Mengenlehre | Homepage von Boris Haase

Definition: Eine Entität ist alles, was als Seiendes unterscheidbar ist. Eine Menge $S$ ist eine Gesamtheit von Entitäten, den Elementen, deren Anzahl mit $|S|$ notiert wird. Nur die leere Menge $\emptyset$ enthält keine Elemente. Eine Menge $S \ne \emptyset$ heißt genau dann endlich (andernfalls unendlich), wenn sie sich vollständig in Teilmengen zerlegen lässt, bei denen jede Teilmenge die aufgerundete Hälfte der verbliebenen Elemente enthält. Sei $\nu$ die größte endliche, $\omega$ dazwischen die größte mittendliche und $\iota$ die kleinste positive reelle Zahl.$\triangle$

Herkömmlich definieren hinlänglich bekannte Axiome die reellen Zahlen als linear geordneten Körper und die komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit $\underline{1}$ (gesprochen „komp 1“) als Körper. Analog lassen sich Addition, Multiplikation und deren Inversenbildung in deren umfassendste und per Definition abgeschlossenen Oberkörper $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C} := \mathbb{R} + \underline{\mathbb{R}}$ (mit weiteren Operationen wie bspw. der Potenzierung) fortführen. Jede Zahl aus $\mathbb{C}^{*}$ mit unendlichem Betrag ihres Kehrwertes heißt infinitesimal.

Auf die Darstellung der Peano-Axiome und der Körperaxiome wird hier bewusst verzichtet, um anschaulich zu bleiben und das Neue herauszustellen. Zwei Zahlen müssen einen Minimalabstand besitzen, da alle verschiedenen Zahlen von $\mathbb{R}$ durch einen Abstand getrennt sind. Die gegenteilige Annahme, dass das Minimum nicht fest ist, führt auf den Widerspruch, dass jede Zahl aus $\mathbb{R}$ mindestens einen nächsten Nachbarn als Zahl haben muss, der selbst in $\mathbb{R}$ liegt (vgl. die Isomorphie oben).

Die Menge $\mathbb{R}$ aller reellen Zahlen ist isomorph zu einer Menge (hyper-)natürlicher bzw. ganzer Zahlen. Sie hat sowohl ein festes minimales als auch ein festes maximales Element, da von einer ganzheitlichen und vollständigen Betrachtung von $\mathbb{R}$ ausgegangen wird. Hieraus folgt zusammen mit den Körperaxiomen ihre Abgeschlossenheit. Andernfalls wäre eventuell die bisherige Theorie immer wieder an die Gegebenheiten anzupassen. Als Folgen notierte Zahlen sind schlichtweg unhandlich¹.

Cantor hat viele Mengen als gleichmächtig angesehen. Cantors Unterscheidung zwischen lediglich abzählbaren und überabzählbaren Mengen ist nicht differenziert genug. Die richtige Betrachtung von Bijektionen ergibt ein anderes Bild. Das bisher um Ordinal- und Kardinalzahlen gemachte Aufheben entfällt, da es einen einfacheren Weg gibt: Die konsequente Erweiterung der reellen Zahlen.

Definition: Die aus sukzessivem Addieren von 1 zu 0 entstehenden Elemente ergeben die Menge aller natürlichen Zahlen $\mathbb{N} := \mathbb{N}^{*} \cup \{0\}$. Die Zahlen aus $\underline{\mathbb{R}}^{*}$ heißen rein komplex. Das Entfernen der zusammengesetzten Zahlen von $\mathbb{N}_{\ge 2}$ ergibt die Primzahlen $\mathbb{P}$, die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ergeben sich durch $\mathbb{Z} := \mathbb{N} \cup -\mathbb{N}^*$ und die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ durch die Brüche mit Zähler aus $\mathbb{Z}$ und Nenner aus $\mathbb{N}^{*}$. Der Minimalabstand von 0 ist $\iota$. $\mathbb{R}$ umfasst hyperreelle und surreale Zahlen. Die Zahlen $\nu, \omega$ und $1/\iota$ haben für $n \in \mathbb{N}$ die Form $2^n.\triangle$

Definition: Sei $\mathbb{B} = \{0, 1\}$ die Boolesche Menge. Dekrement und Inkrement von $a \in \mathbb{C}$ werden $\acute{a} := a – 1$ bzw. $\grave{a} := a + 1$ notiert und der Kehrwert von $u \in \mathbb{C}^*$ ist $\tilde{u} := 1/u$. Gesprochen werden sie „$a$ dek“, „$a$ ink“ und „Kehr $u$“. Ferner werden $\hat{a} := 2a, \check{a} := a/2$ und $a$- $:= -a$ „a Dach“, „halb a“ bzw. „a neg“ gesprochen. Der Logarithmus von $a \in {}^{\omega}\mathbb{C} \setminus {}^{\omega}\mathbb{R}_{\le 0}$ zur Basis $b \in {}^{\nu}\mathbb{R}_{>0}$ wird mit ${_b}{a}$ notiert und gesprochen „$b$ log $a$“. Gilt $\sigma \in \{\nu, \omega\}$ und $S^* = S^{*-1}$, seien ${}^\sigma S := S \cap [-\sigma, \sigma]$ für $S \subseteq \mathbb{R}, {}^\sigma \mathbb{C} := {}^\sigma \mathbb{R} + {}^\sigma \underline{\mathbb{R}} \subset \mathbb{C}$ und ${}^\sigma S := S \cap {}^\sigma \mathbb{C}$ für $S \subseteq \mathbb{C}.\triangle$

Definition: Es gibt $\sigma$ den maximalen Betrag der Zähler und $\tau$ den der Nenner aller $s \in {_\tau^\sigma}S \subset \mathbb{C}$ an. Die Mengen ${\mathbb{M}}_{\mathbb{R}} := {}^{\omega}{\mathbb{R}} \setminus {}^{\nu}{\mathbb{R}}$ und ${\mathbb{M}}_{\mathbb{C}} := {\mathbb{M}}_{\mathbb{R}} + \underline{\mathbb{M}}_{\mathbb{R}}$ ergeben die mittendlichen Zahlen. Bei reellen Mengen kann der Index $_{\mathbb{R}}$ entfallen. Enthalten zwei Mengen die gleichen Elemente, heißen sie genau dann gleich (Extensionalität). Die Menge $Y$ heißt Vereinigung der Menge $X$, wenn sie genau die Elemente der Elemente von $X$ als Elemente enthält. Die Potenzmenge der Menge $X$ ist $\mathcal{P}(X) := \{Y : Y \subseteq X\}.\triangle$

Bemerkung: Für Teilmengen von $S$ gilt dies analog. Mit $T := {}^\sigma S \notin \{\emptyset, \{0\}\}$ gilt $T+T \nsubseteq T$ oder sogar $T \cdot T \nsubseteq T$. Die Mengen ${}^\omega S$ enthalten nur nicht-unendliche Elemente. Die Mengen ${}^\nu S$ entsprechen den herkömmlichen Mengen $S$. Die mittendlichen schließen die Lücke von endlichen zu unendlichen Mengen.

Extremalsatz: Jede lineare Ordnung besitzt sowohl ein maximales als auch ein minimales Element, da alle anderen Konstellationen auf einen Widerspruch zur Totalität bzw. zu Obigem führen.$\square$

Bemerkung: Erst die eindeutige Konstruktion einer mitt- oder unendlichen Menge erlaubt deren Anzahl an Elementen korrekt zu bestimmen und sie auf ${}^{\omega}\mathbb{N}$ als Basis zu beziehen. Bei mehreren Konstruktionsmöglichkeiten wird die plausibelste ausgewählt. Die Relation $\in$ ist irreflexiv und asymmetrisch, $\subseteq$ hingegen Teilordnung.

Definition: Die Summe $p(z)={\LARGE{\textbf{+}}}_{k=0}^{\acute{m}}{{{a}_{k}}{{z}^{k}}}$ mit $z \in \mathbb{C}$ und $m \in \mathbb{N}^*$ heißt $m$-Polynom, falls die Anzahl der Koeffizienten mit bspw. ${a}_{k} \in {}^{\nu}\mathbb{Z}$ oder ${a}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{Z}$ und $k \in \mathbb{N}_{<m}$ und ${a}_{k} \ne 0$ endlich ist, sonst $m$-Reihe. Es heißt $\deg(p) := \acute{m}$ für ${a}_{k} \ne 0$ der Polynom- bzw. Reihengrad von $p$. Für das Nullpolynom $p = 0$ sei $\deg(p) := -1$. Eine $p(z) = 0$ setzende Zahl $z \in \mathbb{C}$ wird als Nullstelle und $m$-AZ bezeichnet.$\triangle$

Definition: Für das Minimalpolynom $p(z)$ von $\alpha \in \mathbb{C}$ mit $0 \ne p(\alpha) \approx 0$ gelte min $|p(z)| = |p(\alpha)|.$ Die Mengen dazu heißen $A := {}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}$ im reellen Fall und ${}^{m}{\mathbb{R}}_{\mathbb{C}} \supset {}^{m}{\mathbb{A}}_{\mathbb{C}} \supset {}_m^{m}{\mathbb{R}}_{\mathbb{C}} \supset {}^{m}{\mathbb{Z}}_{\mathbb{C}} \supset {}^{m}{\mathbb{N}}_{\mathbb{C}}$ im komplexen. Für ${a}_{\deg(p)} = 1$ ergeben sich $m$-ganzalgebraische Zahlen. Die Notation für $m$-AZen ist ${(m, {a}_{\acute{k}}, {a}_{k-2}, …, {a}_{1}, {a}_{0}; r, i; \#n, \&q; v, p)}_{s}$. Alle $k$-Minimalpolynome haben < als Spezifikation $s$, alle $k$-Minimalreihen >.$\triangle$

Definition: Mit $r \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*} (-{}^{\nu}\mathbb{N}^{*})$ existieren eine Nullstelle mit dem $r$.-größten ($|r|$.-betragskleinsten) Realteil > 0 (< 0), mit $r = 0, i \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*} (-{}^{\nu}\mathbb{N}^{*})$ eine nicht-reelle Nullstelle mit dem $i$.-größten ($|i|$.-betragskleinsten) Imaginärteil > 0 (< 0) und die restlichen AZen analog. Wird für mindestens ein ${a}_{j}$ eine Variable eingesetzt, gibt $\#n$ die Anzahl $n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}$ der Nullstellen an und $\&q$ die Anzahl $q \in {}^{\nu}\mathbb{N}$ der mehrfachen Nullstellen.$\triangle$

Bemerkung: Hierbei hat $r$ Vorrang vor $i$ und stellt sich mit $r = i = {a}_{0} = 0$ die Zahl 0 dar. Der numerische Wert $v$ hat die Genauigkeit $p$. Der Verzicht auf Unterscheidung mehrfacher Nullstellen erlaubt diejenigen eines $k$-Polynoms oder einer $k$-Reihe mit ganzzahligen Koeffizienten streng totalzuordnen. Die Angaben $r, i, \#n, \&q, v, p$ und $s$ sind ggf. entbehrlich wie für Brüche. Die $(\nu+2)$-Tupel $(0, …, 0, {a}_{\acute{k}}, …, {a}_{0}; r, i{)}_{<}$ mit ${a}_{j} \in {}^{\nu}\mathbb{N}$ wohlordnen die AZen lexikalisch streng.

Beispiele: Die Zahlen $(\nu; 1, 0, 0, 0, -1{)}_{<}$ sind gegeben als $1, -1, \underline{1}$ und $-\underline{1}$. Die Goldene Zahl $\Phi := \check{1} + {5}^{\tilde{2}}/2$ lässt sich mit $(\nu; 1, -1, -1; 1, 0; 1{,}618033, {10}^{-6}{)}_{<}$ notieren. Mit $p = {10}^{-\omega}$ gilt $\tilde{9} \ne 0{,}\overline{1} = 0{,}1...1$, da $9\,\times\,0{,}\overline{1} = 0{,}9...9 = 1 - {10}^{-\omega} \ne 1$ ist. Somit ist $0{,}\overline{1}$ - notierbar als ($\omega, 9 \times {10}^{\omega}, 1 - {10}^{\omega})$ - nicht $\omega$-algebraisch.

Bemerkung: Es seien $m \in {}^{\nu}\mathbb{N}$ der maximal zugelassene Polynomgrad und $n \in {}^{\nu}\mathbb{N}$ der maximale Betrag, den die ganzzahligen Koeffizienten ${a}_{k}$ der Polynome ${a}_{m}{x}^{m} + {a}_{\acute{m}}{x}^{\acute{m}} + … + {a}_{1}x + {a}_{0}$ mit $k \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le m}$ annehmen sollen. Dies ist gerechtfertigt, da die ${a}_{k}$ voreinander nicht ausgezeichnet sind. Die Anzahl der AZen entspricht der Anzahl der Nullstellen der derart definierten normierten irreduziblen Polynome: Der größte gemeinsame Teiler ggT von deren Koeffizienten ist 1 und es gilt ${a}_{m} > 0$ und ${a}_{0} \ne 0$.

Inklusionssatz: Jede Menge $S \ne \emptyset$ falsifiziert $S \in S$, $\mathcal{P}(S) \subseteq S$ und jede Isomorphie $T \cong S$ für $T \subset S$.

Beweis: Jede Menge unterscheidet sich von ihren Elementen, da sie letztere umfasst. So ist $\emptyset \ne \{\emptyset\}$. Ihre Differenzmenge weist die Elemente mit fehlendem Partnerelement für die Bijektion auf.$\square$

Folgerung: Dies widerlegt insbesondere Dedekind-Unendlichkeit und Cantors erstes Diagonalargument, da $\mathbb{N}$ eine echte Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist. Ein Verlagern nach hinten der vorne ausgeschlossenen Zahlen macht das zweite haltlos. Gleiches gilt für das Cantorsche, das Russell-Zermelosche und das Banach-Tarski-Paradoxon. Hilberts Hotel widerlegt die Translation, die aus einer unendlichen Menge immer herausführt wie die Nachfolgerabbildung $s: {}^{\omega}\mathbb{N} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} \cup \{\grave{\omega}\}$ aus ${}^{\omega}\mathbb{N}$.

Definition: Zyklenfreiheit bezeichnet die Abwesenheit zyklischer Folgen von Mengen, bei denen jeweils eine als Element in der vorangegangenen enthalten ist. Ersetzbarkeit bezeichnet den möglichen Übergang von einer Menge $X$ bei einer eindeutigen Ersetzung jedes Elements von $X$ durch eine beliebige Menge. Enthält die Menge $Y$ genau ein Element aus jedem Element von $X$ (Forderung der Auswählbarkeit), heißt sie Auswahl aus einer Menge $X$ von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.$\triangle$

Lemma: Wegen $\tilde{\nu} m \le 1 \le a$ für alle $m \in {}^{\nu}\mathbb{N}$ und $a \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{\ge 1}$ ist das Archimedische Axiom ungültig.$\square$

Archimedischer Satz: Es gibt ein $m \in {}^{\nu}\mathbb{N}$ mit $a < b m$ genau dann, wenn mit $a, b \in {\mathbb{R}}_{>0}$ für $a > b$ zumindest $a < b \nu$ gilt, da $\nu = \max {}^{\nu}\mathbb{N}$ ist.$\square$

Behauptung: Das Cantor-Polynom $P(m, n) := \tilde{2}({(m + n)}^{2} + 3m + n)$ bildet ${}^{\omega}\mathbb{N}^{2}$ bijektiv auf ${}^{\omega}\mathbb{N}$ ab.

Widerlegung: Es gilt $P(\omega, \omega) = \hat{\omega}\grave{\omega} >\omega = \max \; {}^{\omega}\mathbb{N}.\square$

Bemerkung: Ebenso wird die Fueter-Pólya-Vermutung widerlegt. Wird die Menge ${}^{\omega}\mathbb{N}^{2}$ durch $\{(m, n) \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{2} : m + n \le k \in {}^{\omega}\mathbb{N}\}$ mit $k(k + 3) = \hat{\omega}$ ersetzt, gilt die Behauptung. Da es unendlich viele Mengen mit Anzahl der Elemente zwischen $|{}^{\nu}\mathbb{N}|$ und $|{}^{\nu}\mathbb{R}|$ gibt, ist auch die Kontinuumshypothese falsch: Durch Abbilden allzu vieler (unendlicher) Mengen aufeinander lassen sie sich nicht mehr auseinanderhalten.

Fundierungssatz: Wird $X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}$ und $x_{\acute{n}} := \{x_n\}$ mit $m \in {}^{\omega}\mathbb{N}$ und $n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}$ gesetzt, garantiert erst die Forderung des Fundierungsaxioms Zyklenfreiheit, dass jede nichtleere Teilmenge $X \subseteq Y$ ein Element $x_0$ enthält, sodass $X$ und $x_0$ disjunkt sind.$\square$

Bemerkung: Mit $x_{\omega} := \{x_0\}$ statt $x_{\omega} := \{x_1\}$ ist $X$ eine unendliche Kette. Die hier vertretene Mengenlehre wird durch die Definitionen oben festgelegt. Sie kommt ohne echte Klassen² aus, da nur sinnvolle Mengen betrachtet werden. Die existierende Menge $\mathbb{W}$ aller Welten ist unveränderlich, weil sie sonst der Vollständigkeit widerspräche. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Veränderungen in den Welten nicht existieren oder alles determiniert ist. Hierbei hilft es die Zeit räumlich zu betrachten.

Definition: Für $\mathbb{K} \in \{\mathbb{C}, \mathbb{R}\}$ heißen zwei verschiedene Punkte $x$ und $y$ einer Teilmenge $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$ mit $n \in \mathbb{N}^{*}$ benachbart, wenn mit der euklidischen Norm $||\cdot||$ für alle Punkte $z \in M$ gilt: $||x – y|| \le \max \; \{||x – z||, ||y – z||\}$. Haben alle benachbarten Punkte von $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$ den Minimalabstand $h \in \mathbb{R}_{>0}$, wird $M$ als $h$-homogen mit der Notation $h$-$M$ bezeichnet. Im Fall $h = \iota$ heißt $M$ lückenlos. Es gilt die Isomorphie $\mathbb{C}^{n} \cong \mathbb{R}^{\hat{n}}$.$\triangle$

Definition: Sei $u{\upharpoonleft}_n := (u, …, u)^T \in{}^{\omega}\mathbb{K}^{n}$. Es wird $u{\upharpoonleft}_n$ „u rep n“ gesprochen. Existiert zu jedem $x \in \mathbb{K}^{n}$ ein Punkt $y \in M$ mit $||x – y|| = \iota$, heißt eine Teilmenge $M \subseteq \mathbb{K}^{n}$ dicht in $\mathbb{K}^{n}$. Für das punktsymmetrische ${\dot{\mathbb{K}}}^n$ zu $\mathbb{K}^{n}$ ist ein $n$-Würfel mit Seitenlänge $\sigma$ durch ${}^{\sigma}\mathbb{R}^{n} := {\LARGE{\textbf{$\times$}}}_{k=1}^n{{}^{\sigma}\mathbb{R}}$ gegeben und eine $n$-Kugel durch ${}^{\sigma}\dot{\mathbb{R}}^n$ mit Radius $\sigma$. Sei $\mathbb{U}$ die Fuzzy-Menge, $\mathbb{Q}$ die Menge der Quaternionen, $\mathbb{O}$ die der Oktonionen und $\mathbb{S}$ die der Sedenionen.$\triangle$

Bemerkung: Das $h$-Homogenisieren trägt $h$ vom Ursprung aus in jeder Dimension ab. Zwischen Zahlen liegende Elemente sind auf die nächstgelegenen $h$-homogenen Elemente zu runden. Hierbei geben die Logarithmen zur Basis 2 (s. Nichtstandardanalysis) ${_2}\nu, {_2}\omega$ oder ${_2}\tilde{\iota}$ die maximale Anzahl der Vor- wie Nachkommastellen der Elemente von $\tilde{\nu}$-${}^{\nu}\mathbb{R}, \tilde{\omega}$-${}^{\omega}\mathbb{R}$ und $(\iota$-)$\mathbb{R}$ an. Das Erdős-Ulam-Problem löst der folgende Satz, der irrationale Zahlen als nicht-existent sowie $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ als $h$-homogen ausweist.

Hauptsatz der Mengenlehre: Die Menge $\mathbb{R}$ ist ein maximaler, linear geordneter, abgeschlossener, kontinuierlicher und $\iota$-homogener Körper mit $|\mathbb{R}| = 2 {\tilde{\iota}}^{2} + 1$, da der unbestimmt belassene Abstand $\iota$ Kontinuität garantiert und $\mathbb{R}$ durch Identifikation von min $\mathbb{R}$ mit max $\mathbb{R}$ „verklebt“ werden kann.$\square$

Bemerkung: Teilmengen von $\mathbb{K}^{n}$ lassen sich analog verkleben und damit für bestimmte Berechnungen abschließen. Da die Rekonstruktion reeller Zahlen mit notwendig periodischer Bruchentwicklung eindeutig ist, schränkt die $h$-Homogenität nicht wesentlich ein. Eine vollständige Homogenität (d. h. in allen Richtungen) höherdimensionaler reeller Räume ist leider unmöglich, wie eine einfache Überlegung zu Kreisen bzw. Kugeln zeigt – auch bei Aufrollen eindimensionaler Räume.

Folgerung: Für jede nicht-leere Menge lässt sich eine lineare Ordnung definieren.$\square$

Bemerkung: Anders als herkömmlich³ lassen sich jeweils unmittelbare Vorgänger und Nachfolger angeben. Anschaulich werden Perlen zu einer Kette aufgefädelt, wobei die Anzahl der Dimensionen unerheblich ist. Die lineare Ordnung einzelner Punkte kann für den $\mathbb{R}^n$ mit $n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*$ bspw. Dimension für Dimension geschehen: Die Gesamtlänge der Kette beträgt dann $\iota |\mathbb{R}|^n$. Eine andere lineare Ordnung ist die bei $0{\upharpoonright}_n$ beginnende spiralförmige nach der euklidischen Norm der einzelnen Punkte.

Bemerkung: Nur böse Zungen behaupten, dass falsch sei, was an der Cantorschen Mengenlehre nicht trivialerweise richtig ist. Fest steht jedoch, dass letztere in weiten Teilen nicht aufrechterhalten werden kann, aber trotzdem noch genügend interessante Ideen enthält, die weiterverfolgt werden sollten. Eine nähere Wertung soll hierbei allerdings aus Gerechtigkeitsgründen unterbleiben.

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Literatur

vgl. Landers, Dieter; Rogge, Lothar: Nichtstandard Analysis; 1. Aufl.; 1994; Springer; Berlin, S. 15 f.
vgl. Deiser, Oliver: Einführung in die Mengenlehre; 1. Aufl.; 2002; Springer; Berlin, S. 117 f.
vgl. Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas: Relationen und Graphen; 1. Aufl.; 1989; Springer; Berlin, S. 33.