb{R} + {}^{m}\underline{\mathbb{T}}_{\mathbb{R}})\) im komplexen. Für \(m := \nu\) liegt herkömmliche Transzendenz vor.\(\triangle\)

Definition: Gilt \(||x – y|| \le \max \; \{||x – z||, ||y – z||\}\) mit der euklidischen Norm \(||\cdot||\) und \(n \in \mathbb{N}^{*}\) für alle Punkte \(z \in M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) und \(\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}\), heißen zwei verschiedene Punkte \(x\) und \(y\) von \(M\) benachbart. Die Teilmengen von \(\mathbb{K}^{n}\) heißen lückenlos, wenn alle benachbarten Punkte darin den Minimalabstand \(\iota\) haben.\(\triangle\)

Definition: Haben benachbarte Punkte einer nichtleeren Menge \(M \subseteq \mathbb{R}^{n}\) für \(n \in \mathbb{N}^{*}\) in jeder Dimension stets den Minimalabstand \(h \in \mathbb{R}_{>0}\), wird \(M\) als \(h\)-homogen bezeichnet und mit \(h\)-\(M\) notiert. Für \(n\)-dimensionale Teilmengen von \(\mathbb{C}^{n}\) bewirkt dies analog die Isomorphie \(\mathbb{C}^{n} \cong \mathbb{R}^{\hat{n}}\). Existiert zu jedem \(x \in \mathbb{K}^{n}\) ein Punkt \(y \in M\) mit \(||x – y|| = \iota\), heißt eine Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{K}^{n}\) dicht in \(\mathbb{K}^{n}\). Sei \(u{\upharpoonright}_n := (u, …, u)^T \in{}^{\omega}\mathbb{K}^{n}\). Es wird \(u{\upharpoonright}_n\) „u rep n“ gesprochen.\(\triangle\)

Bemerkung: Das punktsymmetrische \(\dot{\mathbb{K}}^n\) zu \(\mathbb{K}^n\) hat manche Handhabungsvorteile. Das \(h\)-Homogenisieren trägt \(h\) vom Ursprung aus in jeder Dimension ab. Zwischen Zahlen liegende Elemente sind auf die nächstgelegenen \(h\)-homogenen Elemente zu runden. Sowohl \({}^{\nu}\mathbb{Q}_{\mathbb{K}}\) als auch \({}^{\nu}\mathbb{A}_{\mathbb{K}}\) sind inhomogen. Hierbei geben die Logarithmen zur Basis 2 (s. Nichtstandardanalysis) \({_2}\nu, {_2}\omega\) oder \({_2}\tilde{\iota}\) die maximale Anzahl der Vor- wie Nachkommastellen der Elemente von \(\tilde{\nu}\)-\({}^{\nu}\mathbb{R}, \tilde{\omega}\)-\({}^{\omega}\mathbb{R}\) und \((\iota\)-)\(\mathbb{R}\) an.

Hauptsatz der Mengenlehre: Die Menge \(\mathbb{R} = \mathbb{Q}\) ist ein maximaler, linear geordneter, abgeschlossener, kontinuierlicher und \(\iota\)-homogener Körper mit \(|\mathbb{R}| = 2 {\tilde{\iota}}^{2} + 1\), da \(h\)-homogenisierte Elemente mit Abstand \(\iota\) Kontinuität garantieren, obwohl der genaue Wert von \(\iota\) unbestimmt ist.\(\square\)

Bemerkung: Somit existieren irrationale Zahlen nicht und \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) sowie \(\mathbb{C}\) sind \(h\)-homogen: das Erdős-Ulam-Problem ist gelöst. Da die Rekonstruktion rationaler Zahlen mit notwendig periodischer Bruchentwicklung eindeutig ist, schränkt die \(h\)-Homogenität nicht wesentlich ein. Eine vollständige Homogenität (d. h. in allen Richtungen) höherdimensionaler reeller Räume ist leider unmöglich, wie eine einfache Überlegung zu Kreisen bzw. Kugeln zeigt – auch bei Aufrollen eindimensionaler Räume.

Folgerung: Für jede nicht-leere Menge lässt sich eine lineare Ordnung definieren.\(\square\)

Bemerkung: Anders als herkömmlich³vgl. Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas: Relationen und Graphen; 1. Aufl.; 1989; Springer; Berlin, S. 33. lassen sich jeweils unmittelbare Vorgänger und Nachfolger angeben. Anschaulich werden Perlen zu einer Kette aufgefädelt, wobei die Anzahl der Dimensionen unerheblich ist. Die lineare Ordnung einzelner Punkte kann für den \(\mathbb{R}^n\) mit \(n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*\) bspw. Dimension für Dimension geschehen: Die Gesamtlänge der Kette beträgt dann \(\iota |\mathbb{R}|^n\). Eine andere lineare Ordnung ist die bei \(\underline{0}_n\) beginnende spiralförmige nach der euklidischen Norm der einzelnen Punkte.

Bemerkung: Die Mengenlehre insgesamt ist natürlich umfangreicher, da hier nur wesentliche (neue) Gedanken präsentiert wurden. Nur böse Zungen behaupten, dass, was an der Cantorschen Mengenlehre nicht trivialerweise richtig ist, falsch ist. Fest steht jedoch, dass letztere in weiten Teilen nicht aufrechterhalten werden kann, aber trotzdem noch genügend interessante Ideen enthält, die weiterverfolgt werden sollten. Eine nähere Wertung soll hierbei allerdings aus Gerechtigkeitsgründen unterbleiben.

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